鲁教版五四制八年级下册特殊平行四边形单元作业设计（含答案）
文档属性
| 名称 | 鲁教版五四制八年级下册特殊平行四边形单元作业设计（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 796.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-19 20:02:18 | ||
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文档简介
初中数学
单元作业设计
单元名称： 特殊平行四边形
所在年级： 八年级
教材版本： 鲁教版五四制 下册
作者姓名： 初三数学组
一、单元信息
基本信息 学科 年级 学期 教材版本 单元名称
数学 八年级 第二学期 鲁教版 特殊平形四边形
单元呈现方式 教材自然单元
课时信息 序号 课时名称 对应教材内容
1 菱形的性质 （P2-P4）
2 菱形的判定 （P5-P11）
3 矩形的性质 （P12-P14）
4 矩形的判定 （P15-P20）
5 正方形的性质 （P21-P23）
6 正方形的判定 （P24-P26）
7 特殊平行四边形的单元复习 （P2-P26）
二、单元分析
1.教材分析
特殊平行四边形是鲁教版八年级下册第六章的内容，是在学生学行四边形的定义、 性质与判定的基础上进行的。特殊平行四边形是对平行四边形的纵向拓展，同时也是对推理 证明的巩固与加深。特殊平行四边形为证明线段相等、平行，证明角相等，证明直线互相垂 直提供了新的方法，为学生后续几何学习奠定了基础，具有承上启下的作用。
矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们的性质和判定都是在平行四边形的基 础上扩充的，它们的探索方法，也都与平行四边形性质和判定的探索方法一脉相承。本章的 教学内容之间联系比较紧密，研究问题的思路和方法也类似。因此在教学中，可以根据实际 情况构建更现实、更贴近学生的问题情境，引导学生进行相关的探索、猜想活动。充分调动 学生的积极性与主动性，引导学生探索、发现结论、体会探索结论的各种方法，理解猜想后 还应该给予证明的意义，感受合情推理与演绎推理的关系。在菱形、矩形、正方形的性质与 判定方法的探索与证明的过程中蕴含着一些数学思想方法，教学中有目的地让学生感悟、领 会这些思想方法，可以对课本的例题和习题进行深入的研究，让学生经历第一次的感悟后， 进行适当的改编和创编，运用变式训练，让学生再次感悟数学思想方法，并应用于解决相关 问题的过程中。
特殊平行四边形在初中数学知识树中的地位如下图所示：
平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的联系如下图所示：
性质联系图 判定联系图
2.学情分析
本单元主要是研究菱形、矩形、正方形特殊的平行四边形，在这之前学生已经有了一定 平行线、三角形、平行四边形等知识储备。本单元受思维定势影响，学生往往还是会走“全 等三角形”的老路，教师应有意识的引导、针对性的训练， 以构建学生头脑中新的知识网络。 本单元特殊平行四边形概念多易混淆，不易理清它们的从属关系，性质及判定方法不易区分， 推理证明时易造成逻辑上的混乱，教学时可借助图示理清它们之间的从属关系。在图形性质 及判定方法的教学中，可借助实物、几何画板等教学软件让学生充分感受知识的产生、发展 及演变过程。本单元逻辑推理论证能力的培养是重点也是难点，受学生的说理能力、逻辑思 维水平的限制，学生在陈述问题的解决过程时，可能出现图形性质与判定方法混淆、判定条 件不全强行推理过渡等现象，教师可通过小组评阅、学生说理过程、规范证明过程展示等多 种形式对学生的解答有针对性的进行调整。
三、单元作业目标
课标要求 1.理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关 系。 2.掌握菱形、矩形、正方形的特殊性质和判别方法，并能运用这些知 识进行简单的有关证明和计算。 3.在参与观察、实验、猜想、证明等数学活动中， 发展合情推理和演 绎推理能力。
单元作业目标 1.通过作业的有效设计，进一步理解并掌握特殊平行四边形的性质和 判定方法，积累基本的数学活动经验。 2.通过对作业问题的变式练习，发展数学思维，构建特殊平行四边 形之间的联系,培养学生逻辑推理能力。 3.通过作业的分层设计，力求覆盖全体同学，让不同的学生得到不同 的发展。 4.通过作业的创新设计，激发学习几何的热情，整体构建数学知识体 系。
学科素养培养 数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算
四、单元作业设计理念思路
该单元作业设计为教材自然单元作业设计，分为课时作业和综合实践作业。
1.挖掘教材，设计原创作业，发挥课本的教学价值。数学教材是进行教学实施的重要依 据，教材的系统知识、对学生数学美的渗透、美好情感的培养，这些都是教辅资料无法替代 的。本单元作业的所有题目都是教师深挖教材的内涵，创造性地开发教材资源，对课本例习 题进行了改编和原创题目，是对学生的二次考查，通过变式训练和一题多变，引导学生找到 母题，不断延伸，这样的题目更具有教学价值和意义，也能让孩子从“题海”中解脱出来， 体现出教材的人文价值和在情感、态度、价值观方面对学生的影响，这也是本次单元作业设 计中作业素材的活水之源。
2.落实双减，设计分层作业，满足不同需求。为了更好的落实双减，课时作业遵循了 “2+2+1” 的设计思路，即每个课时作业严格控制作业数量，共设计 5 个题目，2 个基础题目， 2 个中档题目，1 个提高题目，只在单元复习时设置了 6 个题目，分为三个层次：★、★★、 ★★★,★基础题★★中档题★★★提高题（选做）。基础题目考查对基础知识的基本运用， 属于面向全体学生的题目；中档题目考查对基础知识的综合运用，需要学生一定的思考判断 和解决问题的能力；提高题目是对知识的深入思考和综合考查，有一定的难度，属于面向学 习能力强的学生的题目。通过这样的精心设计分层作业，让学生根据知识内容和自我学习能 力自主选择。分层作业并不是对学生进行分层，分层作业由易到难，基于学生的知识基础设 置开放性问题。★基础组题目适合基础薄弱的学生，★★中档组题目有利于学生思维能力的 发展，进一步整体构建知识之间的联系，完成基础组练习的学生有种成就感，巩固基础同时 会进一步尝试中档组练习，★★★提高组题目对学生的思维要求较高，可以通过小组合作交 流共同完成，在师生交流互动的过程中领悟基本的数学思想方法，提升学生的竞争意识，激 发学生学习数学的热情。
3.立足基础，设计实践作业，积累基本活动经验。本单元作业的综合实践部分立足于学 生已有的数学经验和生活经验就是折纸，折纸学生从小学就开始接触，并多次经历这样的活 动体验，通过折纸活动的动手、动脑,让学生获得积极的身心参与，使学生主动而富有个性地 发展，学生在充分经历知识的发现和建构的过程中，对数学学习的情感体验不断增强。随着 折纸活动的层层深入，学生在观察、实验、猜想、交流、推理、验证、反思等活动中不知不觉 学到新知识，使低层次的活动体验(感官体验)向高层次的数学经验(思维活动)升华，并积累 了活动的经验，发展了核心素养。
五、作业设计正文和作业设计表
课时作业设计
第 一 课 时 课题：菱形的性质
课时学习目标： 1.通过平行四边形与菱形的对比，认识菱形； 2.观察、猜想、证明菱形的性质，能正确运用菱形的性质定理进行简单计算和证 明，并会用两种方法计算菱形面积； 3.经历将菱形的问题转化为特殊三角形来解决的过程，引导学生体会数学的转化 思想。
