沪科版（2024）数学八年级上册12.3一次函数与二元一次方程同步分层练习
一、夯实基础
1．（2025八上·余姚期末）如图，已知一次函数 和 的图象交于点 ，则关于 的二元一次方程经 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵ 一次函数 和 的图像交于点 ，
∴ 二元一次方程 的解就是M点的坐标，即x=1，y=3.
故答案为：C。
【分析】计算两条直线的交点，即将两条直线对应的一次函数联立为二元一次方程组，求解即可。所以将两条直线对应的一次函数联立为二元一次方程组求出的解，就是该两条直线的交点坐标。本题从图中即可得出答案。
2．（2025八上·滨江期末）如图，已知一次函数，的图象交于点A，它们分别交x轴于点B，C，则的面积为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵一次函数，
∴当时，，
解得：，
∵一次函数，
∴当时，，
解得：，
∴，
当时，，
解得：，
∴，
∴，
∴，
边上的高即为点A的纵坐标1，
∴的面积为：，
故答案为：B.
【分析】根据题意可得，，然后利用三角形的面积公式解题即可.
3．（2024八上·柯桥月考）已知直线和直线交于点，则关于x的方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
4．（2024八上·深圳期末）如图，一次函数与的图象交于点，下列结论正确的是（ ）
A．方程的解是
B．不等式和不等式的解集相同
C．不等式组的解集是
D．方程组的解为
【答案】C
【知识点】解二元一次方程组；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系
5．（2024八上·深圳期末） 一次函数与的图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．
B．这两个函数的图象与轴围成的三角形的面积为4. 5
C．关于的方程组的解为
D．当从0开始增加时，函数比的值先达到3
【答案】D
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：A、由图象，y＝kx+b与y轴交于点（0，-1），∴b＝-1；y＝mx+n与y轴交于点（0，2），∴n＝2；故A选项正确，不符合题意；
B、这两个函数的图象与y轴围成的三角形的面积为，故B选项正确，不符合题意；
C、由图象，两个函数图象的交点为（3，4），故关于x，y的方程组的解为.故C选项正确，不符合题意；
D、当x从0开始增加到3时，函数y=kx+b的图象始终在y=mx+n的图象下方，说明总有kx+b故答案为：D.
【分析】A、由图象与y轴交点可得b，n的值；B、求坐标系中三角形的面积要找准水平方向的宽和竖直方向的高；C、两个一次函数的图象交点的横、纵坐标即由两个函数表达式建立的方程组的解；D、根据图象位置的高低可以判断函数值的大小.
6．（2024八上·深圳期中）已知与是一次函数．若，那么如图所示的个图中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数的图象；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：联立方程，可解得，故两直线的交点为，
交点横坐标为1，C和D选项交点横坐标为负，不符合题意
观察AB选项图象可得a+b＞0，故交点纵坐标大于0，排除B项，故选项符合题意
故选：．
【分析】
直接联立函数解析式，得到方程组，解出两直线的交点为，根据交点横坐标正负排除C和D项，根据AB选项图象可知a+b＞0，排除B项．
7．（2019八上·温州开学考）已知函数 和 ．
（1）在同一个平面直角坐标系中画出这两个函数的图象；
（2）根据图象，写出它们的交点坐标；
【答案】（1） 图象如图所示，
（2）解：看图象可知，它们的交点坐标为（1，1）.
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】（1）找出两个一次函数图象与坐标轴的交点，以图象坐标轴的交点分别作直线即可；
（2）作出图象，看图即可得出交点的坐标。
二、能力提高
8．（2024八上·安徽期中）把直线向上平移n个单位后，与直线的交点在第二象限，则n的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数图象与几何变换；一次函数与二元一次方程（组）的关系；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：直线向上平移n个单位后的解析式为，
联立方程组，可得，
解得：，
∴两函数的交点坐标为（，），
∵交点在第二象限，
∴，
解得：，
故答案为：D.
【分析】先联立方程组求出交点坐标，再根据第二象限点坐标的特征可得，再求出n的取值范围即可.
9．（2023八上·霍邱期中）在平面直角坐标系中，已知两直线与相交于第四象限，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象、性质与系数的关系；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】联立方程组，
解得：，
∵两条直线的交点在第四象限，
∴，
解得：，
故答案为：A.
【分析】先求出两条直线的交点坐标，再根据第四象限点坐标的特征列出不等式组，再求解即可.
10．（2020八上·富平期中）在平面直角坐标系中，已知一次函数 与 的图象都经过 ，且分别与 轴交于点 和点 .
（1）求 的值；
（2）设点 在直线 上，且在 轴右侧，当 的面积为 时，求点 的坐标.
【答案】（1）解：将 代入 ，得：
解得 .
