专题14 三角形基础与全等三角形-2025年精选中考数学真题分类汇编
一、选择题
1．（2025·南充）如图，把含有60°的直角三角板斜边放在直线l上，则∠α的度数是（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
2．（2025·山西）如图，小谊将两根长度不等的木条AC，BD的中点连在一起，记中点为O，即AO=CO，BO=DO.测得C，D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A，B两点之间的距离.图中△AOB与△COD全等的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．HL
3．（2025·东营）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点B处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点C处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在C处时距离地面的高度是（ ）．
A． B． C． D．
4．（2025·青海）工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取 OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，即CM=CN，过角尺顶点 C的射线 OC便是∠AOB的平分线，这种做法的依据是( )
A．AAS B．SAS C．SSS D．ASA
5．（2025·威海）我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．下列条件中，不能判断四边形ABCD是筝形的是（ ）
A．BO＝DO，AC⊥BD B．∠DAC＝∠BAC，AD＝AB
C．∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BCA D．∠ADC＝∠ABC，BO＝DO
6．（2025·凉山州）如图，，，点在上，，，则的度数为
A． B． C． D．
7．（2025·黑龙江）如图，在中，，点D、E分别在边AB和BC上，且，，连接DE，点M、N分别是AC、DE的中点，连接MN，则MN的长度为（ ）
A． B． C．2 D．
8．（2025·白银）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，点D为边AB的中点.动点P从点A出发，沿边AC→CB方向匀速运动，运动到点B时停止.设点P的运动路程为x，△APD的面积为y，y与×的函数图象如图2所示，当点P运动到CB的中点时，PD的长为（ ）
A．2 B．2.5 C． D．4
二、填空题
9．（2025·河北）平行四边形的一组邻边长分别为3，4，一条对角线长为．若为整数，则的值可以为 ．（写出一个即可）
10．（2025·德阳）△ABC在平面直角坐标系中，已知A(1，0)，B(3，0)，如果△ABC的面积为1，那么点C的坐标可以是 .(只需写出一个即可)
11．（2025·东营）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ．
三、解答题
12．（2025·苏州）如图，C是线段AB 的中点，.
（1）求证：
（2） 连接HE，若 求 DE 的长.
13．（2025·福建）如图，点E，F分别在AB，AD的延长线上， 求证：
14．（2025·陕西） 如图，点是的边延长线上一点，，，．求证：．
15．（2025·南充）如图， 在五边形ABCDE中， AB=AE， AC=AD， ∠BAD=∠EAC.
（1）求证： △ABC≌△AED.
（2）求证： ∠BCD=∠EDC.
16．（2025·武汉）如图，四边形ABCD的对角线交于点O，AD∥BC.若 ▲ ，则AD=CB
从①OA=OC，②∠ABC=∠CDA，③AB=CD这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由.
17．（2025·吉林）如图，在矩形ABCD中，点E，F在边BC上，连接AE，DF，∠BAE＝∠CDF．
（1）求证：△ABE≌△DCF．
（2）当AB＝12，DF＝13时，求BE的长．
18．（2025·河北）如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，．
（1）求证：；
（2）若，求证：．
19．（2025·山东）在中，，，的平分线交于点．
如图．
（1）求的度数；
（2）已知，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，交的延长线于点如图，求的长．
20．（2025·东营）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，M，N分别在边上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．
（1）【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，连接．用等式写出线段的数量关系 ．
（2）【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点M，N分别在正方形的边的延长线上，，连接，用等式写出线段的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点N，M分别在边上，，用等式写出线段的数量关系，并说明理由．
21．（2025·青岛）【定义新运算】
对正实数，，定义运算“”，满足．
例如：当时，．
（1）当时，请计算： ；
【探究运算律】
对正实数，，运算“”是否满足交换律？
，
，
．
运算“”满足交换律．
（2）对正实数，，，运算“”是否满足结合律？请说明理由；
（3）【应用新运算】
如图，正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，，，且．若正方形与正方形的面积分别为26和16，则的值为 ．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：由题意得：
∠α=90°+60°=150°.
故答案为：D.
【分析】根据三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”可求解.
