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（北师大2024版八年级上册数学）
第1章：勾股定理综合检测卷
试卷满分：120分 考试用时：120分钟
姓名___________ 班级 考号______________
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）
1．（2024春 滨海新区期末）若直角三角形的两条直角边长分别是3和4，则斜边长为（ ）
A．5 B． C．2.4 D．7
【分析】直接根据勾股定理求解可得．
【解答】解：∵直角三角形的两条直角边长分别是3和4，
∴斜边长为5，
故选：A．
【点评】本题考查勾股定理，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．即如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
2．（2024春 浦城县期中）在直角坐标系中，点P（5，12）到原点的距离是（ ）
A．17 B． C． D．13
【分析】直角坐标系中，某点（x，y）到x轴的距离是它的纵坐标的绝对值|y|，到y轴的确距离是它的横坐标的绝对值|x|，到原点的距离为．
【解答】解：∵平面直角坐标系中点P的坐标为（5，12），
∴，
∴点P（5，12）到原点的距离是13．
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理及两点间的距离公式，在于注意求点到原点的距离时要用到勾股定理是解题关键．
3．（2024 雁塔区校级模拟）下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．AB2+BC2＝AC2 B．AB2﹣BC2＝AC2
C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【分析】根据勾股定理的逆定理和题意，可以判断哪个选项符合题意．
【解答】解：∵AB2+BC2＝AC2，故△ABC是直角三角形，选项A不符合题意；
∵AB2﹣BC2＝AC2，
∴AC2+BC2＝AB2，故△ABC是直角三角形，选项B不符合题意；
∵∠A+∠B＝∠C，
∴△ABC是直角三角形，选项C不符合题意；
∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
∴最大角∠C＝180°75°，故△ABC不是直角三角形，选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，可以判断出三角形的形状．
4．（2024春 安州区期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝22，大正方形的面积为17，则小正方形的边长为（ ）
A． B．2 C． D．
【分析】根据大正方形的面积和勾股定理推出a2+b2＝13，然后结合完全平方公式的变形得出（a﹣b）2＝5，最后由小正方形的面积为EF2＝（a﹣b）2，即可得出结论．
【解答】解：如图所示，由题意，ED＝a，AE＝b，
∵大正方形的面积为17，
∴AD2＝17，
∵AD2＝AE2+ED2＝a2+b2，
∴a2+b2＝17，
∵（a+b）2＝22，
∴（a﹣b）2＝2（a2+b2）﹣（a+b）2＝2×17﹣22＝12，
∵EF＝ED﹣EF＝a﹣b，
∴小正方形的边长为EF＝2（负值舍去），
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理，熟练运用完全平方公式的变形是解题关键．
5．（2024春 东阿县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝6，BC＝3时，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．9π D．9
【分析】先根据勾股定理求出AB，然后根据S阴影＝S半圆AC+S半圆BC+S△ABC﹣S半圆AB计算即可．
【解答】解：根据勾股定理可得，
∴S阴影＝S半圆AC+S半圆BC+S△ABC﹣S半圆AB
＝9．
故选：D．
【点评】此题考查的是求不规则图形的面积，掌握用勾股定理解直角三角形、半圆的面积公式和三角形的面积公式是解决此题的关键．
6．（2024秋 博山区期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．
如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推6m至C处时（即水平距离CD＝6m），踏板离地的垂直高度CF＝4m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（ ）m．
A． B． C．6 D．
【分析】设绳长为xm，再根据直角三角的勾股定理列方程，解方程即可．
【解答】解：设绳长为x米，
在Rt△ADC中，
AD＝AB﹣BD＝AB﹣（DE﹣BE）＝x﹣（4﹣1）＝（x﹣3）米，
DC＝6m，AC＝x米，
∴AB2+DC2＝AC2，
根据题意列方程：x2＝（x﹣3）2+62，
解得：x，
∴绳索AC的长是．
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是读懂题意，掌握勾股定理，运用勾股定理解决问题．
