专题15 角平分线与线段垂直平分线-2025年精选中考数学真题分类汇编
一、选择题
1．（2025·连云港）如图，在△ABC中，BC=7，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，则△AEG的周长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（2025·辽宁）如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
3．（2025·内蒙古自治区）如图，直线，点，分别在直线，上，连接，以点为圆心，适当长为半径画弧．交射线于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点，画射线交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·眉山）如图，在四边形ABCD中，，，．按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB、AD于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线AP交BC于点G，则CG的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
5．（2025·遂宁）在中，，结合尺规作图痕迹提供的信息，求出线段的长为（ ）
A． B． C．6 D．
6．（2025·烟台）如图，在中，，，是角平分线.点从点出发，沿方向向点运动，连接，点在上，且.设，，若y关于x的函数图象过点，则该图象上最低点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2025·苏州） 如图， 以O为圆心，2为半径画弧，分别交OM，ON 于 A，B 两点，再分别以A，B为圆心， 为半径画弧，两弧在. 内部相交于点C，作射线OC，连接AC，BC，则 . （结果保留根号）
8．（2025·齐齐哈尔）如图，在□ABCD中，BC=2AB=8，.连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线EF，交AD于点M，交BC于点N，若点N恰为BC的中点，则AC的长为 .
9．（2025·兰州） 如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，交BD于点F，BE＝CE．若，则AF＝ ．
10．（2025·绥化）如图.在菱形ABCD中，AB=4，对角线BD=4，点P是边CD的中点，点M是对角线BD上的一个动点，连接PM、CM.则PM+CM的最小值是 .
11．（2025·湖南）如图，在△ABC中，BC＝6，点E是AC的中点，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，直线MN交AB于点D，连接DE，则DE的长是 ．
12．（2025·广安） 如图，在中，按以下步骤作图：(1) 以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交BC于点D；(2) 分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点F；(3) 画射线AF交BC于点E. 若，，，则AE的长为 .
13．（2025·成都）如图，在中，，，．以点A为圆心，以长为半径作弧；再以点C为圆心，以长为半径作弧，两弧在上方交于点D，连接，则的长为 ．
三、解答题
14．（2025·陕西） 如图，已知，点在边上．请用尺规作图法，在的内部求作一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法）
15．（2025·长沙） 如图， 在△ABC中， AB=AC， ∠B=72°， 以点C为圆心，适当长为半径作弧，交CA于点M，交CB于点N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点D.
（1） 求∠BCD的度数；
（2） 若BC=2.5， 求AD的长.
16．（2025·新疆维吾尔自治区）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD是对角线．
（1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作线段BD的垂直平分线，垂足为点O，与边AD，BC分别交于点E，F（要求：不写作法，保留作图痕迹，并将作图痕迹用黑色签字笔描黑）；
（2）在（1）的条件下，连接BE，DF，求证：四边形BFDE为菱形．
17．（2025·绥化）尺规作图（温馨提示：以下作图均不写作法，但需保留作图痕）
（1）【初步尝试】
如图（1），用无刻度的直尺和圆规作一条经过圆心的直线OP，使扇形OMN的面积被直线OP平分.
（2）【拓展探究】
如图（2），若扇形OMN的圆心角为30°，请你用无刻度的直尺和圆规作一条以点O为圆心的弧CD，交OM于点C，交ON于点D，使扇形OCD的面积与扇形OMN的面积比为1：4.
18．（2025·重庆市）学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行交流．现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空：
第一步：构造角平分线．
小红在的边上任取一点E，并过点E作了的垂线（如图）．请你利用尺规作图，在边上截取，过点F作的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线即为的平分线（不写作法，保留作图痕迹）．
第二步：利用三角形全等证明她的猜想．
证明：，，
．
在和中，
，
．
③ ．
平分．
19．（2025·山东）在中，，，的平分线交于点．
如图．
（1）求的度数；
（2）已知，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，交的延长线于点如图，求的长．
20．（2025·白银）如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，放称“月洞门”，其形制可追翻至汉代，但真正在美学与功能上成热于宋代，北宋建筑学家李诚编撰的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一，如图2是古人根据（营造法式》中的”五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，AB是月洞门的横跨，CD是月洞门的拱高、现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图。如图3，已知月洞门的横跨为AB，拱高的长度为a.作法如下：
①作线段AB的垂直平分线MN.垂足为D；
②在射线DM上截取DC=a
③连接AC，作线段AC的垂直平分线交CD于点O：
④以点O为圆心，OC的长为半径作.
则就是所要作的圆弧.
请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）.