2．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-SAS；对顶角及其性质
【解析】【解答】解： ∵AO=CO，BO=DO，
∴△AOB△COD(SAS)
故答案为：B.
【分析】根据对顶角的性质得到，再结合AO=CO，BO=DO，即可利用SAS判定两个三角形全等，解答即可.
3．【答案】A
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；线段的和、差、倍、分的简单计算；异侧一线三垂直全等模型；余角
【解析】【解答】解：如图，过点C作CE⊥OA于点E，则OEC=90°， BOC= 90° ，
BOD+COE = 90 ，
由题意可知，OA=OB =OC=2m，BD=1.6m， DF=1.3m， BD⊥OA，
∴BDO =90，
∴OD=
∴OF=OD+DF =1.2+1.3=2.5(m) ，
∵BDO=OEC = 90，
∴BOD +OBD= 90 ，
∴COE=OBD，
在OBD和 COE中，
∴OBDCOE(AAS)，
∴OE = BD=1.6m
∴EF =OF-OE =2.5-1.6= 0.9(m)，
即小丽在C处时距离地面的高度是0.9m.
故答案为：A.
【分析】 过点C作CE⊥OA于点E， 由题意可知，OA=OB=OC=2m， BD=1.6m， DF=1.3m， BD⊥OA，再由勾股定理得OD=1.2m，则OF =OD+DF=2.5m；然后利用AAS证明OBDCOE(AAS)，得OE = BD=l.6m，则EF =OF -OE =0.9m，即可解答.
4．【答案】C
【知识点】全等三角形的实际应用；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：∵在△OCM和△OCN中
∴△OCM≌△OCN(SSS)
∴∠COM=∠CON
故选：C.
【分析】由作图方法可知可先得△OCM≌△OCN，理由是边边边，即可得角平分线.
5．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：A.∵BO = DO， AC⊥BD，
∴AC是BD的垂直平分线，
∴AB=AD， CB=CD，
∴四边形ABCD是筝形，
∴ A选项不符合题意；
B.在△ACD与△ACB中，
∴△ACD≌△ACB(SAS)，
∴CD=CB，
∴四边形ABCD是筝形，
∴ B选项不符合题意；
C.在△ACD与△ACB中，
∴△ACD≌△ACB(ASA)，
∴AD=AB， CD=CB，
∴四边形ABCD是筝形，
∴C选项不符合题意；
D.由∠ADC=∠ABC， BO=DO， 不能证明四边形ABCD是筝形，
∴D选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用全等三角形的判定和性质，根据筝形的判定逐一进行判定即可.
6．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：
、
故答案为：C.
【分析】由于，则可得，再结合，可证，则，再利用三角形外角的性质及等腰三角形的性质可得，则等量代换得，再在等腰三角形ABC中应用内角和定理即可.
7．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：过点D作BC的平行线，交CN的延长线于点H，连接AH，
∵点N是DE的中点，
∴DN=EN，
∵DH∥BC，
∴∠ADH=∠B=90°，
∠DHN=∠ECN，∠HDN=∠ECN，
∴△HDN≌△CEN，
∴HD=CE=3，HN=CN，
在Rt△ADH中：AH=，
又∵M是AC的中点，
∴MN是△ACH的中位线，
∴MN=.
故答案为：A.
【分析】过点D作BC的平行线，交CN的延长线于点H，连接AH，构造全等三角形△HDN≌△CEN，将已知线段进行转化HD=CE=3，利用勾股定理求得线段AH的长度，再利用三角形中位线定理求出线段 MN 的长度。
8．【答案】A
【知识点】三角形的面积；通过函数图象获取信息；三角形的中位线定理；三角形的中线
【解析】【解答】解：根据题意，可知当点与点重合时，的面积取得最大值，最大值为4，
∵是等腰直角三角形，，为的中点，
∴，
∴，
当点运动到中点时，有是中位线，
∴
故答案为：A.
【分析】根据点的运动可知的面积先增大再减小，且当点与点重合时，的面积取得最大值为4，然后结合三角形中线的性质以及三角形面积公式求出的长，最后根据三角形中位线定理求出的长.
