浙江省温州市苍南县2024—-2025学年上学期第一次学情检测九年级数学试题
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的不选、多选、错选，均不给分）
1．（2024九上·苍南期中）下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·苍南期中）下列事件属于必然事件的是（ ）
A．抛一枚硬币，正面朝上
B．抛一颗骰子，点数不大于6
C．射击运动员射击一次，击中靶心
D．打开广播，正在播报新闻
3．（2024九上·苍南期中）若⊙O的半径为6，点P在⊙O内，则OP的长可能是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．（2024九上·苍南期中）活动课上进行盲盒摸球（除了颜色，其他都一样） 活动，已知盲盒里有3个白球、5个黑球和2个红球，则摸到红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九上·苍南期中）将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后抛物线的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九上·苍南期中）如图，在中，点为的中点，半径交弦于点，已知，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九上·苍南期中）二次函数的顶点坐标为，则实数c的值为（ ）
A． B． C．4 D．16
8．（2024九上·苍南期中）如图，点O是矩形的中心，E是上一点，连结并延长交于点F，以为直径作圆．若，，则矩形的周长为（ ）
A．16 B． C． D．24
9．（2024九上·苍南期中）二次函数中，当时，y随x的增大而减小，则b的值可能是（ ）
A． B． C．1 D．3
10．（2024九上·苍南期中）【情境】某校举行晚会有甲、乙、丙、丁四个节目需要彩排，学校规定演员全部到场后节目彩排开始，每个节目彩排完毕，下个节目立即开始．每个节目的演员人数和彩排时长（单位：分钟）如表所示：
节目 甲 乙 丙 丁
演员人数 5 2 5 1
彩排时长 20 10 15 10
【问题】这13位演员的候场时间之和最小为（ ）
A．180分钟 B．190分钟 C．200分钟 D．210分钟
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（2024九上·苍南期中）抛物线与y轴的交点坐标为 ．
12．（2024九上·苍南期中）检验员从200个工件中随机检测了10个工件的质量（单位：g），得到数据如表所示，当一个工件的质量x（单位：g）满足时，评定该工件为合格品．根据数据，估计这200个工件中合格品的个数是 ．
49.97 50.02 50.00 49.99 50.02
49.99 50.01 50.03 50.00 49.98
13．（2024九上·苍南期中）小初进行投实心球练习，实心球的行进过程为抛物线形状，如图所示建立平面直角坐标系，实心球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是，则实心球推出的水平距离的长是 ．
14．（2024九上·苍南期中）如图，在中，直径交弦点E，，连接．若，则 度．
15．（2024九上·苍南期中）在平面直角坐标系中，点是直线的一个动点，且有最小值，则的值为 ．
16．（2024九上·苍南期中）如图，在四边形中，，过A，C，D的圆交于点E，连结，已知，．若，则圆的半径为 ．
三、解答题（本题有8小题，共72分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（2024九上·苍南期中）已知二次函数的图象经过点，对称轴为直线．
（1）求该二次函数的解析式．
（2）试判断点是否在此函数的图象上，并说明理由．
18．（2024九上·苍南期中）2024年夏季奥运会在法国巴黎举行，某4档电视台A、B、C、D在同一时间进行了现场直播，直播节目表如下表所示．小夏和小王都是体育迷，他们在各自家里同一时间观看了直播节目．
电视台 A B C D
直播节目
乒乓球 篮球 射击 网球
（1）小夏收看了乒乓球直播的概率为________；
（2）请用列表或画树状图的方法求小夏和小王收看同一个直播节目的概率．
19．（2024九上·苍南期中）如图，是的直径，点A在圆外，请仅用无刻度的直尺按要求画图．
（1）在图1中，画出中边上的高；
（2）在图2中，画出并标上圆心O的位置（保留作图痕迹）．
20．（2024九上·苍南期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点．
（1）求a的值；
（2）当，求y的最大值和最小值的差．
21．（2024九上·苍南期中）某商店以相同的进价采购了两批货物进行销售，第一批花费了7200元，第二批花费了8000元，且第二批比第一批多购进50个．
（1）求货物的进价；
（2）两批货物售完后，该商店又以同样的进价采购第三批货物，经市场调查发现，当货物以20元/个的价格销售时，每周能卖出200个，若每个加价1元，则每周销售量减少20个，求货物售价定为多少元/个时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？
22．（2024九上·苍南期中）如图，在半圆O中，直径，点C在上，连接，弦平分，连接．
（1）求证：；
（2）连接．若，求的长．
23．（2024九上·苍南期中）综合与实践：探究对比两种水杯装水情况
【情境】小旭要了解不同型号两种水杯（1号杯，2号杯）的容积与高度之间的关系，经测量它们的关系如图所示，设1号杯的水面高度，2号杯的水面高度（其中近似关于V的二次函数）．
【项目解决】
（1）目标1：确定2号杯水的高度．
求关于V的函数关系式．
（2）目标2：比较水杯的装水高度．
在相同体积下，当两个杯中水在时，求2号杯水面与1号杯水面的最大高度差．
24．（2024九上·苍南期中）如图，在中，，，点D，E分别在上，线段绕点D顺时针旋转得到，其中旋转角，此时点F恰好落在上，过点D，E，F的圆交于点G，连接．
（1）若，求的度数；
（2）求证：；
（3）如图2，过点F作交于点H，写出与的数量关系并证明你的结论．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A．是一次函数，故此项符合题意；
B．不是整式函数，故此项不符合题意；
C．是一次函数，故此项不符合题意；
D．是二次函数，故此项符合题意．
故答案为：D．
【分析】形如（为常数，且），再对各选项逐一判断即可.