将 代入 ，得： ，
解得： .
（2）解：如图，过 作 轴于 ，
在 中，令 ，则 ，
所以点B的坐标为 .
在 中，
令 ，则 .
所以点C的坐标为 .
所以 .
，
即 .
解得
在 中，令 ，得 .
所以点D的坐标为 .
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】（1）由题意把点A（-2，0）分别代入两个一次函数的解析式计算即可求解；
（2） 如图，过D作DE⊥y轴于点E，分别求出两直线与y轴的交点B、C的坐标，则BC=yB-yC，由图得S△ABD=S△ABC+S△BCD=AO·BC+DE·BC=15，由此可得关于DE的方程，解之可求得DE的值，则点D的坐标可求解.
11．（2024八上·深圳期末）已知一次函数，请回答下列问题：
（1）请用描点法画出它的图象：
解：列表：
x 0 m
y 4 0
描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点；
连线：把这两点连接起来，得到的图象；
表格中的值为 ；请在坐标系中画出的图象；
（2）若一次函数的图象与一次函数图象关于轴对称，请画出一次函数的图象，并求出它的解析式；
（3）若平行于轴的直线分别交的图象，的图象于两点，已知的长为4，则点的横坐标是 .
【答案】（1）解：；如图所示；
（2）解：∵一次函数的图象与一次函数图象关于轴对称，
∴一次函数的图象如图所示.
根据的图象可知，一次函数经过点，
∴
（3）或
【知识点】一次函数的图象；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】（1）解：由表格，x=m时，y=0，代入得：
2m+4=0，解得m=-2.
故答案为：-2.
（3）解：∵ 平行于y轴的直线分别交y=2x+4的图象，y=kx+b的图象于A，B两点，
∴A，B两点的横坐标相同，且AB=4；
设A点的坐标为（a，2a+4），则点B的坐标为（a，－2a－4）.
∴|（2a+4）－（－2a－4）|=4，
∴|4a+8|=4，
解得：a=－1或a=－3.
故答案为-1或-3.
【分析】（1）把y=0代入，即可求得m的值；两点确定一条直线，由两组点坐标，即可得到函数图象；
（2）根据轴对称画图；得到y1=kx+b与x轴和y轴的交点，利用待定系数法即可求得解析式；
（3）根据与y轴平行的直线上的点横坐标相同，设出A，B两点的坐标，根据AB=4，得|（2a+4）－（－2a－4）|=4，求解即可.注意A和B两点上下位置不确定，故加绝对值.
12．如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+3过点A(5，m)，且与y轴交于点B，把点A 向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到点C.过点C且与直线y=2x平行的直线交y轴于点D.
（1）求直线CD 的解析式.
（2）直线AB与CD 交于点 E，将直线CD 沿 EB 方向平移至经过点 B 的位置结束，求直线CD 在平移过程中与x轴交点的横坐标的取值范围.
【答案】（1）解：∵ 直线y=-x+3过点A(5，m)，
∴把 A（ 5，m)代入 y=-x+3 ，可得：-m+3=5，
∴m=-2，即A（5，-2）
∵ 把点A 向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到点C.
∴点C的坐标为（3，2），
∵直线CD∥ 直线y=2x ，
∴可设直线CD的解析式为：y=2x+b，
∴6+b=2，可得：b=-4，
∴ 直线CD 的解析式 ：y=2x-4.
（2）解：由（1）知直线CD 的解析式 ：y=2x-4，令y=0，则x=2；
∵直线CD平移之后过点B（0，3），
∴平移之后的解析式为：y=2x+3，
∴在y=2x+3中：令y=0，则：x=，
∴直线CD 在平移过程中与x轴交点的横坐标的取值范围为：
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）首先根据点A在直线 y=-x+3 上，可求得点A的坐标，然后根据点的平移可得出点C的坐标，然后再根据直线的平移得出直线CD中的一次项系数k的值，可设直线CD的解析式为：y=2x+b，进而把点C的坐标为（3，2），代入y=2x+b中，即可求得b的值，即可得出直线CD 的解析式 ：y=2x-4；
（2）首先求得直线CD与x轴交点坐标，再根据平移得出至经过点B时的与x轴的交点坐标，即可得出答案。
13．（2025八上·贵阳期末）如图，直线l是一次函数的图象，已知直线l经过点和点．
（1）求直线l的函数表达式；
（2）在y轴上有一点C，连接，若的面积等于面积的2倍，求点C的坐标．
【答案】（1）
（2）或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系
14．（2023八上·渠县期末）如图，直线的解析式为，且与x轴交于点D，直线经过点A、B，直线、交于点C.
（1）求直线的解析表达式；
（2）求的面积；
（3）在直线上存在异于点C的另一点P，使得与的面积相等，请求出点P的坐标.