21．（2025·达州） 开启作角平分线的智慧之窗
（1）问题：作的平分线
作法：甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线，工人师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上．即得为的平分线；
讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑．认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是 ；
对乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，② ；
对丙同学的作法陷入了沉思．
（2）任务：
①请你将上述讨论得出的依据补充完整；
②完成对丙同学作法的验证．
已知，求证：平分．
22．（2025·兰州） “三等分角”是两千多年来数学史上最著名的古典四大问题之一，阿基米德等数学家通过巧妙的几何作图得到了解决“三等分角”问题的特例方法．某数学兴趣小组通过折纸与尺规作图相结合的方法探究“三等分锐角”问题的解法，解决过程如下：
操作步骤与演示图形
如图①，已知一个由正方形纸片的边PK与经过顶点P的直线l1构成的锐角α．按照以下步骤进行操作： 任意折出一条水平折痕l2，l2与纸片左边交点为Q；再折叠将PK与l2重合得到折痕l3，l3与纸片左边交点为N，如图②．→折痕使点Q，P分别落在l1和l3上，得到折痕m，对应点为Q’，P’，m交l3于M，如图③④．→保持纸片折叠，再沿MN折叠，得到折痕l4的一部分，如图⑤．→将纸片展开，再沿l4折叠得到经过点P的完整折痕l4，如图⑥．→将纸片折叠使边PK与l4重合，折痕为l5，则直线l4和l5就是锐角α的三等分线，如图⑦⑧．
解决问题 ⑴请依据操作步骤与演示图形，通过尺规作图完成以下两个作图任务：（保留作图痕迹，不写作法） 任务一：在图③中，利用已给定的点Q'作出点P'； 任务二：在图⑥中作出折痕l3． ⑵若锐角α为75°，则图⑤中l2与l4相交所成的锐角是 ▲ °．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB，GF垂直平分AC，
∴AE=BE，AG=CG，
∵△AEG的周长为AE+EG+AG，
∴△AEG的周长为BE+EG+CG=BC=7
故答案为：C.
【分析】利用垂直平分线的性质可证得AE=BE，AG=CG，据此可证得△AEG的周长就是BC的长，即可求解.
2．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-ASA；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图可知，CE⊥BD，设CE，BD交于点O，则：∠BOC=∠BOE=90°，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABO=∠CBO，
在△BOC和△BOE中，
，
∴△BOC≌△BOE（ASA），
∴OC=OE，BC=BE=12，
∴BD垂直平分CE，AE=AB-BE=4，
∴DE=CD，
∴△ADE的周长为AE+DE+AD=AE+AD+CD=AE+AC=14，
故答案为：B.
【分析】先证明△BOC≌△BOE，再根据全等三角形的性质得到OC=OE，BC=BE，进而求出AE的长，然后根据垂直平分的性质得到DE=CD，进而推出△DAE的周长等于AE+AC的长即可．
3．【答案】D
【知识点】角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由作图过程可知：EG平分∠AEF，∠AEF=80°，
∴∠AEG=40°，
∵AB∥CD，
∴∠EGF=∠AEG=40°.
故答案为：D.
【分析】根据题意可知EG平分∠AEF，从而得出∠AEG=40°，再根据平行线的性质可得出GEF=∠AEG=40°.
4．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图可得∠BAG=∠DAG，
又∵AD∥BC，
∴∠DAG=∠AGB，
∴∠BAG=∠AGB，
∴BG=BA=6，
∴CG=BC-BA=10-6=4，
故答案为：A.
【分析】根据作图可得∠BAG=∠DAG，然后根据平行线可得∠DAG=∠AGB，进而得到∠BAG=∠AGB，根据等角对等边得到BG=BA=6，然后根据线段的和差解答即可.
5．【答案】A
【知识点】勾股定理；几何图形的面积计算-割补法；尺规作图-垂线；尺规作图-作角的平分线；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵在 中，
由题意可得：BG平分. 即 ，
设BG， AC交于点M， 作 于点N，如图，
则
设
即
解得： 即
则
由作图痕迹可知：
即
解得：
故答案为：A.
【分析】先根据勾股定理求出AC，设BG，AC交于点M，作 于点N，如图，利用角平分线的性质可得 利用等积法求出CM，进而可得BM， 证明 再根据相似三角形的性质求解即可.
6．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；角平分线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图所示，分别过点D、C作AB的垂线段DG、CH.
设
平分
点在抛物线上
解得：
当时，有最小值，即抛物线的顶点坐标为
故答案为：B.
【分析】由于中，，则由等腰三角形三线合一可过点C作AB的垂线段CH，设AC=a，则BC=a，由勾股定理可得，则，再由角平分线上的点到角两边距离相等可过点D作AB的垂线段DG，则CD=DG=BG，由HL可判定，则AG=AC=a，则可得；由于已知，则由三角形的外角性质可得，因为是公共角相等，则，由相似的性质可得 ，即，由于，则借助勾股定理可得CE2，则可求得CF，进而可得DF，即，则y是关于x的二次函数，此时利用待定系数法代入的坐标可得，，由于二次系数是正数，则y有最小值，即当时，有最小值，即抛物线的顶点坐标为.