2．【答案】B
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A．抛掷一枚硬币，正面向上是随机事件，故选项不符合题意；
B．抛一颗骰子，点数不大于6必然事件，故选项符合题意；
C．射击运动员射击一次，击中靶心是随机事件，故选项不符合题意；
D．打开广播，正在播报新闻是不可能事件，故选项不符合题意，
故选：B．
【分析】必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，据此对各选项逐一判断.
3．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为6，
点P在⊙O内 ，
∴OP＜6.
故答案为：A .
【分析】要想判断点和圆的位置关系，主要确定点和圆心的距离与半径的大小关系，设点与圆的距离为d，圆的半径为r，当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内；据此判断即可.
4．【答案】B
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：一共有（个），
红球有2个，
∴摸到红球的概率，
故答案为：B．
【分析】利用已知条件可得到所有等可能的结果数及摸到红球的情况数，然后利用概率公式进行计算.
5．【答案】C
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后，
得到的解析式为，
整理得．
故选为：C．
【分析】二次函数图象平移规律：左加右减，上加下减，可得到平移后的函数解析式.
6．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理
【解析】【解答】解：连接，
∵点为的中点，OC是半径，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
故答案为：．
【分析】连接，利用垂径定理可求出AD的长，同时可证得OC⊥AB，可得到∠ADO=90°，利用勾股定理求出OD的长；然后根据CD=OC-OD，代入计算求出CD的长.
7．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：二次函数的顶点坐标为，
，
，
解得，
故选：C．
【分析】由二次函数图象的顶点坐标可知二次函数与轴只有一个交点，即b2-4ac=0，可得到关于c的方程，解方程求出c的值.
8．【答案】C
【知识点】正方形的判定与性质；圆周角定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵点O是矩形的中心，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，
则矩形的周长为，
故答案为：C．
【分析】如图，连接，利用AAS可证得，利用全等三角形的性质可证得，同时求出CF的长；根据为的直径，可证得，利用等角对等边可证得，根据圆心角定理得出，勾股定理算出；再证明四边形是正方形，利用正方形的在可求出正方形的边长，证明四边形是矩形，利用矩形的性质可求出AD，DG、BH、CF的长，然后求出矩形的周长.