课时作业设计：* 基础题 ** 中档题 * * * 提高题（选做） 题目 1 ：* （改编题：鲁教版八年级下册第 3 页例 1 改编）如图 1，菱形 ABCD 中， BO=1， ∠BAD=60°, 你可以得出哪些结论？ 题目 2 ：* （原创题）如图 2，在菱形 ABCD 中， ∠BAD=120°, BD=4 ，AE⊥BC，求菱形 ABCD 的面积（用两种方法解）。 题目 3：**（改编引用题）如图 3，在菱形ABCD 中，∠D=50°, 点 E 在AB 上，AE=AC. （1）求∠BCE 的度数； （2）若∠D=α°,用含 α 的字母表达∠BCE 的度数。
题目 4 ：** （改编引用题）如图 4，在菱形ABCD 中，AC 为对角线，∠B=60°, 点 E， F 分别是 BC，CD 上的点，且 BE=CF。 求证：△ AEF 是等边三角形 题目 5 ：* * * （改编引用题）如图 5，在菱形 ABCD 中， ∠BAD ＝60°, AB=2，P 是 AC 边上一动点，连接 DP，PE⊥AB 交 AB 于点 E，求 PD+PE 的最小值。 变式 1 ：如图 6，在菱形 ABCD 中， ∠BAD ＝60°, AB=2 ，E 是 AB 边的中点，P 是 AC 边上 一动点，求 PB＋PE 的最小值； 变式 2 ：如图 7，在菱形 ABCD 中，∠BAD ＝60°, AB=3 ，DE=1 ，DF=2，P 是 AC 边上一动 点，求 PE＋PF 的最小值。
课时作业设计
第 二 课 时 课题：菱形的判定
课时学习目标： 1.经历菱形判定的观察，猜想，证明过程，能够应用定理解决问题； 2.提高自主探究的能力和与他人合作交流的意识，发展合情推理能力和演绎推理 能力； 3.通过运用数学知识解决实际问题，渗透“转化”的数学思想。
课时作业设计：★基础题 ★★中档题 ★★★提高题（选做） 题目 1：*（改编题：鲁教版八年级下册第 6 页例 2 改编）如图 1，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AO=1，AB=2，添加一个条件 ，使得平行四边 形 ABCD 变成菱形。 题目 2：★（原创题）同学们，我们学习了菱形的 性质和判定后，大家比较一下平行四边形和菱形的性质和判定有何共同点和不同点？如图 2， 完成下面的表格。 图 2
题目 3 ：★★（改编引用题）如图 3，在平面直角坐标系中，菱形 OACB 的顶点 O 在原 点，点 B 的坐标为(4,-1)，则点A 的坐标是 ，点 C 的坐标是 。 题目 4 ：★★（改编引用题）如图 4，四边形 ABCD 中，AB∥CD，AC 平分∠BAD ，CE ∥AD 交 AB 于 E . (1)求证：四边形AECD 是菱形； (2)若点 E 是AB 的中点，试判断△ ABC 的形状，并说明理由。 题目 5：★★★（改编引用题）如图 5，平行四边形 ABCD 中，AB⊥AC，AB ＝1，BC= . 对角线AC，BD 相交于点 O，将直线 AC 绕点O 顺时针旋转，分别交 BC，AD 于点 E， F。 (1)试说明在旋转过程中，线段AF 与 EC 总保持相等； (2)当旋转角为多少度时，四边形 ABEF 是平行四边形； (3)在旋转过程中，四边形 BEDF 可能是菱形吗 如果不能，请说明理由；如果能，画出图 形并写出此时AC 绕点O 顺时针旋转的度数。
课时作业设计
第 三 课 时 课题：矩形的性质
课时学习目标： 1.掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系； 2.能运用矩形的性质定理进行简单的计算和证明； 3.经历探究矩形概念和性质的过程，体验数学研究和发现的过程，进一步发展推 理论证的能力。
(
D
C
) (
O
)课时作业设计：★基础题 ★★中档题 ★★★提高题（选做） 题目 1 ：★（改编题：鲁教版八年级下册第 14 页知识技能 1）一个矩形的两条对角线之 和为 20 ，且矩形的两条对角线相交所成的夹角为 60°, 求矩形的各边长。 题目 2 ：★（改编题：鲁教版八年级下册第 14 页例 1 改编）如图 1，矩形 ABCD 的对角 线 AC、BD 相交于点 O，若∠AOB：∠ACD=4：1 ，OA=2，求矩形的面积。 ● O
A B 图 1 题目 3：★★（原创题）如图 2，矩形ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 作 OE ⊥BD ，交 CD 于点 E，若 AB=8 ，BC=6，则 CE= 。 (
C
) (
D
)E O
A B 图 2 题目 4 ：★★（改编题：鲁教版八年级下册第 15 页知识技能 2 改编）如图 3，矩形ABCD 的对角线AC，BD 相交于点 O，AC//DE，BD//CE，若 AC=6，试求四边形 OCED 的周长。 E (
C
)D A B 图 3
题目 5 ：★★★（改编题：鲁教版八年级下册第 20 页问题解决 3）如图 4，有一矩形纸片 ABCD，AB=6 cm，BC=8 cm。试完成以下变式： 变式 1 ：将矩形纸片ABCD 沿 AC 折叠，点 B 的对应点为 B'，CB'交 AD 于点 E，求 DE 的长。 B'
A E D
B 图 4 C
变式 2 ：如图 5，点 F 是 AB 边上的一点，将矩形纸片 ABCD 沿 FC 折叠，使点 B 落在 AD 上 点 B'处，求AF 的长。 A B' D
F
B 图 5 C
变式 3 ：如图 6，点 H 是 AD 边上的一点，将矩形纸片 ABCD 沿 BH 折叠，使点 A 落在点 A' 处，连接 BA'并延长交AD 于点 G，若 DG=3.5 ，求 GH 的长。 A H G D (
A'
)
B 图 6 C
课时作业设计
第 四 课 时 课题：矩形的判定
课时学习目标： 1.理解并掌握矩形的判定方法； 2.能利用矩形的定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题； 3.经历探索矩形判定的过程，发展学生的推理能力，进一步培养学生的分析能 力。
(
D
C
)课时作业设计：★基础题 ★★中档题 ★★★提高题（选做） 题目 1 ：★（原创题）如图 1，在平行四边形 ABCD 中，在不添加任何辅助线的情况下， 请添加一个条件 ，使平行四边形ABCD 是矩形。 (
A
)D (
●
O
) (
B
)C 图 1 题目 2 ：★（改编题：鲁教版八年级下册第 16 页例 2 改编）如图 2，在四边形ABCD 中， 对角线 AC、BD 相交于点 O，若 OA=OC，OB=OD ，且∠OAD=∠ODA 。求证：四边形 ABCD 是矩形。 ● O
A B 图 2 题目 3 ：★★（改编题：鲁教版八年级下册第 17 页知识技能 1 改编）如图 3，线段 DE 和 AF 分别为△ABC 的中位线和中线。当线段 AF 与 BC 满足怎样的数量关系时，四边形 ADFE 为矩形？请说明理由。 A ● D · · E (
C
) (
B
)F 图 3
题目 4 ：★★（改编题：鲁教版八年级下册第 20 页知识技能 2 改编）如图 4，在平行四 边形ABCD 中，点 E 为 AB 的中点，连接 DE 并延长交 CB 的延长线于点 F，连接 BF，AF， 若 CD=DF，求证：四边形 AFBD 是矩形。 (
C
)D (
B
)A E (
图
4
)F 题目 5：★★★（改编引用题: 鲁教版八年级下册第 21 页联系拓广 4）如图 5，在△ ABC 中，AC=9，AB=12 ，BC=15，P 为 BC 边上一动点，PE⊥AC 于点 E，PF⊥AB 于点 F。 （1）求证：四边形AEPF 是矩形； （2）求 3PE+4PF 的值； （3）在点 P 运动的过程中，EF 的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存 在，请说明理由。 A ● E F ● (