7．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；尺规作图-作角的平分线；求正切值
【解析】【解答】解：如图，过点作于，
∴，
由作图可知：平分，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】过点作于，由角平分线尺规作图可知平分，得，根据含30°的直角三角形的性质得，利用勾股定理求出，然后根据正切的定义进行求解即可.
8．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定；勾股定理；线段的中点
【解析】【解答】解：连接AN，
由作图可知，MN 垂直平分AC，
∴AN=CN.
∵点N恰为BC的中点，
∴BC= 2BN=2CN ，
∵BC=2AB= 8，
∴BN=CN=AB=4，
∴ BN= AN= AB=CN=4，
∴ABN是等边三角形，∠CAN=∠ACN ，
∴BAN=ABC=ANB = 60 ，
∵CAN +ACN=ANB ，
∴CAN=ACN =ANB = 30 ，
∴BAC=BAN +CAN = 90 ，
∴AC=.
故答案为：.
【分析】连接AN，利用垂直平分线的性质和中点的定义，先证明ABN是等边三角形，得到CAN=ACN，进一步得到BAC=BAN +CAN=90 ，再根据勾股定理计算即可解答.
9．【答案】4
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接AC，CF，
∵AE⊥BC，BE=CE，
∴AE垂直平分BC，
∴AB=AC，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BC= AB=4，
∴ABC是等边三角形，
∴∠ABC =60° ，
∴∠BAE= ∠FBC =30° ，
∵BE=AB=×4=2，
∴AE=BE=×2=6，EF
∴AF=AE-EF=6-2=4.
故答案为：4.
【分析】根据菱形的性质，得BC=AB，又结合AE⊥BC，BE=CE，得出ABC是等边三角形，就可以得知∠BAE= ∠FBC =30°，利用30°角的三角形性质，即可求出AE，EF的长，进而可得AF的值，解答即可.
10．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；菱形的性质；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：如图，连接AC ，
作点P关于直线BD的对称点P‘，则PM=P'M，点P'是AD的中点，
∴PM +CM= P'M +CM≥CP'，
根据两点之间线段最短，可知PM + CM的最小值为CP'，
∵四边形ABCD是菱形，.
∴AD= AB=CD=4， AC⊥BD，DO=BD=2， AO=AC，
根据勾股定理，得AO=，
∴AC= AD=CD=4.
∵点P'是AD的中点，
∴CP'⊥AD， AP'=AD=2.
在RtACP'中，CP'=
∴PM+CM的最小值为.
故答案为：.
【分析】连接AC，根据两点之间线段最短可知PM + CM的最小值为CP'，再结合菱形的性质得
AD=AB=CD=4， AC⊥BD，DO=BD=， AO=AC，然后根据勾股定理得AO，可得AC= AD= CD=4 ，结合等腰三角形的性质得CP'⊥AD， AP'=AD=2 ，再根据勾股定理得CP'，由此解答即可.
11．【答案】3
【知识点】尺规作图-垂直平分线；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：垂直平分BA
是AB中点
是AC中点
是的中位线
故答案为：3.
【分析】由基本尺规作图过程知MN垂直平分AB，即D是AB中点，又E是AC中点，则DE是的中位线，则DE等于AB的一半.
12．【答案】12
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：连接AD，
由作图可知AF垂直平分CD，
∴AD=AC，∠AED=90°，CD=2DE，
∴∠C=∠ADC，
∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠C=2∠B，
∴∠B+∠BAD=2∠B，
∴∠B=∠BAD，
∴BD=AD=13，
∴DC=BC-BD=23-13=10，
∴DE=5，
在Rt△ADE中
故答案为：12 .
【分析】连接AD，由作图可知AF垂直平分CD，可证得AD=AC，∠AED=90°，CD=2DE，利用等边对等角可推出∠C=∠ADC，利用三角形外角的性质及已知条件可推出∠B=∠BAD，利用等角对等边可求出AD，DC的长，即可得到DE的长；然后利用勾股定理求出AE的长.
13．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SSS；尺规作图-直线、射线、线段；面积及等积变换
【解析】【解答】解：如图，连接AD，CD，
则AD=AB，CD=BC，
∴点A、C在BD的垂直平分线上，
即AC垂直平分BD，
∵，，，
∴，
又∵，
即，
故答案为：.
【分析】连接AD，CD，根据作图可得AC垂直平分BD，然后根据勾股定理求出AC长，然后根据四边形的面积求出BD长即可.
14．【答案】解：如图，点即为所求；
理由如下：
由作图可知：是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴点即为所求．
【知识点】平行线的判定；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】由作图可知：是的平分线，根据角平分线定义可得，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
15．【答案】（1）解： ∵AB=AC， ∠B=72°，
∴∠ACB=∠B=72°.