7．（2024秋 两江新区期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC，AB＝3，BC＝5，BD是∠ABC的角平分线，则△CDE的周长是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】由角平分线的性质得出AD＝DE，证明Rt△BAD≌Rt△BED（HL），得出BA＝BE＝3，由勾股定理求出AC＝4，则可得出答案．
【解答】解：∵∠A＝90°，DE⊥BC，BD是∠ABC的角平分线，
∴AD＝DE，
在Rt△BAD和Rt△BED中，
，
∴Rt△BAD≌Rt△BED（HL），
∴BA＝BE＝3，
∴CE＝BC﹣BE＝BC﹣AB＝5﹣3＝2，AC4，
∴△CDE的周长＝DE+DC+CE＝AD+DC+CE＝AC+CE＝4+2＝6．
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
8．（2024秋 天津期末）如图，把一张长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点D的对应点为点F，CF与AB交于点E，若长方形ABCD的周长为16，则△CBE的周长为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．4
【分析】根据折叠的性质可知，证明△CBE≌△AFE（AAS），则BE＝EF，所以△CBE的周长＝CB+BE+CE＝CB+BE+AE＝CB+AB，据此解答即可．
【解答】解：根据折叠的性质可知，
CE＝AE，∠F＝∠B，
在△CBE与△AFE中，
，
∴△CBE≌△AFE（AAS），
∴BE＝EF，
∴△CBE的周长＝CB+BE+CE＝CB+BE+AE＝CB+AB，
∵长方形ABCD的周长为16，
∴CB+AB＝8，
即△CBE的周长为8．
故选：A．
【点评】本题考查了翻折变换，根据折叠的性质△CBE≌△AFE是解题的关键．
9．（2024春 沙坪坝区校级期末）如图1，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，以这个直角三角形两直角边为边作正方形．图2由图1的两个小正方形向外分别作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，…，按此规律，则图6中所有正方形的面积和为（ ）
A．200 B．175 C．150 D．125
【分析】根据勾股定理求出AB＝5，再根据勾股定理和正方形面积公式得出规律，即可解决问题．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB5，
∴图1中正方形的面积和为：32+42+52＝25+25＝2×25＝50，
图2中所有正方形的面积和为：32+42+32+42+52＝25+25+25＝25+50，
图3中所有正方形面积和为：32+42+32+42+32+42+52＝25+25+25+25＝2×25+50，
......，
∴图6中所有正方形的面积为5×25+50＝175，
故选：B．
【点评】本题考查的是勾股定理、图形的变化规律，根据勾股定理、正方形的面积公式得出所有正方形的面积和的变化规律是解题的关键．
10．（2024 武威二模）如图，圆柱形玻璃杯高为11cm，底面周长为30cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计）（ ）
A．12cm B．17cm C．20cm D．25cm
【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
【解答】解：如图：
将杯子侧面展开，
作A关于EF的对称点A′，
则AF+BF为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离，即A′B的长度，
∵A′B17（cm），
∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为17cm，
故选：B．
【点评】本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（2024春 四平期末）一个三角形的三边长的比为3：4：5，且其周长为60cm，则其面积为 ．
【分析】先设三角形的三边长分别为3x，4x，5x，再由其周长为60cm求出x的值，根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状，由其面积公式即可得出结论．
【解答】解：∵三角形的三边长的比为3：4：5，
∴设三角形的三边长分别为3x，4x，5x．
∵其周长为60cm，
∴3x+4x+5x＝60，解得x＝5，
∴三角形的三边长分别是15，20，25．
∵152+202＝252，
∴此三角形是直角三角形，
∴S15×20＝150（cm2）．
故答案为：150cm2．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
12．（2024春 武汉期末）如图，图中所有的四边形都是正方形，图中的三角形是直角三角形，已知图中所有正方形的面积的和为128cm2，则其中最大的正方形A的边长为 cm．
【分析】根据勾股定理的几何意义解答即可．
【解答】解：根据勾股定理的几何意义，可知：上面两个正 方形的面积之和为下面的正方形的面积，即，
∴，
正方形A的边长为8cm，
故答案为：8．
【点评】本题考查了勾股定理，熟悉勾股定理的几何意义是解题的关键．