P
)C B 图 5
课时作业设计
第 五 课 时 课题：正方形的性质
课时学习目标： 1.掌握正方形的定义、性质，理解正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系； 2.能利用正方形的性质定理进行推理和计算； 3.经历探索正方形的概念和性质的过程，发展学生合情推理的意识，掌握说理的 基本方法。
课时作业设计：★基础题 ★★中档题 ★★★提高题（选做） 题目 1 ：★（改编引用题）如图 1，在正方形 ABCD 的外侧作等边三角形△ABE，连接 (
A
D
)DE，则∠BED = 。 E B C 图 1 题目 2 ：★（原创题）如图 2，在正方形 ABCD 中，对角线 AC，BD ，相交于点 O ，若 OD=2 ，则 AB= ，正方形ABCD 的周长是 ，面积是 。 A D · O
B C 图 2 题目 3：★★（改编题：鲁教版八年级下册第 23 页知识技能 2）如图 3，四边形ABCD 是 正方形，△AEF 是等边三角形，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，若△AEF 的边长是 2，则图中 阴影部分的面积为 。 A D F (
C
)B E 图 3
题目 4 ：★★（改编引用题）如图 4，在正方形 ABCD 中，点 A 的坐标是(-3，1)，则 C 点的坐标是 ，B 点的坐标是 。 y B C A (
O
)x 图 4 题目 5：★★★（改编引用题：鲁教版八年级下册第 22 页例 1）如图 5，在正方形 ABCD 中，点 E 是 BC 边的中点，连接 DE，过点 A 作 AG⊥ED 交 DE 于点 F，交 CD 于点 G。 （1）问 AG 与 DE 之间有怎样的关系？请说明理由。 （2）连接 BF，求证：AB=FB。 A D
(
F
●
) G
B E C 图 5
课时作业设计
第 六 课 时 课题：正方形的判定
课时学习目标： 1.理解并掌握正方形的判定条件； 2.能运用正方形的判定定理解决有关的证明和计算。
课时作业设计：★基础题 ★★中档题 ★★★提高题（选做） 题目 1 ：★（改编引用题）如图 1，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点O，下列条 件中，能判定四边形 ABCD 是正方形的是( ) A．AC=BC=CD=DA B．AO=CO ，BO=DO，AC ⊥BD C．AO=BO=CO=DO，AC ⊥BD D．AB=BC，CD ⊥DA A D · O
(
C
)B 图 1 题目 2：★（原创题）如图 2，等腰直角△AOB，分别延长AO，BO，使 BO=OD，AO=OC， 求证：四边形ABCD 是正方形。 A O (
B
)图 2 题目 3 ：★★（改编题：鲁教版八年级下册第 30 页第 17 题改编）已知：如图 3，矩形 ABCD 各角的平分线分别相交于点 E，F，G ，H.求证：四边形 EFGH 是正方形。 D C (
.
H
E
·
·
G
●
F
) (
B
)A 图 3
题目 4 ：★★（改编题：鲁教版八年级下册第 28 页第 8 题改编）已知：如图 4，AD 是△ ABC 的角平分线，过点 D 分别作 AC 和 AB 的平行线，交 AB 于点 E，交 AC 于点 F。 （1）试判定四边形 AEDF 的形状，并证明你的结论； （2）△ABC 满足什么条件时，四边形 AEDF 是正方形。 A ● E ● · F (
B
)图 4 D C 题目 5 ：★★★（原创题） 课本再现：如图 5，正方形 ABCD 的对角线交于点 O，正方形 A'B'C'D'与正方形 ABCD 的边长相等，正方形 A'B'C'D'绕点O 旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积与正方形 ABCD 的面积关系？并证明。 A D O A' (
C
) (
C'
) (
B
)图 5 B' 类比探究：如图 6，四边形ABCD 中，DC=AD，∠ABC=∠ADC=90°, 连接 BD，若 BD=6， 则四边形ABCD 的面积为多少？ A P D M (
N
) (
B
)B C (
图
7
)图 6 拓展提升：如图 7，四边形 PMBN 中，∠MBN 与∠MPN 互补，PM=PN，连接 PB，PB=6， ∠MBN=120°, 则四边形 PMBN 的面积是多少？
课时作业设计
第 七 课 时 课题：特殊平行四边形的单元复习
课时学习目标： 1.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义、性质和判定，以及矩形、菱 形、正方形彼此之间的关系； 2.能利用特殊平行四边形的性质和判定进行推理和计算； 3.明确特殊平行四边形的知识体系，提高空间想象能力，掌握基本的推理能力。
(
A
·
·
D
) (
D
C
) (
●
) (
O
)课时作业设计：★基础题 ★★中档题 ★★★提高题（选做） 题目 1 ：★（改编题：鲁教版八年级下册第 3 页例 1 改编）如图 1，菱形 ABCD 中， AB=2，∠BAD=120°, 你可以求出什么？用到了菱形的什么性质？ ● O
(
B
C
)A B (
图
1
)图 2 题目 2 ：★（改编题：鲁教版八年级下册第 14 页例 1 改编）如图 2，矩形 ABCD 的对角 线 AC、BD 相交于点 O，若∠ADO=2∠CDO，对角线 AC=2，则你能求出什么？用到了矩形的 什么性质？ 题目 3：★★（原创题）同学们还能回忆起平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质吗？ 如图 4 ，完成下面的表格。 图 4
题目 4 ：★★（改编引用题）如图 5，以△ABC 的边 AB，AC 为边的等边三角形 ABD 和 等边三角形 ACE，四边形ADFE 是平行四边形，当∠BAC 为多少 度时，平行四边形 ADFE 不存在。 变式 1 ：当△ABC 满足什么条件时，平行四边形ADFE 是菱形？为什么？ 变式 2 ：当△ABC 满足什么条件时，平行四边形ADFE 是矩形？为什么？ 变式 3 ：当△ABC 满足什么条件时，平行四边形ADFE 是正方形？为什么？ F
(
●
D
·
A
·
E
●
)
B C 图 5 题目 5 ：★★（原创题）请同学们能梳理出平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定方 法吗？如图 6 ，完成下面的表格 图 6 题目 6：★★★（改编题： 鲁教版八年级下册第 18 页知识技能 2）如图 7，在△ABC 中， 点 O 是AC 边上的一个动点（点O 不与A 、C 两点重合），过点 O 作直线 MN∥BC，直线 MN 与∠BCA 的平分线相交于点 E，与∠DCA (△ABC 的外角）的平分线相交于点 F，OE 与 OF 相等吗？为什么？
A (
M
) (
D
)E O /F N B C
图7
变式 1 ：当点 O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论； 变式 2 ：在追问 1 的条件下，当∠ACB 等于多少时，四边形 AECF 为正方形？并证明你的结 论； 变式 3 ：在上面追问 2 的条件下，连接 BE，如图 8，若∠EBC=30°, EF=2，求 BE 的长度。