【答案】（1）解：设直线的解析表达式为y=kx+b（k≠0），
把A（4，0）、B（3， ）代入表达式y=kx+b，
，解得：，
∴直线的解析表达式为y=x-6；
（2）解：当y=-3x+3=0时，x=1，
∴D（1，0）.
联立y=-3x+3和y=x-6，
解得：x=2，y=-3，
∴C（2，-3），
∴；
（3）解：∵△ADP与△ADC底边都是AD，△ADP与△ADC的面积相等，
∴两三角形高相等.
∵C（2，-3），
∴点P的纵坐标为3.
当y=x-6=3时，x=6，
∴点P的坐标为（6，3）.
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）根据A、B两点的坐标，利用待定系数法可以求出直线l2的解析式；
（2）令y=-3x+3中的y=0，算出对应的自变量的值，可得点D的坐标，联立两一次函数的解析式求解可得点C的坐标，进而根据三角形的面积计算公式即可算出△ADC的面积；
（3）根据同底等高的三角形面积相等可得点P的纵坐标为3，从而将y=3代入直线l2算出x的值，可得点P的坐标.
15．（2025八上·贵州期末）如图，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于A、B两点，正比例函数的图象与交于点．
（1）求m的值及的关系式；
（2）方程组的解为________；
（3）求的值．
【答案】（1）解：把代入一次函数，可得，，解得：，
，
设的解析式为，
将点代入，
得，
解得：，
∴的解析式为；
（2）
（3）解：如图，过作于于，
则，
在中，
令，则；
令，则，
∴，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（2）解：方程组可整理为，
方程组的解即为一次函数和正比例函数的交点横纵坐标，
即．
故答案为：；
【分析】（1）先得到点的坐标，然后利用待定系数法求出的解析式；
（2）利用一次函数和正比例函数的交点横纵坐标即为方程组的解解答．
（3）过作于于，即可得到，然后得到，再根据解答即可.
（1）解：把代入一次函数，
可得，，解得：，
，
设的解析式为，
将点代入，
得，
解得：，
∴的解析式为；
（2）解：方程组可整理为，
方程组的解即为一次函数和正比例函数的交点横纵坐标，
即．
（3）解：如图，过作于于，
则，
在中，
令，则；
令，则，
∴，
∴，
∴．
16．（2022八上·镇海期中）习近平总书记说：“人民群众多读书，我们的民族精神就会厚重起来、深邃起来．”某书店计划在4月23日世界读书日之前，同时购进A，B两类图书，已知购进3本A类图书和4本B类图书共需288元；购进6本A类图书和2本B类图书共需306元．
（1）A，B两类图书每本的进价各是多少元？
（2）该书店计划用4500元全部购进两类图书，设购进A类x本，B类y本．
①求y关于x的关系式；
②进货时，A类图书的购进数量不少于60本，已知A类图书每本的售价为38元，B类图书每本的售价为50元，求如何进货才能使书店所获利润最大，最大利润为多少元？
【答案】（1）解：设A类图书每本m元，B类图书每本n元，根据题意得
解之：
答：A类图书每本36元，B类图书每本45元
（2）解：①根据题意得 36x+45y=4500
解之：；
②设总利润为W，根据题意得
；
∵A类图书的购进数量不少于60本，
∴x≥60；
∵k=-2＜0，y随x的增大而减小，
∴当x=60时W最大值=-2×60+500=380.
∴
答：购进A类图书60本，B类图书52本时利润最大，最大利润为380元
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）此题的等量关系为：3×A类图书的单价+4×B类图书的单价=288；6×A类图书的单价+2×B类图书的单价=306；再设未知数，列方程组，然后求出方程组的解.
（2）①36×A类图书的数量+45×B类图书的数量=4500，据此可得到y关于x的关系式；②设总利润为W，根据W=买一本A类图书的利润×其数量+买一本B类图书的利润×其数量，可得到W与x之间的函数解析式，再利用A类图书的购进数量不少于60本，可得到x的取值范围，再利用一次函数的性质，可得到最大利润及利润最大时的进货方案.