由作图可知，CD是∠ACB的角平分线，
（2）解：在△BCD中， 由三角形内角和定理得 ∠BDC=180°-∠B-∠BCD=72°，
∴∠BDC=∠B ，
∴CD=CB，
在△ACD中， ∵ ∠BDC=∠A+∠ACD， ∠ACD=36°，
∴∠A=∠BDC-∠ACD=72°-36°=36°.
∴∠A=∠ACD.
∴AD=CD.
∴AD=BC.
∵BC=2.5，
∴AD=2.5.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据等边对等角得到∠ACB的度数，然后根据作图得到CP是角平分线，根据角平分线的定义解答即可；
（2）先根据内角和定理得到∠BDC=∠B ，即可得到BC=CD，然后根据外角得到∠A=∠ACD.即可得到AD=CD，即可解答.
16．【答案】（1）解：如图，直线EF即为所求．
（2）证明：∵直线EF是线段BD的垂直平分线，
∴BE＝DE，BF＝DF，OB＝OD．
∵AD∥BC，
∴∠EDO＝∠FBO，∠DEO＝∠BFO，
∴△ODE≌△OBF（AAS），
∴DE＝BF，
∴BE＝DE＝BF＝DF，
∴四边形BFDE为菱形．
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；菱形的判定；三角形全等的判定-AAS；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线定义作图即可求出答案.
（2）根据垂直平分线性质可得BE＝DE，BF＝DF，OB＝OD，再根据直线平行性质可得∠EDO＝∠FBO，∠DEO＝∠BFO，再根据全等三角形判定定理可得△ODE≌△OBF（AAS），则DE＝BF，再根据菱形判定定理即可求出答案.
17．【答案】（1）解：作法一：如图所示
作法二：如图所示
（2）解：作法一：如图所示
作法二：如图所示
【知识点】扇形面积的计算；尺规作图-垂线；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】
[初步尝试]
经过圆心的直线平分扇形OMN的面积，因此只需根据基本作图作圆心角的角平分线或作扇形弧对应弦的垂直平分线，即可解答；
[拓展探究]
根据扇形面积公式，扇形面积之比等于扇形半径的平方之比，从而得到扇形OCD的面积与扇形OMN半径之比为1：2，只要画出OM或ON的中点即可；方法一：作扇形OMN半径ON的垂直平分线找到中点D，然后以OD为半径作弧交半径OM于点C.方法二：扇形OMN的圆心角为30°，根据含30°的直角三角形的性质，过M点作出ON的垂线，构造直角三角形，取垂线段的长度为半径，以O为圆心画弧即可解答.
18．【答案】解：第一步：作图如下：
；
第二步：证明：，，
．
在和中，
，
．
，
平分．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】根据题意先作图，再根据HL的判定方法证明，得出，最后根据全等三角形的性质求解即可.
19．【答案】（1）解：，，
，
是的平分线，
，
（2）解：由作图知是线段的垂直平分线，
，
，
，
，，
，，
，，
，
【知识点】含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先由直角三角形两锐角互余求出，再利用角平分线的概念求出，最后利用三角形外角的性质即可；
（2）先由线段垂直平分线的概念得，再由等角对等边得，再由直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半得，则可利用证明，所以，再解求出AD即可.
20．【答案】解：如图，即为所求.
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】直接根据作图步骤进行尺规作图即可.
21．【答案】（1）SSS；等腰三角形的三线合一
（2）证明： ∵∠AED=∠AOB， ∴ED∥OB， ∴∠EPO=∠BOP，
∵EP=EO， ∴∠EPO=∠EOP， ∴∠BOP=∠EOP， ∴OP平分∠AOB.
【知识点】三角形全等的判定；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-平行线
【解析】【解答】（1）甲同学：
由尺规作图的作法可知，OM=ON，MP=NP，OP=OP，
故△OMP≌△ONP，
从而OP平分∠AOB.
故依据为SSS；
乙同学：
由作图方法可知，OA=OB，OP⊥AB，
根据等腰三角形三线合一，
得OP平分∠AOB，
故答案为 ：等腰三角形的三线合一.
【分析】 （1）利用全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质解决问题即可；
（2）利用平行线的判定和性质，等腰三角形的性质证明即可．
22．【答案】解：⑴任务一：如图，点P为所求．
任务二：如图，折痕l5为所求．
⑵50.
【知识点】角的运算；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】
解：（2）
由题意可知l4，l5是∠的三等分线，
∴∠CPK =∠=x 75°= 50°，
∵l2//PK，
∴∠CDE=∠CPK= 50°，
∴l2与l4相交所成的锐角是50°；
故答案为： 50.
【分析】
(1)任务一：连接QQ'，作QQ'的垂直平分线m， 过点P作直线m的垂线，交边PK于点A，以点A为圆心，AP的长为半径作弧，交直线l3于点P'，则点P'为所求；
任务二：作出l4与PK所成夹角的角平分线，即为折痕l5；
(2)根据三等分线得到∠CPK =∠，再根据两直线平行，同位角相等，计算即可解答.