B A M (
F
)NEO
D
图 8 C
跨学科综合性（实践类）作业
综合 实践 课题：神奇的折纸，趣折生菱形
学习目标： 1.通过折纸，进一步理解菱形判定定理和性质，发展直观想象和数学抽象能力； 2.在折纸过程中，经历构造轴对称图形，让学生感受对称之美，在证明的过程中， 让学生体会逻辑之美，培养学生的动手操作和团队协作的能力。
综合实践作业设计： 问题起源：（鲁教版教材八年级下册第6 页的做一做） 问题 1：请同学们先回顾下菱形的性质有哪些？菱形的判定方法有哪些？ 问题 2：课本第 6 页给我们提供了一种矩形折叠菱形的方法，同学们还有其它的折法吗？以小 组为单位，形成自己的折叠方案，并请说明理由。 预设方案 1：如图 1，先折矩形对角线 AC，再折AC 的垂线，与两边交与 B，D 两点，连结 AB，
CD，则四边形ABCD 为菱形。 A B (
●
)E F
H 图 3 D C
A D C B 图 1 A H D
E
G
B F C 图 2
G 预设方案 2：如图 2，折叠矩形可得四个相同矩形，四个小矩形的边长相等，进而可以得它们的 对角线也相等(EF=FG=GH=HE)，进而由四边相等得 EFGH 为菱形。
预设方案 3：如图 3，将矩形 ABCD 沿对角线 BD 对折，交AD 于点 F, DG 交 BC 于点H, 四边 形 BFDH 是菱形。 预设方案4：如图 4，先折出矩形 ABCD 的对称中心 O, 再经过点 O 任意折出两条互相垂直的直
(
·
H
) (
C
) (
B
F
图
5
)线 EG ，FH，四边形 EFGH 是菱形。 A' (
D
) (
A
E
B
'
)A E H D (
●
O
)
(
B
F
)G C 图 4
预设方案 5：如图 5，沿 EF 折叠矩形,点 B 的对应点 B'落在AD 边上，连接 E，B，F，B'，四边 形 EBFB'为菱形。 问题 3：观察前面的几种折法，有没有发现一定的规律？ 问题 4：弱化条件，将矩形改为平行四边形，你还能折出菱形吗？ 问题 5：继续弱化条件，如何用三角形纸片折出菱形？ （1）如图 6，三角形是等腰三角形时，如何折出菱形？ （2）如图 7，三角形是一般三角形时，如何折出菱形？
A B A C 图 7
B C
图 6
问题 6：（中考试题链接）将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤, 然后剪出图⑤ 中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是( ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．矩形 D．菱形
评价标准： “神奇的折纸，趣折生菱形” 的个人学习自评表 评价内容4 分（高）3 分（较高）2 分（一般）1 分（低）参加这个活动的兴趣程度动手折纸的能力数学抽象、逻辑推理的能力与同学的交流合作能力感受数学美的能力
“神奇的折纸，趣折生菱形” 的小组互评表 评价内容优良一般差小组成员的分工协作能力小组折纸方案的科学性小组的解决问题的能力
课时作业设计表
第 一 课 时 课题 菱形的性质
课时目标 序号 内容 水平
1 通过平行四边形与菱形的对比，认识菱 形； 理解
2 观察、猜想、证明菱形的性质， 能正确运 用菱形的性质定理进行简单计算和证明， 并会用两种方法计算菱形面积； 应用
3 经历将菱形的问题转化为特殊三角形来 解决的过程，引导学生体会数学的转化思 想。 迁移
题目属性（使用时 间为课上或课后； 难度为简单、中等 或较难；来源分为 原创、改编或引 用；可加行） 题号 对应课 时目标 使用 时间 题型 难度 预设 时长 来源
1 1、2 课上 解答 简单 3 分钟 改编
2 1、2 课上 解答 简单 2 分钟 原创
3 1、3 课上 解答 中等 3 分钟 改编引用
4 1、2、 3 课上 解答 中等 5 分钟 改编引用
5 1、2、 3 课上 解答 中等 5 分钟 改编引用
参考答案 及 评价标准 （与题目题号对 应） 题目 1：该题为开放题，答案不唯一，例如可求出 BD=2，AC= 23 ，AB=2, 菱形面积为2 · , 菱形周长为 8， ∠BAC=30°等。 【评价标准】 体会菱形的性质，并能运用性质解决简单的问题，只要学生言 之有理就可以。 题目 2：该题考查菱形面积的求法， 方法一可先求 AC=4，BD=4J3 ，进而利 用 ·AC·BD 得出答案8 。方法二先求 BC=4，AE=2 ,进而利用底×高 求出面积83 。 【评价标准】 体会理解菱形面积的两种求法，并能运用两种方法解决问题， 学生思路和解题步骤需规范要求。 题目 3:该题考查菱形的性质，等腰三角形等知识点，第一问先求出∠BAC=∠ BCA=65°, 再求出∠AEC=∠ACE=57.5°,从而得到∠BCE=7.5°。第二问 把∠D 的度数换成字母，提高了题目的难度，但解题过程类似，最后得到∠ BCE=45· - α。 【评价标准】 能利用菱形的性质和等腰三角形的相关知识进行分析，思路清 晰即可。用字母表示数是初中代数的难点之一，要求学生掌握。 题目 4： 由∠B=60°可得∠ACD=60°, 所以AB=AC，又因为 BE=CF，从而 得到△ABE≌△ACF，所以 AE=AF，∠BAE=∠CAF，∠EAF=∠BAC=60°,所 以△AEF 是等边三角形。 【评价标准】 能运用菱形的性质及三角形全等，解决实际问题，具备一定的 推理能力。
题目 5：求 PD+PE 最小可转化为P 到AB 的垂线段最短，易得 PD+PE 的最小 值为 ·3 。 变式一：本题考查将军饮马问题，易得 PB+PE 最小值为J3 。 变式二：首先找点 F 关于AC 的对称点 F '，连接 EF '，根据两点之间线段最 短，本题求 EF '的长度即可。易证四边形 EFCD 是平行四边形，从而 EF'=DC=3. 【评价标准】 综合运用菱形的性质和最值问题相关知识来解决问题，使学生 养成思维严谨的品质，通过运用数学知识解决实际问题，帮助学生逐步积累 数学活动经验。
设计说明：★基础题 ★★中档题 ★★★提高题（选做） 整体设计亮点说明：本课时作业设计基于“双减”，重在提升学生的能力，发展学生的核心素养。 本设计注重对学生基础知识与基本能力的考查，通过对问题的解决，总结求解菱形问题常用的数学思 想方法以及几何图形研究的一般思路和方法，为后续学习特殊平行四边形做基础，加深学生对数学学 科思想方法和关键能力的培养。题目 1 和题目 2 注重基础知识和基本方法的夯实，题目 3 和题目 4 进 一步发展学生合情推理能力和演绎推理能力，渗透“转化”的数学思想。 题目 1 ：*（改编题：鲁教版八年级下册第 3 页例 1 改编）如图 1，菱形 ABCD 中，BO=1 ， ∠ BAD=60°,你可以得出哪些结论？
【设计说明】这个题目的设置基于两方面思考，一是基于课本原来的例题来进行改编，如图 1， 对课本中的例题进行了重新设置， 目的是通过具体的问题情境来帮助学生梳理菱形基本性质？二是 具有一定的开放性，对问题的结论给了更大的自由度，给了全体学生参与的机会，可以唤醒学生从多 角度来认识菱形，加深学生对基本图形的理解，为后面基础知识的梳理做好铺垫。
题目 2：*（原创题）如图 2，在菱形ABCD 中，∠BAD=120°, BD=4 3 ，AE⊥BC，求菱形 ABCD 的
面积（用两种方法解）。
【设计说明】这个题目的设置主要是让学生对菱形两种面积解法的熟练掌握，旨在对基本方法的 训练，为以后利用等积式解决问题做好铺垫。 题目 3 ：**（改编引用题） 如图 3，在菱形 ABCD 中， ∠D=50°, 点 E 在 AB 上.若 AE=AC.
