(共22张PPT)
第十二章 函数与一次函数
12.1.3函数
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
了解函数图象的意义，掌握用描点法画函数图象的一般步骤
01
通过学习用图象法描述函数的过程，体验数形结合思想在解决问题中的重要作用
02
能够准确的从图象中获取信息.
03
02
复习旧知
上节课学习了2种表示函数关系的方法，分别是：__________和__________
不同解析式自变量的取值范围：
解析式是整式时，_______________________________________.
解析式是平方根时，______________________________________.
自变量的取值应使分母不为0
自变量取值范围应使被开方数大于或等于0
列表法
解析法
自变量取全体实数
解析式是分式时，_______________________________________.
02
创设情境
问题3中S市某天用电负荷y与时间t的函数关系很难用式子表示，但是可用平面直角坐标系中的图形(图中一条曲线)来表示.
对于能用表达式表示的函数关系，有时需画出图来表示，使函数关系更直观、形象.
03
新知探究
一般地，对于一个函数，如果把自变量x与函数y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出相应的点，这些点组成的图形，就是这个函数的图象。用图象来表示两个变量间的函数关系的方法，叫做图象法.
如何作函数的图呢？
03
新知探究
①列表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … …
③连线：将以上各点按照自变量由小到大的顺序用平滑曲线连接.
绘制函数y=2x的图象
-6
-4
-2
0
2
4
6
②描点：
在坐标平面内描出(-3,-6),(-2,-4),(-1,-2),
(0,0),(1,2),(2,4),(3,6)等点.
03
新知探究
归纳：
由函数表达式画图象,一般按下列步骤进行:
1.列表:列表给出自变量与函数的一些对应值.
2.描点:以表中各组对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点.
3.连线:按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑曲线依次连接起来.
注意：描出的点越多,描绘的图象误差越小.有时不能把所有点都描出,就用平滑曲线连接画出的点,从而得到表示这个函数关系的近似图象.
03
新知探究
例、画出前面问题2中的函数的图象.
解（1）列表：因为这里v≥0，分别取0、10、20、30、40，求出它们对应的s值，列成表格：
v/(km·h-1) 0 10 20 30 40 …
s/m 0 0.4 1.6 3.5 6.3 …
（2）描点：在坐标平面内描出(0，0)、(10，0.4)、(20，1.6)、(30，3.5)、(40，6.3)等点.
（3）连线：将以上各点按照自变量由小到大的顺序用平滑曲线连接，就得到了图象.
03
新知探究
描出的点越多，图像越精确，
有时不能把所有点都描出来，就用平滑曲线连接画出的点，从而得
到表示这个函数关系的近似图象.
所得图像如右图所示：
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.下列点在函数y=2x-1的图象上的是 ( )
A.(-1,0) B.(0,1)
C.(1,1) D.(3,2)
C
2.函数y=x的图像大致是( )
A
B
C
D
A
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
3.判断点P（2，-3）__________(是\否)在函数y=2x-1的图象上.
4.若点P（m，9）在函数y=2x-1的图象上，则m=___________.
否
5
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
5.小红星期天从家里出发骑自行车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家，如图是她本次去舅舅家所用的时间x（分钟）与离家的距离y（米）的关系示意图.
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
根据图中提供的信息回答下列问题：
(1)小红家到舅舅家的距离是______米，小红在商店停留了______分钟.
(2)在整个去舅舅家的途中哪个时间段小红骑车速度最快？最快的速度是多少米/分？
1500
4
12≤x≤14时间段小红骑车速度最快，速度是(1500-600)÷2=450米/分
(3)本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶了多少米？一共用了多少分钟？
观察图象可知小红共行驶了1500+2×（1200-600）=2700（米），共用了14分钟.
05
课堂小结
用图象法表
示函数关系
用图象来表示 两个变量间的 函数关系的方法,叫做
图象法
步骤：1.列表——2.描点——3.连线
(a)弄清横、纵坐标表示的意义，
(b)自变量的取值范围;
(c)图象中函数随着自变量变化的规律.
用图象法表
示函数关系
从函数图象
中获取信息
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.一辆汽车由韶关匀速驶往广州,下列图象中大致能反映汽车距离广州的路程s(千米)和行驶时间t(小时)的关系的是( )
B
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
2.甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程s(米)与赛跑时间t(秒)的关系如图所示，则下列说法正确的是( )
A．甲、乙两人的速度相同
B．甲先到达终点
C．乙用的时间短
D．乙比甲跑的路程多
B
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3. 如果点P的横坐标是-5且点P在函数y＝-2x＋3的图象上，则点P的纵坐标是________.
