专题12 二次函数的应用-2025年精选中考数学真题分类汇编

专题12 二次函数的应用-2025年精选中考数学真题分类汇编
一、选择题
1．（2025·武威）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（　　）
A．3m B．2.75m C．2m D．1.75m
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】
解：由 可得：
∵-1
∴当x=1肘，y取最大值，最大值为，即2.75米，
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的最大高度的应用，把函数解析式化为，由-1可得当x=1肘，y取最大值，解答即可.
2．（2025·山东）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度厘米天和光照强度勒克斯之间存在一定关系．在低光照强度范围内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（　　）
A．当时，随的增大而减小
B．当时，有最大值
C．当时，
D．当时，
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用；二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：观察图象知，直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，则抛物线对称轴为，由于抛物线开口向下，则当时，随的增大而减小；当，有最大值；当时，；由于，则直线与抛物线有两个交点，即或与；
故答案为：B.
【分析】A、观察图象知，抛物线与直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，即抛物线上两点 与关于对称轴对称，则对称轴为直线，由于抛物线开口向下，则在对称右侧，即当时随的增大而减小；B、由于抛物线开口向下，则当时，有最大值 ；C、观察图象知，当时，对应在自变量的取值范围为；D、由于在对称轴左侧，即时，随的增大而增大，因为，所以直线与抛物线也有两个交点，即的值应该有两个，且到对称轴的距离相等.
二、填空题
3．（2025·连云港）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y=a（×-3）2+2.5运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6m，则铅球掷出的水平距离OB为　 　m.
【答案】8
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：∵OA=1.6
∴点A（0，1.6）
∴ a（0-3）2+2.5 =1.6
解之：
∴，
当y=0时，
解之：x1=8，x2=-2（舍去）
∴铅球掷出的水平距离OB为8m.
故答案为：8.
【分析】利用OA的长，可得到点A的坐标，将点A的坐标代入函数解析式，求出a的值，可得到的函数解析式，再求出y=0时的x的值，可得到OB的长.
三、解答题
4．（2025·武汉）某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动.
【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直.
【收集数据】某次羽毛球飞行的高度y(单位：m)与距发球点的水平距离x(单位：m)的对应值如下表(不考虑空气阻力).
水平距离x/m 0 2 3 5 6 …
竖直高度y/m 1.1 2.3 2.6 2.6 2.3 …
【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线(如图)，发现羽毛球飞行路线是抛物线 y=ax2+kx+1.1的一部分.
【建立模型】求y与x的函数解析式(不要求写自变量取值范围).
【应用模型】
（1）羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到2.8m 请说明理由.
（2）保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，改变发球方式，使其解析式变为y=ax2+kx+1.1发球点与球网的水平距离是5m.若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过2.1m，且球的落地点与球网的水平距离小于6m.求k的取值范围.
【答案】（1）解：把，代入得：
，
解得
∴，
∴，
∴当x=4时，y有最大值，最大值为2.7，
∴，
∴羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度不能达到2.8m；解答：
（2）解：∵保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，
∴，
∴解析式为，
当时，，
解得；
∵球的落地点与球网的水平距离小于6，
∴当时，，
解得，
∴k的取值范围为.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点，代入抛物线解析式可得，将x=4代入解析式求出y值，再比较大小即可求出答案.
（2）由题意可得解析式为，将x=5，x=11分别代入解析式，建立不等式，解不等式即可求出答案.
5．（2025·广东）如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7km，主塔高0.27km，主缆可视为抛物线，主缆垂度0.1785km，主缆设低处距离桥面0.0015km，桥面距离海平面约0.09km.请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式.
【答案】解：如图所示建立平面直角坐标系
设抛物线的解析式为
由题意可知： 点(0.85，0.18)和点(0，0.0015)在函数图象上，
代入得：
解得：
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】 【分析】 以主缆最低点（设低处）为原点，平行桥面水平方向为x轴，竖直向上为y轴建系。
由主缆垂度0.1785km，主缆设低处距离桥面0.0015km，可得一点（0，0.0015）；
由主跨长1.7km，主塔高0.27km， 桥面距离海平面约0.09km ，可得两点（0.85，0.18）和（-0.85，0.18）；
将点(0.85，0.18)和点(0，0.0015)代入 抛物线可以解得抛物线表达式为y= 。
6．（2025·贵州）用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计）
（1）如图②，当时，若点坐标为，求抛物线的表达式；
（2）在（1）的条件下，若，在水面上有一个截面宽，高的矩形的障碍物，点的坐标为，判断此时石块沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由；
（3）小星在抛掷石块时，若的顶点需在一个正方形区域内（包括边界），且点在和之间（包括这两点），其中，求的取值范围．（在抛掷过程中正方形与拋物线在同一平面内）
【答案】（1）解：∵当时，
∵点坐标为
∴
∴
∴抛物线的表达式为.
（2）解：不能，理由如下：
∵，点坐标为
∴
∴
∵点的坐标为，
∴
∴将代入
∴此时石块沿抛物线运动时不能越过障碍物.
（3）解：∵正方形，
∴
∴如图所示，
∵抛物线开口向下
∴
∵越小开口越大，越大开口越小，点在和之间（包括这两点）
∴由图象可得，当抛物线顶点为点M，且经过点时，开口最大，此时a最大
∴设的表达式为
将代入得，
解得；
∴由图象可得，当抛物线顶点为点P，且经过点时，开口最小，此时a最小
∴设的表达式为
将代入得，
解得；
∴的取值范围为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）已知抛物线系数、和点坐标，代入解析式求，确定表达式.
（2）先由长度求坐标，确定表达式；再根据障碍物坐标，代入求对应值，与障碍物高度比较.
（3）先确定正方形顶点，根据抛物线开口方向（ ），结合顶点在正方形内、点的范围，分别求顶点在（开口最大 ）和（开口最小 ）时的值，确定取值范围.