9．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】∵，且，
∴二次函数的图象开口向上，对称轴为直线．
∴当时，y随x的增大而减小．
∵当时，y随x的增大而减小，
∴．
∴．
故选：D．
【分析】利用二次函数解析式可得到抛物线的对称轴，再利用二次函数的对称性和增减性，可得答案．
10．【答案】B
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：由题意得节目甲和丙演员人数一样，彩排时长不一样，那么时长长的节目应该放在后面，那么丙在甲的前面，乙和丁彩排时长一样，人数不一样，那么人数少的应该往后排，这样等待时长会短一些，那么乙在丁前面，
∴①按照丙、乙、甲、丁顺序，则候场时间为：分钟；
②按照丙、乙、丁、甲顺序，则候场时间为：分钟；
③按照丙、甲、乙、丁顺序，则候场时间为：分钟；
④按照乙、丙、甲、丁顺序，则候场时间为：分钟；
⑤按照乙、丙、丁、甲顺序，则候场时间为：分钟；
⑥按照乙、丁、丙、甲顺序，则候场时间为：分钟．
∴按照丙、甲、乙、丁顺序彩排，候场时间之和最小，最小值为190分钟，
故选：B．
【分析】先确定丙在甲的前面，乙在丁前面，然后分类讨论计算出每一种情况下，所有演员候场时间，比较大小即可．
11．【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：抛物线，
令，则，
即与y轴的交点坐标为，
故答案为：．
【分析】由x=0可得到对应的y的值，由此可得到与y轴的交点坐标．
12．【答案】160个
【知识点】用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：当一个工件的质量x（单位：g）满足时，评定该工件为合格品，
检测得10个工件的质量中合格品有8个，
这200个工件中合格品的个数是（个），
故答案为：个．
【分析】先求出10个工件中合格品的数量，再用总数200乘以合格品的占比，即可求解．
13．【答案】8
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：由题意得：当时，，
整理得：，
解得：，（舍去），
∴点，
∴，
故答案为：．
【分析】根据题意可知要求的长实际是需要点的横坐标，已知点的纵坐标为，由y=0可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到符合题意的点B的坐标，然后求出OB的长.
14．【答案】70
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接，如图，
∵是的直径，
∴
∵
∴，
∵
∴，
∴
故答案为：70．
【分析】连接，利用直径所对的圆周角是直角可求出∠ADB的数，再求出∠ADC的度数，利用等边对等角可求出∠CAD的度数，然后利用三角形的内角和定理求出∠C的度数.
15．【答案】 或
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：点是直线的一个动点，
，
．
有最小值，
且，
整理得，
解得，，
经检验，，都是方程的根，符合题意．
故答案为：1或．
【分析】将点（m，n）代入可表示出m，再表示出mn，根据mn的最小值，可得到关于k的次，解方程求出符合题意的k的值.
16．【答案】
【知识点】等腰梯形的判定；垂径定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
如图，作于，于，
∴，
由勾股定理得，，
∵，
∴，
解得，，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是等腰梯形，
如图，作于，于，
∴，，
由勾股定理得，，
∴，
如图，作圆心，连接，作于，交于，
∴，，
设，则，
由勾股定理得，，即①；
，即②；
得，，
将代入①得，，
解得，或（舍去），
故答案为：．
【分析】利用可证得AE=CE，利用已知可求出AE、CE的长；如图，作于，于，同时可求出EM的长，利用勾股定理求出BM的长，利用三角形的面积公式可求出AN的长；利用圆内接四边形的性质可证得，同时可证四边形是等腰梯形，作于，于，利用勾股定理求出AP的长，可得到AD的长；作圆心，连接，作于，交于，利用垂径定理可求出EG，AH的长，设，则，利用勾股定理可得到关于r的方程，解方程求出符合题意的r的值.
17．【答案】（1）由题意，得∴解得，
∴该二次函数的解析式是
（2）解：不在，
理由如下：把代入，得
∴点不在该函数图形上
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）将已知点的坐标和对称轴代入函数解析式，可得到关于a、b的二元一次方程组，解方程求出a、b的值，可得到二次函数解析式.
（2）将x=-2代入抛物线的解析式可求出y的值，即可知道它是否在该函数的图象上．
（1）解：由题意，得
∴解得，
∴该二次函数的解析式是
（2）解：不在，理由如下：
把代入，得
∴点不在该函数图形上．
18．【答案】（1）
（2）解：列表如下：
小夏 小王 A B C D
A
B
C
D
∴共有16种等可能的结果，其中能同时看同一个直播节目的有4种，
∴P（两人同时看同一个直播节目）．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：小夏收看了乒乓球直播的概率为，
故答案为：；
【分析】（1）根据概率公式即可求出答案.
（2）列表得出所有等可能的情况数，找出小夏和小王收看同一个直播节目的情况数，根据概率公式即可求出答案.
（1）解：小夏收看了乒乓球直播的概率为，
故答案为：；
（2）解：列表如下：
小夏 小王 A B C D
A
B
C
D
∴共有16种等可能的结果，其中能同时看同一个直播节目的有4种，
∴P（两人同时看同一个直播节目）．
19．【答案】（1）解：如图，如图所示，就是所求作的高，
∵是直径，
∴，
即
（2）解：如图，点O即为所求，
方法不唯一，上面7个答案，任选其一
理由：如左上角图，
根据网格特征，得，，
∴四边形是平行四边形，
∴点O为的中点．，即点O为圆心
【知识点】平行四边形的判定与性质；圆周角定理
【解析】【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角，连接B和与半圆的交点即可；
（2）取格点M、N，连接交于点O即可.