13．（2024春 南昌县期末）如图，客船以24海里/时的速度从港口A向东北方向航行，货船以18海里/时的速度同时从港口A向东南方向航行，则1小时后两船相距 海里．
【分析】因为向东北和东南方向出发，所以两船所走的方向是直角，两船所走的距离是直角边，所求的是斜边的长．
【解答】解：由题意可得：24×1＝24（海里），18×1＝18（海里）．
则两船相距：30（海里）．
故答案为：30．
【点评】本题考查勾股定理的运用，关键是知道两船的所走的方向正好构成的是直角，然后根据勾股定理求出斜边的长．
14．如图OP＝1，过P作PP1⊥OP且PP1＝1，得OP1，再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，连接OP2，得OP2；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；依此法继续作下去，得 ．
【分析】根据勾股定理分别求出每个直角三角形斜边长，根据结果得出规律，即可得出答案．
【解答】解：∵OP＝1，OP1，OP2，OP3，…，OP10，
∴2，3，4，…OP10＝11，
∴2+3+4+…+11＝65．
故答案为：65．
【点评】本题考查了勾股定理及规律型：数字的变化类，从数字找规律是解题的关键．
15．（2024秋 苏州期末）勾股定理是数学史上的一颗璀璨明珠．被誉为清代“历算第一名家”的著名数学家梅文鼎先生（图①）在《梅氏丛书辑要》（由其孙子梅彀成编纂）的“勾股举隅”卷中给出了多种勾股定理的证法．其中一种是在图②的基础上，运用“出入相补”原理完成的．在△ABC中，∠ACB＝90°，四边形ABDE，ACFG，BCHI均为正方形，HI与AE相交于点J，可以证明点D在直线HI上．若△AHJ，△DEJ的面积分别为2和6，则直角边AC的长为 ．
【分析】先证明Rt△ABC≌Rt△DBI（HL）得S△ABC＝S△DBI，设AC＝a，BC＝b，AB＝c，由勾股定理得，a2+b2＝c2进而得S正方形ACFG+S△AHJ＝S△DEJ，S正方形ACFG＝4，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABDE，BCHI为正方形，
∴AB＝BD，BC＝BI，∠ACB＝∠DIB＝90°，
∴Rt△ABC≌Rt△DBI（HL），
∴S△ABC＝S△DBI，
设AC＝a，BC＝b，AB＝c，
由勾股定理得，a2+b2＝c2，
即S正方形ACFG+S正方形BCHI＝S正方形ABDE，
S正方形ACFG+S△ABC+SS四边形AJIB＝S△BID+S△DEJ+S四边形AJIB，
∴S正方形ACFG+S△AHJ＝S△DEJ，
∴S正方形ACFG＝S△DEJ﹣S6﹣2＝4，
∴a2＝4，
∴a＝2（负值舍去），
即AC＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了勾股定理及证明、全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
16．（2024秋 龙口市期末）在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则BC的长 ．
【分析】分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC＝BD+CD，在钝角三角形中，BC＝BD﹣CD．
【解答】解：（1）如图，锐角△ABC中，AC＝13，AB＝15，BC边上高AD＝12，
∵在Rt△ACD中AC＝13，AD＝12，
∴CD2＝AC2﹣AD2＝132﹣122＝25，
∴CD＝5，
在Rt△ABD中AB＝15，AD＝12，由勾股定理得
BD2＝AB2﹣AD2＝152﹣122＝81，
∴CD＝9，
∴BC的长为BD+DC＝9+5＝14；
（2）钝角△ABC中，AC＝13，AB＝15，BC边上高AD＝12，
在Rt△ACD中AC＝13，AD＝12，由勾股定理得
CD2＝AC2﹣AD2＝132﹣122＝25，
∴CD＝5，
在Rt△ABD中AB＝15，AD＝12，由勾股定理得
BD2＝AB2﹣AD2＝152﹣122＝81，
∴BD＝9，
∴BC的长为DB﹣BC＝9﹣5＝4．
故答案为14或4．
【点评】本题考查了勾股定理，把三角形斜边转化到直角三角形中用勾股定理解答．关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
三．解答题（本小题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（8分）（2024春 道县校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，求CE的长．
【分析】先证明AE＝BE，再利用勾股定理建立方程求解即可．
【解答】解：连接AE．
∵DE为AB的垂直平分线，
∴AE＝BE．
在△ABC中，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，
∴BC＝4．
设CE＝x，则BE＝AE＝4﹣x．
在Rt△ACE中，由勾股定理，得x2+32＝（4﹣x）2，
解得．
∴CE的长为．
【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
18．（8分）如图，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC＝6，CD＝CE，AE＝3，∠CAE＝45°．
（1）求证△ACD≌△BCE；
（2）求AD的长．