9．【答案】
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵平行四边形两个邻边分别长为3和4
∴它的对角线n的取值范围为4-3即为1∴n的值可以为（答案不唯一）
故答案为：（答案不唯一）
【分析】根据三角形三边关系即可求出答案.
10．【答案】(2，1)
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵ A(1，0)，B(3，0)，
∴AB=2，
又∵，
解得或，
故答案为：(2，1).
【分析】根据三角形的面积公式可得或，然后写出符合要求的点的坐标即可.
11．【答案】3
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：如图，在AC上截取AE=AN，连接ME，
∵∠BAC的平分线交BC于点D，
∴EAM=∠NAM，
在AME与AMN中
AE=AN
∠EAM=∠NAM，
AM=AM
∴AMEAMN（SAS），
∴ME=MN，
∴BM+MN=BM+MEBE，
∵BM+MN有最小值，
∴当BE是点B到直线AC的距离，即BE⊥AC时，BM+MN最小，
又AB=6，∠BAC=30°，
∴BE=3，
∴的最小值是3.
故答案为：3.
【分析】在AC上截取AE=AN，连接ME，由角平分线的定义得EAM=∠NAM，即可由SAS证明AMEAMN，再根据BM+MN有最小值，可知当BE是点B到直线AC的距离，即BE⊥AC时，BM+MN最小，再利用30直角三角形的性质计算即可解答.
12．【答案】（1）证明：∵是线段的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，是线段的中点，
∴，
由（1）得，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】（1）先根据线段中点定义以及平行线性质得，，根据全等三角形判定定理”“得证结论；
（2）先求出，根据全等三角形对应边相等得，于是证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到的长.
13．【答案】证明：∵∠CBE=∠CDF，∠ABC +∠CBE=180°，∠ADC +∠CDF=180°，
∴∠ABC=∠ADC.
在△ABC和△ADC中，
∴AB=AD.
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】
由∠CBE=∠CDF，推导出∠ABC=∠ADC，而∠ACB=∠ACD，AC=AC，即可根据“AAS”证明△ABC≌△ADC，则AB=AD.
14．【答案】证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据直线平行性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
15．【答案】（1）证明：∵ ∠BAD=∠EAC，
∴ ∠BAD--∠CAD=∠EAC--∠CAD.
∴ ∠BAC=∠EAD.
在△ABC与△AED中，
∴△ABC≌△AED. (SAS)
（2）证明：∵△ABC≌△AED，
∴ ∠ACB=∠ADE.
∵ AC=AD，
∴ ∠ACD=∠ADC.
∴ ∠ACB+∠ACD=∠ADE+∠ADC，
∴∠BCD=∠EDC
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）由角的和差可得∠BAC=∠EAD，结合已知，用边角边可求证；
（2）由（1）中的全等三角形的性质“全等三角形的对应角相等”可得∠ACB=∠ADE，由等边对等角可得∠ACD=∠ADC，然后根据角的和差即可求解.
16．【答案】解：①OA=OC，理由如下
∵AD∥BC
∴∠ODA=∠OBC
在△AOD和△COB中
∴△AOD≌△COB(AAS)
∴AD=CB
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】根据直线平行性质可得∠ODA=∠OBC，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
17．【答案】（1）证明：在矩形ABCD中，AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（ASA）；
（2）解：由（1）知：△ABE≌△DCF，
∴AE＝DF＝13，
∵AB＝12，
∴BE5．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质，利用ASA证明结论即可；
（2）根据全等可得AE＝DF＝13，然后利用勾股定理解答即可.
18．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，即
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，再根据等腰三角形性质即可求出答案.
19．【答案】（1）解：，，
，
是的平分线，
，
（2）解：由作图知是线段的垂直平分线，
，
，
，
，，
，，
，，
，
【知识点】含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先由直角三角形两锐角互余求出，再利用角平分线的概念求出，最后利用三角形外角的性质即可；
（2）先由线段垂直平分线的概念得，再由等角对等边得，再由直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半得，则可利用证明，所以，再解求出AD即可.