（1）解：如图，如图所示，就是所求作的高，
∵是直径，
∴，
即；
（2）解：如图，点O即为所求，
方法不唯一，上面7个答案，任选其一
理由：如左上角图，
根据网格特征，得，，
∴四边形是平行四边形，
∴点O为的中点．，即点O为圆心．
20．【答案】（1）解：∵该函数图象经过点，∴，
解得：或0，
∵，
∴
（2）解：由（1）小题，得，∵，对称轴为直线，开口向上，
∴在范围内，
当或2时，y有最大值1，
当时，y有最小值，
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入函数解析式，可求出符合题意的a的值.
（2）根据抛物线的开口方向，结合函数的对称轴为直线知：当时，y取最小值；分别将或2时，代入函数解析式，可求出y取最大值，然后求出y的最大值和最小值的差.
（1）解：∵该函数图象经过点，
∴，
解得：或0，
∵，
∴．
（2）解：由（1）小题，得，
∵，对称轴为直线，开口向上，
∴在范围内，
当或2时，y有最大值1，
当时，y有最小值，
．
21．【答案】（1）解：设该货物的进价为t元/个，由题意，得，
解得
经检验，是分式方程的根，且符合题意．
∴该货物的进价为16元/个
（2）解：设当该货物的售价定为x元/个时，每周可获利润设为y元．由题意，得
∵，
∴当时，y有最大值，其值为980．
∴当货物售价定为23元/个时，每周可获得最大利润，最大利润是980元
【知识点】分式方程的实际应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该货物的进价为t元/个，根据“第二批比第一批多购进50个”，可得到关于t的方程，解方程求出t的值即可.
（2）设当该货物的售价定为x元/个时，每周可获利润设为y元，利用利润=单件利润×销售量。可得到y关于x的函数解析式，然后利用二次函数性质，可求出结果.
（1）解：设该货物的进价为t元/个，
由题意，得，
解得
经检验，是分式方程的根，且符合题意．
∴该货物的进价为16元/个．
（2）解：设当该货物的售价定为x元/个时，每周可获利润设为y元．
由题意，得
∵，
∴当时，y有最大值，其值为980．
∴当货物售价定为23元/个时，每周可获得最大利润，最大利润是980元．
22．【答案】（1）证明：∵平分，∴，
∵，
∴，
∴，
∴
（2）解：∵，∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵是直径，
∴，
∴
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）利用角平分线的概念可证得∠ABD=∠CBD，利用等边对等角可证得∠ABD=∠ODB，据此可证得∠ODB=∠CBD，然后利用平行线的判定定理可证得结论.
（2）利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证得是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出AD的长，再利用圆周角定理可证得∠ADB=90°，然后利用勾股定理求出BD的长.
（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵是直径，
∴，
∴
23．【答案】（1）解：由题意可得关于V的函数关系式过，，，∴设，代入，，得，
解得，，
∴
（2）解：设，代入得，解得，
∴，
∴，
∴在范围内，当时，的值最大，其最大值为0.2．
∴2号杯水面与1号杯水面的最大高度差为
【知识点】二次函数的最值；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）观察图象可知抛物线经过，，，分别将它们代入函数解析式，可求出a、b的值，即可得到函数解析式.
（2）设，将点的坐标代入可求出其函数解析式；再计算的值，求出在范围内最大值即可．
（1）解：由题意可得关于V的函数关系式过，，，
∴设，代入，，得，
解得，，
∴；
（2）解：设，代入得，
解得，
∴，
∴，
∴在范围内，当时，的值最大，其最大值为0.2．
∴2号杯水面与1号杯水面的最大高度差为．
24．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴
（2）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴
（3）结论：，
理由如下：
取的中点Q，连接，
∵，
∴，，
∵Q是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先将a=35代入计算可求出∠EDF的度数，再利用圆内接四边形的性质即可求解；
（2）连接DG，利用圆内接四边形的性质以及等弦对等弧求得，可证得，再利用AAS可证得，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
（3）取的中点Q，连接，利用直角三角形斜边中线的性质证明，再证明，结合（2）的结论即可得解．
（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：，理由如下：
取的中点Q，连接，
∵，
∴，，
∵Q是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
1 / 1浙江省温州市苍南县2024—-2025学年上学期第一次学情检测九年级数学试题
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的不选、多选、错选，均不给分）
1．（2024九上·苍南期中）下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A．是一次函数，故此项符合题意；
B．不是整式函数，故此项不符合题意；
C．是一次函数，故此项不符合题意；
D．是二次函数，故此项符合题意．
故答案为：D．
【分析】形如（为常数，且），再对各选项逐一判断即可.