17．（2021八上·诸暨月考）一方有难，八方支援．“新冠肺炎”疫情来袭，除了医务人员主动请缨逆行走向战场外，众多企业也伸出援助之手，某公司用甲，乙两种货车向武汉运送爱心物资．两次满载的运输情况如表：
甲种货车辆数 乙种货车辆数 合计运物资吨数
第一次 3 4 31
第二次 2 6 34
（1）求甲、乙两种货车每次满载分别能运输多少吨物资；
（2）由于疫情的持续，该公司安排甲乙货车共10辆进行第三次物资的运送，运送的物资不少于48.4吨，其中每辆甲车一次运送花费500元，每辆乙车一次运送花费300元，请问该公司应如何安排车辆最节省费用？
【答案】（1）解：设甲、乙两种货车每次满载分别能运输x吨和y吨物资，
根据题意，得 ，
解得： ，
∴甲、乙两种货车每次满载分别能运输5吨和4吨物资，
答：甲、乙两种货车每次满载分别能运输5吨和4吨物资；
（2）解：设安排甲货车z辆，乙货车（10-z）辆，总运费为w元，根据题意得，
w=500z+300（10-z）=200z+3000，
∵200＞0，
∴w随z的增大而增大，
∵运送的物资不少于48.4吨，
∴ ，
∴ ，
又∵z是整数，
∴当z=9时，w的值最小为w=200×9+3000=4800，
答：该公司应安排甲种货车9辆，乙种货车1辆最节省费用．
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）利用表中数据，可得到两个等量关系，再设未知数，列方程组，然后求出方程组的解.（2）设安排甲货车z辆，乙货车（10-z）辆，总运费为w元，根据题意可列出W与z之间的函数解析式，再求出z的取值范围；然后利用一次函数的性质，可求出结果.
18．（2023八上·六安月考） 某校为达成省体育器材类装备，计划在京东惠购一次性购进篮球和足球共个，某电商内部信息表给出其进价与售价间的关系如表：
篮球 足球
进价元个
售价元个
（1）学校用元以进价购进这批篮球和足球，求购进篮球和足球各多少个；
（2）设该电商所获利润为单位：元，购进篮球的个数为单位：个，请写出与之间的函数表达式不要求写出的取值范围；
（3）因资金紧张，学校的进货成本只能在元的限额内，请为学校设计一种进货方案使得尽可能多地购买篮球和足球，同时要使电商利润最小；并求出利润的最小值．
【答案】（1）解：设购进篮球和足球分别为个和个，由题意，得：
，解得：；
答：购进篮球和足球分别为个和个；
（2）解：购进篮球的个数为个，则购进足球的个数为个，由题意，得：
；
与之间的函数关系式为：；
（3）解：由题意，得：，
解得：，
利润为：，，
随的增大而减小，
当时，有最小值，为元，
应该购进篮球个，足球个，电商利润的最小值为元．
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】 （1） 设购进篮球和足球分别为 m 个和 n 个，根据题意，列出方程组进行求解即可；
（2） 根据总利润等于篮球的利润加上足球的利润，列出函数关系式即可求出；
（3） 根据学校的进货成本只能在4745元的限额内，列出不等式，求出 x 的取值范围，利用一次函数的性质进行求解即可．
三、拓展创新
19．（2024八上·滨江期末）定义：一次函数和一次函数为“逆反函数”，如和为“逆反函数”．
（1）点在的“逆反函数”图象上，则 ；
（2）图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，求点B的坐标；
（3）若和它的“逆反函数”与y轴围成的三角形面积为3，求b的值．
【答案】（1）；
（2）解：∵，
∴的“逆反函数”为，
∵图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，
∴，解得：
∴；
（3）解：∵，
∴它的“逆反函数”为，
∴两函数与轴的交点分别为，，
由，解得：，
∴两函数的交点为，
∵和它的“逆反函数”与y轴围成的三角形面积为3，
∴，
∴或．
【知识点】一次函数的概念；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴的“逆反函数”为，
∵点在的“逆反函数”图象上，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据新定义得到“逆反函数”为，然后将代入即可解题；
（2）根据题意得到“逆反函数”解方程组即可求得B点坐标；
（3）求得两函数与轴的交点以及两函数的交点，然后根据三角形的面积列方程解题即可．
20．（2021八上·宝安期末）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”．例如求的“不动点”；联立方程，解得，则的“不动点”为．
（1）由定义可知，一次函数的“不动点”为 ．
（2）若一次函数的“不动点”为，求m、n的值．
（3）若直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“不动点”，若P点为x轴上一个动点，使得，求满足条件的P点坐标．
【答案】（1）(-1，-1)
（2）解：根据定义可得，点在上，
解得
点又在上，
，
又
解得
（3）解：直线上没有“不动点”，
直线与平行
，令，
令，则
设
即或
解得或
或
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；定义新运算
【解析】【解答】解：(1)由定义可知，一次函数的“不动点”为一次函数解析式与正比例函数的交点，即
解得
一次函数的“不动点”为
【分析】（1）根据题意，联立，即可求解；
（2）由定义可知一次函数的“不动点”为，再将（2，2）代入即可求出m的值；
（3）由题意得出直线与平行，则，令，，再求出，设，由，得出，即可得出点P的坐标。
1 / 1沪科版（2024）数学八年级上册12.3一次函数与二元一次方程同步分层练习
一、夯实基础
1．（2025八上·余姚期末）如图，已知一次函数 和 的图象交于点 ，则关于 的二元一次方程经 的解是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025八上·滨江期末）如图，已知一次函数，的图象交于点A，它们分别交x轴于点B，C，则的面积为（ ）
A．1 B． C．2 D．
3．（2024八上·柯桥月考）已知直线和直线交于点，则关于x的方程的解是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八上·深圳期末）如图，一次函数与的图象交于点，下列结论正确的是（ ）