7．（2025·辽宁）为方便悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立柱．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下：
活动主题 为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱
活动准备 1．去学校档案馆查阅框架结构的图纸； 2．准备皮尺等测量工具．
采集数据 图1是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图，信息如下： 1．大门形状为矩形（矩形）； 2．底部跨度（的长）为 ；3．立柱的长为，且，垂足为．
设计方案 考虑实用和美观等因素，在间增加两根与垂直的立柱，垂足分别为，立柱的另一端点在抛物线形框架结构上，其中．
确定思路 小组成员经过讨论，确定以点为坐标原点，线段所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．点的坐标为（0，2），设抛物线的表达式为，分析数据得到点或点的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达式求出增加立柱的长度，从而解决问题．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）求抛物线的表达式；
（2）现有一根长度为的材料，如果用它制作这两根立柱，请你通过计算，判断这根材料的长度是否够用（因施工产生的材料长度变化忽略不计）
【答案】（1）解：∵AD=8，OA=OD=4，
∴A（-4，0），
设抛物线的表达式为，
∵抛物线过点A，
∴0=16a+2，
∴，
∴；
（2）解：∵OM1=OM2=3，
∴N1，N2关于y轴对称，
∵，
∴当x=3时，，
∴，
∵，
∴这根材料的长度够用．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）求出A点坐标，代入函数解析式，进行求解即可；
（2）求出N1的坐标，进而求出M1N1的长，进行判断即可．
8．（2025·新疆维吾尔自治区）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由．
【答案】（1）解：由题意得，顶点为，即（6，8），
设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣6）2+8（a≠0），
代入点（12，0）得a（12﹣6）2+8＝0，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：能安全通过，理由如下：
如图，
由题意得：，
将x＝2代入，
则，
∵，
∴能安全通过．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣6）2+8（a≠0），根据待定系数法将点（12，0）代入解析式即可求出答案.
（2）由题意可得，将x=2代入解析式可得y值，再比较大小即可求出答案.
9．（2025·连云港）一块直角三角形木板，它的一条直角边BC长2m，面积为1.5m2.
（1）甲、乙两人分别按图1、图2用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积较大；
（2）丙、丁两人分别按图3、图4用它设计一个长方形桌面.请分别求出图3、图4中长方形的面积y（m2）与DE的长x（m）之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值
【答案】（1）解：∵Rt△ABC中，，面积为，
∴及
解之：，
；
设正方形的边长为xm，
图1，∵正方形DCFE，
∴DE∥CF，∠ADE=∠EFB=90°，
∴∠AED=∠B，
∴，
∴，即，
解得.
由图2知，RtDECRtABC，得，即，
所以.，
由，得，即，解得.
因为，所以图1的正方形面积较大
（2）解：在图3中，由，
得，则，，
所以长方形的面积，
当时，长方形的面积有最大值为.
在图4中，由Rt，得，所以，由Rt，得，则，所以长方形的面积，当时，长方形的面积有最大值为
【知识点】勾股定理；相似三角形的实际应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用三角形的面积公式求出AC的长，再利用勾股定理求出AB的长；设正方形的边长为xm，图1：利用正方形的性质可证得DE∥CF，∠ADE=∠EFB=90°，利用平行线的性质可推出∠AED=∠B，可证得△ADE∽△ACB，利用相似三角形的性质可求出x的值；图2：利用相似三角形的性质可得到DC与DE的比值，可表示出DC，AD的长，易证△ADG∽△ABC，利用相似三角形的性质，可得到关于x的方程，解方程求出x的值；然后比较大小，可作出判断.
（2）图3：易证△ADE∽△ACB，利用相似三角形的性质可表示出AD，DC的长，利用长方形的面积公式可得到y关于x的函数解析式，利用二次函数的性质，可求出长方形面积最大时x的值；图4：易证△ADE∽△ACB，利用相似三角形的性质可表示出AD，DC的长，再证明△ADG∽△ABC，可表示出DG的长；由此可得到y关于x的函数解析式，再利用二次函数的性质可求出长方形面积最大时x的值.
10．（2025·深圳）【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系
【研究条件】
条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数；
条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人.
【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x之间满足关系式：
结合上述信息，请完成下述问题：
（1） 若开设 3 条安检通道， 安检时间为 x 分钟， 则已入场人数为　 　 (用 x 表示)， 若排队人数为 w， 则 w 与 x 的函数表达式　 　.
（2）【模型应用】 在(1)的条件下， 当安检时间在几分钟时， 排队人数达到最大值 最大值为多少
（3）已知该演出主办方要求：
①排队人数在 10 分钟内 (包含 10 分钟) 减少；
②尽量少安排安检通道，以节省开支.
若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由
【总结反思】
函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量(如突发情况、安检流程优化等)进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性.
【答案】（1）18x；
（2）解：由(1)知
∴当时，
（3）解：设开了m条通道则：
∴对称轴为
若按照①的方式理解：
∵排队人数10分钟（包括10分钟）内减少
，即：
又∵最多开通9条
∴
∵m为正整数
∴m最小值为7
∴最少开7条通道
【知识点】二次函数的最值；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：(1) 平均每条通道每分钟可安检6人，故3条安检通道的入场人数为18x，
排队人数w=y-18x=，即
【分析】(1) 由平均每条通道每分钟可安检6人，可知3条通道x分钟通过的人数；由w=y-18x可得w与x的函数关系；
(2)由(1)中的二次函数关系，可知当x=21时，w取最大值；
(3)设开通m条通道，可得关于m的不等关系，可得m的取值范围，即可得m的最小值.