2．（2024九上·苍南期中）下列事件属于必然事件的是（ ）
A．抛一枚硬币，正面朝上
B．抛一颗骰子，点数不大于6
C．射击运动员射击一次，击中靶心
D．打开广播，正在播报新闻
【答案】B
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A．抛掷一枚硬币，正面向上是随机事件，故选项不符合题意；
B．抛一颗骰子，点数不大于6必然事件，故选项符合题意；
C．射击运动员射击一次，击中靶心是随机事件，故选项不符合题意；
D．打开广播，正在播报新闻是不可能事件，故选项不符合题意，
故选：B．
【分析】必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，据此对各选项逐一判断.
3．（2024九上·苍南期中）若⊙O的半径为6，点P在⊙O内，则OP的长可能是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为6，
点P在⊙O内 ，
∴OP＜6.
故答案为：A .
【分析】要想判断点和圆的位置关系，主要确定点和圆心的距离与半径的大小关系，设点与圆的距离为d，圆的半径为r，当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内；据此判断即可.
4．（2024九上·苍南期中）活动课上进行盲盒摸球（除了颜色，其他都一样） 活动，已知盲盒里有3个白球、5个黑球和2个红球，则摸到红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：一共有（个），
红球有2个，
∴摸到红球的概率，
故答案为：B．
【分析】利用已知条件可得到所有等可能的结果数及摸到红球的情况数，然后利用概率公式进行计算.
5．（2024九上·苍南期中）将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后抛物线的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后，
得到的解析式为，
整理得．
故选为：C．
【分析】二次函数图象平移规律：左加右减，上加下减，可得到平移后的函数解析式.
6．（2024九上·苍南期中）如图，在中，点为的中点，半径交弦于点，已知，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理
【解析】【解答】解：连接，
∵点为的中点，OC是半径，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
故答案为：．
【分析】连接，利用垂径定理可求出AD的长，同时可证得OC⊥AB，可得到∠ADO=90°，利用勾股定理求出OD的长；然后根据CD=OC-OD，代入计算求出CD的长.
7．（2024九上·苍南期中）二次函数的顶点坐标为，则实数c的值为（ ）
A． B． C．4 D．16
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：二次函数的顶点坐标为，
，
，
解得，
故选：C．
【分析】由二次函数图象的顶点坐标可知二次函数与轴只有一个交点，即b2-4ac=0，可得到关于c的方程，解方程求出c的值.
8．（2024九上·苍南期中）如图，点O是矩形的中心，E是上一点，连结并延长交于点F，以为直径作圆．若，，则矩形的周长为（ ）
A．16 B． C． D．24
【答案】C
【知识点】正方形的判定与性质；圆周角定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵点O是矩形的中心，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，
则矩形的周长为，
故答案为：C．
【分析】如图，连接，利用AAS可证得，利用全等三角形的性质可证得，同时求出CF的长；根据为的直径，可证得，利用等角对等边可证得，根据圆心角定理得出，勾股定理算出；再证明四边形是正方形，利用正方形的在可求出正方形的边长，证明四边形是矩形，利用矩形的性质可求出AD，DG、BH、CF的长，然后求出矩形的周长.
