第4章 指数与对数 综合检测（含解析）高中数学 必修1（苏教版）

第4章 指数与对数 综合检测
考查要点：根式与分数指数幂的互化，指数幂的运算，对数的概念和运算性质，换底公式
建议用时：40＋2分钟　
一、 单项选择题
1. (2024扬中高级中学调研)化简＋的结果是(　　)
A. 0 B. 2(b－a) C. 0或2(b－a) D. 2(a－b)
2. (2024宿迁期末)人类是数据的创造者和使用者，自结绳记事起，它就已慢慢产生．随着计算机和互联网的广泛应用，人类产生创造的数据量呈爆炸式增长，中国已成为全球数据总量最大、数据类型最丰富的国家之一．人类采集、存储和处理数据能力大幅提升，使数据应用渗透到我们生活中的每个角落．目前，数据量已经从TB(1 TB＝1 024 GB)级别跃升到PB(1 PB＝1 024 TB)，EB(1 EB＝1 024 PB)乃至ZB(1 ZB＝1 024 EB)级别．国际数据公司(IDC)的研究结果表明，2008年全球产生的数据量为0.500 ZB，2010年增长到1.125 ZB.若从2008年起，全球产生的数据量y(单位：ZB)与年份t的关系为y＝y0at-2 008，其中y0，a均是正的常数，则2024年全球产生的数据量是2024年的(　　)
A. 0.5 倍 B. 2.25倍 C. 1.5倍 D. 15倍
3. (2024宿迁期末)已知log23＝a，2b＝7，用a，b表示log4256为(　　)
A. B. C. D.
4. 若(ln x)2－2ln x－3＝0的两根是α，β，则logαβ＋logβα等于(　　)
A. － B. C. － D.
5. (2024南京师大附中期中)有一个非常有趣的数列叫作调和数列，此数列的前n项和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到它的近似公式：当n很大时，1＋＋＋…＋≈ln n＋γ，其中γ称为欧拉—马歇罗尼常数，γ≈0.577 215 664 901…至今为止都还不确定γ是有理数还是无理数．由于上式在n很大时才成立，故当n较小时计算出的结果与实际值之间是存在一定的误差的．已知ln 2≈0.693，用上式估算出的ln 4与实际的ln 4的误差的绝对值近似为(　　)
A. 0.03 B. 0.12 C. 0.17 D. 0.21
6. (2024泰州期末)已知m＝5log63，n＝2log65，则mn的值为(　　)
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
7. 若logab＝logba(a≠b)，则＋的最小值为(　　)
A. 10 B. 5 C. D. 2
二、 多项选择题
8. 若1<<，则下列结论中正确的是(　　)
A. logab>logba B. |logab＋logba|>2
C. (logba)2<1 D. |logab|＋|logba|>|logab＋logba|
9. 已知log3m＝log27n，则下列等式中恒成立的是(　　)
A. ln n＝3ln m B. n＝3m
C. log81(mn)＝log3m D. log3＝－
三、 填空题
10. (2024宿迁期末)计算：lg 2－lg －31－log32＋＝________．
11. 十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即ab＝N b＝logaN.已知2a＝6，3b＝36，则＝________，＋＝________．
12. 若x>0，y>0，且log7x＝log14y＝log28(x＋y)，则＝________．
四、 解答题
13. (2024南通质量监测)(1) 计算：lg 25＋lg 2×lg 50＋(lg 2)2；
(2) 设a＝log32，用a表示log38－2log36；
(3) 设a是非零实数，a－a-1＝1，求的值．
第4章综合检测
1. C　＋＝|a－b|＋(b－a).当a≥b时，原式＝a－b＋(b－a)＝0；当a2. C　由题意，得0.5＝y0×a0，解得y0＝.又1.125＝×a2，解得a＝1.5，所以y＝×
1.5t-2 008，所以2024年全球产生的数据量是2023年的＝1.5(倍).
3. C　因为2b＝7，所以b＝log27，log4256＝＝＝＝.
4. C　由(ln x)2－2ln x－3＝(ln x－3)(ln x＋1)＝0，得ln x＝3或ln x＝－1，解得x＝e3或x＝e-1.不妨设α＝e3，β＝e-1，所以logαβ＋logβα＝－－3＝－.
5. B　因为1＋＋＋…＋≈ln n＋γ，所以1＋＋＋≈ln 4＋γ，所以ln 4≈1＋＋＋－γ＝－γ，又ln 4＝ln 22＝2ln 2≈1.386，所以ln 4与实际的ln 4的误差的绝对值近似为|－0.577－1.386|≈0.12.
6. D　由题意，得log6m＝log65·log63，log6n＝log65·log62，所以log6mn＝log6m＋log6n＝log65·log63＋log65·log62＝log65·(log63＋log62)＝log65，所以mn＝5.
7. D　由logab＝logba＝，得(logab)2＝1，所以logab＝±1.因为a≠b，所以logab＝－1，则b＝a-1＝.由基本不等式，得＋＝＋3a2≥2＝2，当且仅当＝3a2时，等号成立，所以＋的最小值为2.
8. ABC　因为1<<，所以01，0logba，故A正确；由基本不等式，得logab＋logba≥2＝2.又b9. ACD　由log3m＝log27n，得log3m＝log33n＝log3n，所以3log3m＝log3n，所以log3m3＝log3n，所以n＝m3>0.对于A，因为n＝m3>0，所以ln n＝ln m3＝3ln m，故A正确；对于B，n＝m3>0，故B错误；对于C，因为n＝m3>0，所以log81(mn)＝log81m4＝log34m4＝log3m，故C正确；对于D，因为n＝m3>0，所以log3＝log3＝log3＝－log3n＝－，故D正确．故选ACD.
10. 　原式＝lg 2＋lg 5－3×3log32-1＋＝lg (2×5)－3×＋2＝1＋＝.
11. 　1　因为2a＝6，3b＝36，所以4a＝36，9b＝362，所以＝.又a＝log26，b＝log336，故＋＝＋＝log62＋log63＝1.
12. 　令log7x＝log14y＝log28(x＋y)＝t，则x＝7t，y＝14t，x＋y＝28t.因为7t·28t＝(14t)2，即x(x＋y)＝y2，则1＋＝，其中>0，所以＝或＝(舍去).
13. (1) 原式＝2lg 5＋lg 2×(lg 50＋lg 2)＝2lg 5＋lg 2×lg 100＝2lg 5＋2lg 2＝2×(lg 5＋lg 2)＝2lg 10＝2.
(2) 因为a＝log32，所以log38－2log36＝3log32－2(log32＋1)＝3a－2(a＋1)＝a－2.
(3) 由a－a-1＝1，得(a－a-1)2＝1，
所以a2＋a-2＝3，
所以＝
＝＝＝＝－.