专题17 特殊三角形-2025年精选中考数学真题分类汇编

专题17 特殊三角形-2025年精选中考数学真题分类汇编
一、选择题
1．（2025·武汉）如图，在△ABC中，AB=AC，D是边AB上的点，将△BCD沿直线CD折叠，点B的对应点E恰好落在边AC上.若∠A=34°，则∠ADE的大小是(　　)
A．35° B．37° C．39° D．41°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠A=34°
∴
∵将△BCD沿直线CD折叠，点B的对应点E恰好落在边AC上
∴∠DEC=∠B=73°
∴∠ADE=∠DEC-∠A=39°
故答案为：C
【分析】根据等边对等角及三角形内角和定理可得，再根据折叠性质可得∠DEC=∠B=73°，再根据三角形外角性质即可求出答案.
2．（2025·北京市） 如图，∠MON=100°，点A在射线OM上，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交射线ON于点B.若分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点C，连接AC，则∠OAC的大小为（　　）
A．80° B．100° C．110° D．120°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：如图，连接AB，AC，BC
由作图可得，OA=OB，AC=BC=AB
∴△ABC为等边三角形
∴∠ACB=60°
∴△OAC≌△OBC(SSS)
∴
∴∠OAC=180°-∠AOC-∠ACO=100°
故答案为： B
【分析】连接AB，AC，BC，由作图可得，OA=OB，AC=BC=AB，根据等边三角形判定定理可得△ABC为等边三角形，则∠ACB=60°，再根据全等三角形判定定理可得△OAC≌△OBC(SSS)，则，，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
3．（2025·吉林）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠A＞∠ACB＞∠B，尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边BA，BC于点M，N；（2）以点C为圆心，BN长为半径画弧，交边CB于点N'；再以点N'为圆心，MN长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点M'；（3）过点M'画射线CM'交边AB于点D．下列结论错误的为（　　）
A．∠B=∠DCB B．∠BDC=90° C．DB=DC D．AD+DC＝BC
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：由作图可知
故选项A， B， C正确.
故答案为： D.
【分析】根据作图得到然后根据等角对等边和三角形的内角和定理逐项判断解答即可.
4．（2025·扬州）在如图的房屋人字梁架中，AB＝AC，点D在BC上，下列条件不能说明AD⊥BC的是（　　）
A．∠ADB=∠ADC B．∠B＝∠C C．BD=CD D．AD平分∠BAC
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵点D在BC上，保存进入下一题
∴∠ADB+∠ADC =180°，
∵∠ADB=∠ADC，
∴2∠ADC=180°，
∴∠ADC =90°，
∴AD⊥BC，
故A不符合题意；
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠B=∠C与点D所在的位置没有关系，
∴由∠B=∠C不能说明AD⊥BC，故B符合题意；
∵AB= AC， BD=CD，
∴AD⊥BC，
故C不符合题意；
∵AB= AC， AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
故D不符合题意，
故答案为： B.
【分析】由∠ADB+∠ADC=180°， 且∠ADB=∠ADC， 求得∠ADC =90°， 则AD⊥BC， 可判断A不符合题意； 由AB = AC，得∠B=∠C， 可知由∠B =∠C不能说明AD⊥BC， 可判断B符合题意； 由AB= AC，BD=CD，根据等腰三角形的“三线合一”得AD⊥BC， 可判断C不符合题意； 由AB = AC，AD平分∠BAC，根据等腰三角形的“三线合一”得AD⊥BC，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案.
5．（2025·安徽） 如图，在中，，，边AC的中点为D，边BC上的点E满足. 若，则AC的长是（　　）
A． B．6 C． D．3
【答案】B
【知识点】解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵△ABC中，AB=AC，∠A=120°，
∴∠B=∠C=（180°-∠A）=（180°-120°）=30°，
∵DE⊥AC，点D为AC的中点，
∴∠EDC=90°，AC=2DC，
即，
解之：DC=3，
∴AC=2×3=6.
故答案为：B .
【分析】利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求出∠C的度数，再利用垂直的定义和线段中点的定义可证得∠EDC=90°，AC=2DC，然后利用解直角三角形求出DC的长，即可得到AC的长.
6．（2025·天津市）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边BC相交于点，连接．若，则线段的长为（　　）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；旋转的性质；面积及等积变换
【解析】【解答】解：连接AD，∠CC'于点O
由旋转性质可得AC'=AC=4，∠AC'B'=∠ACB=90°
∴∠AC'D=90°
在Rt△AC'D和Rt△ACD中
∴Rt△AC'D≌Rt△ACD
∴C'D=CD=3
∴AD垂直平分CC'
∴CC'=2OC，AD⊥CC'
∵∠ACB=90°，AC=4，CD=3
∴
∵
∴
∴
故答案为：D
【分析】连接AD，∠CC'于点O，由旋转性质可得AC'=AC=4，∠AC'B'=∠ACB=90°，则∠AC'D=90°，再根据全等三角形判定定理可得Rt△AC'D≌Rt△ACD，则C'D=CD=3，根据垂直平分线判定定理可得AD垂直平分CC'，则CC'=2OC，AD⊥CC'，根据勾股定理可得AD，再根据三角形面积即可求出答案.
7．（2025·陕西） 如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；余角
【解析】【解答】解：∵，为边上的中线
∴
∴CD=AD=BD
∴∠B=∠BCD
∵AD=CD，DE⊥AC
∴∠ADE=∠CDE
∵∠A+∠ADE=90°，∠A+∠B=90°
∴图中与∠A互余的角共有4个
故答案为：C
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质可得CD=AD=BD，根据等边对等角可得∠B=∠BCD，根据等腰三角形性质可得∠ADE=∠CDE，再根据余角定义即可求出答案.
8．（2025·浙江）如图，在 Rt中，是边上的中线，其中，以为圆心，为半径画弧交于点，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；弧长的计算；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：是斜边AB上的中线、
故选：B.
【分析】先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得DC=DA=1，再由等边对等角得，再由三角形的外角性质可得，又由尺规作图得CD=CE，则，再由三角形内角和得，最后再应用弧长公式直接计算即可.
9．（2025·德阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿CB方向向右平移至△EGF处，使EF恰好过边AB的中点D，连接CD，若CD=1，则GE= （　　）
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】B
【知识点】平移的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵点D是AB的中点，
∴AB=2CD=2，
由平移可得EG=AB=2，
故答案为：2.
【分析】根据直角三角形的中线性质得到AB=2CD=2，然后根据平移解答即可.
10．（2025·青岛）如图，在三角形纸片中，，，将纸片沿着过点A的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点；再将纸片沿着过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点．下列结论成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】
解： C、在△ABC中，∠B=57° ，∠C=38°，
∴∠BAC=180°-57°-38°=85°，
∵△ADE是由△ABD翻折得到，
∴∠DAE= ∠DAB == 42.5°，故C错误；
A、∵△ADE是由△ABD翻折得到，∠DAE=∠DAB=42.5°，
∴∠AED=∠B=57°，
∴∠ADE= ∠ADB=180°-57°-42.5°=80.5°，
∴∠EDG=180°- ∠ADE-∠ADB=180°-80.5°X2=19°，
∵△EFG是由△EFC翻折得到，
∴∠EGF=∠C=38°，
∴ ∠EGD=180°-∠EGF=180°-38°=142° ，
在△EGD中， ∠DEG=180°-142°-19°=19° ，
∵∠EDG=∠DEG=19° ，
∴DG=EG，故A选项正确；
B、 ∵∠AED+∠DEG=57°+19°=76°，
即∠AEG=76°，
∴GE与AE不垂直，故B错误；
D、过点G作GM⊥DE交DE于点M，如图，
假设DE=2GF，
∵△EFG是由△EFC翻折得到，
∴∠EFC=∠EFG=90° ，
∵DG=EG，
∴△DGE为等腰三角形，
∵GM⊥DE，∴DM=EM，即DE=2EM，
∴GF=EM，
在Rt△EMG中，sin∠DEG = sin19°=
在Rt△EFG中，sin∠ EGF= sin38°=
∵sin19°≠sin38° ，
∴ MG≠EF，
∵EM =≠GF=，与已知不符，故D选项错误.
故答案为：A.
【分析】根据△ADE是由△ABD翻折得到可求解∠DAE的度数，由此判断C选项；根据翻折前后角度的求解，可求解∠EDG与∠DEG的度数，由“等角对等边”可判断A选项；利用角度的和差运算可求解∠AEG的度数可判断B选项；先假设结论成立，根据直角三角形中的正弦值求解边长即可判断D选项；逐一判断即可解答.
二、填空题
11．（2025·扬州）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，点F在线段DE的延长线上，且∠BFC＝90°．若AC＝4，BC＝8，则DF的长是　 　 ．
【答案】6
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵点D， E分别是边AB， BC的中点，
∴ DE是 的中位线，
在 中，E是斜边BC的中点，
则
故答案为：6.
【分析】根据三角形中位线定理求出DE，再根据直角三角形斜边上的中线的性质求出FE，进而求出DF.
12．（2025·苏州）如图，在 中， ，D是线段BC上一点（不与端点B，C重合），连接AD，以AD为边，在AD 的右侧作等边三角形ADE，线段 DE 与线段AC交于点F，则线段CF 长度的最大值为　 　.
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过点作于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当取得最小值时，取得最大值，
∴当取得最小值时，取得最小值，
∴当时，取得最小值，此时点与点重合，
∴的最小值为，
∴的最小值为，
∴的最大值为，
故答案为：.
【分析】过点作于，求出，根据含30°的直角三角形的性质得，利用勾股定理得，然后根据等边三角形的性质得，于是推出，根据相似三角形对应边成比例的性质得，接下来推出当取得最小值时，取得最大值，当取得最小值时，取得最小值，当时，取得最小值，此时点与点重合，从而依次求出，的最小值，进而求出的最大值.
13．（2025·绥化）在边长为7的等边三角形ABC中，点D在AB上，BD=2.点M是直线BC上的一个动点，连接MD，以MD为边在MD的左侧作等边三角形MND，连接BN.当△BND为直角三角形时，则CM的长是　 　.