9．（2024九上·苍南期中）二次函数中，当时，y随x的增大而减小，则b的值可能是（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】∵，且，
∴二次函数的图象开口向上，对称轴为直线．
∴当时，y随x的增大而减小．
∵当时，y随x的增大而减小，
∴．
∴．
故选：D．
【分析】利用二次函数解析式可得到抛物线的对称轴，再利用二次函数的对称性和增减性，可得答案．
10．（2024九上·苍南期中）【情境】某校举行晚会有甲、乙、丙、丁四个节目需要彩排，学校规定演员全部到场后节目彩排开始，每个节目彩排完毕，下个节目立即开始．每个节目的演员人数和彩排时长（单位：分钟）如表所示：
节目 甲 乙 丙 丁
演员人数 5 2 5 1
彩排时长 20 10 15 10
【问题】这13位演员的候场时间之和最小为（ ）
A．180分钟 B．190分钟 C．200分钟 D．210分钟
【答案】B
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：由题意得节目甲和丙演员人数一样，彩排时长不一样，那么时长长的节目应该放在后面，那么丙在甲的前面，乙和丁彩排时长一样，人数不一样，那么人数少的应该往后排，这样等待时长会短一些，那么乙在丁前面，
∴①按照丙、乙、甲、丁顺序，则候场时间为：分钟；
②按照丙、乙、丁、甲顺序，则候场时间为：分钟；
③按照丙、甲、乙、丁顺序，则候场时间为：分钟；
④按照乙、丙、甲、丁顺序，则候场时间为：分钟；
⑤按照乙、丙、丁、甲顺序，则候场时间为：分钟；
⑥按照乙、丁、丙、甲顺序，则候场时间为：分钟．
∴按照丙、甲、乙、丁顺序彩排，候场时间之和最小，最小值为190分钟，
故选：B．
【分析】先确定丙在甲的前面，乙在丁前面，然后分类讨论计算出每一种情况下，所有演员候场时间，比较大小即可．
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（2024九上·苍南期中）抛物线与y轴的交点坐标为 ．
【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：抛物线，
令，则，
即与y轴的交点坐标为，
故答案为：．
【分析】由x=0可得到对应的y的值，由此可得到与y轴的交点坐标．
12．（2024九上·苍南期中）检验员从200个工件中随机检测了10个工件的质量（单位：g），得到数据如表所示，当一个工件的质量x（单位：g）满足时，评定该工件为合格品．根据数据，估计这200个工件中合格品的个数是 ．
49.97 50.02 50.00 49.99 50.02
49.99 50.01 50.03 50.00 49.98
【答案】160个
【知识点】用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：当一个工件的质量x（单位：g）满足时，评定该工件为合格品，
检测得10个工件的质量中合格品有8个，
这200个工件中合格品的个数是（个），
故答案为：个．
【分析】先求出10个工件中合格品的数量，再用总数200乘以合格品的占比，即可求解．
13．（2024九上·苍南期中）小初进行投实心球练习，实心球的行进过程为抛物线形状，如图所示建立平面直角坐标系，实心球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是，则实心球推出的水平距离的长是 ．
【答案】8
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：由题意得：当时，，
整理得：，
解得：，（舍去），
∴点，
∴，
故答案为：．
【分析】根据题意可知要求的长实际是需要点的横坐标，已知点的纵坐标为，由y=0可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到符合题意的点B的坐标，然后求出OB的长.
14．（2024九上·苍南期中）如图，在中，直径交弦点E，，连接．若，则 度．
【答案】70
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接，如图，
∵是的直径，
∴
∵
∴，
∵
∴，
∴
故答案为：70．
【分析】连接，利用直径所对的圆周角是直角可求出∠ADB的数，再求出∠ADC的度数，利用等边对等角可求出∠CAD的度数，然后利用三角形的内角和定理求出∠C的度数.
15．（2024九上·苍南期中）在平面直角坐标系中，点是直线的一个动点，且有最小值，则的值为 ．
【答案】 或
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：点是直线的一个动点，
，
．
有最小值，
且，
整理得，
解得，，
经检验，，都是方程的根，符合题意．
故答案为：1或．
【分析】将点（m，n）代入可表示出m，再表示出mn，根据mn的最小值，可得到关于k的次，解方程求出符合题意的k的值.
16．（2024九上·苍南期中）如图，在四边形中，，过A，C，D的圆交于点E，连结，已知，．若，则圆的半径为 ．
【答案】
【知识点】等腰梯形的判定；垂径定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
如图，作于，于，
∴，
由勾股定理得，，
∵，
∴，
解得，，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是等腰梯形，
如图，作于，于，
∴，，
由勾股定理得，，
∴，
如图，作圆心，连接，作于，交于，
∴，，
设，则，
由勾股定理得，，即①；
，即②；
得，，
将代入①得，，
解得，或（舍去），
故答案为：．
【分析】利用可证得AE=CE，利用已知可求出AE、CE的长；如图，作于，于，同时可求出EM的长，利用勾股定理求出BM的长，利用三角形的面积公式可求出AN的长；利用圆内接四边形的性质可证得，同时可证四边形是等腰梯形，作于，于，利用勾股定理求出AP的长，可得到AD的长；作圆心，连接，作于，交于，利用垂径定理可求出EG，AH的长，设，则，利用勾股定理可得到关于r的方程，解方程求出符合题意的r的值.