1 / 1专题15 角平分线与线段垂直平分线-2025年精选中考数学真题分类汇编
一、选择题
1．（2025·连云港）如图，在△ABC中，BC=7，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，则△AEG的周长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB，GF垂直平分AC，
∴AE=BE，AG=CG，
∵△AEG的周长为AE+EG+AG，
∴△AEG的周长为BE+EG+CG=BC=7
故答案为：C.
【分析】利用垂直平分线的性质可证得AE=BE，AG=CG，据此可证得△AEG的周长就是BC的长，即可求解.
2．（2025·辽宁）如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-ASA；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图可知，CE⊥BD，设CE，BD交于点O，则：∠BOC=∠BOE=90°，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABO=∠CBO，
在△BOC和△BOE中，
，
∴△BOC≌△BOE（ASA），
∴OC=OE，BC=BE=12，
∴BD垂直平分CE，AE=AB-BE=4，
∴DE=CD，
∴△ADE的周长为AE+DE+AD=AE+AD+CD=AE+AC=14，
故答案为：B.
【分析】先证明△BOC≌△BOE，再根据全等三角形的性质得到OC=OE，BC=BE，进而求出AE的长，然后根据垂直平分的性质得到DE=CD，进而推出△DAE的周长等于AE+AC的长即可．
3．（2025·内蒙古自治区）如图，直线，点，分别在直线，上，连接，以点为圆心，适当长为半径画弧．交射线于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点，画射线交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由作图过程可知：EG平分∠AEF，∠AEF=80°，
∴∠AEG=40°，
∵AB∥CD，
∴∠EGF=∠AEG=40°.
故答案为：D.
【分析】根据题意可知EG平分∠AEF，从而得出∠AEG=40°，再根据平行线的性质可得出GEF=∠AEG=40°.
4．（2025·眉山）如图，在四边形ABCD中，，，．按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB、AD于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线AP交BC于点G，则CG的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图可得∠BAG=∠DAG，
又∵AD∥BC，
∴∠DAG=∠AGB，
∴∠BAG=∠AGB，
∴BG=BA=6，
∴CG=BC-BA=10-6=4，
故答案为：A.
【分析】根据作图可得∠BAG=∠DAG，然后根据平行线可得∠DAG=∠AGB，进而得到∠BAG=∠AGB，根据等角对等边得到BG=BA=6，然后根据线段的和差解答即可.
5．（2025·遂宁）在中，，结合尺规作图痕迹提供的信息，求出线段的长为（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；几何图形的面积计算-割补法；尺规作图-垂线；尺规作图-作角的平分线；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵在 中，
由题意可得：BG平分. 即 ，
设BG， AC交于点M， 作 于点N，如图，
则
设
即
解得： 即
则
由作图痕迹可知：
即
解得：
故答案为：A.
【分析】先根据勾股定理求出AC，设BG，AC交于点M，作 于点N，如图，利用角平分线的性质可得 利用等积法求出CM，进而可得BM， 证明 再根据相似三角形的性质求解即可.
6．（2025·烟台）如图，在中，，，是角平分线.点从点出发，沿方向向点运动，连接，点在上，且.设，，若y关于x的函数图象过点，则该图象上最低点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；角平分线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图所示，分别过点D、C作AB的垂线段DG、CH.
设
平分
点在抛物线上
解得：
当时，有最小值，即抛物线的顶点坐标为
故答案为：B.
【分析】由于中，，则由等腰三角形三线合一可过点C作AB的垂线段CH，设AC=a，则BC=a，由勾股定理可得，则，再由角平分线上的点到角两边距离相等可过点D作AB的垂线段DG，则CD=DG=BG，由HL可判定，则AG=AC=a，则可得；由于已知，则由三角形的外角性质可得，因为是公共角相等，则，由相似的性质可得 ，即，由于，则借助勾股定理可得CE2，则可求得CF，进而可得DF，即，则y是关于x的二次函数，此时利用待定系数法代入的坐标可得，，由于二次系数是正数，则y有最小值，即当时，有最小值，即抛物线的顶点坐标为.
二、填空题
7．（2025·苏州） 如图， 以O为圆心，2为半径画弧，分别交OM，ON 于 A，B 两点，再分别以A，B为圆心， 为半径画弧，两弧在. 内部相交于点C，作射线OC，连接AC，BC，则 . （结果保留根号）
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；尺规作图-作角的平分线；求正切值
【解析】【解答】解：如图，过点作于，
∴，
由作图可知：平分，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】过点作于，由角平分线尺规作图可知平分，得，根据含30°的直角三角形的性质得，利用勾股定理求出，然后根据正切的定义进行求解即可.
8．（2025·齐齐哈尔）如图，在□ABCD中，BC=2AB=8，.连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线EF，交AD于点M，交BC于点N，若点N恰为BC的中点，则AC的长为 .