（1）求∠BCE 的度数； （2）若∠D=α°,用含 α 的字母表达∠BCE 的度数。
【设计说明】在教学中，让学生经历两个问题的头脑风暴和认知冲突后，学生的几何结论的证明 思路和证明方法经历了一个探索、分析的过程。本题思维逆转使学生对菱形的性质有更深入的理解和 掌握，学会把菱形的问题转化为特殊的三角形来解决，体会数学的转化思想。 题目 4：**（改编引用题）如图 4，在菱形ABCD 中，AC 为对角线，∠B=60°,点 E，F 分别是
BC，CD 上的点，且 BE=CF。 求证：△AEF 是等边三角形
【设计说明】学生在此之前已经探索并证明了菱形的性质定理，因此学生已具备一定的探究经 验。在此基础上把菱形和前面讲过的“手拉手”数学模型相联系，从而促进学生从感性认识向理性思 维发展，从形象思维向抽象思维转型。 题目 5 ：***（改编引用题）如图 5，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°, AB=2，P 是AC 边上一动 点，连接 DP，PE⊥AB 交AB 于点 E.求 PD+PE 的最小值。
变式 1 ：如图 6，在菱形 ABCD 中， ∠BAD ＝60°, AB=2，E 是 AB 边的中点，P 是 AC 边上一动点， 求 PB＋PE 的最小值； 变式 2 ：如图 7，在菱形 ABCD 中，∠BAD ＝60°, AB=3，DE=1，DF=2，P 是 AC 边上一动点，求 PE +PF 的最小值。 【设计说明】从简单的最值问题开始展开联想，由易到难，循序渐进，通过不同梯度的问题设计， 抽丝拨茧，一步一步引导学生分析问题、找出解决问题不同方法。以“求最值”为驱动，鼓励学生发 散思维，逐层推进解决问题，激发学生的探究热情，从而达到有效教学。
课时作业设计表
第 二 课 时 课题 菱形的判定
课时目标 序号 内容 水平
1 经历菱形判定的观察，猜想，证明过程，能够应 用定理解决问题。 理解
2 提高自主探究的能力和与他人合作交流的意 识，发展合情推理能力和演绎推理能力。 应用
3 通过运用数学知识解决实际问题，渗透“转化” 的数学思想。 迁移
题目属性（使用时 间为课上或课后； 难度为简单、中等 或较难；来源分为 原创、改编或引 用；可加行） 题号 对应课 时目标 使用 时间 题型 难度 预设 时长 来源
1 1、2 课下 解答 简单 3 分钟 改编
2 1、3 课下 解答 简单 3 分钟 原创
3 1、2 课下 填空 中等 2 分钟 改编引用
4 1、2、 3 课下 解答 中等 7 分钟 改编引用
5 1、2、 3 课下 填空 中等 5 分钟 改编引用
参考答案 及 评价标准 （与题目题号对 应） 题目 1：该题为开放题，答案不唯一，例如AO⊥BD，BO= ，AD=2 等。 【评价标准】 理解菱形的判定定理，并能运用判定定理解决简单的问题，只 要学生言之有理就可以。 题目 2： 【评价标准】 梳理菱形和平行四边形的性质和判定定理，并能并能从多维度 来刻画平行四边形和菱形。 题目 3: A（4，1），C（8，0）
【评价标准】 理清问题思路，利用菱形的对称性等方法解决问题，学生言之 有理即可。 题目 4：（1）∵AB//CD ，CE//AD. ∴四边形AECD 为平行四边形 ∵AC 平分∠BAD ,AE//CD ∴∠DAC=∠CDA=∠DCA ∴AD=DC ∴平行四边形AECD 是菱形 （2）若 E 为AB 中点 ∴EC=AE=EB ∴△ACB 是直角三角形 【评价标准】 能充分运用菱形的判定方法，解决实际问题，具备一定的推理 能力，学生逻辑推理清晰即可。 题目 5： （1）先证△AOF≌△COE，即可得AF=EC （2）当旋转角是 90°, 即∠AOF=90°时是菱形 （3）45 ° 【评价标准】 综合运用平行四边形和菱形的性质和判定来解决问题，掌握基 本的推理能力，养成严谨的思维品质。
设计说明：★基础题 ★★中档题 ★★★提高题（选做） 整体设计亮点说明：本课时作业设计有层次梯度性，通过层层递进习题，使不同层次学生都能 得到提高，人人都能获得必须的数学，不同的人在数学上得到不同的发展，基础巩固类适用于全体 学生。能力提升类适用于中等偏上学生。提高题又兼顾了学优生吃不饱的问题。使得班内不同层次 的学生都能学有所获。 题目 1 ：★（改编题：鲁教版八年级下册第 6 页例 2 改编）如图 1，在平行四边形ABCD 中， 对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AO=1，AB=2，添加一个条件 ，使得平行四边形 ABCD 变成菱形。
【设计说明】这个题目的设置基于两方面思考，一是基于课本原来的例题来进行改编，如图 1， 对课本中的例题进行了重新设置， 目的是通过具体的问题情境来帮助学生梳理菱形基本判定定理。 二是具有一定的开放性，对问题的结论给了更大的自由度，给了全体学生参与的机会，可以唤醒学 生从多角度来认识菱形，加深学生对基本图形的理解，为后面基础知识的梳理做好铺垫。 题目 2 ：★（原创题）同学们，我们学习了菱形的性质和判定后，大家比较一下平行四边形和 菱形的性质和判定有何共同点和不同点？如图 2 ，完成下面的表格。 图 2 【设计说明】在教学中，让学生经历了应用不同判定定理进行解题后，唤起了学生的思维起点， 这时再对前一章平行四边形和这一节菱形的性质和判定进行总结，学生理解了知识的内在联系,进 而使学生构建了知识体系。及时总结经验是帮助学生形成解题思路的好办法，教师借助这一环节既 帮助学生梳理了思路，同时对于学习还有困难的学生是一个好的学习机会。 题目 3 ：★★（改编引用题）如图 3，在平面直角坐标系中，菱形 OACB 的顶点 O 在原点，点 B 的 坐标为(4,-1)，则点 A 的坐标是 ，点 C 的坐标是 。 【设计说明】通过此题让学生对菱形的相关性质进行灵活应用，同时学生对于具体问题通过自 主思考，独立完成，再小组交流，教师点拨后基本能形成比较好的解题思路，同时给学生渗透“转 化思想”。 题目 4 ：★★（改编引用题）如图 4，四边形ABCD 中，AB∥CD，AC 平分∠BAD ，CE∥AD 交AB 于 E .