三、解答题（本题有8小题，共72分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（2024九上·苍南期中）已知二次函数的图象经过点，对称轴为直线．
（1）求该二次函数的解析式．
（2）试判断点是否在此函数的图象上，并说明理由．
【答案】（1）由题意，得∴解得，
∴该二次函数的解析式是
（2）解：不在，
理由如下：把代入，得
∴点不在该函数图形上
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）将已知点的坐标和对称轴代入函数解析式，可得到关于a、b的二元一次方程组，解方程求出a、b的值，可得到二次函数解析式.
（2）将x=-2代入抛物线的解析式可求出y的值，即可知道它是否在该函数的图象上．
（1）解：由题意，得
∴解得，
∴该二次函数的解析式是
（2）解：不在，理由如下：
把代入，得
∴点不在该函数图形上．
18．（2024九上·苍南期中）2024年夏季奥运会在法国巴黎举行，某4档电视台A、B、C、D在同一时间进行了现场直播，直播节目表如下表所示．小夏和小王都是体育迷，他们在各自家里同一时间观看了直播节目．
电视台 A B C D
直播节目
乒乓球 篮球 射击 网球
（1）小夏收看了乒乓球直播的概率为________；
（2）请用列表或画树状图的方法求小夏和小王收看同一个直播节目的概率．
【答案】（1）
（2）解：列表如下：
小夏 小王 A B C D
A
B
C
D
∴共有16种等可能的结果，其中能同时看同一个直播节目的有4种，
∴P（两人同时看同一个直播节目）．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：小夏收看了乒乓球直播的概率为，
故答案为：；
【分析】（1）根据概率公式即可求出答案.
（2）列表得出所有等可能的情况数，找出小夏和小王收看同一个直播节目的情况数，根据概率公式即可求出答案.
（1）解：小夏收看了乒乓球直播的概率为，
故答案为：；
（2）解：列表如下：
小夏 小王 A B C D
A
B
C
D
∴共有16种等可能的结果，其中能同时看同一个直播节目的有4种，
∴P（两人同时看同一个直播节目）．
19．（2024九上·苍南期中）如图，是的直径，点A在圆外，请仅用无刻度的直尺按要求画图．
（1）在图1中，画出中边上的高；
（2）在图2中，画出并标上圆心O的位置（保留作图痕迹）．
【答案】（1）解：如图，如图所示，就是所求作的高，
∵是直径，
∴，
即
（2）解：如图，点O即为所求，
方法不唯一，上面7个答案，任选其一
理由：如左上角图，
根据网格特征，得，，
∴四边形是平行四边形，
∴点O为的中点．，即点O为圆心
【知识点】平行四边形的判定与性质；圆周角定理
【解析】【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角，连接B和与半圆的交点即可；
（2）取格点M、N，连接交于点O即可.
（1）解：如图，如图所示，就是所求作的高，
∵是直径，
∴，
即；
（2）解：如图，点O即为所求，
方法不唯一，上面7个答案，任选其一
理由：如左上角图，
根据网格特征，得，，
∴四边形是平行四边形，
∴点O为的中点．，即点O为圆心．
20．（2024九上·苍南期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点．
（1）求a的值；
（2）当，求y的最大值和最小值的差．
【答案】（1）解：∵该函数图象经过点，∴，
解得：或0，
∵，
∴
（2）解：由（1）小题，得，∵，对称轴为直线，开口向上，
∴在范围内，
当或2时，y有最大值1，
当时，y有最小值，
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入函数解析式，可求出符合题意的a的值.
（2）根据抛物线的开口方向，结合函数的对称轴为直线知：当时，y取最小值；分别将或2时，代入函数解析式，可求出y取最大值，然后求出y的最大值和最小值的差.