11．（2025·内江） 2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元．
（1）求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别的多少元？
（2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？
（3）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值．
【答案】（1）解：设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，
由题意得，
解得
答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元；
（2）解：设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品(400-m)个，
由题意得，40(400-m)+20m≤12000，
解得m≥200，
∴m的最小值为200，
答：至少需要购进B款纪念品200个；
（3）解：由题意得，W=(a-40)[200-5(a-60)]
=(a-40)(200-5a+300)
=(a-40)(500-5a)
=500a-20000-5a2+200a
=-5(a-70)2+4500，
∵-5<0，60≤a≤100，
∴当a-70=0，即a=70时，W最大，最大值为4500．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，根据单价乘以数量等于总价及“ 购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元 ”列出关于字母a、b的二元一次方程组，求解即可；
（2）设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品(400-m)个，根据单价乘以数量等于总价及购进m个B款纪念品的费用+购进(400-m)个A款纪念品的费用不超过12000元，列出不等式，求出m的最小整数解即可；
（3）每一个A款纪念品的利润为(a-40)元，可销售A款纪念品的数量为[200-5(a-60)]个，根据每个A款纪念品的利润乘以销售数量等于总利润建立出w关于a的函数关系式，然后根据所得函数的性质求解即可.
12．（2025·达州） 为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件．
（1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是　 　件；
（2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元；
（3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，
根据题意可得： (40-30-x)(60+10x)=630，
解得：
∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元.
（3）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，
则 )，
当x=2时， W取最大值为640元，此时销售价为38元，
故售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元.
【知识点】二次函数的最值；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）原来每天售出60件，再加上多售出的10x即可得到答案；
（2）根据单件利润×销量=总利润，列方程求解即可；
（3）根据单件利润×销量=总利润，可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可．
13．（2025·南充）学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题.
材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A 型客车比每辆B型客车多载客15人；用A 型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同.
材料二 A 型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆.优惠方案：租用A 型客车m辆，租车费用（3200-50m）元/辆；租用B型客车，租车费用打八折.
材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆.
（1）A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少
（2）本次研学活动学校的最少租车费用是多少
【答案】（1）解：设A 型客车每辆载客量为x人，由题意得：
解之得：x=60.
经检验： x=60是方程的根.
∴B型客车每辆载客量为：60-15=45（人），
答：A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人；
（2）解：设租A型客车m辆， B型客车(10-m) 辆，租车总费用w， 则
60m+45(10-m)≥530
解之得
w=(3200-50m)m+3000×0.8×(10-m)
=-50（m-8）2+27200
∵ 对称轴为m=8，a=-50＜0，
∴ m≤8时， w随着m的增大而增大.
∵m取正整数，且
∴当m=6时， w最小值为27000(元).
∴本次研学活动学校最少租车费用为27000元.
【知识点】分式方程的实际应用；二次函数的最值；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【分析】（1）设A 型客车每辆载客量为x人，根据题中的相等关系“A 型客车载客600人的车辆数=用B型客车载客450人的车辆数”可列关于x的分式方程，解这个方程并检验即可求解；
（2）设租A型客车m辆， B型客车(10-m) 辆，租车总费用w，根据题意“ 学校参加研学活动师生共有530人”列关于m的不等式，解不等式可得m的范围；根据租车总费用w=m辆A型车的费用+(10-m)辆B型车的费用可得w与m之间的函数关系式，根据二次函数的性质即可求解.
14．（2025·江西）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究．
探究1
（1）对一次函数进行探究后，得出下列结论：
①是“不动点函数”，且只有一个不动点；
②是“不动点函数”，且不动点是；
③是“不动点函数”，且有无数个不动点．
以上结论中，你认为正确的是 ▲ （填写正确结论的序号）．
（2）若一次函数是“不动点函数”，请直接写出k，b应满足的条件．
（3）探究2
对二次函数进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式．
（4）探究3
某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件元出售，可卖出件，获得利润元．请写出关于的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义．
【答案】（1）③
（2）解：把(m，m)代入得m=km+b，
整理得(1-k)m=b，
当时，，m为任意实数，故是“不动点函数”；
当且时，为任意实数，m=，故是“不动点函数”
（3）方法一
由二次函数，可得：顶点坐标为，
抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，
，
即．
方法二
由二次函数，可得：对称轴为直线，
抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，
顶点坐标为，
，
即
（4）据题意，得，
即．
令，即．
解得，
该函数是“不动点函数”．
不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】①把(m，m)代入y=x+2得m=m+2，无解，原说法错误；
②把(m，m)代入y=-3x+2得m=-3m+2，解得m=，故不动点为，原说法错误；
③把(m，m)代入y=x得m=m，m为全体实数，则是“不动点函数”，且有无数个不动点，说法正确；
故答案为：③；
【分析】（1）把(m，m)代入函数解析式，求出m值，然后根据“不动点函数”的定义判断即可；
（2）把(m，m)代入整理为(1-k)m=b，然后分情况讨论解答即可；
（3）得到抛物线的顶点坐标，再根据不动点的定义解答即可；
（4）根据利润=单利润×销售量列函数关系式，根据“不动点函数”的定义求出x值即可解答即可.
15．（2025·青岛）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米的点将球击出．
信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，．
信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下：
（秒） 0 0.4 0.6 …
（米） 0 4 6 …
（1）求与的函数关系式；
（2）网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？
（3）当为秒时，小明将球击回、球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为，纵坐标大于等于时，的取值范围为　 　（直接写出结果）．
【答案】（1）解：∵图象经过点，，
，
解得：，
∴与的函数关系式为；
（2）解：由表格可知，
∴设球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为：，
代入得：，
解得：，
∴，
对于，，
∴开口向下，
∵对称轴为：直线
∴当时，，
此时，
解得：，
∴网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米；
（3）
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】
解：（3）由题意，当t=1.6秒时，x=101.6=16，
代入原抛物线得y=-0.05162+0.816+1.8=1.8， 即此时球的坐标为（16，1.8）
又∵新抛物线y=-0.02x2+px+m过点(16，1.8)， 得m=1.8+0.02 162-16p=6.92-16p，
∴抛物线为y=-0.02x2+px+6.92-16p.