【答案】6或8或9
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；三角形-动点问题；余弦的概念
【解析】【解答】解：过点D作DE// BC交BC于点E，
①当∠DBN= 90°时，如图(1)，
∵ △ BAC， △ DMN是等边三角形，∠DBN = 90° ，
∴∠ABC=∠DEB=∠MDN=∠BDE =60°，DM= DN，
∴△DBE是等边三角形，
∴ BD=DE= BE=2，
∠NBE=∠DBN-∠DBE= 30°，∠EDN + ∠NDB = ∠NDB + ∠MDB = 60°
∴∠EDN=∠BDM，
∴△DEN≌△DBM，
∴∠DEN=∠DBM= 180° -60°=120°，BM = NE，
∴∠BEN=∠DEN-∠DEB = 60°，
∴∠BNE= 90°，
∴NE=BE=1，即BM=1，
∴MC= BC+ BM=7+1=8，
②当∠BDN =90°时，如图(2)
同理可得 △ DEN≌ △ DBM，∠NDE =∠BDN-∠BDE=90° - 60 = 30°，
∴∠NED=∠MBD=60°，即∠DMB =∠DNE =90° ，
∴BM= BDcos60°=2x=1，
∴CM=BC- BM=6，
③当∠BND=90°时，如图(3)
同理可证△DBN≌△DEM，DE = BD=2，∠DEM =60°，
∴∠DME =∠DNB = 90°，
∴ME = DE cos60°=2x=1，
∴CM= BC- BM=6，
④当∠BDN=90°时，如图(4)
同理可证△DBN≌△DME，DE= BD= BE= 2，∠DEM= 60° ，
∴∠MDE=∠NDB=90°， BE= BC- BE=5，
∴ME==4，
∴CM =ME+ BE=9，
综上所述，CM的长是6或8或9.
故答案为：6或8或9.
【分析】题干要求△BND为直角三角形，没有指定直角，因而需要分情况讨论： 过点D作DE// BC交BC于点E，分当∠DBN= 90°时；当∠BDN =90°时；当∠BND=90°时；当∠BDN=90°时，逐个分析即可解答.
14．（2025·湖南）已知，a，b，c是△ABC的三条边长，记，其中k为整数．
（1）若三角形为等边三角形，则t＝　 　 ；
（2）下列结论正确的是　 　 ．（写出所有正确的结论）
①若k＝2，t＝1，则△ABC为直角三角形；
②若，则5＜t＜11；
③若，a，b，c为三个连续整数，且a＜b＜c，则满足条件的△ABC的个数为7．
【答案】（1）2
（2）①②
【知识点】整式的加减运算；等边三角形的性质；勾股定理的逆定理；一元一次不等式组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）是等边三角形
（2） ①若k＝2，t＝1， 则
是直角三角形
②若
则
，解得：
，解得：
，即
③若，a，b，c为三个连续整数，且a＜b＜c，
，解得
，解得
故满足条件的的值有6个，即满足条件的的个数为6个
故答案为：①②.
【分析】（1）由于等边三角形的三边相等，则，而1的任意次幂都等于1，故；
（2） ①若k＝2，t＝1，则，即三边恰好满足勾股定理，故结论正确；
②若，则，此时借助三角形三边关系定理可确定边的取值范围为，代入计算得，故结论正确；
③若，a，b，c为三个连续整数，且a＜b＜c，则，由三边关系定理可得，再结合已知可得，解得，即，则满足条件的的个数为6个，故结论错误.
15．（2025·河南）定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在中，，点为边BC上一点，若为“反直角三角形”，则BP的长为　 　．
【答案】或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】
解：当时，如图所示，分别过点A、P作，垂足分别为E、D，设，则.
，解得：
当时，如图所示，分别过点A、P作，垂足分别为E、D，设，则.
、
，解得：
故答案为：或.
【分析】由于是“反三角形”，则应分两种情况进行讨论，即当时，过点P作于点D，则，即DP=CD，此时设CD为x，则AD=5-x，由等边对等角知，则可证DP//AB，即，此时再边点A作BC的高AE，由等腰三角形三线合一知BE等于CE等于AB的一半即4，由勾股定理可得AE=3；又且是公共角，则可证，由相似比可得，则，再应用勾股定理可得关于x的一元二次方程，解方程求出x，则CP可得，再利用BP=BC-PC即可；当时，分别过点A、P作，垂足分别为E、D，设，则，此时则，即，再证，由相似比可分别求出Cd、CP，则BP可求.
16．（2025·内江） 如图，在中，，，，点、、分别是边、、上的动点，则周长的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】两点之间线段最短；垂线段最短及其应用；轴对称的应用-最短距离问题；等腰直角三角形；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，作点D关于AB、AC的对称点N、M，连接AN、AM、AD、MN、EN、FM，
∵M、N是点D关于AC、AB的对称点，
∴AN=AD=AM，∠NAB=∠BAD，∠DAC=∠MAC，EN=ED，FM=FD，
∵△DEF的周长为DE+EF+DF=NE+EF+FM≥MN，
∴当N、E、F、M四点共线时，取得最小值MN，
∵∠BAD+∠DAC=∠BAC=45°，
∴∠NAB+∠BAD+∠CAD+∠MAC=90°，
∴△AMN是等腰直角三角形，
∴MN=AM=AD，
当AD⊥BC时，AD取得最小值，即△DEF周长最小，
又∵∠B=60°，
∴ADmin=AB×sin∠B=AB×sin60°=，
∴△DEF周长最小值为.
故答案为： .
【分析】如图，作点D关于AB、AC的对称点N、M，连接AN、AM、AD、MN、EN、FM，由轴对称性质可得AN=AD=AM及EN=ED，FM=FD，∠NAB=∠BAD，∠DAC=∠MAC，则△DEF的周长为DE+EF+DF=NE+EF+FM≥MN，根据两点之间线段最短可得当N、E、F、M四点共线时，取得最小值MN；易得△AMN是等腰直角三角形，则MN=AM=AD，根据垂线段最短，当AD⊥BC时，AD取得最小值，即△DEF周长最小，进而由∠B的正弦函数及特殊锐角三角函数值可求出AD的值，此题得解.
17．（2025·自贡）如图，在平面直角坐标系中，Rt的顶点分别在轴，轴正半轴上，．以为边作等边．连接，则的最大值为　 　．
【答案】
【知识点】三角形三边关系；等边三角形的性质；勾股定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=2.
∴，
∵△BCD为等边三角形，
∴CD=BC=2，∠BCD=60°，
如图，取AC的中点E，连接OE、DE，作EF⊥CD交DC的延长线于F，
则，∠FCE=180°-∠ACB-∠BCD=30°，
∴，
∴
∴，
根据三角形三边关系可得：OD≤DE+OE，
∴
∴OD的最大值为，
故答案为：.
【分析】解直角三角形得出，由等边三角形的性质可得CD=BC=2，∠BCD=60°，取AC的中点E，连接OE、DE，作EF⊥CD交DC的延长线于F，则，∠FCE=30°，求出，，从而可得，由勾股定理可得，最后根据三角形三边关系可得OD≤DE+OE，即可得解.
18．（2025·自贡）如图，在中，，于点，．以点为圆心，的长为半径画弧，交于点．以点为圆心．的长为半径画弧．交于点，过点作，交于点；再以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，以的长为半径画弧，交于点，过点作，交于点；又以点为圆心……重复以上操作．则的长为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；探索规律-图形的递变规律；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AC=BC，CD⊥AB于点D，AB=DC=2，
∴AD=BD=1，
∴，
∵以点B为圆心，DB的长为半径画弧，交BC于点E1，
∴BE1=BD=1，
∴，
∵以点C为圆心，CE1的长为半径画弧，交CD于点D1，
∴，
∵过点D1作D1F1⊥DC，交AC于点F1，
∴AD//D1F1，
∴△CD1F1∽△CDA，
∴，即，
∴，，
∵以点F1为圆心，F1D1的长为半径画弧，交AC于点F2，
∴
∴，
∵以CF2的长为半径画弧，交DC于点D2，
∴，
∵过点D2作D2E2⊥DC，交BC于点E2，
∴∠CD1F1=∠CD2E2=90°，
∵∠F1CD1=∠D2CE2，
∴△CD22E2∽△CD1F1
∴，即
∴
同理可得：，，…，
∴，
故答案为：.
【分析】由等腰三角形的性质可得AD=BD=1，由勾股定理得出，求出，，同理可得，，…，即可得解.
三、解答题
19．（2025·长春）图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上．
（1）在图①中，是面积最大的等腰三角形；
（2）在图②中，是面积最大的直角三角形；
（3）在图③中，是面积最大的等腰直角三角形．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：如图所示，即为所求．
【知识点】等腰直角三角形；等腰三角形的概念；直角三角形的概念
【解析】【分析】(1)根据等腰三角形的定义以及题目要求画出图形即可；
(2)根据直角三角形的定义以及题目要求画出图形即可；
(3)作一个腰为 的等腰直角三角形即可.
20．（2025·福建）如图， 是等边三角形，D是AB的中点， ，垂足为 C，EF 是由CD沿CE方向平移得到的.已知EF过点A，BE交CD 于点 G.
（1）求 的大小；
（2）求证： 是等边三角形.
【答案】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∵D 是AB 的中点，
∵CE⊥BC，
∴∠BCE=90°，
（2）证明：由平移可知：CD∥EF，
∴∠EAC=∠DCA=30°，
又∵∠ECA=∠BCE-∠ACB=30°，
∴∠EAC=∠ECA，
∴AE=CE，∠AEC=120°，
又∵AB=CB，
∴BE 垂直平分AC，
由（1）知，∠GCE=60°，
∴∠EGC=60°，
∴∠GEC=∠GCE=∠EGC，
∴△CEG是等边三角形.