【分析】（1）连接BE．根据SAS证明三角形全等即可．
（2）证明∠ABE＝90°，利用勾股定理求出BE即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，
即∠BCE＝∠ACD，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
（2）解：∵△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE，
∵AC＝BC＝6，
∴AB＝6，
∵∠BAC＝∠CAE＝45°，
∴∠BAE＝90°，
在Rt△BAE中，AB＝6，AE＝3，
∴BE9，
∴AD＝BE＝9．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，用到的知识点是全等三角形的判定与性质、勾股定理，关键是根据题意作出辅助线，证出△ACD≌△BCE．
19．（8分）（2024秋 晋江市期末）阅读下列材料，回答问题．
社区公园里新安装了一架秋千，小白对秋千的高度产生了兴趣，星期天他和朋友一起带着卷尺到公园测量秋千的高度，他设计如下的测量方案：
步骤一：测得秋千静止时的底端E与地面的距离BE＝0.8m；
步骤二：如图，小白握住秋千的底端往外后退，直到秋千的绳索被拉直，测得此时秋千底端离地面的高度CD＝1.1m，再测得小白站立处与秋千静止时的水平距离BC＝1.5m．
（1）若设秋千的高度AB＝x m，则AD＝ m（用含x的代数式表示）；
（2）根据上述测量方案和数据，求秋千的高度AB．
【分析】（1）根据秋千的长不变可得答案；
（2）过点D作DF⊥AB于F，在Rt△ADF中，利用勾股定理可得2＝DF2+AF2，即可得出答案．
【解答】解：（1）AD＝AE＝AB﹣BE＝（x﹣0.8）m．
故答案为：（x﹣0.8）；
（2）过点D作DF⊥AB于F，
则四边形BCDF是矩形，
∴DF＝BC＝1.5m，BF＝CD＝1.1m，
∴AF＝AB﹣BF＝（x﹣1.1）m，
在Rt△ADF中，AD2＝DF2+AF2，AD＝（x﹣0.8）m．AF＝（x﹣1.1）m，DF＝1.5m，
∴（x﹣0.8）2＝1.52+（x﹣1.1）2，
解得：x＝4.7．
答：秋千的高度AB为4.7m．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得出方程是解题的关键．
20．（8分）（2024春 立山区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E在AC边上，且∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F．
（1）如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF的长；
（2）如图2，若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2．
【分析】（1）先根据等腰三角形三线合一的性质得BD＝5，由勾股定理计算可得AD的长，由等腰直角三角形性质得DF＝5，最后由线段的差可得结论；
（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明△CHB≌△AEF（SAS），得AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，由等腰三角形三线合一的性质得EF＝FH，最后由勾股定理和等量代换可得结论．
【解答】（1）解：如图1，∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵BC＝10，
∴BD＝5，
Rt△ABD中，∵AB＝13，
∴AD12，
在Rt△BDF中，∵∠CBE＝45°，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴DF＝BD＝5，
∴AF＝AD﹣DF＝12﹣5＝7；
（2）证明：如图2，在BF上取一点H，使BH＝EF，连接CF、CH，
在△CHB和△AEF中，
，
∴△CHB≌△AEF（SAS），
∴AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，
∴∠CEF＝∠CHE，
∴CE＝CH，
∵BD＝CD，FD⊥BC，
∴CF＝BF，
∴∠CFD＝∠BFD＝45°，
∴∠CFB＝90°，
∴EF＝FH，
在Rt△CFH中，由勾股定理得：CF2+FH2＝CH2，
∴BF2+EF2＝AE2．
【点评】本题考查的是勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性质和判定，第二问有难度，正确作出辅助线是关键．
21．（9分）（2024秋 三水区期末）综合与实践
台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如题22图﹣1所示，有一台风中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
（1）求∠ACB的度数．
（2）海港C受台风影响吗？为什么？
（3）如题22图﹣2所示，若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点E处时，海港C刚好受到影响，当台风运动到点F时，海港C刚好不受影响，即CE＝CF＝250km，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【分析】（1）依据三角形中三边的关系确定∠ACB的度数；