又∵当x=2时，y≥1.8，
∴-0.0222+2p+6.92-16p≥ 1.8.
∴
故答案为： p≤0.36.
【分析】(1)根据待定系数法求函数解析式：把点，带入解析式计算即可解答；
（2）观察表格可知，设球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为：，代入点的坐标即可得到，对于根据函数的性质得到当时，y的最小值为5，此时，计算即可解答；
（3）先求出球得坐标为（16，1.8），再代入新抛物线解析式得到m=6.92-16p，再根据题意网球所在点的横坐标为，纵坐标大于等于；列式计算即可解答.
16．（2025·广州）某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题．
发现问题确定目标 涉水线设置 限高架设置
数学抽象绘制图形 隧道及斜坡的侧面示意图，可近似如图2所示． 图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成．
信息收集资料整理 当隧道内积水的水深为0.27米时，（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．
实地考察数据采集 斜坡的坡角为，并查得：， ， ． 隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米．
问题解决：
（1）如图2，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米）；
（2）在图3中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
（3）限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精确到米）．
【答案】（1）解：如图，过点M作，
∵斜坡的坡角为，隧道内积水的水深为0.27米，
∴，
∵，，
在中，，
∴，
∴（米）；
（2）解：如图所示：以点为坐标原点，建立平面直角坐标系：
依题意，设抛物线的解析式为，
∵隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．
∴，
把代入，
得，
∴，
∴；
（3）解：∵车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米．必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．
∴，
∴当时，，
则，
∴，
∵限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），
∴（米）
∵涉及安全问题，
∴（米）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题；已知正弦值求边长
【解析】【分析】（1）过点M作，由题意可得，再根据正弦定义即可求出答案.
（2）以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为，由题意可得，再根据待定系数法将点B坐标代入解析式即可求出答案.
（3）由题意将x=4代入解析式可得，根据边之间的关系看可得GH，再作差求出h即可.
17．（2025·陕西） 某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于所在直线对称．，，为框架，点，在上，点，分别在，上，，，．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）已知抛物线的函数表达式为，，求的长．
【答案】（1）解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的函数表达式为，
∵，
∴结合二次函数的对称性得，
将代入，
得
则，
∴；
（2）解：由（1）得抛物线的函数表达式，
∵，，．，且抛物线的函数表达式为，
∴，
整理得，
∴，
∴，
解得，
∴
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）根据题意可得抛物线的顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为，结合二次函数的对称性得，根据待定系数法将点C坐标代入解析式即可求出答案.
（2）由（1）得抛物线的函数表达式，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
18．（2025·广西）综合与实践
树人中学组织一次“爱心义卖”活动．九（5）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形（如图1）
初始时，矩形义卖区与遮阳伞投影的平面图如图2所示，在上，，，，，，由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞．在移动过程中，也随之移动（始终在边所在直线上），且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状．如图3为移动到落在上的情形．
【问题提出】
西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时的位置．
设遮阳区的面积为，从初始时向右移动的距离为．
（1）【直观感知】从初始起右移至图3情形的过程中，随的增大如何变化？
（2）【初步探究】求图3情形的与的值；
（3）【深入研究】从图3情形起右移至与重合，求该过程中关于的解析式；
（4）【问题解决】当遮阳区面积最大时，向右移动了多少？（直接写出结果）
【答案】（1）解：∵四边形是矩形，四边形是平行四边形，，，，在边所在直线上，
∴，，，
又∵如图2，在上，，，
∴，
，
当时，如图，设交于点，交于点，则，
此时遮阳区的面积为的面积，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴当时，随的增大而增大，的值从增大到；
当时，如图，设交于点，则，，，
此时遮阳区的面积为四边形的面积，
∵，
∴四边形为梯形，
∴，
∴当时，随的增大而增大，的值从增大到；
综上所述，从初始起右移至图3情形的过程中，随的增大而增大；
（2）解：如图3，此时点落在上，则，
由（1）知：当时，；
∴图3情形时，，；
（3）解：当时，如图，设向右移动后得到，设交于点，交于点，交于点，则，，
此时遮阳区的面积为六边形的面积，
∴，，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴
，
∴从图3情形起右移至与重合，该过程中关于的解析式为；
（4）
【知识点】平行四边形的性质；解直角三角形；一次函数的性质；几何图形的面积计算-割补法；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】（4）解：当时，，
当时，的最大值为：；
当时，，
当时，的最大值为：；
当时，，
∵
∴当时，的最大值为：，
综上所述，当时，取得最大值，最大值为，
∴当遮阳区面积最大时，向右移动了．
【分析】（1）根据矩形，平行四边形性质可得，，，再根据正切定义可得，根据边之间的关系可得，根据平行四边形面积可得，分情况讨论：当时，设交于点，交于点，则，此时遮阳区的面积为的面积，根据直线平行性质可得，，根据正切定义可得，再根据三角形面积可得，根据二次函数性质即可求出答案；当时，如图，设交于点，则，，，此时遮阳区的面积为四边形的面积，根据梯形判定定理可得四边形为梯形，再根据梯形面积可得，根据一次函数性质即可求出答案.
（2）此时点落在上，则，由（1）知：当时，，即可求出答案.
（3）当时，如图，设向右移动后得到，设交于点，交于点，交于点，则，，此时遮阳区的面积为六边形的面积，根据直线平行性质可得，，再根据正切定义可得，，根据，结合平行四边形及三角形面积即可求出答案.
（4）分情况讨论：当时，，当时，，当时，，结合二次函数及一次函数性质即可求出答案.