(1)求证：四边形AECD 是菱形； (2)若点 E 是AB 的中点，试判断△ABC 的形状，并说明理由。 【设计说明】本题让学生更加深入的掌握菱形的性质和判定，要想解决此题，必须灵活运用菱 形的判定定理，学生完成后帮助学生完成解题思路，借助这一题目继续加深学生对定理的理解，同 时对于学习困难的学生也是一个再学习的机会。 题目 5：★★★（改编引用题）如图 5，平行四边形ABCD 中，AB⊥AC，AB ＝1，BC ＝ 5 ．对 角线AC，BD 相交于点 O，将直线AC 绕点 O 顺时针旋转，分别交 BC，AD 于点 E，F. (1)试说明在旋转过程中，线段AF 与 EC 总保持相等； (2)当旋转角为多少度时，四边形 ABEF 是平行四边形； (3)在旋转过程中，四边形 BEDF 可能是菱形吗 如果不能，请说明理由；如果能，画出图形并 写出此时AC 绕点 O 顺时针旋转的度数。 【设计说明】学生在此之前已经探索并证明了平行四边形的性质定理与判定定理，因此学生已 经具备一定的研究经验。本题考查学生用所学知识解决实际问题，针对不同的条件选择不同的方法， 提高学生综合运用各方法的能力。
课时作业设计表
第 三 课 时 课题 矩形的性质
课时目标 序号 内容 水平
1 掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边 形的区别与联系。 理解
2 能运用矩形的性质定理进行简单的计算和证 明。 应用
3 经历探究矩形概念和性质的过程，体验数学研 究和发现的过程，进一步发展推理论证的能力。 迁移
题目属性（使用时 间为课上或课后； 难度为简单、中等 或较难；来源分为 原创、改编或引 用；可加行） 题号 对应课 时目标 使用 时间 题型 难度 预设 时长 来源
1 1、2 课下 解答 简单 3 分钟 改编
2 1、2 课下 解答 简单 3 分钟 改编
3 1、3 课下 填空 中等 5 分钟 原创
4 1、2、 3 课下 解答 中等 4 分钟 改编
5 1、2、 3 课下 解答 较难 10 分钟 改编
参考答案 及 评价标准 （与题目题号对 应） 题目 1： 答案解析：如图，由矩形的两条对角线相等且 互相平分，夹角为 60 ° , 不难得出 BD=10， ∠ABD=30 ° , 再有含 30°的直角三角形的边 角关系，求出矩形各边长。 矩形的各边长分别为 5 、5 3 、5 、5 3 。 (
D
C
) ● O
A B
【评价标准】 体会矩形的性质：两条对角线相等且互相平分，以及熟练掌握 含 30°的直角三角形的边角关系解决问题。
题目 2： 答案解析：如图，由∠AOB：∠ACD=4：1 得，设∠AOB=4x，∠ACD=x， 由矩形的两条对角线相等且互相平分，得到 ∠BDC=x，AC=4，在△ODC 中，由三角形 内角和，可求得 x=30°, 再有含 30 ° 的直角 三角形的边角关系，求出AD=2，CD= 2 3 ，故矩形的面积为4 3 。 (
D
C
) ● O
A B
【评价标准】 体会矩形的性质，及出现连比时，掌握一般的设法，并能运用 相关知识解决问题。 题目 3: 答案解析：此题解法不唯一。
解法一：如图，在 Rt△BCD 中，由勾股定理可得 BD=10，即 OD=5 ，再由
△DOE △DCB，可求 DE= ，故 CE= 。 解法二：连接 BE，可知 OE 垂直平分 BD， 所以 BE=DE ，设 CE=x,则 BE=DE=8-x ，在 Rt △BCE 中，由勾股定理可求x。 D E O
C
A B 【评价标准】 体会矩形的性质以及垂直平分线的性质，并能灵活相似或方程 思想解决问题。 题目 4: 答案解析：由AC//DE，BD//CE 可知，四边形 OCED 是平行四边形，再由矩 形两条对角线相等且互相平分，可得 OD=OC=3，故可得平行四边形 OCED 是菱形，所以四边形 OCED 的周长为 12。 【评价标准】 体会矩形的性质以及菱形的判定，灵活运用相关知识解决问 题，发展推理论证的能力。 题目 5: 答案解析： 变式 1 ：由折叠可知∠ACB=∠ACE，再有 AD//BC 可得 AE=CE，设 DE=x， 则 CE=AE=8-x，在 Rt△CDE 中，由勾股定理可求x= 。 变式 2 ：设AF=x ，由折叠可得，B'F=BF=6-x，CB'=CB=8，再由△FAB'∽△ B'DC，可求 x= 变式 3 ：设 GH= x，由折叠，A'H=AH =4.5-x，△GA'H ∽△GAB， 求得 x= 。 【评价标准】 体会矩形的性质以及轴对称的性质，并能灵活相似或方程思想 解决问题，发展推理论证的能力。
设计说明：★基础题 ★★中档题 ★★★提高题（选做） 整体设计亮点说明：本课时作业设计突出了主线设计，遵守两条主线来进行设计。 第一个是知识主线，对于矩形的性质从边、角、对角线、对称性四个维度来进行展开，每个题 目的设计均是围绕上述四个维度来进行考虑。第二个是题目设计主线，这节课题目的设计不是单一 矩形的性质考查，涉及了若干知识点，如题目 1 、题目 2 涵盖 30°的直角三角形的边角关系知识， 题目 3 涵盖垂直平分线的性质知识，题目 3 、题目 5 涵盖相似的性质以及方程的数学思想、轴对称 的性质等相关知识点，题目 4 涵盖菱形的判定相关知识。 题目 1 ：★（改编题：鲁教版八年级下册第 14 页知识技能 1）一个矩形的两条对角线之和为 20 ，且矩形的两条对角线相交所成的夹角为 60°, 求矩形的各边长。
题目 2：★（改编题：鲁教版八年级下册第 14 页例 1 改编）如图 1，矩形ABCD 的对角线AC、 BD 相交于点 O，若∠AOB：∠ACD=4：1 ，OA=2，求矩形的面积。
(
D
C
) ● O
A B 图 1
【设计说明】这两个题目基于课本原来的题目进行改编，属于基础题，设计目的从不同角度， 考查矩形的性质，不断强化学生矩形性质的运用，将习题改编角度为 60°, 引导学生对基本图形的 认识，如：矩形中常出现的直角三角形、等腰三角形，当遇到 30 °、60 ° 、120 °时，常于 30 °的 直角三角形的边角关系联系一起，培养学生抽取基本图形的意识。 题目 3 ：★★（原创题）如图 2，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 作 OE⊥
BD ，交 CD 于点 E，若 AB=8 ，BC=6，则 CE= 。 【设计说明】本题是原创题，设计的出发点为考虑到矩形中能 出现“直角 ”，矩形两条对角线相等且互相平分能出现“ 中点”，条 件中过中点作垂直，基于两个方面的考查，一是垂直平分线的应用， 轴对称的题目与勾股定理建立联系，可运用方程思想求解；二是相 似应用，如此改编，解题的思路不唯一，激发学生探究的积极性。 在教学中，引导学生学会分析问题，如遇到中点、垂直想到垂直平 分线的性质，结合矩形中出现直角，不难与相似建立联系，再者出 D E C O
A B 图 2
现垂直平分线想到配对称，求线段长度时，常于勾股定理联系，培养学生分析问题的能力，掌握做 题的基本方法，培养学生知识迁移运用的能力。 题目 4 ：★★（改编题：鲁教版八年级下册第 15 页知识技能 2 改编）如图 3，矩形 ABCD 的对 角线AC，BD 相交于点 O，AC//DE，BD//CE，若 AC=6，试求四边形 OCED 的周长。
E
D ● O
C
A B 图 3
【设计说明】本题是课本习题改编，课本原题主要考查直角三角形斜边中线的性质，将此题条 件“直角三角形 ”改编为“矩形”，基于矩形背景下，求四边形 OCED 的周长，需要学生先去判断 四边形 OCED 的性状，既考察了矩形的性质，又考查了平行四边形、菱形的判定方法，综合提升学