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】 （1）等边三角形的性质推出∠DCB=30°，垂直，得到∠BCE=90°，角的和差关系求出∠DCE的大小即可；
（2）平移得到CD∥EF，进而得到∠EAC=∠DCA=30°，角的和差关系推出∠EAC=∠ECA，进而得到AE=CE，∠AEC=120°，根据AB=CB，推出BE垂直平分AC，进而得到∠GEC=60°， 推出∠GEC=∠GCE=∠EGC，进而得到△CEG是等边三角形即可．
21．（2025·上海市）某小组对分割梯形组成等腰三角形展开研究．
（1）如图1，梯形ABCD中，AD//BC，AB丄BC，点E是AB中点，D是梯形的顶点，将△ADE绕E旋转180。得到△BFE，若AD=a，且此时DF=DC，求BC的长（用含a的代数式尝试表示）；
（2）如图2，梯形MNPQ，MN//PQ，MQ=NP，请设计一种方法，用一条直线或两条直线分割梯形为若干部分，再进行一系列的图形运动，拼成一个等腰三角形，在图2中画出图形，要求：①所得的部分不重叠，不间隙地拼；②在答题纸横线上并写出等腰三角形的腰是哪条线段；③在答题纸横线上写出这一或两条直线的顶点.（模仿1中的表述：点E是AB中点，D是梯形的顶点）
【答案】（1）解：如图1中，过点D作DH⊥BC于点H．
∵AB⊥BC，AD//BC，
∴∠A=∠ABC=90。，
∵∠DHB=90。，
∴四边形ABHD是矩形，
∴AD=BH=a，
∵E是AB的中点，
∴AE=EB，
∵∠A=∠EBF=90。，∠AED=∠FEB，
∴△AED≌△BEF(ASA)，
∴AD=FB=a，
∵DF=DC，DH⊥CF，
∴FH=HC=2a，
∴BC=BH+CH=3a；
（2）解：图形如图2所示．
方法：取MN，MQ，PN的中点J，K，T，连接JK，延长JK交PQ的延长线于点L，连接JT，延长JT交QP的延长线于点G，
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】(1)如图1中，过点D作DH⊥BC于点H，证明BG=AD=a，BH=AD=a，再证明FH=HC=2a可得结论；
(2)取MN，MO，PN的中点J，K，T，连接JK，延长JK交PO的延长线于点L，连接JT，延长JT交OP的延长线于点G即可.
22．（2025·长春）如图，在中，，，点为边的中点，点为边上一动点，连接．将线段绕点顺时针旋转得到线段．
（1）线段的长为　 　；
（2）当时，求的长；
（3）当点在边上时，求证：；
（4）当点到的距离是点到距离的2倍时，直接写出的长．
【答案】（1）
（2）解：如图，在中，，，点为边的中点，
∴，，
∵，
∴，而，
∴，
∴；
（3）证明：∵旋转，
∴，
如图，∵，，
∴，
∵，，
∴；
（4）解：的长为或.
【知识点】旋转的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—边角关系；一线三等角全等模型（钝角）
【解析】【解答】（1）解：∵在中，，，
∴；
故答案为：；
（4）解：如图，当在的左边时，结合题意可得：，，，
过作于，过作于，
∴四边形为矩形，
∴，
结合（1）可得：，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，当在的右边时，过作于，过作于，
同理：，
四边形四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
同理可得：，，
∴；
综上：的长为或.
故答案为：或.
【分析】（1）利用勾股定理解答即可；
（2）根据平行得到∠DEB=90°，然后利用余弦的定义解答即可；
（3）根据旋转的性质，利用AAS证明两三角形全等即可；
（4）分为在的左边或在的右边两种情况，过作于，过作于，证明，即可得到，然后根据勾股定理求出BE长，然后利用线段的和差解答即可.
23．（2025·辽宁）如图
（1）如图1，在与中，与相交于点，，求证：；
（2）如图2，将图1中的绕点逆时针旋转得到，当点的对应点在线段的延长线上时，与相交于点：若，求的长；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长，与的延长线相交于点，连接，求的面积．
【答案】（1）证明：∵PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB，即∠DBC=∠ACB，
在△ABC和△DCB中，
∴△ABC≌△DCB（AAS）.
（2）解：由（1）知：△ABC≌△DCB，即△ABC≌△D'C'B，
∴∠BAC=∠C'D'B，AB=D'C'=2，AC=BD'，
作AE⊥BC于点E，如图2，
∵∠ABC=60°，
∴∠BAE=30°，
∴
∴CE=BC-BE=2，
∵∠BAC=∠C'D'B，
∴AM∥C'D'，
∴△BAM∽△BD'C'，
；
（3）解：作CF⊥BN于点F，如图3，设∠BC'C=α，
由旋转的性质得BC'=BC，则∠BC'C=∠BCC'=α，
∵∠ABC=∠D'C'B=60°，∠NBC+∠BCN+∠BNC=180°，∠BC'C+∠BC'D'+∠D'C'N=180°，
∴∠BNC=120°-α，∠D'C'N=120°-α，
∴∠BNC=∠D'C'N=120°-α，
∵AM∥C'D'，
∴∠ANC=∠ACN，
∵∠ABC=60°，
∴∠BCF=30°，
∵BC=3，
∴AM：CM=4：3，
【知识点】勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）利用等边对等角求得∠DBC=∠ACB，再利用AAS证明△ABC≌△DCB即可；
（2）由题意得△ABC≌△D'C'B，得到∠BAC=∠C'D'B，AB=D'C'=2，AC=BD'，作AE⊥BC于点E，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得BE与BD'，再证明AM∥C'D'，推出△BAM∽△BD'C'，利用相似三角形的性质列式计算即可求解；
（3）设∠BC'C=α，由旋转的性质得BC'=BC，则∠BC'C=∠BCC'=α，利用三角形内角和定理以及平角的性质求得∠BNC=120°-α，∠D'C'N=120°-α，推出∠BNC=∠D'C'N=120°-α，求得AN，再求得S△ACN，然后求得AM：CM=4：3，据此求解即可．
24．（2025·苏州）两个智能机器人在如图所示的 区域工作， 直线 BD 为生产流水线，且BD 平分 的面积（即D为AC 中点）.机器人甲从点A 出发，沿A→B的方向以 的速度匀速运动，其所在位置用点 P 表示，机器人乙从点 B 出发，沿B→C→D的方向以 的速度匀速运动，其所在位置用点 Q 表示.两个机器人同时出发，设机器人运动的时间为t（min），记点P到 BD 的距离（即垂线段 的长）为 点Q到 BD的距离（即垂线段（ 的长）为 .当机器人乙到达终点时，两个机器人立即同时停止运动，此时 与t的部分对应数值如下表
t（min） 0 5.5
0 16 16 0
（1）机器人乙运动的路线长为　 　m；
（2）求 的值；
（3）当机器人甲、乙到生产流水线 BD 的距离相等（即 时，求t 的值.
【答案】（1）55
（2）解：根据题意，得乙机器人到达终点所用的时间为5.5min，
∴，
∵，，，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，
∴，
当点在上时，有，
∴，
解得：；
当点在上时，如图，过点作于，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得： ，
∴；
（3）解：∵当时，有，
∴，
∴，
∴，
∴，
当点在上时，由，得，
解得：；
当点在上时，由，得，
解得：；
综上所述，当时，的值为或.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：（1）∵，，，
∴，
∵为中点，
∴，
∵机器人乙从点出发，沿的方向以 的速度匀速运动，
∴机器人乙运动的路线长为，
故答案为：55.
【分析】（1）先利用勾股定理得的长，从而得的长，进而求出的长即可；
（2）结合（1）求出的值，利用勾股定理得的长，从而由直角三角形斜边上的中线性质得的长，进而根据等腰三角形“等边对等角”性质得，求出正弦值，，然后进行分类讨论：当点在上时，解直角三角形得的值，于是有关于的方程，解方程即可求出的值；当点在上时，过点作于，解直角三角形得的值，求出正弦值，解直角三角形得的值，于是有关于的方程，解方程即可求出的值，最后作差即可；
（3）先解直角三角形得的值，从而得的值，进而求出的值，于是解直角三角形得的值，然后进行分类讨论：当点在或，分别得关于的方程，解方程即可求解.
25．（2025·黑龙江）已知：如图，中，，设，点D是直线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转α至AE，连接DE、BE，过点E作，交直线BC于点F．探究如下：
（1）若时，
如图①，点D在CB延长线上时，易证：；
如图②，点D在BC延长线上时，试探究线段BF、DF、BC之间存在怎样的数量关系，请写出结论，并说明理由。
（2）若，点D在CB延长线上时，如图③，猜想线段BF、DF、BC之间又有怎样的数量关系？请直接写出结论，不需要证明。
【答案】（1）解：（1）如图①
∵， ∠BAC=α=60°，
∴是等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
∵∠DAE=α=60°
∴∠BAC+∠BAD=∠DAE+∠BAD
∴∠DAC=∠EAB
由旋转性质知：AD=AE，
在和中：
∵AC=AB，∠DAC=∠EAB，AD=AE，
∴≌，
∴CD=BE，
∴∠ABE=∠ACD=60°，
∴∠EBF=60°，
∵，
∴∠BEF=-30°，
∴BE=2BF，
∴CD=2BF，
∵CD=DF+BF+BC，
∴；
图②的结论是： BF=DF-BC
证明： ∵AB=AC ∠BAC=α=60°
∴△ABC 是等边三角形
∵AE=AD ∠EAD=α=60°
∴△ADE 是等边三角形
∴∠BAE=∠CAD
∴△BAE≌△CAD (SAS)
∴BE=CD ∠AEB=∠ADC
∴∠EBF=∠EAD=60°
∵EF⊥BC
∴∠BEF=30°
∴BE=2BF
又∵BE=CD
∴2BF=BD-BC=BF+DF-BC
∴BF= DF-BC
（2）解：3BF= DF+BC
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：（2）图③的结论是： 3BF= DF+BC
∵∠BAC=α=120°，∠DAE=α=120°，
∴∠BAC+∠BAD=∠DAE+∠BAD，即∠DAC=∠EAB
在和中：
∵AC=AB，∠DAC=∠EAB，AD=AE，
∴≌，
∴CD=BE，
∴∠ABE=∠ACD=∠ABC=，
∴∠ABF=∠ABE+∠ABC=60°，
∵AF⊥BC，
∴∠BEF=30°，
∴BE=2BF，
∴CD=2BF，
∵CD=DF+CF，CF=BC-BF，
∴2BF=DF+BC-BF，
∴3BF= DF+BC。
【分析】（1）本题主要涉及等边三角形的判定与性质以及三角形全等的判定与性质。通过证明三角形全等得到线段和角的关系，进而推导出线段之间的数量关系。
（2）通过旋转得到相等的线段和角，构造全等三角形来探究线段之间的关系
26．（2025·山西）综合与探究
问题情境：如图1，在△ABC纸片中，AB>BC，点D在边AB上，AD>BD.沿过点D的直线折叠该纸片，使DB的对应线段DB与BC平行，且折痕与边BC交于点E，得到△DB'E，然后展平。
（1）猜想证明：判断四边形BDB'E的形状，并说明理由；
（2）拓展延伸：如图2，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点A'落在射线DB'上，且折痕与边AC交于点F，然后展平.连接A'E交边AC于点G，连接A'F.