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定；勾股定理；线段的中点
【解析】【解答】解：连接AN，
由作图可知，MN 垂直平分AC，
∴AN=CN.
∵点N恰为BC的中点，
∴BC= 2BN=2CN ，
∵BC=2AB= 8，
∴BN=CN=AB=4，
∴ BN= AN= AB=CN=4，
∴ABN是等边三角形，∠CAN=∠ACN ，
∴BAN=ABC=ANB = 60 ，
∵CAN +ACN=ANB ，
∴CAN=ACN =ANB = 30 ，
∴BAC=BAN +CAN = 90 ，
∴AC=.
故答案为：.
【分析】连接AN，利用垂直平分线的性质和中点的定义，先证明ABN是等边三角形，得到CAN=ACN，进一步得到BAC=BAN +CAN=90 ，再根据勾股定理计算即可解答.
9．（2025·兰州） 如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，交BD于点F，BE＝CE．若，则AF＝ ．
【答案】4
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接AC，CF，
∵AE⊥BC，BE=CE，
∴AE垂直平分BC，
∴AB=AC，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BC= AB=4，
∴ABC是等边三角形，
∴∠ABC =60° ，
∴∠BAE= ∠FBC =30° ，
∵BE=AB=×4=2，
∴AE=BE=×2=6，EF
∴AF=AE-EF=6-2=4.
故答案为：4.
【分析】根据菱形的性质，得BC=AB，又结合AE⊥BC，BE=CE，得出ABC是等边三角形，就可以得知∠BAE= ∠FBC =30°，利用30°角的三角形性质，即可求出AE，EF的长，进而可得AF的值，解答即可.
10．（2025·绥化）如图.在菱形ABCD中，AB=4，对角线BD=4，点P是边CD的中点，点M是对角线BD上的一个动点，连接PM、CM.则PM+CM的最小值是 .
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；菱形的性质；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：如图，连接AC ，
作点P关于直线BD的对称点P‘，则PM=P'M，点P'是AD的中点，
∴PM +CM= P'M +CM≥CP'，
根据两点之间线段最短，可知PM + CM的最小值为CP'，
∵四边形ABCD是菱形，.
∴AD= AB=CD=4， AC⊥BD，DO=BD=2， AO=AC，
根据勾股定理，得AO=，
∴AC= AD=CD=4.
∵点P'是AD的中点，
∴CP'⊥AD， AP'=AD=2.
在RtACP'中，CP'=
∴PM+CM的最小值为.
故答案为：.
【分析】连接AC，根据两点之间线段最短可知PM + CM的最小值为CP'，再结合菱形的性质得
AD=AB=CD=4， AC⊥BD，DO=BD=， AO=AC，然后根据勾股定理得AO，可得AC= AD= CD=4 ，结合等腰三角形的性质得CP'⊥AD， AP'=AD=2 ，再根据勾股定理得CP'，由此解答即可.
11．（2025·湖南）如图，在△ABC中，BC＝6，点E是AC的中点，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，直线MN交AB于点D，连接DE，则DE的长是 ．
【答案】3
【知识点】尺规作图-垂直平分线；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：垂直平分BA
是AB中点
是AC中点
是的中位线
故答案为：3.
【分析】由基本尺规作图过程知MN垂直平分AB，即D是AB中点，又E是AC中点，则DE是的中位线，则DE等于AB的一半.
12．（2025·广安） 如图，在中，按以下步骤作图：(1) 以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交BC于点D；(2) 分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点F；(3) 画射线AF交BC于点E. 若，，，则AE的长为 .
【答案】12
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：连接AD，
由作图可知AF垂直平分CD，
∴AD=AC，∠AED=90°，CD=2DE，
∴∠C=∠ADC，
∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠C=2∠B，
∴∠B+∠BAD=2∠B，
∴∠B=∠BAD，
∴BD=AD=13，
∴DC=BC-BD=23-13=10，
∴DE=5，
在Rt△ADE中
故答案为：12 .
【分析】连接AD，由作图可知AF垂直平分CD，可证得AD=AC，∠AED=90°，CD=2DE，利用等边对等角可推出∠C=∠ADC，利用三角形外角的性质及已知条件可推出∠B=∠BAD，利用等角对等边可求出AD，DC的长，即可得到DE的长；然后利用勾股定理求出AE的长.
13．（2025·成都）如图，在中，，，．以点A为圆心，以长为半径作弧；再以点C为圆心，以长为半径作弧，两弧在上方交于点D，连接，则的长为 ．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SSS；尺规作图-直线、射线、线段；面积及等积变换
【解析】【解答】解：如图，连接AD，CD，
则AD=AB，CD=BC，
∴点A、C在BD的垂直平分线上，
即AC垂直平分BD，
∵，，，
∴，
又∵，
即，
故答案为：.
