人教版九年级上册第二十二章 二次函数 单元试卷(含答案)

第二十二章 二次函数 单元试卷
一、选择题
1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（　　）
A． B． C． D．
2．抛物线 的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
3．将拋物线 向上平移 3 个单位后得到的拋物线的函数表达式是（ ）
A． B． C． D．
4．一个矩形周长为，不能围成的面积是（　　）
A． B． C． D．
5．已知二次函数y=ax2+bx+c中自变量x和函数y的部分对应值如下表：
x … -3 -2 -1 0 1 …
y … -1 -4 -1 8 23 …
则方程 ax2+bx+c=0的一个解x=t的取值范围下列可能的是（　　）
A．-36．若函数y=-2x2+bx+c的图象经过点（-1，1）和（1，-7），则当-3≤x≤0时，函数的最大值与最小值之和是（　　）
A．-8 B．-6 C．-3 D．0
7．在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
8．某抛物线型拱桥的示意图如图所示，水面，拱桥最高处点C到水面的距离为，在该抛物线上的点E，F处要安装两盏警示灯（点E，F关于y轴对称），警示灯F距水面的高度是，则这两盏灯的水平距离是（　　）
A． B． C． D．
9．二次函数的图象如图所示，则下列各式正确的是（　　）
A． B． C． D．
10．已知二次函数 及一次函数y=-x+m.将该二次函数在x 轴上方的图象沿x轴翻折到x 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象(如图所示).当直线 y=-x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是(　　).
A． B．
C．-2二、填空题
11．若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是　 　．
12．拋物线 的开口向下，则 的值可以取　 　．（写出一个即可）
13．已知二次函数（，均是实数），设该函数最小值为，若，，则的取值范围是　 　．
14．抛物线的部分图像如图所示，则一元二次方程的根为　 　．
15．在中考体育测试中，小刚投出的实心球在空中的运动轨迹如图所示．实心球行进的高度与水平距离之间满足关系式，则实心球投出的水平距离为　 　．
16．建水双龙桥，俗称“十七孔桥”，位于云南省建水县，是一座具有极高历史，艺术和科学价值的古桥，如图，古桥横断面是抛物线形状，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽．则水面上升米后水面宽度为　 　米．
17．某宾馆有 120 间标准房，当标准房价格为 100 元时，每天都客满，市场调查表明单间房价在 元之间（含 100 元， 150 元）浮动时，每提高 10 元，日均入住数减少 6 间。如果不考虑其他因素，该宾馆将标准房价格提高到　 　元时，客房的日营业收入最大。
18．在“探索二次函数的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：，，，．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式，则的最大值等于　 　．
三、解答题
19．用 12米长的铝合金型材制成如图1所示的矩形窗框（铝合金型材宽度不计）
（1）窗框的宽为多少米时，窗户的透光面积最大 最大透光面积是多少
（2）若制成如图2所示的窗框（上部分为半圆，下部分为矩形），求该窗户的最大透光面积（π取 3）.
20．已知二次函数 （ 为常数）的图象经过点 ，对称轴是直线 。
（1）求此二次函数的表达式。
（2）求二次函数 的最大值。
（3）当 时，二次函数 的最大值与最小值的差为 ，求 的取值范围。
21．如图所示，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，﹣8），与直线y=x﹣4交于B，D两点
（1）求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标；
（2）点P为直线BD下方抛物线上的一个动点，试求出△BDP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）点Q是线段BD上异于B、D的动点，过点Q作QF⊥x轴于点F，交抛物线于点G，当△QDG为直角三角形时，直接写出点Q的坐标．
22．今年“双”网上购物节，某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为元，销售价为元时，每天可售出件，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，尽快减少库存，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件，设每件童装降价元．
（1）每天可销售__________件，每件盈利__________元；（用含的代数式表示）
（2）若每天销售利润为元，当降价多少元时，每天的利润最大？
23．2024年巴黎奥运会女子单人10米跳台决赛中，全红婵以425.60分的总分夺得金牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的动作（如图1），为了分析这个动作我们可以建立如图2所示的平面直角坐标系，将她从点起跳后的运动路线看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系．
（1）下表为平时训练中完成一次动作，全红婵的水平距离与竖直高度的几组数据：
水平距离 3 4 4.5
竖直高度 10 11.25 10 6.25
根据表中数据，求与近似满足的二次函数解析式，并求出的值；
（2）某一次10米跳台练习中，如果与之间近似满足二次函数，则全红婵完成跳水动作入水时的入水点到点的距离是多少？
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】A
【解析】【解答】解：抛物线y=(x-1)2的对称轴为直线x=1.
故答案选：A.
【分析】根据二次函数的顶点式方程y=(x -k)2+h的对称轴为x=k，顶点坐标为(k，h).
3．【答案】B
【解析】【解答】解：将抛物线y=x2向上平移3个单位后得到的抛物线的函数表达式是y=x2+3.
故答案为：B.
【分析】根据二次函数图象的平移变换规律，上加下减，左加右减，即可得出平移后的函数表达式.
4．【答案】D
5．【答案】C
【解析】【解答】解：由所给表格可知，当 时， y取值为负， 当 时， y取值为正，
所以 的一个解的取值范围为：
故答案为：C.
【分析】根据所给表格，得出当 时， y取值为负， 当 时，y取值为正，据此可得出方程 的一个解的取值范围.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：由题意，∵函数 的图象经过点
和
∴函数为
∴当 时， 当 时，y最大值为1；当 时，y取最小值为
∴函数的最大值与最小值之和是：
故答案为：B.
【分析】依据题意，代入 和 求出b，c的值，即可得到函数解析式，再由二次函数的性质，结合 进而可以判断得解.