1 / 1专题12 二次函数的应用-2025年精选中考数学真题分类汇编
一、选择题
1．（2025·武威）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（　　）
A．3m B．2.75m C．2m D．1.75m
2．（2025·山东）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度厘米天和光照强度勒克斯之间存在一定关系．在低光照强度范围内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（　　）
A．当时，随的增大而减小
B．当时，有最大值
C．当时，
D．当时，
二、填空题
3．（2025·连云港）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y=a（×-3）2+2.5运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6m，则铅球掷出的水平距离OB为　 　m.
三、解答题
4．（2025·武汉）某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动.
【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直.
【收集数据】某次羽毛球飞行的高度y(单位：m)与距发球点的水平距离x(单位：m)的对应值如下表(不考虑空气阻力).
水平距离x/m 0 2 3 5 6 …
竖直高度y/m 1.1 2.3 2.6 2.6 2.3 …
【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线(如图)，发现羽毛球飞行路线是抛物线 y=ax2+kx+1.1的一部分.
【建立模型】求y与x的函数解析式(不要求写自变量取值范围).
【应用模型】
（1）羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到2.8m 请说明理由.
（2）保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，改变发球方式，使其解析式变为y=ax2+kx+1.1发球点与球网的水平距离是5m.若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过2.1m，且球的落地点与球网的水平距离小于6m.求k的取值范围.
5．（2025·广东）如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7km，主塔高0.27km，主缆可视为抛物线，主缆垂度0.1785km，主缆设低处距离桥面0.0015km，桥面距离海平面约0.09km.请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式.
6．（2025·贵州）用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计）
（1）如图②，当时，若点坐标为，求抛物线的表达式；
（2）在（1）的条件下，若，在水面上有一个截面宽，高的矩形的障碍物，点的坐标为，判断此时石块沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由；
（3）小星在抛掷石块时，若的顶点需在一个正方形区域内（包括边界），且点在和之间（包括这两点），其中，求的取值范围．（在抛掷过程中正方形与拋物线在同一平面内）
7．（2025·辽宁）为方便悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立柱．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下：
活动主题 为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱
活动准备 1．去学校档案馆查阅框架结构的图纸； 2．准备皮尺等测量工具．
采集数据 图1是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图，信息如下： 1．大门形状为矩形（矩形）； 2．底部跨度（的长）为 ；3．立柱的长为，且，垂足为．
设计方案 考虑实用和美观等因素，在间增加两根与垂直的立柱，垂足分别为，立柱的另一端点在抛物线形框架结构上，其中．
确定思路 小组成员经过讨论，确定以点为坐标原点，线段所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．点的坐标为（0，2），设抛物线的表达式为，分析数据得到点或点的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达式求出增加立柱的长度，从而解决问题．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）求抛物线的表达式；
（2）现有一根长度为的材料，如果用它制作这两根立柱，请你通过计算，判断这根材料的长度是否够用（因施工产生的材料长度变化忽略不计）
8．（2025·新疆维吾尔自治区）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由．
9．（2025·连云港）一块直角三角形木板，它的一条直角边BC长2m，面积为1.5m2.
（1）甲、乙两人分别按图1、图2用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积较大；
（2）丙、丁两人分别按图3、图4用它设计一个长方形桌面.请分别求出图3、图4中长方形的面积y（m2）与DE的长x（m）之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值
10．（2025·深圳）【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系
【研究条件】
条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数；
条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人.
【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x之间满足关系式：
结合上述信息，请完成下述问题：
（1） 若开设 3 条安检通道， 安检时间为 x 分钟， 则已入场人数为　 　 (用 x 表示)， 若排队人数为 w， 则 w 与 x 的函数表达式　 　.
（2）【模型应用】 在(1)的条件下， 当安检时间在几分钟时， 排队人数达到最大值 最大值为多少
（3）已知该演出主办方要求：
①排队人数在 10 分钟内 (包含 10 分钟) 减少；
②尽量少安排安检通道，以节省开支.
若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由
【总结反思】
函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量(如突发情况、安检流程优化等)进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性.
11．（2025·内江） 2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元．
（1）求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别的多少元？
（2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？
（3）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值．
12．（2025·达州） 为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件．
（1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是　 　件；
（2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元；
（3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
13．（2025·南充）学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题.
材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A 型客车比每辆B型客车多载客15人；用A 型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同.
材料二 A 型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆.优惠方案：租用A 型客车m辆，租车费用（3200-50m）元/辆；租用B型客车，租车费用打八折.
材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆.
（1）A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少
（2）本次研学活动学校的最少租车费用是多少
14．（2025·江西）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究．
探究1
（1）对一次函数进行探究后，得出下列结论：
①是“不动点函数”，且只有一个不动点；
②是“不动点函数”，且不动点是；
③是“不动点函数”，且有无数个不动点．
以上结论中，你认为正确的是 ▲ （填写正确结论的序号）．
（2）若一次函数是“不动点函数”，请直接写出k，b应满足的条件．
（3）探究2
对二次函数进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式．
（4）探究3
某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件元出售，可卖出件，获得利润元．请写出关于的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义．
15．（2025·青岛）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米的点将球击出．
信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，．
信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下：
（秒） 0 0.4 0.6 …
（米） 0 4 6 …
（1）求与的函数关系式；
（2）网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？
（3）当为秒时，小明将球击回、球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为，纵坐标大于等于时，的取值范围为　 　（直接写出结果）．
16．（2025·广州）某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题．
发现问题确定目标 涉水线设置 限高架设置
数学抽象绘制图形 隧道及斜坡的侧面示意图，可近似如图2所示． 图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成．
信息收集资料整理 当隧道内积水的水深为0.27米时，（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．
实地考察数据采集 斜坡的坡角为，并查得：， ， ． 隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米．
问题解决：
（1）如图2，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米）；
（2）在图3中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
（3）限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精确到米）．
17．（2025·陕西） 某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于所在直线对称．，，为框架，点，在上，点，分别在，上，，，．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）已知抛物线的函数表达式为，，求的长．
18．（2025·广西）综合与实践
树人中学组织一次“爱心义卖”活动．九（5）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形（如图1）
初始时，矩形义卖区与遮阳伞投影的平面图如图2所示，在上，，，，，，由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞．在移动过程中，也随之移动（始终在边所在直线上），且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状．如图3为移动到落在上的情形．
【问题提出】
西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时的位置．
设遮阳区的面积为，从初始时向右移动的距离为．
（1）【直观感知】从初始起右移至图3情形的过程中，随的增大如何变化？
（2）【初步探究】求图3情形的与的值；
（3）【深入研究】从图3情形起右移至与重合，求该过程中关于的解析式；
（4）【问题解决】当遮阳区面积最大时，向右移动了多少？（直接写出结果）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】
解：由 可得：
∵-1
∴当x=1肘，y取最大值，最大值为，即2.75米，
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的最大高度的应用，把函数解析式化为，由-1可得当x=1肘，y取最大值，解答即可.
