第3章 不等式 综合检测 综合检测（含解析）高中数学 必修1（苏教版）

第3章 不等式 综合检测
考查要点：不等式的基本性质，基本不等式，一元二次方程、一元二次不等式
建议用时：40＋2分钟　
一、 单项选择题
1. (2024徐州高级中学期中)不等式x(x＋2)A.
B.
C. ∪(1，＋∞)
D. (－∞，－1)∪
2. (2024盐城五校联盟期末)设实数x满足x>－1，则函数y＝x＋的最小值为(　　)
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3. (2024江都中学、仪征中学联考)不等式x2－2x－3<0成立的一个必要且不充分条件是(　　)
A. －14. 已知△ABC的三边长分别为a，b，c，则方程a2x2－(c2－a2－b2)x＋b2＝0的根的情况是(　　)
A. 无实根 B. 有两个相等实根
C. 有两个相异实根 D. 不能确定
5. (2024徐州高级中学期中)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，1)∪(3，＋∞)，则不等式bx2＋ax＋c≥0的解集是(　　)
A.
B.
C. ∪[1，＋∞)
D. (－∞，－1]∪
6. (2024灌云一中阶段检测)若正实数x，y满足x＋2y＝4，不等式m2＋m>＋有解，则实数m的取值范围是(　　)
A.
B. ∪(1，＋∞)
C.
D. (－∞，－1)∪
7. (2024南京外国语学校月考)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为(　　)
A. 9 B. 2 C. D. 3
二、 多项选择题
8. (2024泰州期末)已知正数a，b满足a＋＝2，则下列结论中正确的是(　　)
A. b> B. 0<≤1 C. ＋b≥3 D. a2＋≥2
9. (2024常熟期中)已知a>0，b>0，且2a＋b＝1，则下列结论中正确的是(　　)
A. ab的最小值为 B. ＋的最小值为8
C. ＋的最大值为 D. (a＋1)(b＋1)的最大值为2
三、 填空题
10. (2024响水清源高级中学学情分析考试)不等式>2的解集是________．
11. (2024灌云一中阶段检测)若a>0，b>0，且b＋8a－2ab＝0，则2a＋b的最小值为________；此时a＝________．
12. (2024常州北郊高级中学阶段调研)若a>1，关于x的不等式x2－x＋9<0的解集中有且仅有四个整数，则实数a的取值范围是________．
四、 解答题
13. (2024苏州高新区一中月考)设函数y＝ax2＋4x＋b.
(1) 当b＝2时，若对于x∈R，有y≥0恒成立，求实数a的取值范围；
(2) 已知a>b，若y≥0对于一切实数x恒成立，并且存在x0∈R，使得ax＋4x0＋b＝0成立，求的最小值．
第3章综合检测
1. A　由x(x＋2)2. A　因为x>－1，所以函数y＝x＋＝(x＋1)＋－1≥2－1＝4－1＝3，当且仅当x＋1＝，即x＝1时，等号成立，所以函数y＝x＋的最小值为3.
3. C　不等式x2－2x－3<0的解集为{x|－14. A　因为Δ＝(a2＋b2－c2)2－4a2b2＝(a2＋b2－c2＋2ab)(a2＋b2－c2－2ab)＝[(a＋b)2－c2][(a－b)2－c2]＝(a＋b＋c)(a＋b－c)(a－b＋c)(a－b－c)，由三角形的两边之和大于第三边知a＋b－c>0，a－b＋c>0，a－b－c<0，且a＋b＋c>0，所以Δ<0，故方程无实根．
5. B　因为关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，1)∪(3，＋∞)，所以1和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两个实数根，且a>0，则解得所以不等式bx2＋ax＋c≥0等价于－4ax2＋ax＋3a≥0(a>0)，即4x2－x－3≤0，解得－≤x≤1，所以不等式bx2＋ax＋c≥0的解集是.
6. B　＋＝[x＋2(y＋1)]＝×[4＋＋]≥×[4＋2]＝，当且仅当＝，即x＝3，y＝时，等号成立，要使不等式m2＋m>＋有解，只需m2＋m>，解得m<－或m>1，故实数m的取值范围是∪(1，＋∞).
7. B　因为x2－3xy＋4y2－z＝0，所以z＝x2－3xy＋4y2.又x，y，z均为正实数，所以＝＝≤＝1，当且仅当x＝2y时，等号成立，所以＝1，此时x＝2y，＝1，所以z＝2y2，所以＋－＝＋－＝－(－＋4)＋2＝－＋2，当且仅当y＝时，等号成立，满足题意，所以＋－的最大值为2.
8. ABD　对于A，由题意，得a＝2－＝>0，b>0，所以b>，故A正确；对于B，＝＝－＋1.因为b>，所以0<<2，所以0<≤1，故B正确；对于C，令a＝b＝1，则＋b＝2<3，故C错误；对于D，因为0<≤1，所以a2＋＝－＝4－≥2，故D正确．故选ABD.
9. BC　因为a>0，b>0，且2a＋b＝1，所以由基本不等式，得1＝2a＋b≥2，解得ab≤，当且仅当2a＝b，即a＝，b＝时，等号成立，故A错误；＋＝(2a＋b)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即a＝，b＝时，等号成立，故B正确；因为a>0，b>0，且2a＋b＝1，所以1＝2a＋b≥2，＋>0，所以(＋)2＝2a＋b＋2≤2a＋b＋2a＋b＝2，所以＋≤，当且仅当2a＝b，即a＝，b＝时，等号成立，所以＋的最大值为，故C正确；(a＋1)(b＋1)＝(a＋2a＋b)(b＋2a＋b)＝2(3a＋b)(a＋b)＝2(3a2＋4ab＋b2)＝2[(2a＋b)2－a2]＝2(1－a2)<2，故D错误．故选BC.
10. (－4，－1)　不等式>2，即<0，即(x＋1)(x＋4)<0，解得－411. 9　　因为b＋8a－2ab＝0，所以＋＝1.因为a>0，b>0，所以2a＋b＝(2a＋b)(＋)＝1＋＋＋4≥5＋2＝9.当且仅当＝，即a＝，b＝6时，等号成立．故2a＋b的最小值为9，此时a＝.
12. ∪(5，6]　由x2－x＋9<0，得(x－a)<0，当13，即a>3>时，不等式的解集为.若满足解集中仅有四个整数，可能为1，2，3，4或2，3，4，5或3，4，5，6.当整数解为1，2，3，4时，0<<1，且413. (1) 当b＝2时，若对于x∈R，有y≥0恒成立，即ax2＋4x＋2≥0恒成立，
可得解得a≥2，
故实数a的取值范围为[2，＋∞).
(2) 由y≥0对于一切实数x恒成立，得
由存在x0∈R，使得ax＋4x0＋b＝0成立，得Δ≥0，
所以Δ＝0，即16－4ab＝0，解得ab＝4.
又a>b，a>0，所以2a－b>a>0，
所以＝＝2a－b＋≥2＝8，
当且仅当2a－b＝4，即a＝1＋，b＝2－2时，等号成立，
所以的最小值为8.