①若AD=2BD，判断DE与A'E的位置关系，并说明理由；
②若∠C=90°，AB=15，BC=9，当△A'FG是以A'F为腰的等腰三角形时，请直接写出A'F的长.
【答案】（1）解：四边形BDB'E是菱形.
理由如下：由折叠可知，B'D=BD，B'E=BE，
∠B'DE=∠BDE.
∵DB'//BC，
∴∠B'DE=∠BED.
∴∠BDE=∠BED.
∴BD=BE.
∴B'D=BD=BE=B'E.
∴四边形BDB'E是菱形.
（2）解：①DE⊥A'E.理由如下：
由（1）得B'D=BD=B'E.
∵B'D=B'E， ∴∠1=∠2.
由折叠可知，A'D=AD.
∵AD=2BD，
∴A'D=2B'D.
∴点B'是A'D的中点..
∴B'D=B'A'.
∴B'A'=B'E. ∴∠3=∠4.
在△A'DE中，
∠1+∠A'ED +∠4=180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°.
∴∠2+∠3=90°
即∠DEA'=90°
∴DE⊥A'E.
②5或
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的判定；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】
解： (2)②∵∠C= 90°，AB= 15， BC= 9，
∴AC== 12，
当△A'FG是以A'F为腰，A'G为底的等腰三角形时，如图，延长A'F交AB于点H，设AC、A'D交点为M，
则FG= A'F，
∵∠C'= 90°， A'D// BC，
∴∠AMD= ∠C'= 90°，
∴∠AMA'= 90°，
由折叠的性质得
AD= A'D，∠ADF=∠A'DF， AF= A'F，
∴△ADF≌△A'DF(SAS)，
∴∠A=∠DA'F，
∵∠AFH = ∠ A'FG，
∴∠AHF=∠AMA'=90，
∵∠A= ∠A，
∴АFHABC，
∴
∴HF：AH：AF=BC：AC：AB=3：4：5
∠A= ∠D'A'F，AF= A'F，∠AHF= ∠A'MF，
∴AHFA'MF(AAS)，
∴HF= FM，AH = A'M，
设HF=FM=3x，АН=A'M=4x，
∴AF= A'F= 5x，
∴АМ=AF+FM=8x，
∵A'D//BC，
∴AMDАCB，
∴
∴AD = 10x，
∴BE=BD=AB-AD=15-10x
∴CE= BC- BE= 10x- 6，
∵ FG= A'F= 5x，
∴MG= FG- FM = 2x，
∴CG=AC-AM-MG=12-8x-2x=12-10x，
∵ A'D// BC，
∴△A'MG△ECG，
∴
解得： x= 1，
∴A'F= 5x= 5；
当△A'FG是以A'F为腰FG为底的等腰三角形时，如图，则A'F= AG，
同理得：HF： AH ： AF= BC ： AC： AB=3：4：5，
HF= FM，AH = A'M，AF= A'F，
设HF=FM=3y，AH=A'M=4y，
AF= A'F= 5y，
∴AM=AF+FM=8y，
∵A'D// BC，
∴△AMD△ACB，
∴
∴AD = 10y，
∴BE= BD= AB- AD= 15- 10y， CE= BC- BE= 10y- 6，
∵△A'FG是以A'F为腰FG为底的等腰三角形，A'M⊥AC，
∴GM=FM=3y，
∴FG=GM+FM=6y，
∴CG=AC-AF-FG=12-11y，
∵A'D// BC，
∴△A'MG△ECG，
∴
解得：
∴
综上可知A'F的长为5或，
故答案为：5或.
【分析】(1)由折叠的性质可得BD= B'D， BE= B'E，∠B'DE=∠BDE，再根据平行线的性质可∠B'DE=∠BED，进而得到∠BDE=∠BED，由等角对等边推出BD= BE，从而证明BE= BD= B'D= B'E，即可证四边形BDB' E是菱形，解答即可；
(2)①由(1)推出BD= B'D= B'E，由折叠的性质得到AD= A'D，结合已知可得A'D= 2B'D= 2B' E，进而推出
B'D= A'B' = B'E，得到∠1 =∠2、∠3=∠4，再根据三角形内角和定理即可求出∠2+∠3= 90°，即可得到DE与A' E的位置关系；解答即可；
②分△A'FG是以A'F为腰A'G为底的等腰三角形和△A'FG是以A'F为腰FG为底的等腰三角形两种情况讨论，如图，延长A'F交AB于点H，设AC、A'D交点为M，利用三角形相似的性质建立方程求解即可解答.
27．（2025·达州） 综合与实践
问题提出：探究图形中线段之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系．
（1）探究发现：如图1，在中，，是边上一点，过点作于，于，过点作于．连结，由图形面积分割法得：　 　；则　 　　 　．
（2）实践应用：如图2，是等边三角形，，点是边上一点，连结．将线段绕点逆时针旋转得，连结交于，过点作于，于，当时，求的值．
（3）拓展延伸：如图3，已知是半圆的直径，，是弦，，是上一点，，垂足为，，求的值．
【答案】（1）S△APB；DP；PE
（2）解：如图，过点C，F分别作AB，CG的垂线，垂足分别为M，N，
∵△ABC是等边三角形， AC=3， ∴AB=AC=3，
∵AG=1， 则
在 中，
∵将线段CG绕点C逆时针旋转 得CF，
∴CG=CF，∠GCF=60°，
∴△CGF 是等边三角形，
则
∴由探究发现可得： .
（3）解：如图，延长AC，BE交于点T， 过点P作PS⊥BE于点S，连接BC，
设CD=x，∵AB是半圆O的直径，.
在 中，
在 中，
解得：
∴由探究发现可得：
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1） 通过等面积即可得解；
（2）过F作FN⊥CG于点N，由（1）可知PD+PE=FN，所以求出FN即可，再由题意可知△CGF为等边三角形，所以求出CG即可，进而在△CMG中利用勾股定理求CG；
（3）延长AC、BE交于点T，连接BC，过P作PS⊥BE于点S，易证△ABT为等腰三角形，所以BC=PD+PS，在△ACB和△DCB中，利用双勾股可求出CD=4，进而AC=BE=6，BC=8，从而即可得解．
28．（2025·深圳） 综合与探究
【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形.
【抽象定义】以等腰三角形为边向外作等腰三角形，使该边所对的的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”.如图2，在中，，.此时，四边形ABCD是“双等四边形”， 是“伴随三角形”.
（1）【问题解决】如图3，在四边形ABCD中，AB=AC，AD=CD，
求：
①AD与BC的位置关系为：　 　；
②　 　.(填“>”，“<”或“=”)
（2）【方法应用】①如图 4，△ABC中，AB=BC，将 绕点 A 逆时针旋转至，点 D 恰好落在 BC 边上，求证：四边形 ABDE 是双等四边形.
②如图 5，在等腰三角形 ABC 中，，，AB=5，在平面内找一点 D，使四边形 ABCD 是以 为伴随三角形的双等四边形. 若存在，请求出 CD 的长. 若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；
（2）解：①为旋转得到
，AC=AE，BC=DE，∠ADE=∠B，
∵AC=BC，
∴AE=DE，
∴∠ADE=∠EAD，∠ABD=∠ADB，
设，则，
∴四边形ABDE为双等四边形；
②作于点H
设，则：
在中，，即，
解得：
ⅰ)当时，
ⅱ)若时，
作于点M
ⅲ)若时，
综上所述：满足条件时，CD=或或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形的综合
【解析】【解答】解：(1)∵AB=AC，AD=CD，∠BAC=∠D
∴∠ACB=，∠CAD=
∴∠ACB=∠CAD
∴AD||BC
∵∠BAC=∠D，∠ACB=∠CAD
∴△ABC~△DAC
∴
∴AC2=DC·BC
【分析】(1)直接由双等四边形的性质适
(2)①结合旋转的性质可证得AB=AD，AC=AE，BC=DE，∠ADE=∠B，利用等腰三角形的性质可证得∠ADE=∠EAD，∠ABD=∠ADB，设，可表示出相关角的度数，再证明，利用双等四边形的定义可证得结论.
②②作于点H，利用解直角三角形求出BH、AH的长，设，可表示出AC的长，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到CH、AC、BC的长；ⅰ)当时；ⅱ)若时；ⅲ)若时；分别求出CD的长即可.
29．（2025·山西）阅读与思考
下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务，
双关联线段 【概念理解】 如果两条线段所在直线形成的央角中有一个角是60°，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段。 例如，下列各图中的线段AB与CD所在直线形成的夹角中有一个角是60°，若AB=CD，则下列各图中的线段CD都是相应线段AB的双关联线段。 【问题解决】 问题1：如图1，在矩形ABCD中，AB任务：
（1）问题1 中的∠ACB=　 　°，
问题2中的依据是　 　.
（2）补全问题2的证明过程；
（3）如图3，点C在线段AB上，请在图3中作线段AB的双关联线段CD
（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）.
【答案】（1）30；等角的补角相等
（2）解：∵∠AFB是△AEF的外角，
∴∠AFB= ∠EAF+∠E.
∵∠ACB是△ACD的外角，
∴∠ACB=∠CAD+∠D.
∵∠EAF=∠CAD， ∠E=∠D，
∴∠AFB=∠ACB=60°.
即线段AD与线段BE所在直线形成的夹角中有一个角是60°.
∵AD=BE，线段AD是线段BE的双关联线段。
（3）解：答案不唯一，例如：
作法一：
作法二：
如图，线段CD即为所求.
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定；矩形的性质；尺规作图-作三角形
【解析】【解答】
解：(1)设AC， BD的交点为O，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB，∠ABC= 90°；
∵对角线AC与BD互为双关联线段，
∴∠AOB=60°，
∴AOB是等边三角形，
∴∠OAB= 60°，
∴∠ACB=90°-∠OAB=30°；
问题2中的依据是：等角的补角相等；
故答案为：30， 等角的补角相等；
【分析】
(1)设AC， BD的交点为O，利用矩形的性质，结合新定义概念可证明AOB是等边三角形，由等边三角形的性质利用角度的和差运算即可解答；2小问利用等角的补角相等即可完成问题2的依据，解答即可；
(2)利用三角形外角的性质可得∠AFB= ∠EAF+∠E，∠ACB=∠CAD+∠D，再用等边三角形的性质即可∠AFB=∠ACB = 60°，解答即可；
(3)作一个等边三角形解答即可.