20．【答案】（1）
（2）解：．理由如下：
如图，在上取，连接．
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中， ，
∴，
∴．
∵，
∴．
（3）解：．理由如下：
如图，将绕点A逆时针旋转得，
∴．
∵，
∴，
∴E，D，C三点共线．
由（1）同理可得，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；旋转全等模型；半角模型
【解析】【解答】
解：（1）．理由如下：
由旋转的性质，可知，，，，
∴，
∴E，B，C三线共线．
∵，
∴．
在和中， ，
∴，
∴．
∵，
∴．
故答案为：.
【分析】(1)由旋转的性质得，，，，即可判断E，B，C三线共线，可根据SAS证明得到，再利用全等三角形性质即可解答；
(2)在上取，连接，即可由SAS判定，再用SAS证明，即可解答.
(3)如图，将绕点A逆时针旋转得，由旋转的性质得到；同（1）的方法可用SAS证明，即可解答.
21．【答案】（1）a
（2）解：对正实数，，，运算“”满足结合律，理由如下：
左边：，
右边：，
∴左边右边，
∴对正实数，，，运算“”满足结合律；
（3）
【知识点】完全平方公式的几何背景；三角形全等及其性质；勾股定理；单项式除以单项式；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】
解：(1)
故答案为：a；
（3）由题意得，∠AFB=90°，
∴AF2+BF2=AB2，
∵AF=a，BF=b，且a> b，正方形ABCD的面积为26，
∴a2+b2=26，
∵四个直角三角形全等，
∴AE=BF=b，
∴EF=AF-AE=a-b，
∵正方形EFGH的面积为16，
∴ (a-b)2=16a2+b2-2ab=16，
∴26-2ab=16，
∴ab=5，
∴ (a+b)2= (a-b)2+4ab=16+4X 5=36，
∴a+b=6 (舍负) ，
∴(2a)b(2a) = (2a)(2a)b=ab =
故答案为：；
【分析】(1)根据 定义的运算为，代入计算，再化简即可解答；
(2)根据 定义得运算为，先计算 的左边，再计算右边，观察是否相等，即可判定得到答案，解答即可；
（3）根据题意利用 正方形与正方形的面积分别为26和16 表示出ab=5，a+b=6；然后再根据 定义的运算计算出(2a)b(2a) =，再整体代值计算即可解答.
1 / 1专题14 三角形基础与全等三角形-2025年精选中考数学真题分类汇编
一、选择题
1．（2025·南充）如图，把含有60°的直角三角板斜边放在直线l上，则∠α的度数是（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：由题意得：
∠α=90°+60°=150°.
故答案为：D.
【分析】根据三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”可求解.
2．（2025·山西）如图，小谊将两根长度不等的木条AC，BD的中点连在一起，记中点为O，即AO=CO，BO=DO.测得C，D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A，B两点之间的距离.图中△AOB与△COD全等的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．HL
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-SAS；对顶角及其性质
【解析】【解答】解： ∵AO=CO，BO=DO，
∴△AOB△COD(SAS)
故答案为：B.
【分析】根据对顶角的性质得到，再结合AO=CO，BO=DO，即可利用SAS判定两个三角形全等，解答即可.
3．（2025·东营）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点B处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点C处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在C处时距离地面的高度是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；线段的和、差、倍、分的简单计算；异侧一线三垂直全等模型；余角
【解析】【解答】解：如图，过点C作CE⊥OA于点E，则OEC=90°， BOC= 90° ，
BOD+COE = 90 ，
由题意可知，OA=OB =OC=2m，BD=1.6m， DF=1.3m， BD⊥OA，
∴BDO =90，
∴OD=
∴OF=OD+DF =1.2+1.3=2.5(m) ，
∵BDO=OEC = 90，
∴BOD +OBD= 90 ，
∴COE=OBD，
在OBD和 COE中，
∴OBDCOE(AAS)，
∴OE = BD=1.6m
∴EF =OF-OE =2.5-1.6= 0.9(m)，
即小丽在C处时距离地面的高度是0.9m.
故答案为：A.
【分析】 过点C作CE⊥OA于点E， 由题意可知，OA=OB=OC=2m， BD=1.6m， DF=1.3m， BD⊥OA，再由勾股定理得OD=1.2m，则OF =OD+DF=2.5m；然后利用AAS证明OBDCOE(AAS)，得OE = BD=l.6m，则EF =OF -OE =0.9m，即可解答.