【分析】连接AD，CD，根据作图可得AC垂直平分BD，然后根据勾股定理求出AC长，然后根据四边形的面积求出BD长即可.
三、解答题
14．（2025·陕西） 如图，已知，点在边上．请用尺规作图法，在的内部求作一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】解：如图，点即为所求；
理由如下：
由作图可知：是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴点即为所求．
【知识点】平行线的判定；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】由作图可知：是的平分线，根据角平分线定义可得，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
15．（2025·长沙） 如图， 在△ABC中， AB=AC， ∠B=72°， 以点C为圆心，适当长为半径作弧，交CA于点M，交CB于点N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点D.
（1） 求∠BCD的度数；
（2） 若BC=2.5， 求AD的长.
【答案】（1）解： ∵AB=AC， ∠B=72°，
∴∠ACB=∠B=72°.
由作图可知，CD是∠ACB的角平分线，
（2）解：在△BCD中， 由三角形内角和定理得 ∠BDC=180°-∠B-∠BCD=72°，
∴∠BDC=∠B ，
∴CD=CB，
在△ACD中， ∵ ∠BDC=∠A+∠ACD， ∠ACD=36°，
∴∠A=∠BDC-∠ACD=72°-36°=36°.
∴∠A=∠ACD.
∴AD=CD.
∴AD=BC.
∵BC=2.5，
∴AD=2.5.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据等边对等角得到∠ACB的度数，然后根据作图得到CP是角平分线，根据角平分线的定义解答即可；
（2）先根据内角和定理得到∠BDC=∠B ，即可得到BC=CD，然后根据外角得到∠A=∠ACD.即可得到AD=CD，即可解答.
16．（2025·新疆维吾尔自治区）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD是对角线．
（1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作线段BD的垂直平分线，垂足为点O，与边AD，BC分别交于点E，F（要求：不写作法，保留作图痕迹，并将作图痕迹用黑色签字笔描黑）；
（2）在（1）的条件下，连接BE，DF，求证：四边形BFDE为菱形．
【答案】（1）解：如图，直线EF即为所求．
（2）证明：∵直线EF是线段BD的垂直平分线，
∴BE＝DE，BF＝DF，OB＝OD．
∵AD∥BC，
∴∠EDO＝∠FBO，∠DEO＝∠BFO，
∴△ODE≌△OBF（AAS），
∴DE＝BF，
∴BE＝DE＝BF＝DF，
∴四边形BFDE为菱形．
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；菱形的判定；三角形全等的判定-AAS；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线定义作图即可求出答案.
（2）根据垂直平分线性质可得BE＝DE，BF＝DF，OB＝OD，再根据直线平行性质可得∠EDO＝∠FBO，∠DEO＝∠BFO，再根据全等三角形判定定理可得△ODE≌△OBF（AAS），则DE＝BF，再根据菱形判定定理即可求出答案.
17．（2025·绥化）尺规作图（温馨提示：以下作图均不写作法，但需保留作图痕）
（1）【初步尝试】
如图（1），用无刻度的直尺和圆规作一条经过圆心的直线OP，使扇形OMN的面积被直线OP平分.
（2）【拓展探究】
如图（2），若扇形OMN的圆心角为30°，请你用无刻度的直尺和圆规作一条以点O为圆心的弧CD，交OM于点C，交ON于点D，使扇形OCD的面积与扇形OMN的面积比为1：4.
【答案】（1）解：作法一：如图所示
作法二：如图所示
（2）解：作法一：如图所示
作法二：如图所示
【知识点】扇形面积的计算；尺规作图-垂线；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】
[初步尝试]
经过圆心的直线平分扇形OMN的面积，因此只需根据基本作图作圆心角的角平分线或作扇形弧对应弦的垂直平分线，即可解答；
[拓展探究]
根据扇形面积公式，扇形面积之比等于扇形半径的平方之比，从而得到扇形OCD的面积与扇形OMN半径之比为1：2，只要画出OM或ON的中点即可；方法一：作扇形OMN半径ON的垂直平分线找到中点D，然后以OD为半径作弧交半径OM于点C.方法二：扇形OMN的圆心角为30°，根据含30°的直角三角形的性质，过M点作出ON的垂线，构造直角三角形，取垂线段的长度为半径，以O为圆心画弧即可解答.
18．（2025·重庆市）学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行交流．现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空：
第一步：构造角平分线．
小红在的边上任取一点E，并过点E作了的垂线（如图）．请你利用尺规作图，在边上截取，过点F作的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线即为的平分线（不写作法，保留作图痕迹）．
第二步：利用三角形全等证明她的猜想．
证明：，，
．
在和中，
，
．
③ ．
平分．
【答案】解：第一步：作图如下：
；
第二步：证明：，，
．
在和中，
，
．
，
平分．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】根据题意先作图，再根据HL的判定方法证明，得出，最后根据全等三角形的性质求解即可.