4.下列各点：A(-3，-5)，B(-1，-1)，C(0，2)，D(，)，在函数y=3x+2的图象上的点有______ 个
13
2
06
作业布置
【综合拓展类作业】
5.已知函数y＝2x－1.
(1)试判断点A(－1，3)和点B ()是否在此函数的图象上；
(2)已知点C (a，a＋1)在此函数的图象上，求a的值．
06
作业布置
【综合拓展类作业】
解：(1)因为当x＝－1时，y＝2×(－1)－1＝－3≠3，
所以点A不在函数y＝2x－1的图象上．
因为当x= 时，y=2
所以点B在函数y＝2x－1的图象上．
(2)因为点C(a，a＋1)在函数y＝2x－1的图象上，
所以把x＝a，y＝a＋1代入y＝2x－1，得a＋1＝2a－1.
解得a＝2.
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12.1.3函数教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 12
课题 12.1.3函数 课时 12.1.3
教材分析 本节课以函数图象表示为核心，教材通过行程等实例，帮助学生理解图象的直观性和动态变化特点。内容编排由浅入深，从简单直线图象到曲线图象，强调“数形结合”思想，为后续学习一次函数、反比例函数等奠定基础。教学中需结合教材案例，引导学生观察图象特征，分析变量关系，培养函数思维。
学情 分析 学生已掌握函数的基本概念及列表、解析式表示法，但对图象法的理解仍较抽象。部分学生读图能力较弱，难以从图象中准确提取信息。教学中需借助生活实例（如运动轨迹、气温变化图）降低认知难度，通过动手绘制简单函数图象，强化识图、绘图能力，并逐步提升分析动态变化的能力。
核心素养目标 1. 了解函数图象的意义，掌握用描点法画函数图象的一般步骤。 2. 通过学习用图象法描述函数的过程，体验数形结合思想在解决问题中的重要作用. 3. 能够准确的从图象中获取信息.
教学重点 会用图象法表示函数关系
教学难点 函数图象的绘制
教学 准备 多媒体课件
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 复习提问，温故孕新 上节课学习了2种表示函数关系的方法，分别是：__________和__________ 不同解析式自变量的取值范围： 解析式是整式时，______________________. 解析式是分式时，____________________. 解析式是平方根时，___________________. 学生回顾旧知，回答问题 通过复习重新巩固上节内容，为后面的学习进行铺垫。
二、引新 创设情境，引入课题 问题3中S市某天用电负荷y与时间t的函数关系很难用式子表示，但是可用平面直角坐标系中的图形(图中一条曲线)来表示. 对于能用表达式表示的函数关系，有时需画出图来表示，使函数关系更直观、形象. 一般地，对于一个函数，如果把自变量x与函数y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出相应的点，这些点组成的图形，就是这个函数的图象。用图象来表示两个变量间的函数关系的方法，叫做图象法. 如何作函数的图呢？ 学生观察问题3中的图象，回答问题 通过学生观察，得出图象法的优点，引出本节内容，为后面的作图奠定基础
三、探究 合作探究，活动领悟 绘制函数y=2x的图象 ①列表： ②描点： 在坐标平面内描出(-3，-6)，(-2，-4)，(-1，-2)，(0，0)，(1，2)，(2，4)，(3，6)等点. ③连线：将以上各点按照自变量由小到大的顺序用平滑曲线连接. 归纳： 由函数表达式画图象，一般按下列步骤进行: 1.列表:列表给出自变量与函数的一些对应值. 2.描点:以表中各组对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点. 3.连线:按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑曲线依次连接起来. 注意：描出的点越多，描绘的图象误差越小.有时不能把所有点都描出，就用平滑曲线连接画出的点，从而得到表示这个函数关系的近似图象. 教师引导学生自主思考，可以进行讨论交流 小组讨论，归纳 通过探索的方式学习新知，培养学生独立思考，解决问题的态度.