4．（2025·青海）工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取 OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，即CM=CN，过角尺顶点 C的射线 OC便是∠AOB的平分线，这种做法的依据是( )
A．AAS B．SAS C．SSS D．ASA
【答案】C
【知识点】全等三角形的实际应用；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：∵在△OCM和△OCN中
∴△OCM≌△OCN(SSS)
∴∠COM=∠CON
故选：C.
【分析】由作图方法可知可先得△OCM≌△OCN，理由是边边边，即可得角平分线.
5．（2025·威海）我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．下列条件中，不能判断四边形ABCD是筝形的是（ ）
A．BO＝DO，AC⊥BD B．∠DAC＝∠BAC，AD＝AB
C．∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BCA D．∠ADC＝∠ABC，BO＝DO
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：A.∵BO = DO， AC⊥BD，
∴AC是BD的垂直平分线，
∴AB=AD， CB=CD，
∴四边形ABCD是筝形，
∴ A选项不符合题意；
B.在△ACD与△ACB中，
∴△ACD≌△ACB(SAS)，
∴CD=CB，
∴四边形ABCD是筝形，
∴ B选项不符合题意；
C.在△ACD与△ACB中，
∴△ACD≌△ACB(ASA)，
∴AD=AB， CD=CB，
∴四边形ABCD是筝形，
∴C选项不符合题意；
D.由∠ADC=∠ABC， BO=DO， 不能证明四边形ABCD是筝形，
∴D选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用全等三角形的判定和性质，根据筝形的判定逐一进行判定即可.
6．（2025·凉山州）如图，，，点在上，，，则的度数为
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：
、
故答案为：C.
【分析】由于，则可得，再结合，可证，则，再利用三角形外角的性质及等腰三角形的性质可得，则等量代换得，再在等腰三角形ABC中应用内角和定理即可.
7．（2025·黑龙江）如图，在中，，点D、E分别在边AB和BC上，且，，连接DE，点M、N分别是AC、DE的中点，连接MN，则MN的长度为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：过点D作BC的平行线，交CN的延长线于点H，连接AH，
∵点N是DE的中点，
∴DN=EN，
∵DH∥BC，
∴∠ADH=∠B=90°，
∠DHN=∠ECN，∠HDN=∠ECN，
∴△HDN≌△CEN，
∴HD=CE=3，HN=CN，
在Rt△ADH中：AH=，
又∵M是AC的中点，
∴MN是△ACH的中位线，
∴MN=.
故答案为：A.
【分析】过点D作BC的平行线，交CN的延长线于点H，连接AH，构造全等三角形△HDN≌△CEN，将已知线段进行转化HD=CE=3，利用勾股定理求得线段AH的长度，再利用三角形中位线定理求出线段 MN 的长度。
8．（2025·白银）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，点D为边AB的中点.动点P从点A出发，沿边AC→CB方向匀速运动，运动到点B时停止.设点P的运动路程为x，△APD的面积为y，y与×的函数图象如图2所示，当点P运动到CB的中点时，PD的长为（ ）
A．2 B．2.5 C． D．4
【答案】A
【知识点】三角形的面积；通过函数图象获取信息；三角形的中位线定理；三角形的中线
【解析】【解答】解：根据题意，可知当点与点重合时，的面积取得最大值，最大值为4，
∵是等腰直角三角形，，为的中点，
∴，
∴，
当点运动到中点时，有是中位线，
∴
故答案为：A.
【分析】根据点的运动可知的面积先增大再减小，且当点与点重合时，的面积取得最大值为4，然后结合三角形中线的性质以及三角形面积公式求出的长，最后根据三角形中位线定理求出的长.
二、填空题
9．（2025·河北）平行四边形的一组邻边长分别为3，4，一条对角线长为．若为整数，则的值可以为 ．（写出一个即可）
【答案】
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵平行四边形两个邻边分别长为3和4
∴它的对角线n的取值范围为4-3即为1∴n的值可以为（答案不唯一）
故答案为：（答案不唯一）
【分析】根据三角形三边关系即可求出答案.