1 / 1专题17 特殊三角形-2025年精选中考数学真题分类汇编
一、选择题
1．（2025·武汉）如图，在△ABC中，AB=AC，D是边AB上的点，将△BCD沿直线CD折叠，点B的对应点E恰好落在边AC上.若∠A=34°，则∠ADE的大小是(　　)
A．35° B．37° C．39° D．41°
2．（2025·北京市） 如图，∠MON=100°，点A在射线OM上，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交射线ON于点B.若分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点C，连接AC，则∠OAC的大小为（　　）
A．80° B．100° C．110° D．120°
3．（2025·吉林）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠A＞∠ACB＞∠B，尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边BA，BC于点M，N；（2）以点C为圆心，BN长为半径画弧，交边CB于点N'；再以点N'为圆心，MN长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点M'；（3）过点M'画射线CM'交边AB于点D．下列结论错误的为（　　）
A．∠B=∠DCB B．∠BDC=90° C．DB=DC D．AD+DC＝BC
4．（2025·扬州）在如图的房屋人字梁架中，AB＝AC，点D在BC上，下列条件不能说明AD⊥BC的是（　　）
A．∠ADB=∠ADC B．∠B＝∠C C．BD=CD D．AD平分∠BAC
5．（2025·安徽） 如图，在中，，，边AC的中点为D，边BC上的点E满足. 若，则AC的长是（　　）
A． B．6 C． D．3
6．（2025·天津市）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边BC相交于点，连接．若，则线段的长为（　　）
A． B． C．4 D．
7．（2025·陕西） 如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．（2025·浙江）如图，在 Rt中，是边上的中线，其中，以为圆心，为半径画弧交于点，则的长为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·德阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿CB方向向右平移至△EGF处，使EF恰好过边AB的中点D，连接CD，若CD=1，则GE= （　　）
A．3 B．2 C．1 D．
10．（2025·青岛）如图，在三角形纸片中，，，将纸片沿着过点A的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点；再将纸片沿着过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点．下列结论成立的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2025·扬州）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，点F在线段DE的延长线上，且∠BFC＝90°．若AC＝4，BC＝8，则DF的长是　 　 ．
12．（2025·苏州）如图，在 中， ，D是线段BC上一点（不与端点B，C重合），连接AD，以AD为边，在AD 的右侧作等边三角形ADE，线段 DE 与线段AC交于点F，则线段CF 长度的最大值为　 　.
13．（2025·绥化）在边长为7的等边三角形ABC中，点D在AB上，BD=2.点M是直线BC上的一个动点，连接MD，以MD为边在MD的左侧作等边三角形MND，连接BN.当△BND为直角三角形时，则CM的长是　 　.
14．（2025·湖南）已知，a，b，c是△ABC的三条边长，记，其中k为整数．
（1）若三角形为等边三角形，则t＝　 　 ；
（2）下列结论正确的是　 　 ．（写出所有正确的结论）
①若k＝2，t＝1，则△ABC为直角三角形；
②若，则5＜t＜11；
③若，a，b，c为三个连续整数，且a＜b＜c，则满足条件的△ABC的个数为7．
15．（2025·河南）定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在中，，点为边BC上一点，若为“反直角三角形”，则BP的长为　 　．
16．（2025·内江） 如图，在中，，，，点、、分别是边、、上的动点，则周长的最小值是　 　．
17．（2025·自贡）如图，在平面直角坐标系中，Rt的顶点分别在轴，轴正半轴上，．以为边作等边．连接，则的最大值为　 　．
18．（2025·自贡）如图，在中，，于点，．以点为圆心，的长为半径画弧，交于点．以点为圆心．的长为半径画弧．交于点，过点作，交于点；再以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，以的长为半径画弧，交于点，过点作，交于点；又以点为圆心……重复以上操作．则的长为　 　．
三、解答题
19．（2025·长春）图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上．
（1）在图①中，是面积最大的等腰三角形；
（2）在图②中，是面积最大的直角三角形；
（3）在图③中，是面积最大的等腰直角三角形．
20．（2025·福建）如图， 是等边三角形，D是AB的中点， ，垂足为 C，EF 是由CD沿CE方向平移得到的.已知EF过点A，BE交CD 于点 G.
（1）求 的大小；
（2）求证： 是等边三角形.
21．（2025·上海市）某小组对分割梯形组成等腰三角形展开研究．
（1）如图1，梯形ABCD中，AD//BC，AB丄BC，点E是AB中点，D是梯形的顶点，将△ADE绕E旋转180。得到△BFE，若AD=a，且此时DF=DC，求BC的长（用含a的代数式尝试表示）；
（2）如图2，梯形MNPQ，MN//PQ，MQ=NP，请设计一种方法，用一条直线或两条直线分割梯形为若干部分，再进行一系列的图形运动，拼成一个等腰三角形，在图2中画出图形，要求：①所得的部分不重叠，不间隙地拼；②在答题纸横线上并写出等腰三角形的腰是哪条线段；③在答题纸横线上写出这一或两条直线的顶点.（模仿1中的表述：点E是AB中点，D是梯形的顶点）
22．（2025·长春）如图，在中，，，点为边的中点，点为边上一动点，连接．将线段绕点顺时针旋转得到线段．
（1）线段的长为　 　；
（2）当时，求的长；
（3）当点在边上时，求证：；
（4）当点到的距离是点到距离的2倍时，直接写出的长．
23．（2025·辽宁）如图
（1）如图1，在与中，与相交于点，，求证：；
（2）如图2，将图1中的绕点逆时针旋转得到，当点的对应点在线段的延长线上时，与相交于点：若，求的长；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长，与的延长线相交于点，连接，求的面积．
24．（2025·苏州）两个智能机器人在如图所示的 区域工作， 直线 BD 为生产流水线，且BD 平分 的面积（即D为AC 中点）.机器人甲从点A 出发，沿A→B的方向以 的速度匀速运动，其所在位置用点 P 表示，机器人乙从点 B 出发，沿B→C→D的方向以 的速度匀速运动，其所在位置用点 Q 表示.两个机器人同时出发，设机器人运动的时间为t（min），记点P到 BD 的距离（即垂线段 的长）为 点Q到 BD的距离（即垂线段（ 的长）为 .当机器人乙到达终点时，两个机器人立即同时停止运动，此时 与t的部分对应数值如下表
t（min） 0 5.5
0 16 16 0
（1）机器人乙运动的路线长为　 　m；
（2）求 的值；
（3）当机器人甲、乙到生产流水线 BD 的距离相等（即 时，求t 的值.
25．（2025·黑龙江）已知：如图，中，，设，点D是直线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转α至AE，连接DE、BE，过点E作，交直线BC于点F．探究如下：
（1）若时，
如图①，点D在CB延长线上时，易证：；
如图②，点D在BC延长线上时，试探究线段BF、DF、BC之间存在怎样的数量关系，请写出结论，并说明理由。
（2）若，点D在CB延长线上时，如图③，猜想线段BF、DF、BC之间又有怎样的数量关系？请直接写出结论，不需要证明。
26．（2025·山西）综合与探究
问题情境：如图1，在△ABC纸片中，AB>BC，点D在边AB上，AD>BD.沿过点D的直线折叠该纸片，使DB的对应线段DB与BC平行，且折痕与边BC交于点E，得到△DB'E，然后展平。
（1）猜想证明：判断四边形BDB'E的形状，并说明理由；
（2）拓展延伸：如图2，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点A'落在射线DB'上，且折痕与边AC交于点F，然后展平.连接A'E交边AC于点G，连接A'F.
①若AD=2BD，判断DE与A'E的位置关系，并说明理由；
②若∠C=90°，AB=15，BC=9，当△A'FG是以A'F为腰的等腰三角形时，请直接写出A'F的长.
27．（2025·达州） 综合与实践
问题提出：探究图形中线段之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系．
（1）探究发现：如图1，在中，，是边上一点，过点作于，于，过点作于．连结，由图形面积分割法得：　 　；则　 　　 　．
（2）实践应用：如图2，是等边三角形，，点是边上一点，连结．将线段绕点逆时针旋转得，连结交于，过点作于，于，当时，求的值．
（3）拓展延伸：如图3，已知是半圆的直径，，是弦，，是上一点，，垂足为，，求的值．
28．（2025·深圳） 综合与探究
【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形.
【抽象定义】以等腰三角形为边向外作等腰三角形，使该边所对的的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”.如图2，在中，，.此时，四边形ABCD是“双等四边形”， 是“伴随三角形”.
（1）【问题解决】如图3，在四边形ABCD中，AB=AC，AD=CD，
求：
①AD与BC的位置关系为：　 　；
②　 　.(填“>”，“<”或“=”)
（2）【方法应用】①如图 4，△ABC中，AB=BC，将 绕点 A 逆时针旋转至，点 D 恰好落在 BC 边上，求证：四边形 ABDE 是双等四边形.
②如图 5，在等腰三角形 ABC 中，，，AB=5，在平面内找一点 D，使四边形 ABCD 是以 为伴随三角形的双等四边形. 若存在，请求出 CD 的长. 若不存在，请说明理由.
29．（2025·山西）阅读与思考
下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务，
双关联线段 【概念理解】 如果两条线段所在直线形成的央角中有一个角是60°，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段。 例如，下列各图中的线段AB与CD所在直线形成的夹角中有一个角是60°，若AB=CD，则下列各图中的线段CD都是相应线段AB的双关联线段。 【问题解决】 问题1：如图1，在矩形ABCD中，AB任务：
（1）问题1 中的∠ACB=　 　°，
问题2中的依据是　 　.
（2）补全问题2的证明过程；
（3）如图3，点C在线段AB上，请在图3中作线段AB的双关联线段CD
（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠A=34°
∴
∵将△BCD沿直线CD折叠，点B的对应点E恰好落在边AC上
∴∠DEC=∠B=73°
∴∠ADE=∠DEC-∠A=39°
故答案为：C
【分析】根据等边对等角及三角形内角和定理可得，再根据折叠性质可得∠DEC=∠B=73°，再根据三角形外角性质即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：如图，连接AB，AC，BC
由作图可得，OA=OB，AC=BC=AB
∴△ABC为等边三角形
∴∠ACB=60°
∴△OAC≌△OBC(SSS)
∴
∴∠OAC=180°-∠AOC-∠ACO=100°
故答案为： B
【分析】连接AB，AC，BC，由作图可得，OA=OB，AC=BC=AB，根据等边三角形判定定理可得△ABC为等边三角形，则∠ACB=60°，再根据全等三角形判定定理可得△OAC≌△OBC(SSS)，则，，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：由作图可知
故选项A， B， C正确.