四、变式 师生互动，变式深化 例、画出前面问题2中的函数的图象. 解：(1) 列表：因为这里v≥0，我们分别取v =0，10，20， 30，40，求出它们对应的s值，列成表格：（近似值取小数点后一位） (0，0)，(10，0.4)， (20，1.6)， (30，3.5)，(40，6.3). (2) 描点：在坐标平面内描出(0，0)，(10，0.4)， (20，1.6)， (30，3.5)，(40，6.3)等点. (3)连线：将以上各点按照自变量由小到大的顺序用平滑曲线连接，就得到了的图象 描出的点越多，图像越精确， 有时不能把所有点都描出来，就用平滑曲线连接画出的点，从而得到表示这个函数关系的近似图象. 同学们参与作图，有困难时可请小组同学帮助。 通过例题的讲解，巩固作图过程，让学生参与作图，培养学生作图能力.
五、尝试 尝试练习，巩固提高 1.下列点在函数y=2x-1的图象上的是 ( ) A.(-1，0) B.(0，1) C.(1，1) D.(3，2) 2.函数y=x的图像大致是( ) 3.判断点P（2，-3）__________(是\否)在函数y=2x-1的图象上. 4.若点P（m，9）在函数y=2x-1的图象上，则m=___________. 5.小红星期天从家里出发骑自行车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家，如图是她本次去舅舅家所用的时间x（分钟）与离家的距离y（米）的关系示意图. 根据图中提供的信息回答下列问题： (1)小红家到舅舅家的距离是_1500_____米，小红在商店停留了___4___分钟. (2)在整个去舅舅家的途中哪个时间段小红骑车速度最快？最快的速度是多少米/分？ 12≤x≤14时间段小红骑车速度最快，速度是(1500-600)÷2=450米/分 (3)本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶了多少米？一共用了多少分钟？ 观察图象可知小红共行驶了1500+2×（1200-600）=2700（米），共用了14分钟. 自主完成练习，然后集体交流评价. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
六、提升 适时小结，兴趣延伸 回顾这节课你学到了什么？ 用图象来表示 两个变量间的 函数关系的方法，叫做 图象法 步骤：1.列表——2.描点——3.连线 各小组思考，代表总结本节课内容 学生回顾所学知识并内化，熟练掌握。
板书 设计
作业 设计 1.一辆汽车由韶关匀速驶往广州，下列图象中大致能反映汽车距离广州的路程s(千米)和行驶时间t(小时)的关系的是( ) 2.甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程s(米)与赛跑时间t(秒)的关系如图所示，则下列说法正确的是( ) A．甲、乙两人的速度相同 B．甲先到达终点 C．乙用的时间短 D．乙比甲跑的路程多 3. 如果点P的横坐标是-5且点P在函数y＝-2x＋3的图象上，则点P的纵坐标是________. 4.下列各点：A(-3，-5)，B(-1，-1)，C(0，2)，D(，)，在函数y=3x+2的图象上的点有______ 个 5.已知函数y＝2x－1. (1)试判断点A(－1，3)和点B ()是否在此函数的图象上； (2)已知点C (a，a＋1)在此函数的图象上，求a的值．
教学反思 本节课通过实例导入，学生能初步理解图象表示函数的优势，课堂互动较好。但部分学生对复杂图象（如分段函数）的理解仍存在困难，作图规范性也有待提高。后续教学可增加动态演示（如GeoGebra软件辅助），并设计分层练习，兼顾不同水平学生的需求，进一步巩固数形结合思想。
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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 沪科版 册、章 上册第十二章
课标要求 1.通过简单实例理解函数的概念，能识别函数关系；2.掌握一次函数的概念、图象和性质，能根据已知条件确定一次函数表达式；3.能用一次函数解决简单实际问题，体会模型思想；4.发展数学抽象、数学建模、数据分析等核心素养
内容分析 函数是描述变量间关系的重要数学模型，一次函数是最基本的函数类型。本章从生活实例出发，通过观察变化规律引出函数概念，重点研究一次函数的表达式、图象和性质，并建立实际问题与数学模型之间的联系。学习本章能帮助学生初步形成用函数观点认识世界的思维方式，为后续学习各类函数奠定基础。