（2）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；
（3）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
【解答】解：（1）因为300+24002＝5002，即AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB＝90°；
（2）海港C受台风影响，理由如下：
过点C作CD⊥AB，
∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴AC×BC＝CD×AB，
∴300×400＝500×CD，
∴CD＝240（km），
∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，
∴海港C受台风影响；
（3）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口，
∵ED70（km），
∴EF＝140km，
∵台风的速度为20千米/小时，
∴140÷20＝7（小时），
答：海港C受台风影响的时间会持续7小时．
【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
22．（9分）（2024春 微山县校级月考）阅读材料，回答问题：
（1）中国古代数学著作《周髀算经》（如图1）有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五．”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边长分别为3和4，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，那么a，b，c，三者之间的数量关系是 ．
（2）对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等的直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整：
证明：∵，，S正方形MNPQ＝ ，且 ＝ ，
∴，
整理得a2+2ab+b2＝2ab+c2，
∴ ．
（3）如图3，把矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，如果AB＝4，BC＝8，求BE的长．
【分析】（1）利用勾股定理直接写出答案；
（2）分别表示出正方形ABED和正方形MNPQ的面积，得出等式，化简即可；
（3）作FH⊥BC于H，利用勾股定理列方程求出AE和BE的长．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，则a2+b2＝c2，
故答案为：a2+b2＝c2；
（2）证明：∵，，S正方形MNPQ＝（a+b）2，且 S正方形MNPQ＝4S△ABC+S正方形ABDE，
∴，
整理得a2+2ab+b2＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2．
（3）∵矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，
∴AE＝CE，
设AE＝CE＝x，则BE＝8﹣x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得，x2＝42+（8﹣x）2，
解得x＝5，
∴AE＝5，
∴BE＝3．
【点评】本题主要考查了勾股定理的证明和应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
23．（10分）（2024春 献县月考）已知：AD是△ABC边BC上的高，∠ACD＝45°，AB＝13，AD＝5．
（1）若D在线段BC上，求线段BC的长；
（2）若D在直线BC上，求△ABC的面积．
【分析】（1）根据题意作出相应图形，然后利用勾股定理求解即可；
（2）分两种情况分析：在（1）中情况下；然后再作出另外一种情形图形求解即可．
【解答】解：（1）由题意画图可知，
∵AD是△ABC边BC上的高，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵∠ACD＝45°，AD＝5，
∴AD＝DC＝5．
在Rt△ADB中，AB＝13，AD＝5，
∴，
∴BC＝BD+CD＝12+5＝17；
（2）在（1）的情形下，
∵BC＝17，AD＝5，
∴；
另一种情形如下图，
∵∠ADB＝90°，∠ACD＝45°，
∴∠ACD＝∠CAD＝45°，
∴AD＝CD＝5，
在Rt△ADB中，根据勾股定理可得
，
∴BC＝BD﹣CD＝12﹣5＝7，
∴．
∴△ABC的面积是或．
【点评】本题主要考查勾股定理解三角形及三角形等面积法，理解题意，作出相应图形，然后分情况求解是解题的关键．
24．（12分）（2024春 广州期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣B﹣C运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）求斜边AB上的高；
（2）①当点P在BC上时，PC＝ ；（用含t的代数式表示）
②若点P在∠BAC的角平分线上，求t的值．
【分析】（1）根据勾股定理求出AC的值，设斜边高为h，由面积法可求得答案．