2．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用；二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：观察图象知，直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，则抛物线对称轴为，由于抛物线开口向下，则当时，随的增大而减小；当，有最大值；当时，；由于，则直线与抛物线有两个交点，即或与；
故答案为：B.
【分析】A、观察图象知，抛物线与直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，即抛物线上两点 与关于对称轴对称，则对称轴为直线，由于抛物线开口向下，则在对称右侧，即当时随的增大而减小；B、由于抛物线开口向下，则当时，有最大值 ；C、观察图象知，当时，对应在自变量的取值范围为；D、由于在对称轴左侧，即时，随的增大而增大，因为，所以直线与抛物线也有两个交点，即的值应该有两个，且到对称轴的距离相等.
3．【答案】8
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：∵OA=1.6
∴点A（0，1.6）
∴ a（0-3）2+2.5 =1.6
解之：
∴，
当y=0时，
解之：x1=8，x2=-2（舍去）
∴铅球掷出的水平距离OB为8m.
故答案为：8.
【分析】利用OA的长，可得到点A的坐标，将点A的坐标代入函数解析式，求出a的值，可得到的函数解析式，再求出y=0时的x的值，可得到OB的长.
4．【答案】（1）解：把，代入得：
，
解得
∴，
∴，
∴当x=4时，y有最大值，最大值为2.7，
∴，
∴羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度不能达到2.8m；解答：
（2）解：∵保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，
∴，
∴解析式为，
当时，，
解得；
∵球的落地点与球网的水平距离小于6，
∴当时，，
解得，
∴k的取值范围为.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点，代入抛物线解析式可得，将x=4代入解析式求出y值，再比较大小即可求出答案.
（2）由题意可得解析式为，将x=5，x=11分别代入解析式，建立不等式，解不等式即可求出答案.
5．【答案】解：如图所示建立平面直角坐标系
设抛物线的解析式为
由题意可知： 点(0.85，0.18)和点(0，0.0015)在函数图象上，
代入得：
解得：
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】 【分析】 以主缆最低点（设低处）为原点，平行桥面水平方向为x轴，竖直向上为y轴建系。
由主缆垂度0.1785km，主缆设低处距离桥面0.0015km，可得一点（0，0.0015）；
由主跨长1.7km，主塔高0.27km， 桥面距离海平面约0.09km ，可得两点（0.85，0.18）和（-0.85，0.18）；
将点(0.85，0.18)和点(0，0.0015)代入 抛物线可以解得抛物线表达式为y= 。
6．【答案】（1）解：∵当时，
∵点坐标为
∴
∴
∴抛物线的表达式为.
（2）解：不能，理由如下：
∵，点坐标为
∴
∴
∵点的坐标为，
∴
∴将代入
∴此时石块沿抛物线运动时不能越过障碍物.
（3）解：∵正方形，
∴
∴如图所示，
∵抛物线开口向下
∴
∵越小开口越大，越大开口越小，点在和之间（包括这两点）
∴由图象可得，当抛物线顶点为点M，且经过点时，开口最大，此时a最大
∴设的表达式为
将代入得，
解得；
∴由图象可得，当抛物线顶点为点P，且经过点时，开口最小，此时a最小
∴设的表达式为
将代入得，
解得；
∴的取值范围为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）已知抛物线系数、和点坐标，代入解析式求，确定表达式.
（2）先由长度求坐标，确定表达式；再根据障碍物坐标，代入求对应值，与障碍物高度比较.
（3）先确定正方形顶点，根据抛物线开口方向（ ），结合顶点在正方形内、点的范围，分别求顶点在（开口最大 ）和（开口最小 ）时的值，确定取值范围.
7．【答案】（1）解：∵AD=8，OA=OD=4，
∴A（-4，0），
设抛物线的表达式为，
∵抛物线过点A，
∴0=16a+2，
∴，
∴；
（2）解：∵OM1=OM2=3，
∴N1，N2关于y轴对称，
∵，
∴当x=3时，，
∴，
∵，
∴这根材料的长度够用．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）求出A点坐标，代入函数解析式，进行求解即可；
（2）求出N1的坐标，进而求出M1N1的长，进行判断即可．
8．【答案】（1）解：由题意得，顶点为，即（6，8），
设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣6）2+8（a≠0），
代入点（12，0）得a（12﹣6）2+8＝0，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：能安全通过，理由如下：
如图，
由题意得：，
将x＝2代入，
则，
∵，
∴能安全通过．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣6）2+8（a≠0），根据待定系数法将点（12，0）代入解析式即可求出答案.
（2）由题意可得，将x=2代入解析式可得y值，再比较大小即可求出答案.