故答案为： D.
【分析】根据作图得到然后根据等角对等边和三角形的内角和定理逐项判断解答即可.
4．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵点D在BC上，保存进入下一题
∴∠ADB+∠ADC =180°，
∵∠ADB=∠ADC，
∴2∠ADC=180°，
∴∠ADC =90°，
∴AD⊥BC，
故A不符合题意；
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠B=∠C与点D所在的位置没有关系，
∴由∠B=∠C不能说明AD⊥BC，故B符合题意；
∵AB= AC， BD=CD，
∴AD⊥BC，
故C不符合题意；
∵AB= AC， AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
故D不符合题意，
故答案为： B.
【分析】由∠ADB+∠ADC=180°， 且∠ADB=∠ADC， 求得∠ADC =90°， 则AD⊥BC， 可判断A不符合题意； 由AB = AC，得∠B=∠C， 可知由∠B =∠C不能说明AD⊥BC， 可判断B符合题意； 由AB= AC，BD=CD，根据等腰三角形的“三线合一”得AD⊥BC， 可判断C不符合题意； 由AB = AC，AD平分∠BAC，根据等腰三角形的“三线合一”得AD⊥BC，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案.
5．【答案】B
【知识点】解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵△ABC中，AB=AC，∠A=120°，
∴∠B=∠C=（180°-∠A）=（180°-120°）=30°，
∵DE⊥AC，点D为AC的中点，
∴∠EDC=90°，AC=2DC，
即，
解之：DC=3，
∴AC=2×3=6.
故答案为：B .
【分析】利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求出∠C的度数，再利用垂直的定义和线段中点的定义可证得∠EDC=90°，AC=2DC，然后利用解直角三角形求出DC的长，即可得到AC的长.
6．【答案】D
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；旋转的性质；面积及等积变换
【解析】【解答】解：连接AD，∠CC'于点O
由旋转性质可得AC'=AC=4，∠AC'B'=∠ACB=90°
∴∠AC'D=90°
在Rt△AC'D和Rt△ACD中
∴Rt△AC'D≌Rt△ACD
∴C'D=CD=3
∴AD垂直平分CC'
∴CC'=2OC，AD⊥CC'
∵∠ACB=90°，AC=4，CD=3
∴
∵
∴
∴
故答案为：D
【分析】连接AD，∠CC'于点O，由旋转性质可得AC'=AC=4，∠AC'B'=∠ACB=90°，则∠AC'D=90°，再根据全等三角形判定定理可得Rt△AC'D≌Rt△ACD，则C'D=CD=3，根据垂直平分线判定定理可得AD垂直平分CC'，则CC'=2OC，AD⊥CC'，根据勾股定理可得AD，再根据三角形面积即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；余角
【解析】【解答】解：∵，为边上的中线
∴
∴CD=AD=BD
∴∠B=∠BCD
∵AD=CD，DE⊥AC
∴∠ADE=∠CDE
∵∠A+∠ADE=90°，∠A+∠B=90°
∴图中与∠A互余的角共有4个
故答案为：C
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质可得CD=AD=BD，根据等边对等角可得∠B=∠BCD，根据等腰三角形性质可得∠ADE=∠CDE，再根据余角定义即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；弧长的计算；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：是斜边AB上的中线、
故选：B.
【分析】先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得DC=DA=1，再由等边对等角得，再由三角形的外角性质可得，又由尺规作图得CD=CE，则，再由三角形内角和得，最后再应用弧长公式直接计算即可.
9．【答案】B
【知识点】平移的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵点D是AB的中点，
∴AB=2CD=2，
由平移可得EG=AB=2，
故答案为：2.
【分析】根据直角三角形的中线性质得到AB=2CD=2，然后根据平移解答即可.
10．【答案】A
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】
解： C、在△ABC中，∠B=57° ，∠C=38°，
∴∠BAC=180°-57°-38°=85°，
∵△ADE是由△ABD翻折得到，
∴∠DAE= ∠DAB == 42.5°，故C错误；
A、∵△ADE是由△ABD翻折得到，∠DAE=∠DAB=42.5°，
∴∠AED=∠B=57°，
∴∠ADE= ∠ADB=180°-57°-42.5°=80.5°，
∴∠EDG=180°- ∠ADE-∠ADB=180°-80.5°X2=19°，
∵△EFG是由△EFC翻折得到，
∴∠EGF=∠C=38°，
∴ ∠EGD=180°-∠EGF=180°-38°=142° ，
在△EGD中， ∠DEG=180°-142°-19°=19° ，
∵∠EDG=∠DEG=19° ，
∴DG=EG，故A选项正确；
B、 ∵∠AED+∠DEG=57°+19°=76°，
即∠AEG=76°，
∴GE与AE不垂直，故B错误；
D、过点G作GM⊥DE交DE于点M，如图，
假设DE=2GF，
∵△EFG是由△EFC翻折得到，
∴∠EFC=∠EFG=90° ，
∵DG=EG，
∴△DGE为等腰三角形，
∵GM⊥DE，∴DM=EM，即DE=2EM，
∴GF=EM，
在Rt△EMG中，sin∠DEG = sin19°=
在Rt△EFG中，sin∠ EGF= sin38°=
∵sin19°≠sin38° ，
∴ MG≠EF，
∵EM =≠GF=，与已知不符，故D选项错误.
故答案为：A.
【分析】根据△ADE是由△ABD翻折得到可求解∠DAE的度数，由此判断C选项；根据翻折前后角度的求解，可求解∠EDG与∠DEG的度数，由“等角对等边”可判断A选项；利用角度的和差运算可求解∠AEG的度数可判断B选项；先假设结论成立，根据直角三角形中的正弦值求解边长即可判断D选项；逐一判断即可解答.
11．【答案】6
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵点D， E分别是边AB， BC的中点，
∴ DE是 的中位线，
在 中，E是斜边BC的中点，
则
故答案为：6.
【分析】根据三角形中位线定理求出DE，再根据直角三角形斜边上的中线的性质求出FE，进而求出DF.
12．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过点作于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当取得最小值时，取得最大值，
∴当取得最小值时，取得最小值，
∴当时，取得最小值，此时点与点重合，
∴的最小值为，
∴的最小值为，
∴的最大值为，
故答案为：.
【分析】过点作于，求出，根据含30°的直角三角形的性质得，利用勾股定理得，然后根据等边三角形的性质得，于是推出，根据相似三角形对应边成比例的性质得，接下来推出当取得最小值时，取得最大值，当取得最小值时，取得最小值，当时，取得最小值，此时点与点重合，从而依次求出，的最小值，进而求出的最大值.
13．【答案】6或8或9
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；三角形-动点问题；余弦的概念
【解析】【解答】解：过点D作DE// BC交BC于点E，
①当∠DBN= 90°时，如图(1)，
∵ △ BAC， △ DMN是等边三角形，∠DBN = 90° ，
∴∠ABC=∠DEB=∠MDN=∠BDE =60°，DM= DN，
∴△DBE是等边三角形，
∴ BD=DE= BE=2，
∠NBE=∠DBN-∠DBE= 30°，∠EDN + ∠NDB = ∠NDB + ∠MDB = 60°
∴∠EDN=∠BDM，
∴△DEN≌△DBM，
∴∠DEN=∠DBM= 180° -60°=120°，BM = NE，
∴∠BEN=∠DEN-∠DEB = 60°，
∴∠BNE= 90°，
∴NE=BE=1，即BM=1，
∴MC= BC+ BM=7+1=8，
②当∠BDN =90°时，如图(2)
同理可得 △ DEN≌ △ DBM，∠NDE =∠BDN-∠BDE=90° - 60 = 30°，
∴∠NED=∠MBD=60°，即∠DMB =∠DNE =90° ，
∴BM= BDcos60°=2x=1，
∴CM=BC- BM=6，
③当∠BND=90°时，如图(3)
同理可证△DBN≌△DEM，DE = BD=2，∠DEM =60°，
∴∠DME =∠DNB = 90°，
∴ME = DE cos60°=2x=1，
∴CM= BC- BM=6，
④当∠BDN=90°时，如图(4)
同理可证△DBN≌△DME，DE= BD= BE= 2，∠DEM= 60° ，
∴∠MDE=∠NDB=90°， BE= BC- BE=5，
∴ME==4，
∴CM =ME+ BE=9，
综上所述，CM的长是6或8或9.
故答案为：6或8或9.
【分析】题干要求△BND为直角三角形，没有指定直角，因而需要分情况讨论： 过点D作DE// BC交BC于点E，分当∠DBN= 90°时；当∠BDN =90°时；当∠BND=90°时；当∠BDN=90°时，逐个分析即可解答.
14．【答案】（1）2
（2）①②
【知识点】整式的加减运算；等边三角形的性质；勾股定理的逆定理；一元一次不等式组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）是等边三角形
（2） ①若k＝2，t＝1， 则
是直角三角形
②若
则
，解得：
，解得：
，即
③若，a，b，c为三个连续整数，且a＜b＜c，
，解得
，解得
故满足条件的的值有6个，即满足条件的的个数为6个
故答案为：①②.
【分析】（1）由于等边三角形的三边相等，则，而1的任意次幂都等于1，故；
（2） ①若k＝2，t＝1，则，即三边恰好满足勾股定理，故结论正确；
②若，则，此时借助三角形三边关系定理可确定边的取值范围为，代入计算得，故结论正确；
③若，a，b，c为三个连续整数，且a＜b＜c，则，由三边关系定理可得，再结合已知可得，解得，即，则满足条件的的个数为6个，故结论错误.
15．【答案】或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】
解：当时，如图所示，分别过点A、P作，垂足分别为E、D，设，则.
，解得：
当时，如图所示，分别过点A、P作，垂足分别为E、D，设，则.
、
，解得：
故答案为：或.
【分析】由于是“反三角形”，则应分两种情况进行讨论，即当时，过点P作于点D，则，即DP=CD，此时设CD为x，则AD=5-x，由等边对等角知，则可证DP//AB，即，此时再边点A作BC的高AE，由等腰三角形三线合一知BE等于CE等于AB的一半即4，由勾股定理可得AE=3；又且是公共角，则可证，由相似比可得，则，再应用勾股定理可得关于x的一元二次方程，解方程求出x，则CP可得，再利用BP=BC-PC即可；当时，分别过点A、P作，垂足分别为E、D，设，则，此时则，即，再证，由相似比可分别求出Cd、CP，则BP可求.