（2）①根据题意可知P在BC上时，P的路程为AP+PB＝2t，所以PC＝AB+BC﹣2t；
②当点P在∠BAC的角平分线上，过点P作PD⊥AB，可证△ACP≌△ADP，再在Rt△BDP中由勾股定理得到关于t的方程，进而可以求解．
【解答】解：（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，
∴AC，
设边AB上的高为h，
则，
∴，
∴．
答：斜边AB上的高为．
（2）①当点P在BC上时，点P的运动长度为AB+BP＝2t，
∴PC＝AB+BC﹣（AB+BP）＝10+6﹣2t＝16﹣2t．
故答案为：16﹣2t．
②若点P在∠BAC的角平分线上时，过点P作PD⊥AB，如图：
∵AP平分∠BAC，PC⊥AC，PD⊥AB，
∴PD＝PC．
由①知：PC＝16﹣2t，BP＝2t﹣10，
∴PD＝16﹣2t，
在Rt△ACP和Rt△ADP中，
，
∴Rt△ACP≌Rt△ADP（HL）．
∴AD＝AC＝8，
又∵AB＝10，
∴BD＝2．
在Rt△BDP中，由勾股定理得：
22+（16﹣2t）2＝（2t﹣10）2，
解得：．
【点评】本题考查勾股定理在动点问题中的应用，数形结合并熟练掌握勾股定理是解题的关键．
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（北师大2024版八年级上册数学）
第1章：勾股定理综合检测卷
试卷满分：120分 考试用时：120分钟
姓名___________ 班级 考号______________
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）
1．（2024春 滨海新区期末）若直角三角形的两条直角边长分别是3和4，则斜边长为（ ）
A．5 B． C．2.4 D．7
2．（2024春 浦城县期中）在直角坐标系中，点P（5，12）到原点的距离是（ ）
A．17 B． C． D．13
3．（2024 雁塔区校级模拟）下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．AB2+BC2＝AC2 B．AB2﹣BC2＝AC2
C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
4．（2024春 安州区期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝22，大正方形的面积为17，则小正方形的边长为（ ）
A． B．2 C． D．
5．（2024春 东阿县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝6，BC＝3时，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．9π D．9
6．（2024秋 博山区期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．
如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推6m至C处时（即水平距离CD＝6m），踏板离地的垂直高度CF＝4m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（ ）m．
A． B． C．6 D．
7．（2024秋 两江新区期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC，AB＝3，BC＝5，BD是∠ABC的角平分线，则△CDE的周长是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
8．（2024秋 天津期末）如图，把一张长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点D的对应点为点F，CF与AB交于点E，若长方形ABCD的周长为16，则△CBE的周长为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．4
9．（2024春 沙坪坝区校级期末）如图1，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，以这个直角三角形两直角边为边作正方形．图2由图1的两个小正方形向外分别作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，…，按此规律，则图6中所有正方形的面积和为（ ）
A．200 B．175 C．150 D．125
10．（2024 武威二模）如图，圆柱形玻璃杯高为11cm，底面周长为30cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计）（ ）
A．12cm B．17cm C．20cm D．25cm
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（2024春 四平期末）一个三角形的三边长的比为3：4：5，且其周长为60cm，则其面积为 ．
12．（2024春 武汉期末）如图，图中所有的四边形都是正方形，图中的三角形是直角三角形，已知图中所有正方形的面积的和为128cm2，则其中最大的正方形A的边长为 cm．
13．（2024春 南昌县期末）如图，客船以24海里/时的速度从港口A向东北方向航行，货船以18海里/时的速度同时从港口A向东南方向航行，则1小时后两船相距 海里．