学情分析 学生已具备平面直角坐标系的基础知识，能够用坐标表示点的位置。但对变量间关系的数学描述尚属初次系统学习，需通过大量生活实例帮助学生建立函数概念。学生抽象思维能力仍在发展中，教学应注重从具体到抽象的过程引导。
单元目标 （一）教学目标1.理解函数的概念，能判断两个变量间是否存在函数关系；2.掌握一次函数的概念，能根据条件确定表达式并绘制图象；3.理解k、b对一次函数图象的影响，掌握其性质；4.能用一次函数模型解决简单实际问题。（二）教学重点、难点重点：1.函数的概念理解2.一次函数的图象与性质难点：1.函数概念的形成过程2.实际问题中函数关系的建立
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数12.1 函数412.2 一次函数612.3一次函数与二元一次方程3
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务12.1函数(第一课时)1.通过具体实例（如行程问题、温度变化等），理解变量与常量的概念，并能区分两者。2.初步认识函数的概念，知道函数是描述两个变量之间依赖关系的数学工具。3.能根据给定的情境判断两个变量之间是否存在函数关系。1.学生能正确区分实际问题中的变量与常量。2.能举例说明生活中的函数关系（如“时间-路程”“单价-总价”）。3.能判断给定的两个变量是否构成函数关系（如“一个x值对应唯一y值”）。任务一：给出几个生活实例，让学生标出其中的变量与常量。任务二:提供多组变量关系，让学生判断哪些是函数关系，并说明理由。任务三:判断给定表格或描述是否符合函数定义。12.1函数(第二课时)1.掌握函数的三种表示方法：解析式法、表格法、图像法。2.能根据实际问题写出函数的解析式或列出对应数值表格。3.理解函数的对应关系，并能用解析式或表格描述变量之间的关系。1.能根据问题情境写出函数解析式2.能根据给定的函数解析式，计算并填写对应的数值表格。3.能分析表格数据，判断是否符合函数定义任务一：给定实际问题，让学生写出费用y与里程x的函数解析式。任务二：提供函数解析式让学生计算x取不同值时对应的y值，并填写表格。任务三：给出几个表格（部分含重复x值对应不同y值），让学生判断哪些表格表示函数关系。12.1函数(第三课时)1.理解函数图像的概念，能在平面直角坐标系中绘制简单函数的图像。2.能根据函数解析式描点作图，并分析图像的特征（如直线、曲线）。3.体会数形结合思想，理解函数图像与解析式的关系。1.能根据给定的函数解析式，正确描点并绘制图像。2.能分析函数图像的特征（如是否连续、上升或下降趋势）。3.能根据图像判断某个点是否在函数图像上。任务一：描点作图任务二：图像分析，让学生描述其变化趋势任务三：给出函数图像和几个点的坐标，让学生判断哪些点在图像上。12.1函数(第四课时)1.能综合运用函数的三种表示方法（解析式、表格、图像）解决实际问题。2.通过生活实例（如汽车行驶问题、销售利润问题）建立函数模型。3.提高数学建模能力，体会函数在现实生活中的应用价值。1.能根据实际问题选择合适的函数表示方法（如用解析式计算、用图像分析趋势）。2.能结合具体情境（如“水费计算”“行程问题”）建立函数关系并求解。3.能综合运用函数知识解决稍复杂的开放性问题（如优化问题）任务一：实际问题建模任务二：给出某商品销量与利润的函数图像，让学生分析销量为多少时利润最高。任务三：设计开放性问题，分组讨论并展示解决方案。12.2一次函数(第一课时)1. 理解正比例函数的定义，掌握其一般形式 2.能根据实际问题建立正比例函数模型3.理解正比例函数的性质1. 能准确判断给定函数是否为正比例函数2. 能列举生活中的正比例关系实例3.能解释k在具体问题中的含义任务一：判断函数类型任务二：小组讨论并展示生活实例。任务三：分析k 的实际意义12.2一次函数(第二课时)1.理解一次函数的定义，掌握其一般形式y=kx+b（k≠0）2.能根据实际问题识别一次函数关系3.会判断给定的函数是否为一次函数1.能准确说出一次函数的标准形式2.能列举生活中的一次函数实例3.能正确判断函数是否为一次函数任务一：由正比例函数引出一次函数的概念任务二：认识平移，截距任务三：研究一次函数的图象12.2一次函数(第三课时)1.掌握一次函数的单调性2.理解一次函数与坐标轴的交点3.会求一次函数的特殊点1.能根据k值判断函数的增减性2.