16．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；垂线段最短及其应用；轴对称的应用-最短距离问题；等腰直角三角形；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，作点D关于AB、AC的对称点N、M，连接AN、AM、AD、MN、EN、FM，
∵M、N是点D关于AC、AB的对称点，
∴AN=AD=AM，∠NAB=∠BAD，∠DAC=∠MAC，EN=ED，FM=FD，
∵△DEF的周长为DE+EF+DF=NE+EF+FM≥MN，
∴当N、E、F、M四点共线时，取得最小值MN，
∵∠BAD+∠DAC=∠BAC=45°，
∴∠NAB+∠BAD+∠CAD+∠MAC=90°，
∴△AMN是等腰直角三角形，
∴MN=AM=AD，
当AD⊥BC时，AD取得最小值，即△DEF周长最小，
又∵∠B=60°，
∴ADmin=AB×sin∠B=AB×sin60°=，
∴△DEF周长最小值为.
故答案为： .
【分析】如图，作点D关于AB、AC的对称点N、M，连接AN、AM、AD、MN、EN、FM，由轴对称性质可得AN=AD=AM及EN=ED，FM=FD，∠NAB=∠BAD，∠DAC=∠MAC，则△DEF的周长为DE+EF+DF=NE+EF+FM≥MN，根据两点之间线段最短可得当N、E、F、M四点共线时，取得最小值MN；易得△AMN是等腰直角三角形，则MN=AM=AD，根据垂线段最短，当AD⊥BC时，AD取得最小值，即△DEF周长最小，进而由∠B的正弦函数及特殊锐角三角函数值可求出AD的值，此题得解.
17．【答案】
【知识点】三角形三边关系；等边三角形的性质；勾股定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=2.
∴，
∵△BCD为等边三角形，
∴CD=BC=2，∠BCD=60°，
如图，取AC的中点E，连接OE、DE，作EF⊥CD交DC的延长线于F，
则，∠FCE=180°-∠ACB-∠BCD=30°，
∴，
∴
∴，
根据三角形三边关系可得：OD≤DE+OE，
∴
∴OD的最大值为，
故答案为：.
【分析】解直角三角形得出，由等边三角形的性质可得CD=BC=2，∠BCD=60°，取AC的中点E，连接OE、DE，作EF⊥CD交DC的延长线于F，则，∠FCE=30°，求出，，从而可得，由勾股定理可得，最后根据三角形三边关系可得OD≤DE+OE，即可得解.
18．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；探索规律-图形的递变规律；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AC=BC，CD⊥AB于点D，AB=DC=2，
∴AD=BD=1，
∴，
∵以点B为圆心，DB的长为半径画弧，交BC于点E1，
∴BE1=BD=1，
∴，
∵以点C为圆心，CE1的长为半径画弧，交CD于点D1，
∴，
∵过点D1作D1F1⊥DC，交AC于点F1，
∴AD//D1F1，
∴△CD1F1∽△CDA，
∴，即，
∴，，
∵以点F1为圆心，F1D1的长为半径画弧，交AC于点F2，
∴
∴，
∵以CF2的长为半径画弧，交DC于点D2，
∴，
∵过点D2作D2E2⊥DC，交BC于点E2，
∴∠CD1F1=∠CD2E2=90°，
∵∠F1CD1=∠D2CE2，
∴△CD22E2∽△CD1F1
∴，即
∴
同理可得：，，…，
∴，
故答案为：.
【分析】由等腰三角形的性质可得AD=BD=1，由勾股定理得出，求出，，同理可得，，…，即可得解.
19．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：如图所示，即为所求．
【知识点】等腰直角三角形；等腰三角形的概念；直角三角形的概念
【解析】【分析】(1)根据等腰三角形的定义以及题目要求画出图形即可；
(2)根据直角三角形的定义以及题目要求画出图形即可；
(3)作一个腰为 的等腰直角三角形即可.
20．【答案】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∵D 是AB 的中点，
∵CE⊥BC，
∴∠BCE=90°，
（2）证明：由平移可知：CD∥EF，
∴∠EAC=∠DCA=30°，
又∵∠ECA=∠BCE-∠ACB=30°，
∴∠EAC=∠ECA，
∴AE=CE，∠AEC=120°，
又∵AB=CB，
∴BE 垂直平分AC，
由（1）知，∠GCE=60°，
∴∠EGC=60°，
∴∠GEC=∠GCE=∠EGC，
∴△CEG是等边三角形.
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】 （1）等边三角形的性质推出∠DCB=30°，垂直，得到∠BCE=90°，角的和差关系求出∠DCE的大小即可；
（2）平移得到CD∥EF，进而得到∠EAC=∠DCA=30°，角的和差关系推出∠EAC=∠ECA，进而得到AE=CE，∠AEC=120°，根据AB=CB，推出BE垂直平分AC，进而得到∠GEC=60°， 推出∠GEC=∠GCE=∠EGC，进而得到△CEG是等边三角形即可．
21．【答案】（1）解：如图1中，过点D作DH⊥BC于点H．
∵AB⊥BC，AD//BC，
∴∠A=∠ABC=90。，
∵∠DHB=90。，
∴四边形ABHD是矩形，
∴AD=BH=a，
∵E是AB的中点，
∴AE=EB，
∵∠A=∠EBF=90。，∠AED=∠FEB，
∴△AED≌△BEF(ASA)，
∴AD=FB=a，
∵DF=DC，DH⊥CF，
∴FH=HC=2a，
∴BC=BH+CH=3a；
（2）解：图形如图2所示．
方法：取MN，MQ，PN的中点J，K，T，连接JK，延长JK交PQ的延长线于点L，连接JT，延长JT交QP的延长线于点G，
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】(1)如图1中，过点D作DH⊥BC于点H，证明BG=AD=a，BH=AD=a，再证明FH=HC=2a可得结论；
(2)取MN，MO，PN的中点J，K，T，连接JK，延长JK交PO的延长线于点L，连接JT，延长JT交OP的延长线于点G即可.
22．【答案】（1）
（2）解：如图，在中，，，点为边的中点，
∴，，
∵，
∴，而，
∴，
∴；
（3）证明：∵旋转，
∴，
如图，∵，，
∴，
∵，，
∴；
（4）解：的长为或.
【知识点】旋转的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—边角关系；一线三等角全等模型（钝角）
【解析】【解答】（1）解：∵在中，，，
∴；
故答案为：；
（4）解：如图，当在的左边时，结合题意可得：，，，
过作于，过作于，
∴四边形为矩形，
∴，
结合（1）可得：，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，当在的右边时，过作于，过作于，
同理：，
四边形四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
同理可得：，，
∴；
综上：的长为或.
故答案为：或.
【分析】（1）利用勾股定理解答即可；
（2）根据平行得到∠DEB=90°，然后利用余弦的定义解答即可；
（3）根据旋转的性质，利用AAS证明两三角形全等即可；
（4）分为在的左边或在的右边两种情况，过作于，过作于，证明，即可得到，然后根据勾股定理求出BE长，然后利用线段的和差解答即可.
23．【答案】（1）证明：∵PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB，即∠DBC=∠ACB，
在△ABC和△DCB中，
∴△ABC≌△DCB（AAS）.
（2）解：由（1）知：△ABC≌△DCB，即△ABC≌△D'C'B，
∴∠BAC=∠C'D'B，AB=D'C'=2，AC=BD'，
作AE⊥BC于点E，如图2，
∵∠ABC=60°，
∴∠BAE=30°，
∴
∴CE=BC-BE=2，
∵∠BAC=∠C'D'B，
∴AM∥C'D'，
∴△BAM∽△BD'C'，
；
（3）解：作CF⊥BN于点F，如图3，设∠BC'C=α，
由旋转的性质得BC'=BC，则∠BC'C=∠BCC'=α，
∵∠ABC=∠D'C'B=60°，∠NBC+∠BCN+∠BNC=180°，∠BC'C+∠BC'D'+∠D'C'N=180°，
∴∠BNC=120°-α，∠D'C'N=120°-α，
∴∠BNC=∠D'C'N=120°-α，
∵AM∥C'D'，
∴∠ANC=∠ACN，
∵∠ABC=60°，
∴∠BCF=30°，
∵BC=3，
∴AM：CM=4：3，
【知识点】勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）利用等边对等角求得∠DBC=∠ACB，再利用AAS证明△ABC≌△DCB即可；
（2）由题意得△ABC≌△D'C'B，得到∠BAC=∠C'D'B，AB=D'C'=2，AC=BD'，作AE⊥BC于点E，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得BE与BD'，再证明AM∥C'D'，推出△BAM∽△BD'C'，利用相似三角形的性质列式计算即可求解；
（3）设∠BC'C=α，由旋转的性质得BC'=BC，则∠BC'C=∠BCC'=α，利用三角形内角和定理以及平角的性质求得∠BNC=120°-α，∠D'C'N=120°-α，推出∠BNC=∠D'C'N=120°-α，求得AN，再求得S△ACN，然后求得AM：CM=4：3，据此求解即可．
24．【答案】（1）55
（2）解：根据题意，得乙机器人到达终点所用的时间为5.5min，
∴，
∵，，，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，
∴，
当点在上时，有，
∴，
解得：；
当点在上时，如图，过点作于，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得： ，
∴；
（3）解：∵当时，有，
∴，
∴，
∴，
∴，
当点在上时，由，得，
解得：；
当点在上时，由，得，
解得：；
综上所述，当时，的值为或.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：（1）∵，，，
∴，
∵为中点，
∴，
∵机器人乙从点出发，沿的方向以 的速度匀速运动，
∴机器人乙运动的路线长为，
故答案为：55.
【分析】（1）先利用勾股定理得的长，从而得的长，进而求出的长即可；
（2）结合（1）求出的值，利用勾股定理得的长，从而由直角三角形斜边上的中线性质得的长，进而根据等腰三角形“等边对等角”性质得，求出正弦值，，然后进行分类讨论：当点在上时，解直角三角形得的值，于是有关于的方程，解方程即可求出的值；当点在上时，过点作于，解直角三角形得的值，求出正弦值，解直角三角形得的值，于是有关于的方程，解方程即可求出的值，最后作差即可；
（3）先解直角三角形得的值，从而得的值，进而求出的值，于是解直角三角形得的值，然后进行分类讨论：当点在或，分别得关于的方程，解方程即可求解.