9．【答案】（1）解：∵Rt△ABC中，，面积为，
∴及
解之：，
；
设正方形的边长为xm，
图1，∵正方形DCFE，
∴DE∥CF，∠ADE=∠EFB=90°，
∴∠AED=∠B，
∴，
∴，即，
解得.
由图2知，RtDECRtABC，得，即，
所以.，
由，得，即，解得.
因为，所以图1的正方形面积较大
（2）解：在图3中，由，
得，则，，
所以长方形的面积，
当时，长方形的面积有最大值为.
在图4中，由Rt，得，所以，由Rt，得，则，所以长方形的面积，当时，长方形的面积有最大值为
【知识点】勾股定理；相似三角形的实际应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用三角形的面积公式求出AC的长，再利用勾股定理求出AB的长；设正方形的边长为xm，图1：利用正方形的性质可证得DE∥CF，∠ADE=∠EFB=90°，利用平行线的性质可推出∠AED=∠B，可证得△ADE∽△ACB，利用相似三角形的性质可求出x的值；图2：利用相似三角形的性质可得到DC与DE的比值，可表示出DC，AD的长，易证△ADG∽△ABC，利用相似三角形的性质，可得到关于x的方程，解方程求出x的值；然后比较大小，可作出判断.
（2）图3：易证△ADE∽△ACB，利用相似三角形的性质可表示出AD，DC的长，利用长方形的面积公式可得到y关于x的函数解析式，利用二次函数的性质，可求出长方形面积最大时x的值；图4：易证△ADE∽△ACB，利用相似三角形的性质可表示出AD，DC的长，再证明△ADG∽△ABC，可表示出DG的长；由此可得到y关于x的函数解析式，再利用二次函数的性质可求出长方形面积最大时x的值.
10．【答案】（1）18x；
（2）解：由(1)知
∴当时，
（3）解：设开了m条通道则：
∴对称轴为
若按照①的方式理解：
∵排队人数10分钟（包括10分钟）内减少
，即：
又∵最多开通9条
∴
∵m为正整数
∴m最小值为7
∴最少开7条通道
【知识点】二次函数的最值；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：(1) 平均每条通道每分钟可安检6人，故3条安检通道的入场人数为18x，
排队人数w=y-18x=，即
【分析】(1) 由平均每条通道每分钟可安检6人，可知3条通道x分钟通过的人数；由w=y-18x可得w与x的函数关系；
(2)由(1)中的二次函数关系，可知当x=21时，w取最大值；
(3)设开通m条通道，可得关于m的不等关系，可得m的取值范围，即可得m的最小值.
11．【答案】（1）解：设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，
由题意得，
解得
答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元；
（2）解：设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品(400-m)个，
由题意得，40(400-m)+20m≤12000，
解得m≥200，
∴m的最小值为200，
答：至少需要购进B款纪念品200个；
（3）解：由题意得，W=(a-40)[200-5(a-60)]
=(a-40)(200-5a+300)
=(a-40)(500-5a)
=500a-20000-5a2+200a
=-5(a-70)2+4500，
∵-5<0，60≤a≤100，
∴当a-70=0，即a=70时，W最大，最大值为4500．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，根据单价乘以数量等于总价及“ 购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元 ”列出关于字母a、b的二元一次方程组，求解即可；
（2）设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品(400-m)个，根据单价乘以数量等于总价及购进m个B款纪念品的费用+购进(400-m)个A款纪念品的费用不超过12000元，列出不等式，求出m的最小整数解即可；
（3）每一个A款纪念品的利润为(a-40)元，可销售A款纪念品的数量为[200-5(a-60)]个，根据每个A款纪念品的利润乘以销售数量等于总利润建立出w关于a的函数关系式，然后根据所得函数的性质求解即可.
12．【答案】（1）
（2）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，
根据题意可得： (40-30-x)(60+10x)=630，
解得：
∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元.
（3）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，
则 )，
当x=2时， W取最大值为640元，此时销售价为38元，
故售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元.
【知识点】二次函数的最值；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）原来每天售出60件，再加上多售出的10x即可得到答案；
（2）根据单件利润×销量=总利润，列方程求解即可；
（3）根据单件利润×销量=总利润，可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可．
13．【答案】（1）解：设A 型客车每辆载客量为x人，由题意得：
解之得：x=60.
经检验： x=60是方程的根.
∴B型客车每辆载客量为：60-15=45（人），
答：A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人；
（2）解：设租A型客车m辆， B型客车(10-m) 辆，租车总费用w， 则
60m+45(10-m)≥530
解之得
w=(3200-50m)m+3000×0.8×(10-m)
=-50（m-8）2+27200
∵ 对称轴为m=8，a=-50＜0，
∴ m≤8时， w随着m的增大而增大.
∵m取正整数，且
∴当m=6时， w最小值为27000(元).
∴本次研学活动学校最少租车费用为27000元.
【知识点】分式方程的实际应用；二次函数的最值；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【分析】（1）设A 型客车每辆载客量为x人，根据题中的相等关系“A 型客车载客600人的车辆数=用B型客车载客450人的车辆数”可列关于x的分式方程，解这个方程并检验即可求解；
（2）设租A型客车m辆， B型客车(10-m) 辆，租车总费用w，根据题意“ 学校参加研学活动师生共有530人”列关于m的不等式，解不等式可得m的范围；根据租车总费用w=m辆A型车的费用+(10-m)辆B型车的费用可得w与m之间的函数关系式，根据二次函数的性质即可求解.