A．方程的解是
B．不等式和不等式的解集相同
C．不等式组的解集是
D．方程组的解为
5．（2024八上·深圳期末） 一次函数与的图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．
B．这两个函数的图象与轴围成的三角形的面积为4. 5
C．关于的方程组的解为
D．当从0开始增加时，函数比的值先达到3
6．（2024八上·深圳期中）已知与是一次函数．若，那么如图所示的个图中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2019八上·温州开学考）已知函数 和 ．
（1）在同一个平面直角坐标系中画出这两个函数的图象；
（2）根据图象，写出它们的交点坐标；
二、能力提高
8．（2024八上·安徽期中）把直线向上平移n个单位后，与直线的交点在第二象限，则n的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023八上·霍邱期中）在平面直角坐标系中，已知两直线与相交于第四象限，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（2020八上·富平期中）在平面直角坐标系中，已知一次函数 与 的图象都经过 ，且分别与 轴交于点 和点 .
（1）求 的值；
（2）设点 在直线 上，且在 轴右侧，当 的面积为 时，求点 的坐标.
11．（2024八上·深圳期末）已知一次函数，请回答下列问题：
（1）请用描点法画出它的图象：
解：列表：
x 0 m
y 4 0
描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点；
连线：把这两点连接起来，得到的图象；
表格中的值为 ；请在坐标系中画出的图象；
（2）若一次函数的图象与一次函数图象关于轴对称，请画出一次函数的图象，并求出它的解析式；
（3）若平行于轴的直线分别交的图象，的图象于两点，已知的长为4，则点的横坐标是 .
12．如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+3过点A(5，m)，且与y轴交于点B，把点A 向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到点C.过点C且与直线y=2x平行的直线交y轴于点D.
（1）求直线CD 的解析式.
（2）直线AB与CD 交于点 E，将直线CD 沿 EB 方向平移至经过点 B 的位置结束，求直线CD 在平移过程中与x轴交点的横坐标的取值范围.
13．（2025八上·贵阳期末）如图，直线l是一次函数的图象，已知直线l经过点和点．
（1）求直线l的函数表达式；
（2）在y轴上有一点C，连接，若的面积等于面积的2倍，求点C的坐标．
14．（2023八上·渠县期末）如图，直线的解析式为，且与x轴交于点D，直线经过点A、B，直线、交于点C.
（1）求直线的解析表达式；
（2）求的面积；
（3）在直线上存在异于点C的另一点P，使得与的面积相等，请求出点P的坐标.
15．（2025八上·贵州期末）如图，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于A、B两点，正比例函数的图象与交于点．
（1）求m的值及的关系式；
（2）方程组的解为________；
（3）求的值．
16．（2022八上·镇海期中）习近平总书记说：“人民群众多读书，我们的民族精神就会厚重起来、深邃起来．”某书店计划在4月23日世界读书日之前，同时购进A，B两类图书，已知购进3本A类图书和4本B类图书共需288元；购进6本A类图书和2本B类图书共需306元．
（1）A，B两类图书每本的进价各是多少元？
（2）该书店计划用4500元全部购进两类图书，设购进A类x本，B类y本．
①求y关于x的关系式；
②进货时，A类图书的购进数量不少于60本，已知A类图书每本的售价为38元，B类图书每本的售价为50元，求如何进货才能使书店所获利润最大，最大利润为多少元？
17．（2021八上·诸暨月考）一方有难，八方支援．“新冠肺炎”疫情来袭，除了医务人员主动请缨逆行走向战场外，众多企业也伸出援助之手，某公司用甲，乙两种货车向武汉运送爱心物资．两次满载的运输情况如表：
甲种货车辆数 乙种货车辆数 合计运物资吨数
第一次 3 4 31
第二次 2 6 34
（1）求甲、乙两种货车每次满载分别能运输多少吨物资；
（2）由于疫情的持续，该公司安排甲乙货车共10辆进行第三次物资的运送，运送的物资不少于48.4吨，其中每辆甲车一次运送花费500元，每辆乙车一次运送花费300元，请问该公司应如何安排车辆最节省费用？
18．（2023八上·六安月考） 某校为达成省体育器材类装备，计划在京东惠购一次性购进篮球和足球共个，某电商内部信息表给出其进价与售价间的关系如表：
篮球 足球
进价元个
售价元个
（1）学校用元以进价购进这批篮球和足球，求购进篮球和足球各多少个；
（2）设该电商所获利润为单位：元，购进篮球的个数为单位：个，请写出与之间的函数表达式不要求写出的取值范围；
（3）因资金紧张，学校的进货成本只能在元的限额内，请为学校设计一种进货方案使得尽可能多地购买篮球和足球，同时要使电商利润最小；并求出利润的最小值．
三、拓展创新
19．（2024八上·滨江期末）定义：一次函数和一次函数为“逆反函数”，如和为“逆反函数”．
（1）点在的“逆反函数”图象上，则 ；
（2）图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，求点B的坐标；
（3）若和它的“逆反函数”与y轴围成的三角形面积为3，求b的值．
20．（2021八上·宝安期末）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”．例如求的“不动点”；联立方程，解得，则的“不动点”为．
（1）由定义可知，一次函数的“不动点”为 ．
（2）若一次函数的“不动点”为，求m、n的值．
（3）若直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“不动点”，若P点为x轴上一个动点，使得，求满足条件的P点坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵ 一次函数 和 的图像交于点 ，
∴ 二元一次方程 的解就是M点的坐标，即x=1，y=3.