会求函数与坐标轴的交点任务一：画出一次函数图象任务二：研究一次函数的性质任务三：探究一次函数k，b的特点12.2一次函数(第四课时)1.理解待定系数法的基本思想，掌握用待定系数法求一次函数解析式的步骤。2.能根据已知条件（两点坐标或一点坐标及k值）确定一次函数的解析式。1.能准确描述待定系数法的步骤和原理。2.能根据给定条件正确设出函数解析式并求解参数。任务一：例题解析任务二：掌握待定系数法一次函数解析式12.2一次函数(第五课时)1.能建立简单实际问题的一次函数模型2.会用一次函数解决简单应用问题3.理解函数模型的实际意义1.能正确建立实际问题的一次函数模型2.能利用函数模型进行预测和计算3.能解释函数模型中参数的实际意义任务一：例题解析任务二：建立实际问题的一次函数模型任务三：认识分段函数。12.2一次函数(第六课时)1.理解一次函数与一元一次方程的关系2.掌握用图像法解一元一次不等式3.会利用函数图像分析方程的解1.能用图像法解简单方程2.能通过函数图像解不等式3.会分析函数图像与方程解的关系任务一：用图像法解方程2x+6=0任务二：用函数图像解不等式2x+6>0和2x+6<03.分析y=kx+b与x轴交点的意义12.3一次函数与二元一次方程(第一课时)1.理解二元一次方程可以转化为一次函数的形式，掌握两者之间的对应关系。2.通过具体实例，体会方程的解与函数图像上点的对应关系3.认识数形结合思想在解决数学问题中的价值1.能准确将二元一次方程变形为y=kx+b的形式。2. 能解释方程的解在函数图像上的几何意义3. 会利用函数图像求简单二元一次方程的整数解。任务一：将3x+2y=6等方程转化为函数形式任务二：分析方程与函数的解的关系12.3一次函数与二元一次方程(第二课时)1. 掌握通过绘制函数图像求二元一次方程组解的方法。2.掌握通过绘制函数图像求二元一次方程组解的方法。3.发展几何直观能力，提高解决实际问题的应用意识。1. 能正确画出两个一次函数的图像并确定交点坐标。2.能根据图像判断方程组有唯一解、无解或无穷多解的情况。3.能解决简单的实际问题（如相遇问题）。任务一：解方程组并验证任务二：分析不同斜率方程组解的情况12.3一次函数与二元一次方程(第三课时)1. 综合运用函数与方程的知识解决实际问题。2.通过优化问题，培养数学建模和决策能力。3.通过优化问题，培养数学建模和决策能力。1. 能建立实际问题的一次函数模型并转化为方程组。2. 会通过图像分析最优解（如成本最低、利润最大）。3.能解释解的合理性并进行验证。任务：设计旅游路线的最优方案
《函数与一次函数》单元教学设计
11.2图形在坐标系中的平移
11.1.平面内点的坐标(第三课时)
11.1平面内点的坐标(第二课时)
活动1：引入课题
12.1函数(第一课时)
活动2：探究函数的基本概念
活动3：例题讲解
活动1：引入课题
12.1函数(第二课时)
活动2：探究函数的表示方法
活动3：例题讲解
活动1：引入课题
函数与一次函数
活动2：探究用图象法表示函数。
12.1函数(第三课时)
活动3：例题讲解
活动1：引入课题
12.1函数(第四课时)
活动2：函数三种形式的综合利用
活动3：例题讲解
活动2：探究正比例函数的概念
活动1：引入课题
活动3：探究正比例函数的性质
12.2一次函数(第一课时)
活动4：例题讲解
活动2：探究一次函数的概念
活动1：引入课题
活动3：画出一次函数的图象
12.2一次函数(第二课时)
活动4：例题讲解
活动1：引入课题
12.2一次函数(第三课时)
活动2：探究一次函数的性质
活动3：探究一次函数k，b的特征
活动4：例题讲解
活动1：引入课题
活动2：探究待定系数法求一次函数的解析式
12.2一次函数(第四课时)
活动3：例题讲解
12.2一次函数(第五课时)
活动1：引入课题
活动3：例题讲解
函数与一次函数
活动2：探究一次函数解决实际问题
活动1：引入课题
活动3：探究一次函数与一元一次不等式的关系
活动2：探究一次函数和一元一次方程的关系
12.2一次函数(第六课时)
活动4：例题讲解
12.3一次函数与
二元一次方程(第一课时)
活动1：引入课题
活动2：探究一次函数和二元一次方程的关系
活动3：例题讲解
活动1：引入课题
活动3：例题讲解
活动2：探究利用一次函数图象解二元一次方程组
12.3一次函数与
二元一次方程(第二课时)
活动1：引入课题
活动3：例题讲解
12.3一次函数与
二元一次方程(第三课时)
活动2：综合运用函数与方程的知识解决实际问题。
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