7．【答案】C
【解析】【解答】解：A、由直线经过一、二、三象限可得：a＞0；
由抛物线的顶点在y轴的负半轴可得a＜0；
∴矛盾，
∴此选项不符合题意；
B、由直线经过一、二、三象限可得：a＞0；
由抛物线的开口向下可得，抛物线的二次项系数＜0，
而抛物线的二次项系数为1＞0，
∴矛盾，
∴此选项不符合题意；
C、由直线经过一、二、四象限可得：a＜0；
由抛物线的顶点在y轴的负半轴可得a＜0；
∴此选项符合题意；
D、由直线经过二、三、四象限可得：a＜0，b＜0，
而一次函数的解析式中b=2＞0；
∴矛盾，
∴此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】根据二次函数及一次函数的图象及性质可得，当a＜0时，二次函数图象开口向上，顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、四象限；当a＞0时，二次函数图象开口向上，顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、三象限；再结合各选项即可判断求解.
8．【答案】A
9．【答案】C
10．【答案】D
【解析】【解答】解：当y=0时，-x2+x+6=0，
解之：x1=3，x2=-2，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（3，0），（-2，0）
当直线过点(-2，0)时，直线与新图象有3个交点，
∴2+m=0
解之：m=-2；
当直线与翻折到x轴下方的部分相切时，直线与新图象有3个交点，
∴即x2-6-m=0
∴△=0-4（-6-m）=0
解之：m=-6，
∵ 得到一个新图象(如图所示)，直线 y=-x+m与新图象有4个交点，
∴ -6故答案为：D
【分析】由y=0可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到抛物线与x轴的两个交点坐标，当直线过点(-2，0)时，直线与新图象有3个交点，可得到m的值，当直线与翻折到x轴下方的部分相切时，直线与新图象有3个交点，将两函数联立方程组，可得到关于x的方程有两个相等的实数根，可求出m的值；再根据直线 y=-x+m与新图象有4个交点，可得到m的取值范围.
11．【答案】
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴没有交点，
∴没有实数根，
∴，．
故答案为：．
【分析】
抛物线与x轴无交点，则关于x的一元二次方程无实数根，即．
12．【答案】-1
【解析】【解答】解：∵抛物线 的开口向下，
∴a的值可以为 .
故答案为：
【分析】二次函数的开口方向由二次项系数a决定， 当时， 开口向上， 当 时，开口向下.
13．【答案】
14．【答案】，
15．【答案】8
16．【答案】
17．【答案】150
【解析】【解答】解：设宾馆客房租金每间日租金提高x个10元，
将有6x间客房空出，客房租金总收入为y，
由题意可得：
y=(100+10x)(120-6x)(10≤x≤ 50且x是整数)，
=60(-x2+10x+200)
=-60(x-5)2+13500
当x=5时，ymax=13500，
因此每间租金100+10×5=150元时，客房租金总收入最高，日租金13500元.
故答案为：150.
【分析】设标准房价格为x元，客房的日营业收入为y元，根据题意列出函数关系式，然后根据二次函数的性质即可求解.
18．【答案】2
【解析】【解答】解：∵A、B、C的纵坐标相同，
∴抛物线不会同时经过A、B、C三点，
∴抛物线可能经过A、D、C或者B、D、C或者A、B、D，
如图，经过A、D、C三点的抛物线，当时，y的值最大，
把代入，得，
解得，
∴经过A、D、C三点的抛物线的解析式为，
当时，，
故的最大值等于2，
故答案为：2．
【分析】由于A、B、C三点在同一条直线上，故抛物线不可能同时过这三点，因此抛物线可能经过A、D、C或者B、D、C或者A、B、D，画出图象后，则只有抛物线经过A、D、C三点且当时，y的值最大，然后用待定系数法求出函数解析式，再求出当时的函数值即可．
19．【答案】（1）设矩形窗框的宽AD为x米，窗户的透光面积为S平方米，如图所示：
则 (米) ，
根据题意得：
∴当 时， S最大， 最大值为6，∴窗框的宽为2米时，窗户的透光面积最大，最大透光面积是6平方米；
（2）解：设矩形窗框的宽AD为x米，窗户的透光面积为S平方米，如上图所示：
则半圆周长为 (米)，
米，
∴当 时，S最大，最大值为
答：该窗户的最大透光面积为 平方米.
【解析】【分析】(1)设窗框的宽为. 则长为 (米)，表示出面积利用二次函数最值求法得出即可；
(2)设矩形窗框的宽AD为x米，窗户的透光面积为S平方米，则半圆周长为 (米)，
米，根据窗户的透光面积=半圆的面积+矩形的面积列出函数解析式，根据函数的性质求最值.
20．【答案】（1）解： 对称轴是直线 ．
的图象经过点 ．

（2）解： ，
其最大值为
（3）解： 的对称轴是直线 ．
当 时，二次函数取得最大值 ．
当 时，二次函数值为 2 ．
而 当 时，恰好符合．
根据二次函数的对称性可得，
当 时，最大值仍然为函数本身的最大值，最小值为 时对应的函数值，亦符合．
故
【解析】【分析】(1)利用点A(3，2)和对称轴求出函数表达式；
(2)利用公式求出函数最大值；
(3)利用图象分析即可.
21．【答案】（1）y=（x+2）（x﹣4），D的坐标是（﹣1，﹣5）；（2）P（，﹣）；（3）点Q的坐标为（2，﹣2）或（3，﹣1）．
22．【答案】（1），
（2）当降价为元时，每天的利润最大．
23．【答案】（1），
（2）