故答案为：C。
【分析】计算两条直线的交点，即将两条直线对应的一次函数联立为二元一次方程组，求解即可。所以将两条直线对应的一次函数联立为二元一次方程组求出的解，就是该两条直线的交点坐标。本题从图中即可得出答案。
2．【答案】B
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵一次函数，
∴当时，，
解得：，
∵一次函数，
∴当时，，
解得：，
∴，
当时，，
解得：，
∴，
∴，
∴，
边上的高即为点A的纵坐标1，
∴的面积为：，
故答案为：B.
【分析】根据题意可得，，然后利用三角形的面积公式解题即可.
3．【答案】B
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
4．【答案】C
【知识点】解二元一次方程组；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系
5．【答案】D
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：A、由图象，y＝kx+b与y轴交于点（0，-1），∴b＝-1；y＝mx+n与y轴交于点（0，2），∴n＝2；故A选项正确，不符合题意；
B、这两个函数的图象与y轴围成的三角形的面积为，故B选项正确，不符合题意；
C、由图象，两个函数图象的交点为（3，4），故关于x，y的方程组的解为.故C选项正确，不符合题意；
D、当x从0开始增加到3时，函数y=kx+b的图象始终在y=mx+n的图象下方，说明总有kx+b故答案为：D.
【分析】A、由图象与y轴交点可得b，n的值；B、求坐标系中三角形的面积要找准水平方向的宽和竖直方向的高；C、两个一次函数的图象交点的横、纵坐标即由两个函数表达式建立的方程组的解；D、根据图象位置的高低可以判断函数值的大小.
6．【答案】A
【知识点】一次函数的图象；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：联立方程，可解得，故两直线的交点为，
交点横坐标为1，C和D选项交点横坐标为负，不符合题意
观察AB选项图象可得a+b＞0，故交点纵坐标大于0，排除B项，故选项符合题意
故选：．
【分析】
直接联立函数解析式，得到方程组，解出两直线的交点为，根据交点横坐标正负排除C和D项，根据AB选项图象可知a+b＞0，排除B项．
7．【答案】（1） 图象如图所示，
（2）解：看图象可知，它们的交点坐标为（1，1）.
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】（1）找出两个一次函数图象与坐标轴的交点，以图象坐标轴的交点分别作直线即可；
（2）作出图象，看图即可得出交点的坐标。
8．【答案】D
【知识点】一次函数图象与几何变换；一次函数与二元一次方程（组）的关系；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：直线向上平移n个单位后的解析式为，
联立方程组，可得，
解得：，
∴两函数的交点坐标为（，），
∵交点在第二象限，
∴，
解得：，
故答案为：D.
【分析】先联立方程组求出交点坐标，再根据第二象限点坐标的特征可得，再求出n的取值范围即可.
9．【答案】A
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象、性质与系数的关系；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】联立方程组，
解得：，
∵两条直线的交点在第四象限，
∴，
解得：，
故答案为：A.
【分析】先求出两条直线的交点坐标，再根据第四象限点坐标的特征列出不等式组，再求解即可.
10．【答案】（1）解：将 代入 ，得：
解得 .
将 代入 ，得： ，
解得： .
（2）解：如图，过 作 轴于 ，
在 中，令 ，则 ，
所以点B的坐标为 .
在 中，
令 ，则 .
所以点C的坐标为 .
所以 .
，
即 .
解得
在 中，令 ，得 .
所以点D的坐标为 .