14．【答案】（1）③
（2）解：把(m，m)代入得m=km+b，
整理得(1-k)m=b，
当时，，m为任意实数，故是“不动点函数”；
当且时，为任意实数，m=，故是“不动点函数”
（3）方法一
由二次函数，可得：顶点坐标为，
抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，
，
即．
方法二
由二次函数，可得：对称轴为直线，
抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，
顶点坐标为，
，
即
（4）据题意，得，
即．
令，即．
解得，
该函数是“不动点函数”．
不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】①把(m，m)代入y=x+2得m=m+2，无解，原说法错误；
②把(m，m)代入y=-3x+2得m=-3m+2，解得m=，故不动点为，原说法错误；
③把(m，m)代入y=x得m=m，m为全体实数，则是“不动点函数”，且有无数个不动点，说法正确；
故答案为：③；
【分析】（1）把(m，m)代入函数解析式，求出m值，然后根据“不动点函数”的定义判断即可；
（2）把(m，m)代入整理为(1-k)m=b，然后分情况讨论解答即可；
（3）得到抛物线的顶点坐标，再根据不动点的定义解答即可；
（4）根据利润=单利润×销售量列函数关系式，根据“不动点函数”的定义求出x值即可解答即可.
15．【答案】（1）解：∵图象经过点，，
，
解得：，
∴与的函数关系式为；
（2）解：由表格可知，
∴设球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为：，
代入得：，
解得：，
∴，
对于，，
∴开口向下，
∵对称轴为：直线
∴当时，，
此时，
解得：，
∴网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米；
（3）
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】
解：（3）由题意，当t=1.6秒时，x=101.6=16，
代入原抛物线得y=-0.05162+0.816+1.8=1.8， 即此时球的坐标为（16，1.8）
又∵新抛物线y=-0.02x2+px+m过点(16，1.8)， 得m=1.8+0.02 162-16p=6.92-16p，
∴抛物线为y=-0.02x2+px+6.92-16p.
又∵当x=2时，y≥1.8，
∴-0.0222+2p+6.92-16p≥ 1.8.
∴
故答案为： p≤0.36.
【分析】(1)根据待定系数法求函数解析式：把点，带入解析式计算即可解答；
（2）观察表格可知，设球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为：，代入点的坐标即可得到，对于根据函数的性质得到当时，y的最小值为5，此时，计算即可解答；
（3）先求出球得坐标为（16，1.8），再代入新抛物线解析式得到m=6.92-16p，再根据题意网球所在点的横坐标为，纵坐标大于等于；列式计算即可解答.
16．【答案】（1）解：如图，过点M作，
∵斜坡的坡角为，隧道内积水的水深为0.27米，
∴，
∵，，
在中，，
∴，
∴（米）；
（2）解：如图所示：以点为坐标原点，建立平面直角坐标系：
依题意，设抛物线的解析式为，
∵隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．
∴，
把代入，
得，
∴，
∴；
（3）解：∵车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米．必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．
∴，
∴当时，，
则，
∴，
∵限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），
∴（米）
∵涉及安全问题，
∴（米）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题；已知正弦值求边长
【解析】【分析】（1）过点M作，由题意可得，再根据正弦定义即可求出答案.
（2）以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为，由题意可得，再根据待定系数法将点B坐标代入解析式即可求出答案.
（3）由题意将x=4代入解析式可得，根据边之间的关系看可得GH，再作差求出h即可.
17．【答案】（1）解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的函数表达式为，
∵，
∴结合二次函数的对称性得，
将代入，
得
则，
∴；
（2）解：由（1）得抛物线的函数表达式，
∵，，．，且抛物线的函数表达式为，
∴，
整理得，
∴，
∴，
解得，
∴
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）根据题意可得抛物线的顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为，结合二次函数的对称性得，根据待定系数法将点C坐标代入解析式即可求出答案.
（2）由（1）得抛物线的函数表达式，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
18．【答案】（1）解：∵四边形是矩形，四边形是平行四边形，，，，在边所在直线上，
∴，，，
又∵如图2，在上，，，
∴，
，
当时，如图，设交于点，交于点，则，
此时遮阳区的面积为的面积，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴当时，随的增大而增大，的值从增大到；
当时，如图，设交于点，则，，，
此时遮阳区的面积为四边形的面积，
∵，
∴四边形为梯形，
∴，
∴当时，随的增大而增大，的值从增大到；
综上所述，从初始起右移至图3情形的过程中，随的增大而增大；
（2）解：如图3，此时点落在上，则，
由（1）知：当时，；
∴图3情形时，，；
（3）解：当时，如图，设向右移动后得到，设交于点，交于点，交于点，则，，
此时遮阳区的面积为六边形的面积，
∴，，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴
，
∴从图3情形起右移至与重合，该过程中关于的解析式为；
（4）
【知识点】平行四边形的性质；解直角三角形；一次函数的性质；几何图形的面积计算-割补法；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】（4）解：当时，，
当时，的最大值为：；
当时，，
当时，的最大值为：；
当时，，
∵
∴当时，的最大值为：，
综上所述，当时，取得最大值，最大值为，
∴当遮阳区面积最大时，向右移动了．
【分析】（1）根据矩形，平行四边形性质可得，，，再根据正切定义可得，根据边之间的关系可得，根据平行四边形面积可得，分情况讨论：当时，设交于点，交于点，则，此时遮阳区的面积为的面积，根据直线平行性质可得，，根据正切定义可得，再根据三角形面积可得，根据二次函数性质即可求出答案；当时，如图，设交于点，则，，，此时遮阳区的面积为四边形的面积，根据梯形判定定理可得四边形为梯形，再根据梯形面积可得，根据一次函数性质即可求出答案.
（2）此时点落在上，则，由（1）知：当时，，即可求出答案.
（3）当时，如图，设向右移动后得到，设交于点，交于点，交于点，则，，此时遮阳区的面积为六边形的面积，根据直线平行性质可得，，再根据正切定义可得，，根据，结合平行四边形及三角形面积即可求出答案.
（4）分情况讨论：当时，，当时，，当时，，结合二次函数及一次函数性质即可求出答案.
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