生解决问题的能力，在探究中发展学生的推理论证能力。 题目 5：★★★（改编题：鲁教版八年级下册第 20 页问题解决 3）如图 4，有一矩形纸片ABCD， AB=6 cm，BC=8 cm。试完成以下变式： 变式 1 ：将矩形纸片 ABCD 沿 AC 折叠，点 B 的对应点为 B'，CB'交 AD 于点 E，求 DE 的长。 B'
A E D
B 图 4 C
变式 2 ：如图 5 ，点 F 是 AB 边上的一点，将矩形纸片 ABCD 沿 FC 折叠，使点 B 落在 AD 上点 B'
处，求 AF 的长。 A F B B' D
图 5 C
变式 3 ：如图 6 ，点 H 是AD 边上的一点，将矩形纸片 ABCD 沿 BH 折叠，使点 A 落在点 A'处，连
接 BA'并延长交 AD 于点 G，若 DG=3.5 ，求 GH 的长。 A B H G D (
A'
)
图 6 C
【设计说明】题目 5 的设计来源于课本一道练习题，题目设计基于原题折叠矩形纸片的背景， 通过改变折叠方式，使对应点的位置发生改变，分别落在矩形“ 内部、外部、边上 ”，让学生在解决 问题时，体会折叠问题的求解思路，如：相似、轴对称、勾股定理、方程思想等等，通过这样的变 式练习，激发学生的思考及探究欲望，引导学生通过去探究、动手操作、推理、归纳，得出折叠问 题的解题思路，让学生掌握了解决问题的基本方法，数学思维在学习中得到了发展。
课时作业设计表
第 四 课 时 课题 矩形的判定
课时目标 序号 内容 水平
1 理解并掌握矩形的判定方法。 理解
2 能利用矩形的定义、判定等知识，解决简单的证明 题和计算题。 应用
3 经历探索矩形判定的过程，发展学生的推理能力， 进一步培养学生的分析能力。 迁移
题目属性（使用时间 为课上或课后；难度 为简单、中等或较 难；来源分为原创、 改编或引用；可加 行） 题号 对应课 时目标 使用 时间 题型 难度 预设 时长 来源
1 1、2 课下 填空 简单 3 分钟 原创
2 1、2 课下 解答 简单 3 分钟 改编
3 1、3 课下 解答 中等 2 分钟 改编
4 1、2、3 课下 解答 中等 8 分钟 改编
5 1、2、3 课下 解答 较难 10 分钟 改编引用
参考答案 及 评价标准 （与题目题号对应） 题目 1： 答案解析：该题为开放题，答案不唯一，例如可添加 AC=BD 或∠ABC=90° 或 OA=OB 等等。 【评价标准】 体会矩形的判定方法，考查学生矩形判定方法的灵活运用， 由添加的条件能指明推理依据即可。 题目 2： 答案解析：由 OA=OC，OB=OD 可得四边形 ABCD 是平行四边形，又因为 ∠OAD=∠ODA ，可得 OA= OD ，即AC=BD ， 得证。 【评价标准】 体会矩形和平行四边形的判定方法，发展学生合情推理能 力。 题目 3: 答案解析：当AF= BC 时，四边形 ADFE 为矩形。理由如下：由题意可 知，DF，EF，DE 均是△ABC 的中位线，所以 DF//AC，EF//AB ，DE= BC，可得四边形ADFE 为平行四边形，又因为BC，所以 AF=DE， 可证平行四边形 ADFE 为矩形。 【评价标准】 能熟练掌握矩形判定方法，学会运用逆向思维找到线段AF 与 BC 间的数量关系，并利用添加的条件解决实际问题，具备一定的推理能 力。 题目 4: 答案解析：由平行四边形ABCD，可得AD//CF，CD=AB，因为点 E 为AB 的中点，所以AE=BE ，可证△ADE △BFE ，即AD 与 BF 平行且相等，所 以四边形AFBD 是平行四边形，又因为 CD=AB ，CD=DF，所以AB=DF， 可证四边形 AFBD 是矩形。
【评价标准】 能熟练掌握矩形及平行四边形的判定方法，学生有中点遇到 平行时构造全等图形的意识，具备基本的解决问题的方法。 题目 5: 答案解析：（1）由题意可知，△ABC 为直角三角形，因为 PE⊥AC，PF⊥ AB，可得∠A=∠AEP=∠AFP=90°, 得证。 （2）连接AP ， 由SΔABC = SΔAPC + SΔAPB 可得，3PE+4PF=36。 （3）由矩形对角线的性质可得，EF=AP ，当 AP⊥BC 时，AP 最小，可求 得 EF 长度的最小值是 。 【评价标准】 熟练掌握矩形的判定方法，并学会知识迁移，体会转化的数 学思想，提升学生的思维品质。
(
D
C
)设计说明：★基础题 ★★中档题 ★★★提高题（选做） 整体设计亮点说明：本课时作业设计突出了主线设计，遵守两条主线来进行设计。 第一个是知识主线，题目的设计既有原创题目也有课本题目改变， 围绕矩形的判定方法，主要 考查学生对矩形判定方法的灵活运用能力。第二个是题目设计主线，这节课的题目设计一个开放题， 题目 1，考查学生矩形判定方法掌握的情况，其余题目主要是基于课本题目的改编，通过改编题目中 的条件或结论，引导学生总结并掌握基本的解题方法和技巧，发展学生合情推理能力。 题目 1 ：★（原创题）如图 1，在平行四边形ABCD 中，在不添加任何辅助线的情况下，请添 (
A
)加一个条件 ，使平行四边形ABCD 是矩形。 D (
●
O
) (
B
)C 图 1 【设计说明】本题是一个开放题，添加的条件很多，学生都能去参与，本题的设计主要基于两个 目的，一是考查学生对矩形的判定方法掌握的情况，看学生是否能灵活运用矩形的判定方法；二是 激发学生积极参与的热情，发展学生的数学思维。 题目 2 ：★（改编题：鲁教版八年级下册第 16 页例 2 改编）如图 2，在四边形ABCD 中，对角 线 AC、BD 相交于点 O，若 OA=OC，OB=OD ，且∠OAD=∠ODA 。求证：四边形 ABCD 是矩形。 ● O
A B 图 2 【设计说明】本题是课本例题的改编，例题中，已知四边形ABCD 是平行四边形，由等边三角 形边的关系，得到平行四边形ABCD 的对角线相等，根据“对角相等的平行四边形是矩形 ”可证四 边形ABCD 是矩形，进而求得面积。将例题条件改编为 OA=OC，OB=OD ，且∠OAD=∠ODA，学 生需要先根据条件“OA=OC，OB=OD ”证出四边形ABCD 是平行四边形，再由条件“ ∠OAD=∠
ODA”证得平行四边形ABCD 的对角线相等，最后说明平行四边形ABCD 是矩形。本题的改编基 于例题考查的知识点，同时考查学生平行四边的判定方法掌握情况，锻炼学生的思维。 题目 3 ：★★（改编题：鲁教版八年级下册第 17 页知识技能 1 改编）如图 3，线段 DE 和 AF 分别为△ABC 的中位线和中线。当线段AF 与 BC 满足怎样的数量关系时，四边形ADFE 为矩形？ 请说明理由。
B A C
● D · · E
F 图 3
【设计说明】本题是课本习题的改编，课本习题考查三角形中线、中点、全等、平行四边形的 判定、矩形的判定等知识点，基于习题中考查的知识点，将条件进行改编，所证矩形在三角形内 部，考查知识点包含中位线、中线、全等、平行四边形的判定、矩形的判定等知识点，让学生学会 分析问题，灵活运用相关知识点解决问题，强化学生证明矩形的判定方法，培养学生分析问题，解 决问题的能力，加强学生知识迁移的意识，锻炼学生的数学思维。 题目 4 ：★★（改编题：鲁教版八年级下册第 20 页知识技能 2 改编）如图 4 ，在平行四边形 ABCD 中，点 E 为 AB 的中点，连接 DE 并延长交 CB 的延长线于点 F，连接 BF，AF，若 CD=DF，求证：四边形AFBD 是矩形。
D (
B
)A E (
图
4
)F C