19．（2025·山东）在中，，，的平分线交于点．
如图．
（1）求的度数；
（2）已知，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，交的延长线于点如图，求的长．
【答案】（1）解：，，
，
是的平分线，
，
（2）解：由作图知是线段的垂直平分线，
，
，
，
，，
，，
，，
，
【知识点】含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先由直角三角形两锐角互余求出，再利用角平分线的概念求出，最后利用三角形外角的性质即可；
（2）先由线段垂直平分线的概念得，再由等角对等边得，再由直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半得，则可利用证明，所以，再解求出AD即可.
20．（2025·白银）如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，放称“月洞门”，其形制可追翻至汉代，但真正在美学与功能上成热于宋代，北宋建筑学家李诚编撰的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一，如图2是古人根据（营造法式》中的”五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，AB是月洞门的横跨，CD是月洞门的拱高、现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图。如图3，已知月洞门的横跨为AB，拱高的长度为a.作法如下：
①作线段AB的垂直平分线MN.垂足为D；
②在射线DM上截取DC=a
③连接AC，作线段AC的垂直平分线交CD于点O：
④以点O为圆心，OC的长为半径作.
则就是所要作的圆弧.
请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）.
【答案】解：如图，即为所求.
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】直接根据作图步骤进行尺规作图即可.
21．（2025·达州） 开启作角平分线的智慧之窗
（1）问题：作的平分线
作法：甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线，工人师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上．即得为的平分线；
讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑．认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是 ；
对乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，② ；
对丙同学的作法陷入了沉思．
（2）任务：
①请你将上述讨论得出的依据补充完整；
②完成对丙同学作法的验证．
已知，求证：平分．
【答案】（1）SSS；等腰三角形的三线合一
（2）证明： ∵∠AED=∠AOB， ∴ED∥OB， ∴∠EPO=∠BOP，
∵EP=EO， ∴∠EPO=∠EOP， ∴∠BOP=∠EOP， ∴OP平分∠AOB.
【知识点】三角形全等的判定；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-平行线
【解析】【解答】（1）甲同学：
由尺规作图的作法可知，OM=ON，MP=NP，OP=OP，
故△OMP≌△ONP，
从而OP平分∠AOB.
故依据为SSS；
乙同学：
由作图方法可知，OA=OB，OP⊥AB，
根据等腰三角形三线合一，
得OP平分∠AOB，
故答案为 ：等腰三角形的三线合一.
【分析】 （1）利用全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质解决问题即可；
（2）利用平行线的判定和性质，等腰三角形的性质证明即可．
22．（2025·兰州） “三等分角”是两千多年来数学史上最著名的古典四大问题之一，阿基米德等数学家通过巧妙的几何作图得到了解决“三等分角”问题的特例方法．某数学兴趣小组通过折纸与尺规作图相结合的方法探究“三等分锐角”问题的解法，解决过程如下：
操作步骤与演示图形
如图①，已知一个由正方形纸片的边PK与经过顶点P的直线l1构成的锐角α．按照以下步骤进行操作： 任意折出一条水平折痕l2，l2与纸片左边交点为Q；再折叠将PK与l2重合得到折痕l3，l3与纸片左边交点为N，如图②．→折痕使点Q，P分别落在l1和l3上，得到折痕m，对应点为Q’，P’，m交l3于M，如图③④．→保持纸片折叠，再沿MN折叠，得到折痕l4的一部分，如图⑤．→将纸片展开，再沿l4折叠得到经过点P的完整折痕l4，如图⑥．→将纸片折叠使边PK与l4重合，折痕为l5，则直线l4和l5就是锐角α的三等分线，如图⑦⑧．
解决问题 ⑴请依据操作步骤与演示图形，通过尺规作图完成以下两个作图任务：（保留作图痕迹，不写作法） 任务一：在图③中，利用已给定的点Q'作出点P'； 任务二：在图⑥中作出折痕l3． ⑵若锐角α为75°，则图⑤中l2与l4相交所成的锐角是 ▲ °．
【答案】解：⑴任务一：如图，点P为所求．
任务二：如图，折痕l5为所求．
⑵50.
【知识点】角的运算；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】
解：（2）
由题意可知l4，l5是∠的三等分线，
∴∠CPK =∠=x 75°= 50°，
∵l2//PK，
∴∠CDE=∠CPK= 50°，
∴l2与l4相交所成的锐角是50°；
故答案为： 50.
【分析】
(1)任务一：连接QQ'，作QQ'的垂直平分线m， 过点P作直线m的垂线，交边PK于点A，以点A为圆心，AP的长为半径作弧，交直线l3于点P'，则点P'为所求；
任务二：作出l4与PK所成夹角的角平分线，即为折痕l5；
(2)根据三等分线得到∠CPK =∠，再根据两直线平行，同位角相等，计算即可解答.
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