10．（2025·德阳）△ABC在平面直角坐标系中，已知A(1，0)，B(3，0)，如果△ABC的面积为1，那么点C的坐标可以是 .(只需写出一个即可)
【答案】(2，1)
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵ A(1，0)，B(3，0)，
∴AB=2，
又∵，
解得或，
故答案为：(2，1).
【分析】根据三角形的面积公式可得或，然后写出符合要求的点的坐标即可.
11．（2025·东营）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ．
【答案】3
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：如图，在AC上截取AE=AN，连接ME，
∵∠BAC的平分线交BC于点D，
∴EAM=∠NAM，
在AME与AMN中
AE=AN
∠EAM=∠NAM，
AM=AM
∴AMEAMN（SAS），
∴ME=MN，
∴BM+MN=BM+MEBE，
∵BM+MN有最小值，
∴当BE是点B到直线AC的距离，即BE⊥AC时，BM+MN最小，
又AB=6，∠BAC=30°，
∴BE=3，
∴的最小值是3.
故答案为：3.
【分析】在AC上截取AE=AN，连接ME，由角平分线的定义得EAM=∠NAM，即可由SAS证明AMEAMN，再根据BM+MN有最小值，可知当BE是点B到直线AC的距离，即BE⊥AC时，BM+MN最小，再利用30直角三角形的性质计算即可解答.
三、解答题
12．（2025·苏州）如图，C是线段AB 的中点，.
（1）求证：
（2） 连接HE，若 求 DE 的长.
【答案】（1）证明：∵是线段的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，是线段的中点，
∴，
由（1）得，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】（1）先根据线段中点定义以及平行线性质得，，根据全等三角形判定定理”“得证结论；
（2）先求出，根据全等三角形对应边相等得，于是证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到的长.
13．（2025·福建）如图，点E，F分别在AB，AD的延长线上， 求证：
【答案】证明：∵∠CBE=∠CDF，∠ABC +∠CBE=180°，∠ADC +∠CDF=180°，
∴∠ABC=∠ADC.
在△ABC和△ADC中，
∴AB=AD.
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】
由∠CBE=∠CDF，推导出∠ABC=∠ADC，而∠ACB=∠ACD，AC=AC，即可根据“AAS”证明△ABC≌△ADC，则AB=AD.
14．（2025·陕西） 如图，点是的边延长线上一点，，，．求证：．
【答案】证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据直线平行性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
15．（2025·南充）如图， 在五边形ABCDE中， AB=AE， AC=AD， ∠BAD=∠EAC.
（1）求证： △ABC≌△AED.
（2）求证： ∠BCD=∠EDC.
【答案】（1）证明：∵ ∠BAD=∠EAC，
∴ ∠BAD--∠CAD=∠EAC--∠CAD.
∴ ∠BAC=∠EAD.
在△ABC与△AED中，
∴△ABC≌△AED. (SAS)
（2）证明：∵△ABC≌△AED，
∴ ∠ACB=∠ADE.
∵ AC=AD，
∴ ∠ACD=∠ADC.
∴ ∠ACB+∠ACD=∠ADE+∠ADC，
∴∠BCD=∠EDC
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）由角的和差可得∠BAC=∠EAD，结合已知，用边角边可求证；
（2）由（1）中的全等三角形的性质“全等三角形的对应角相等”可得∠ACB=∠ADE，由等边对等角可得∠ACD=∠ADC，然后根据角的和差即可求解.
16．（2025·武汉）如图，四边形ABCD的对角线交于点O，AD∥BC.若 ▲ ，则AD=CB
从①OA=OC，②∠ABC=∠CDA，③AB=CD这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由.