（1）解：∵该函数图象经过点，
∴，
解得：或0，
∵，
∴．
（2）解：由（1）小题，得，
∵，对称轴为直线，开口向上，
∴在范围内，
当或2时，y有最大值1，
当时，y有最小值，
．
21．（2024九上·苍南期中）某商店以相同的进价采购了两批货物进行销售，第一批花费了7200元，第二批花费了8000元，且第二批比第一批多购进50个．
（1）求货物的进价；
（2）两批货物售完后，该商店又以同样的进价采购第三批货物，经市场调查发现，当货物以20元/个的价格销售时，每周能卖出200个，若每个加价1元，则每周销售量减少20个，求货物售价定为多少元/个时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】（1）解：设该货物的进价为t元/个，由题意，得，
解得
经检验，是分式方程的根，且符合题意．
∴该货物的进价为16元/个
（2）解：设当该货物的售价定为x元/个时，每周可获利润设为y元．由题意，得
∵，
∴当时，y有最大值，其值为980．
∴当货物售价定为23元/个时，每周可获得最大利润，最大利润是980元
【知识点】分式方程的实际应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该货物的进价为t元/个，根据“第二批比第一批多购进50个”，可得到关于t的方程，解方程求出t的值即可.
（2）设当该货物的售价定为x元/个时，每周可获利润设为y元，利用利润=单件利润×销售量。可得到y关于x的函数解析式，然后利用二次函数性质，可求出结果.
（1）解：设该货物的进价为t元/个，
由题意，得，
解得
经检验，是分式方程的根，且符合题意．
∴该货物的进价为16元/个．
（2）解：设当该货物的售价定为x元/个时，每周可获利润设为y元．
由题意，得
∵，
∴当时，y有最大值，其值为980．
∴当货物售价定为23元/个时，每周可获得最大利润，最大利润是980元．
22．（2024九上·苍南期中）如图，在半圆O中，直径，点C在上，连接，弦平分，连接．
（1）求证：；
（2）连接．若，求的长．
【答案】（1）证明：∵平分，∴，
∵，
∴，
∴，
∴
（2）解：∵，∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵是直径，
∴，
∴
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）利用角平分线的概念可证得∠ABD=∠CBD，利用等边对等角可证得∠ABD=∠ODB，据此可证得∠ODB=∠CBD，然后利用平行线的判定定理可证得结论.
（2）利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证得是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出AD的长，再利用圆周角定理可证得∠ADB=90°，然后利用勾股定理求出BD的长.
（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵是直径，
∴，
∴
23．（2024九上·苍南期中）综合与实践：探究对比两种水杯装水情况
【情境】小旭要了解不同型号两种水杯（1号杯，2号杯）的容积与高度之间的关系，经测量它们的关系如图所示，设1号杯的水面高度，2号杯的水面高度（其中近似关于V的二次函数）．
【项目解决】
（1）目标1：确定2号杯水的高度．
求关于V的函数关系式．
（2）目标2：比较水杯的装水高度．
在相同体积下，当两个杯中水在时，求2号杯水面与1号杯水面的最大高度差．
【答案】（1）解：由题意可得关于V的函数关系式过，，，∴设，代入，，得，
解得，，
∴
（2）解：设，代入得，解得，
∴，
∴，
∴在范围内，当时，的值最大，其最大值为0.2．
∴2号杯水面与1号杯水面的最大高度差为
【知识点】二次函数的最值；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）观察图象可知抛物线经过，，，分别将它们代入函数解析式，可求出a、b的值，即可得到函数解析式.
（2）设，将点的坐标代入可求出其函数解析式；再计算的值，求出在范围内最大值即可．
（1）解：由题意可得关于V的函数关系式过，，，
∴设，代入，，得，
解得，，
∴；
（2）解：设，代入得，
解得，
∴，
∴，
∴在范围内，当时，的值最大，其最大值为0.2．
∴2号杯水面与1号杯水面的最大高度差为．
24．（2024九上·苍南期中）如图，在中，，，点D，E分别在上，线段绕点D顺时针旋转得到，其中旋转角，此时点F恰好落在上，过点D，E，F的圆交于点G，连接．
（1）若，求的度数；
（2）求证：；
（3）如图2，过点F作交于点H，写出与的数量关系并证明你的结论．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴
（2）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴
（3）结论：，
理由如下：
取的中点Q，连接，
∵，
∴，，
∵Q是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先将a=35代入计算可求出∠EDF的度数，再利用圆内接四边形的性质即可求解；
（2）连接DG，利用圆内接四边形的性质以及等弦对等弧求得，可证得，再利用AAS可证得，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
（3）取的中点Q，连接，利用直角三角形斜边中线的性质证明，再证明，结合（2）的结论即可得解．
（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：，理由如下：
取的中点Q，连接，
∵，
∴，，
∵Q是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
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