14．如图OP＝1，过P作PP1⊥OP且PP1＝1，得OP1，再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，连接OP2，得OP2；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；依此法继续作下去，得 ．
15．（2024秋 苏州期末）勾股定理是数学史上的一颗璀璨明珠．被誉为清代“历算第一名家”的著名数学家梅文鼎先生（图①）在《梅氏丛书辑要》（由其孙子梅彀成编纂）的“勾股举隅”卷中给出了多种勾股定理的证法．其中一种是在图②的基础上，运用“出入相补”原理完成的．在△ABC中，∠ACB＝90°，四边形ABDE，ACFG，BCHI均为正方形，HI与AE相交于点J，可以证明点D在直线HI上．若△AHJ，△DEJ的面积分别为2和6，则直角边AC的长为 ．
16．（2024秋 龙口市期末）在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则BC的长 ．
三．解答题（本小题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（8分）（2024春 道县校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，求CE的长．
18．（8分）如图，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC＝6，CD＝CE，AE＝3，∠CAE＝45°．
（1）求证△ACD≌△BCE；
（2）求AD的长．
19．（8分）（2024秋 晋江市期末）阅读下列材料，回答问题．
社区公园里新安装了一架秋千，小白对秋千的高度产生了兴趣，星期天他和朋友一起带着卷尺到公园测量秋千的高度，他设计如下的测量方案：
步骤一：测得秋千静止时的底端E与地面的距离BE＝0.8m；
步骤二：如图，小白握住秋千的底端往外后退，直到秋千的绳索被拉直，测得此时秋千底端离地面的高度CD＝1.1m，再测得小白站立处与秋千静止时的水平距离BC＝1.5m．
（1）若设秋千的高度AB＝x m，则AD＝ m（用含x的代数式表示）；
（2）根据上述测量方案和数据，求秋千的高度AB．
20．（8分）（2024春 立山区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E在AC边上，且∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F．
（1）如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF的长；
（2）如图2，若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2．
21．（9分）（2024秋 三水区期末）综合与实践
台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如题22图﹣1所示，有一台风中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
（1）求∠ACB的度数．
（2）海港C受台风影响吗？为什么？
（3）如题22图﹣2所示，若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点E处时，海港C刚好受到影响，当台风运动到点F时，海港C刚好不受影响，即CE＝CF＝250km，则台风影响该海港持续的时间有多长？
22．（9分）（2024春 微山县校级月考）阅读材料，回答问题：
（1）中国古代数学著作《周髀算经》（如图1）有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五．”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边长分别为3和4，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，那么a，b，c，三者之间的数量关系是 ．
（2）对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等的直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整：
证明：∵，，S正方形MNPQ＝ ，且 ＝ ，
∴，
整理得a2+2ab+b2＝2ab+c2，
∴ ．
（3）如图3，把矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，如果AB＝4，BC＝8，求BE的长．
23．（10分）（2024春 献县月考）已知：AD是△ABC边BC上的高，∠ACD＝45°，AB＝13，AD＝5．
（1）若D在线段BC上，求线段BC的长；
（2）若D在直线BC上，求△ABC的面积．
24．（12分）（2024春 广州期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣B﹣C运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）求斜边AB上的高；
（2）①当点P在BC上时，PC＝ ；（用含t的代数式表示）
②若点P在∠BAC的角平分线上，求t的值．
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