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】（1）由题意把点A（-2，0）分别代入两个一次函数的解析式计算即可求解；
（2） 如图，过D作DE⊥y轴于点E，分别求出两直线与y轴的交点B、C的坐标，则BC=yB-yC，由图得S△ABD=S△ABC+S△BCD=AO·BC+DE·BC=15，由此可得关于DE的方程，解之可求得DE的值，则点D的坐标可求解.
11．【答案】（1）解：；如图所示；
（2）解：∵一次函数的图象与一次函数图象关于轴对称，
∴一次函数的图象如图所示.
根据的图象可知，一次函数经过点，
∴
（3）或
【知识点】一次函数的图象；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】（1）解：由表格，x=m时，y=0，代入得：
2m+4=0，解得m=-2.
故答案为：-2.
（3）解：∵ 平行于y轴的直线分别交y=2x+4的图象，y=kx+b的图象于A，B两点，
∴A，B两点的横坐标相同，且AB=4；
设A点的坐标为（a，2a+4），则点B的坐标为（a，－2a－4）.
∴|（2a+4）－（－2a－4）|=4，
∴|4a+8|=4，
解得：a=－1或a=－3.
故答案为-1或-3.
【分析】（1）把y=0代入，即可求得m的值；两点确定一条直线，由两组点坐标，即可得到函数图象；
（2）根据轴对称画图；得到y1=kx+b与x轴和y轴的交点，利用待定系数法即可求得解析式；
（3）根据与y轴平行的直线上的点横坐标相同，设出A，B两点的坐标，根据AB=4，得|（2a+4）－（－2a－4）|=4，求解即可.注意A和B两点上下位置不确定，故加绝对值.
12．【答案】（1）解：∵ 直线y=-x+3过点A(5，m)，
∴把 A（ 5，m)代入 y=-x+3 ，可得：-m+3=5，
∴m=-2，即A（5，-2）
∵ 把点A 向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到点C.
∴点C的坐标为（3，2），
∵直线CD∥ 直线y=2x ，
∴可设直线CD的解析式为：y=2x+b，
∴6+b=2，可得：b=-4，
∴ 直线CD 的解析式 ：y=2x-4.
（2）解：由（1）知直线CD 的解析式 ：y=2x-4，令y=0，则x=2；
∵直线CD平移之后过点B（0，3），
∴平移之后的解析式为：y=2x+3，
∴在y=2x+3中：令y=0，则：x=，
∴直线CD 在平移过程中与x轴交点的横坐标的取值范围为：
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）首先根据点A在直线 y=-x+3 上，可求得点A的坐标，然后根据点的平移可得出点C的坐标，然后再根据直线的平移得出直线CD中的一次项系数k的值，可设直线CD的解析式为：y=2x+b，进而把点C的坐标为（3，2），代入y=2x+b中，即可求得b的值，即可得出直线CD 的解析式 ：y=2x-4；
（2）首先求得直线CD与x轴交点坐标，再根据平移得出至经过点B时的与x轴的交点坐标，即可得出答案。
13．【答案】（1）
（2）或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系
14．【答案】（1）解：设直线的解析表达式为y=kx+b（k≠0），
把A（4，0）、B（3， ）代入表达式y=kx+b，
，解得：，
∴直线的解析表达式为y=x-6；
（2）解：当y=-3x+3=0时，x=1，
∴D（1，0）.
联立y=-3x+3和y=x-6，
解得：x=2，y=-3，
∴C（2，-3），
∴；
（3）解：∵△ADP与△ADC底边都是AD，△ADP与△ADC的面积相等，
∴两三角形高相等.
∵C（2，-3），
∴点P的纵坐标为3.
当y=x-6=3时，x=6，
∴点P的坐标为（6，3）.
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）根据A、B两点的坐标，利用待定系数法可以求出直线l2的解析式；
（2）令y=-3x+3中的y=0，算出对应的自变量的值，可得点D的坐标，联立两一次函数的解析式求解可得点C的坐标，进而根据三角形的面积计算公式即可算出△ADC的面积；
（3）根据同底等高的三角形面积相等可得点P的纵坐标为3，从而将y=3代入直线l2算出x的值，可得点P的坐标.
15．【答案】（1）解：把代入一次函数，可得，，解得：，
，
设的解析式为，
将点代入，
得，
解得：，
∴的解析式为；
（2）
（3）解：如图，过作于于，
则，
在中，
令，则；
令，则，
∴，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（2）解：方程组可整理为，
方程组的解即为一次函数和正比例函数的交点横纵坐标，
即．
故答案为：；
【分析】（1）先得到点的坐标，然后利用待定系数法求出的解析式；
（2）利用一次函数和正比例函数的交点横纵坐标即为方程组的解解答．
（3）过作于于，即可得到，然后得到，再根据解答即可.