【答案】解：①OA=OC，理由如下
∵AD∥BC
∴∠ODA=∠OBC
在△AOD和△COB中
∴△AOD≌△COB(AAS)
∴AD=CB
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】根据直线平行性质可得∠ODA=∠OBC，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
17．（2025·吉林）如图，在矩形ABCD中，点E，F在边BC上，连接AE，DF，∠BAE＝∠CDF．
（1）求证：△ABE≌△DCF．
（2）当AB＝12，DF＝13时，求BE的长．
【答案】（1）证明：在矩形ABCD中，AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（ASA）；
（2）解：由（1）知：△ABE≌△DCF，
∴AE＝DF＝13，
∵AB＝12，
∴BE5．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质，利用ASA证明结论即可；
（2）根据全等可得AE＝DF＝13，然后利用勾股定理解答即可.
18．（2025·河北）如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，．
（1）求证：；
（2）若，求证：．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，即
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，再根据等腰三角形性质即可求出答案.
19．（2025·山东）在中，，，的平分线交于点．
如图．
（1）求的度数；
（2）已知，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，交的延长线于点如图，求的长．
【答案】（1）解：，，
，
是的平分线，
，
（2）解：由作图知是线段的垂直平分线，
，
，
，
，，
，，
，，
，
【知识点】含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先由直角三角形两锐角互余求出，再利用角平分线的概念求出，最后利用三角形外角的性质即可；
（2）先由线段垂直平分线的概念得，再由等角对等边得，再由直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半得，则可利用证明，所以，再解求出AD即可.
20．（2025·东营）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，M，N分别在边上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．
（1）【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，连接．用等式写出线段的数量关系 ．
（2）【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点M，N分别在正方形的边的延长线上，，连接，用等式写出线段的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点N，M分别在边上，，用等式写出线段的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）
（2）解：．理由如下：
如图，在上取，连接．
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中， ，
∴，
∴．
∵，
∴．
（3）解：．理由如下：
如图，将绕点A逆时针旋转得，
∴．
∵，
∴，
∴E，D，C三点共线．
由（1）同理可得，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；旋转全等模型；半角模型
【解析】【解答】
解：（1）．理由如下：
由旋转的性质，可知，，，，
∴，
∴E，B，C三线共线．
∵，
∴．
在和中， ，
∴，
∴．
∵，
∴．
故答案为：.
【分析】(1)由旋转的性质得，，，，即可判断E，B，C三线共线，可根据SAS证明得到，再利用全等三角形性质即可解答；
(2)在上取，连接，即可由SAS判定，再用SAS证明，即可解答.
(3)如图，将绕点A逆时针旋转得，由旋转的性质得到；同（1）的方法可用SAS证明，即可解答.
21．（2025·青岛）【定义新运算】
对正实数，，定义运算“”，满足．
例如：当时，．
（1）当时，请计算： ；
【探究运算律】
对正实数，，运算“”是否满足交换律？
，
，
．
运算“”满足交换律．
（2）对正实数，，，运算“”是否满足结合律？请说明理由；
（3）【应用新运算】
如图，正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，，，且．若正方形与正方形的面积分别为26和16，则的值为 ．
【答案】（1）a
（2）解：对正实数，，，运算“”满足结合律，理由如下：
左边：，
右边：，
∴左边右边，
∴对正实数，，，运算“”满足结合律；
（3）
【知识点】完全平方公式的几何背景；三角形全等及其性质；勾股定理；单项式除以单项式；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】
解：(1)
故答案为：a；
（3）由题意得，∠AFB=90°，
∴AF2+BF2=AB2，
∵AF=a，BF=b，且a> b，正方形ABCD的面积为26，
∴a2+b2=26，
∵四个直角三角形全等，
∴AE=BF=b，
∴EF=AF-AE=a-b，
∵正方形EFGH的面积为16，
∴ (a-b)2=16a2+b2-2ab=16，
∴26-2ab=16，
∴ab=5，
∴ (a+b)2= (a-b)2+4ab=16+4X 5=36，
∴a+b=6 (舍负) ，
∴(2a)b(2a) = (2a)(2a)b=ab =
故答案为：；
【分析】(1)根据 定义的运算为，代入计算，再化简即可解答；
(2)根据 定义得运算为，先计算 的左边，再计算右边，观察是否相等，即可判定得到答案，解答即可；
（3）根据题意利用 正方形与正方形的面积分别为26和16 表示出ab=5，a+b=6；然后再根据 定义的运算计算出(2a)b(2a) =，再整体代值计算即可解答.
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