25．【答案】（1）解：（1）如图①
∵， ∠BAC=α=60°，
∴是等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
∵∠DAE=α=60°
∴∠BAC+∠BAD=∠DAE+∠BAD
∴∠DAC=∠EAB
由旋转性质知：AD=AE，
在和中：
∵AC=AB，∠DAC=∠EAB，AD=AE，
∴≌，
∴CD=BE，
∴∠ABE=∠ACD=60°，
∴∠EBF=60°，
∵，
∴∠BEF=-30°，
∴BE=2BF，
∴CD=2BF，
∵CD=DF+BF+BC，
∴；
图②的结论是： BF=DF-BC
证明： ∵AB=AC ∠BAC=α=60°
∴△ABC 是等边三角形
∵AE=AD ∠EAD=α=60°
∴△ADE 是等边三角形
∴∠BAE=∠CAD
∴△BAE≌△CAD (SAS)
∴BE=CD ∠AEB=∠ADC
∴∠EBF=∠EAD=60°
∵EF⊥BC
∴∠BEF=30°
∴BE=2BF
又∵BE=CD
∴2BF=BD-BC=BF+DF-BC
∴BF= DF-BC
（2）解：3BF= DF+BC
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：（2）图③的结论是： 3BF= DF+BC
∵∠BAC=α=120°，∠DAE=α=120°，
∴∠BAC+∠BAD=∠DAE+∠BAD，即∠DAC=∠EAB
在和中：
∵AC=AB，∠DAC=∠EAB，AD=AE，
∴≌，
∴CD=BE，
∴∠ABE=∠ACD=∠ABC=，
∴∠ABF=∠ABE+∠ABC=60°，
∵AF⊥BC，
∴∠BEF=30°，
∴BE=2BF，
∴CD=2BF，
∵CD=DF+CF，CF=BC-BF，
∴2BF=DF+BC-BF，
∴3BF= DF+BC。
【分析】（1）本题主要涉及等边三角形的判定与性质以及三角形全等的判定与性质。通过证明三角形全等得到线段和角的关系，进而推导出线段之间的数量关系。
（2）通过旋转得到相等的线段和角，构造全等三角形来探究线段之间的关系
26．【答案】（1）解：四边形BDB'E是菱形.
理由如下：由折叠可知，B'D=BD，B'E=BE，
∠B'DE=∠BDE.
∵DB'//BC，
∴∠B'DE=∠BED.
∴∠BDE=∠BED.
∴BD=BE.
∴B'D=BD=BE=B'E.
∴四边形BDB'E是菱形.
（2）解：①DE⊥A'E.理由如下：
由（1）得B'D=BD=B'E.
∵B'D=B'E， ∴∠1=∠2.
由折叠可知，A'D=AD.
∵AD=2BD，
∴A'D=2B'D.
∴点B'是A'D的中点..
∴B'D=B'A'.
∴B'A'=B'E. ∴∠3=∠4.
在△A'DE中，
∠1+∠A'ED +∠4=180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°.
∴∠2+∠3=90°
即∠DEA'=90°
∴DE⊥A'E.
②5或
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的判定；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】
解： (2)②∵∠C= 90°，AB= 15， BC= 9，
∴AC== 12，
当△A'FG是以A'F为腰，A'G为底的等腰三角形时，如图，延长A'F交AB于点H，设AC、A'D交点为M，
则FG= A'F，
∵∠C'= 90°， A'D// BC，
∴∠AMD= ∠C'= 90°，
∴∠AMA'= 90°，
由折叠的性质得
AD= A'D，∠ADF=∠A'DF， AF= A'F，
∴△ADF≌△A'DF(SAS)，
∴∠A=∠DA'F，
∵∠AFH = ∠ A'FG，
∴∠AHF=∠AMA'=90，
∵∠A= ∠A，
∴АFHABC，
∴
∴HF：AH：AF=BC：AC：AB=3：4：5
∠A= ∠D'A'F，AF= A'F，∠AHF= ∠A'MF，
∴AHFA'MF(AAS)，
∴HF= FM，AH = A'M，
设HF=FM=3x，АН=A'M=4x，
∴AF= A'F= 5x，
∴АМ=AF+FM=8x，
∵A'D//BC，
∴AMDАCB，
∴
∴AD = 10x，
∴BE=BD=AB-AD=15-10x
∴CE= BC- BE= 10x- 6，
∵ FG= A'F= 5x，
∴MG= FG- FM = 2x，
∴CG=AC-AM-MG=12-8x-2x=12-10x，
∵ A'D// BC，
∴△A'MG△ECG，
∴
解得： x= 1，
∴A'F= 5x= 5；
当△A'FG是以A'F为腰FG为底的等腰三角形时，如图，则A'F= AG，
同理得：HF： AH ： AF= BC ： AC： AB=3：4：5，
HF= FM，AH = A'M，AF= A'F，
设HF=FM=3y，AH=A'M=4y，
AF= A'F= 5y，
∴AM=AF+FM=8y，
∵A'D// BC，
∴△AMD△ACB，
∴
∴AD = 10y，
∴BE= BD= AB- AD= 15- 10y， CE= BC- BE= 10y- 6，
∵△A'FG是以A'F为腰FG为底的等腰三角形，A'M⊥AC，
∴GM=FM=3y，
∴FG=GM+FM=6y，
∴CG=AC-AF-FG=12-11y，
∵A'D// BC，
∴△A'MG△ECG，
∴
解得：
∴
综上可知A'F的长为5或，
故答案为：5或.
【分析】(1)由折叠的性质可得BD= B'D， BE= B'E，∠B'DE=∠BDE，再根据平行线的性质可∠B'DE=∠BED，进而得到∠BDE=∠BED，由等角对等边推出BD= BE，从而证明BE= BD= B'D= B'E，即可证四边形BDB' E是菱形，解答即可；
(2)①由(1)推出BD= B'D= B'E，由折叠的性质得到AD= A'D，结合已知可得A'D= 2B'D= 2B' E，进而推出
B'D= A'B' = B'E，得到∠1 =∠2、∠3=∠4，再根据三角形内角和定理即可求出∠2+∠3= 90°，即可得到DE与A' E的位置关系；解答即可；
②分△A'FG是以A'F为腰A'G为底的等腰三角形和△A'FG是以A'F为腰FG为底的等腰三角形两种情况讨论，如图，延长A'F交AB于点H，设AC、A'D交点为M，利用三角形相似的性质建立方程求解即可解答.
27．【答案】（1）S△APB；DP；PE
（2）解：如图，过点C，F分别作AB，CG的垂线，垂足分别为M，N，
∵△ABC是等边三角形， AC=3， ∴AB=AC=3，
∵AG=1， 则
在 中，
∵将线段CG绕点C逆时针旋转 得CF，
∴CG=CF，∠GCF=60°，
∴△CGF 是等边三角形，
则
∴由探究发现可得： .
（3）解：如图，延长AC，BE交于点T， 过点P作PS⊥BE于点S，连接BC，
设CD=x，∵AB是半圆O的直径，.
在 中，
在 中，
解得：
∴由探究发现可得：
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1） 通过等面积即可得解；
（2）过F作FN⊥CG于点N，由（1）可知PD+PE=FN，所以求出FN即可，再由题意可知△CGF为等边三角形，所以求出CG即可，进而在△CMG中利用勾股定理求CG；
（3）延长AC、BE交于点T，连接BC，过P作PS⊥BE于点S，易证△ABT为等腰三角形，所以BC=PD+PS，在△ACB和△DCB中，利用双勾股可求出CD=4，进而AC=BE=6，BC=8，从而即可得解．
28．【答案】（1） ；
（2）解：①为旋转得到
，AC=AE，BC=DE，∠ADE=∠B，
∵AC=BC，
∴AE=DE，
∴∠ADE=∠EAD，∠ABD=∠ADB，
设，则，
∴四边形ABDE为双等四边形；
②作于点H
设，则：
在中，，即，
解得：
ⅰ)当时，
ⅱ)若时，
作于点M
ⅲ)若时，
综上所述：满足条件时，CD=或或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形的综合
【解析】【解答】解：(1)∵AB=AC，AD=CD，∠BAC=∠D
∴∠ACB=，∠CAD=
∴∠ACB=∠CAD
∴AD||BC
∵∠BAC=∠D，∠ACB=∠CAD
∴△ABC~△DAC
∴
∴AC2=DC·BC
【分析】(1)直接由双等四边形的性质适
(2)①结合旋转的性质可证得AB=AD，AC=AE，BC=DE，∠ADE=∠B，利用等腰三角形的性质可证得∠ADE=∠EAD，∠ABD=∠ADB，设，可表示出相关角的度数，再证明，利用双等四边形的定义可证得结论.
②②作于点H，利用解直角三角形求出BH、AH的长，设，可表示出AC的长，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到CH、AC、BC的长；ⅰ)当时；ⅱ)若时；ⅲ)若时；分别求出CD的长即可.
29．【答案】（1）30；等角的补角相等
（2）解：∵∠AFB是△AEF的外角，
∴∠AFB= ∠EAF+∠E.
∵∠ACB是△ACD的外角，
∴∠ACB=∠CAD+∠D.
∵∠EAF=∠CAD， ∠E=∠D，
∴∠AFB=∠ACB=60°.
即线段AD与线段BE所在直线形成的夹角中有一个角是60°.
∵AD=BE，线段AD是线段BE的双关联线段。
（3）解：答案不唯一，例如：
作法一：
作法二：
如图，线段CD即为所求.
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定；矩形的性质；尺规作图-作三角形
【解析】【解答】
解：(1)设AC， BD的交点为O，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB，∠ABC= 90°；
∵对角线AC与BD互为双关联线段，
∴∠AOB=60°，
∴AOB是等边三角形，
∴∠OAB= 60°，
∴∠ACB=90°-∠OAB=30°；
问题2中的依据是：等角的补角相等；
故答案为：30， 等角的补角相等；
【分析】
(1)设AC， BD的交点为O，利用矩形的性质，结合新定义概念可证明AOB是等边三角形，由等边三角形的性质利用角度的和差运算即可解答；2小问利用等角的补角相等即可完成问题2的依据，解答即可；
(2)利用三角形外角的性质可得∠AFB= ∠EAF+∠E，∠ACB=∠CAD+∠D，再用等边三角形的性质即可∠AFB=∠ACB = 60°，解答即可；
(3)作一个等边三角形解答即可.
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