（1）解：把代入一次函数，
可得，，解得：，
，
设的解析式为，
将点代入，
得，
解得：，
∴的解析式为；
（2）解：方程组可整理为，
方程组的解即为一次函数和正比例函数的交点横纵坐标，
即．
（3）解：如图，过作于于，
则，
在中，
令，则；
令，则，
∴，
∴，
∴．
16．【答案】（1）解：设A类图书每本m元，B类图书每本n元，根据题意得
解之：
答：A类图书每本36元，B类图书每本45元
（2）解：①根据题意得 36x+45y=4500
解之：；
②设总利润为W，根据题意得
；
∵A类图书的购进数量不少于60本，
∴x≥60；
∵k=-2＜0，y随x的增大而减小，
∴当x=60时W最大值=-2×60+500=380.
∴
答：购进A类图书60本，B类图书52本时利润最大，最大利润为380元
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）此题的等量关系为：3×A类图书的单价+4×B类图书的单价=288；6×A类图书的单价+2×B类图书的单价=306；再设未知数，列方程组，然后求出方程组的解.
（2）①36×A类图书的数量+45×B类图书的数量=4500，据此可得到y关于x的关系式；②设总利润为W，根据W=买一本A类图书的利润×其数量+买一本B类图书的利润×其数量，可得到W与x之间的函数解析式，再利用A类图书的购进数量不少于60本，可得到x的取值范围，再利用一次函数的性质，可得到最大利润及利润最大时的进货方案.
17．【答案】（1）解：设甲、乙两种货车每次满载分别能运输x吨和y吨物资，
根据题意，得 ，
解得： ，
∴甲、乙两种货车每次满载分别能运输5吨和4吨物资，
答：甲、乙两种货车每次满载分别能运输5吨和4吨物资；
（2）解：设安排甲货车z辆，乙货车（10-z）辆，总运费为w元，根据题意得，
w=500z+300（10-z）=200z+3000，
∵200＞0，
∴w随z的增大而增大，
∵运送的物资不少于48.4吨，
∴ ，
∴ ，
又∵z是整数，
∴当z=9时，w的值最小为w=200×9+3000=4800，
答：该公司应安排甲种货车9辆，乙种货车1辆最节省费用．
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）利用表中数据，可得到两个等量关系，再设未知数，列方程组，然后求出方程组的解.（2）设安排甲货车z辆，乙货车（10-z）辆，总运费为w元，根据题意可列出W与z之间的函数解析式，再求出z的取值范围；然后利用一次函数的性质，可求出结果.
18．【答案】（1）解：设购进篮球和足球分别为个和个，由题意，得：
，解得：；
答：购进篮球和足球分别为个和个；
（2）解：购进篮球的个数为个，则购进足球的个数为个，由题意，得：
；
与之间的函数关系式为：；
（3）解：由题意，得：，
解得：，
利润为：，，
随的增大而减小，
当时，有最小值，为元，
应该购进篮球个，足球个，电商利润的最小值为元．
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】 （1） 设购进篮球和足球分别为 m 个和 n 个，根据题意，列出方程组进行求解即可；
（2） 根据总利润等于篮球的利润加上足球的利润，列出函数关系式即可求出；
（3） 根据学校的进货成本只能在4745元的限额内，列出不等式，求出 x 的取值范围，利用一次函数的性质进行求解即可．
19．【答案】（1）；
（2）解：∵，
∴的“逆反函数”为，
∵图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，
∴，解得：
∴；
（3）解：∵，
∴它的“逆反函数”为，
∴两函数与轴的交点分别为，，
由，解得：，
∴两函数的交点为，
∵和它的“逆反函数”与y轴围成的三角形面积为3，
∴，
∴或．
【知识点】一次函数的概念；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴的“逆反函数”为，
∵点在的“逆反函数”图象上，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据新定义得到“逆反函数”为，然后将代入即可解题；
（2）根据题意得到“逆反函数”解方程组即可求得B点坐标；
（3）求得两函数与轴的交点以及两函数的交点，然后根据三角形的面积列方程解题即可．
20．【答案】（1）(-1，-1)
（2）解：根据定义可得，点在上，
解得
点又在上，
，
又
解得
（3）解：直线上没有“不动点”，
直线与平行
，令，
令，则
设
即或
解得或
或
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；定义新运算
【解析】【解答】解：(1)由定义可知，一次函数的“不动点”为一次函数解析式与正比例函数的交点，即
解得
一次函数的“不动点”为
【分析】（1）根据题意，联立，即可求解；
（2）由定义可知一次函数的“不动点”为，再将（2，2）代入即可求出m的值；
（3）由题意得出直线与平行，则，令，，再求出，设，由，得出，即可得出点P的坐标。
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