【设计说明】本题是课本习题的改编，课本习题考查等腰三角形“三线合一”的性质及矩形的 判定方法等知识点，基于习题中考查的知识点，将条件进行改编，等腰三角形的条件不变，改变 “ 中点 ”的考查，改为“点 E 为平行四边形ABCD 边 AB 的中点”，学生需要通过平行、中点证明 全等，进而证出四边形AFBD 是平行四边形，再由矩形对角线的判定方法证明即可。虽然都是对 “ 中点 ”的考查，但分析难度不同，引导学生学会“中点”的用法，掌握常用的解题基本方法，归 纳解题的思路，提升学生的思维品质。
题目 5：★★★（改编引用题: 鲁教版八年级下册第 21 页联系拓广 4）如图 5，在△ABC 中， AC=9，AB=12 ，BC=15 ，P 为 BC 边上一动点，PE⊥AC 于点 E，PF⊥AB 于点 F。 （1）求证：四边形AEPF 是矩形； （2）求 3PE+4PF 的值； （3）在点 P 运动的过程中，EF 的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说
明理由。 C A ● E F ● (
B
)P 图 5
【设计说明】本题是课本习题的改编，课本的习题难度较大，解决课本习题的思路可以引导学 生从特殊位置入手，猜测“PE+PF”的值，然后再给出一般的求解思路，通过等面积法可求，渗透从 特殊到一般的数学思想，第一问，由条件“AC=9，AB=12，BC=15 ”可证∠A 为直角，再由“有三个 角是直角的三角形是矩形 ”可证。第二问解决的思路来源于本习题“等面积的解法 ”求解，培养学 生学以致用的能力。第三问为动点问题，需要学生运用矩形两条对角线相等的性质，将线段 EF 转化 为线段 AP ，再由“垂线段最短 ”解决即可，主要考查矩形的性质及转化的数学思想，通过改编，渗 透“从特殊到一般 ”、“转化 ”的数学思想。
课时作业设计表
第 五 课 时 课题 正方形的性质
课时目标 序号 内容 水平
1 掌握正方形的定义、性质，理解正方形与平行四 边形、菱形、矩形的关系。 理解
2 能利用正方形的性质定理进行推理和计算。 应用
3 经历探索正方形的概念和性质的过程，发展学 生合情推理的意识，掌握说理的基本方法。 迁移
题目属性（使用时 间为课上或课后； 难度为简单、中等 或较难；来源分为 原创、改编或引 用；可加行） 题号 对应课 时目标 使用 时间 题型 难度 预设 时长 来源
1 1、2 课下 填空 简单 2 分钟 改编引用
2 1、2 课下 填空 简单 3 分钟 原创
3 1、3 课下 填空 中等 5 分钟 改编
4 1、2、 3 课下 填空 中等 8 分钟 改编引用
5 1、2、 3 课下 解答 较难 10 分钟 改编引用
参考答案 及 评价标准 （与题目题号对 应） 题目 1： 答案解析：由正方形、等边三角形的边角的性质，可分析出△ABE 是 等腰三角形， ∠DAE=150°, ∠AEB=60 ° , 所以∠BED=45 °。 【评价标准】 体会正方形、等边三角形的性质，掌握等腰三角形中求
角的方法，熟练准确计算。 题目 2： 答案解析： 由正方形的性质可得，△ ABE 为等腰直角三角形，由于 OD=2， 根据等腰直角三角形边角关系不难求 解。所以AB= 2 2 ，正方形 ABCD 的周 长是8 2 ，面积是 8。 (
F
)y B C A D O E x
【评价标准】 体会正方形的性质，并能理解正方形对角线相连后，产 生四个全等的等腰直角三角形，考查学生对基本图形的理解，并能运 用相关知识解决简单的问题。 题目 3: 答案解析： 由正方形、等边三角形的性质，易证△ABE △ADF，得 BE=DF，即 CE=CF，所以△CEF 为等腰直角三角形，可求图中阴影部 分的面积为 1。 【评价标准】 体会正方形、等边三角形的性质，并能从对称性观察分 析图形，得到全等图形，运用等腰直角三角形的性质解决问题，考查 学生对图形对称性、基本图形的理解。 题目 4: 答案解析： 求点的坐标，向坐标轴作垂线，转化为求线段长度， 由正
方形的性质，易证△ADO≌△OEC≌△BFA ，由点A 的坐标是(-3，1) 可得，AD=1， DO=3 ，所以 C 点的坐标是(1，3)，B 点的坐标是(- 2，4)。 【评价标准】 体会正方形的性质，掌握平面直角坐标中出现直角、求 点的坐标的基本解题思路，能灵活掌握点的坐标与线段长度的间转 化，本题易错是点 B 的坐标，学生具备一定分析问题的能力。 题目 5: 答案解析： （1）由正方形的边角性质，易证△ADG △DCE，可得
AG 与 DE 垂直且相等。 （2）利用直角三角形斜边中线的性质证明， 延长 DE 交AB 的延长线于点 H，因为点 E 为 BC 的中点，易证△HBE △DCE，所以 AB=DC=BH，即点 B 是 AH 的中点，又因为 ∠BED=90°, 所以 BF= AH=AB。 A D
B F ● (
E
)
G C
H
【评价标准】 体会正方形的性质，掌握证明线段相等的方法，第二问 难度较大，考查中点及直角三角形斜边中线的用法，学生需具备中点 常用的辅助线作法，考查学生归纳总结的能力，锻炼学生的思维。
设计说明：★基础题 ★★中档题 ★★★提高题（选做） 整体设计亮点说明：本课时作业设计突出了主线设计，遵守两条主线来进行设计。 第一个是知识主线，主要围绕正方形的性质，以及特殊三角形，如等边三角形、等腰直角 三角形的性质的综合考查，以如题目 1 、题目 2 、题目 3 均是引导学生从知识主线考查。第二 是题目设计主线，围绕正方形与特殊三角形的联系，整合知识设计题目，引导学生学会抽取 基本图形，通过对课本例题的改编，考查学生知识迁移能力，如题目 5，锻炼学生的思维，提 高学生分析问题的能力。 题目 1 ：★（改编引用题）如图 1，在正方形 ABCD 的外侧作等边三角形△ABE，连接
DE，则∠BED = 。 A D
E
B C 图 1
【设计说明】本题是改编引用题目，属于基础题，综合考查正方形、等边三角形和等腰三 角形的性质，主要考查学生基本图形的认识及相关知识点灵活运用的情况，另一方面考查学 生基本的运算能力。
题目 2 ：★（原创题）如图 2，在正方形 ABCD 中，对角线 AC，BD ，相交于点 O ，若 OD=2 ，则 AB= ，正方形ABCD 的周长是 ，面积是 。 A D · O
B C 图 2 【设计说明】本题是原创题目，属于基础题，学生们都能参与课堂，设计本题基于两方面 的思考，一是考查学生具备正方形涵盖等腰直角三角形的意识，等腰直角三角形的边角关系 运用较多，为后期的学习做铺垫。二是设计求边、周长、面积，考查学生的基本运算能力。借 助本题，引导学生对正方形中基本图形的认识及应用，强化学生归纳总结的意识。 题目 3：★★（改编题：鲁教版八年级下册第 23 页知识技能 2）如图 3，四边形ABCD 是 正方形，△AEF 是等边三角形，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，若△AEF 的边长是 2，则图中
阴影部分的面积为 。 A D F
B E 图 3 C
【设计说明】本题为课本习题改编，习题中等边三角形边与正方形的边重合，从图形的对 称性观察，易得一对全等图形、等腰三角形等基本图形，将本题等边的三角形摆放改编，使等 边三角形的顶点与正方形的顶点重合，考查从图形变化的角度分析图形，涉及全等，等腰直 角三角形的综合考查， 引导学生从整体观察图形的意识，强化学生对基本图形的理解，发展 学生的数学思维。
题目 4 ：★★（改编引用题）如图 4，在正方形 ABCD 中，点 A 的坐标是（- 3,1），则 C
点的坐标是 ，B 点的坐标是 。 y B C A (
O
)x 图 4
【设计说明】本题是改编引用题，设计本题的意图有两个方面，一是基于后期学习时，常 涉及到直角在平面直角坐标系中的用法，故将正方形放置于平面直角坐标系考查；二是学生 对于点的坐标与线段长度的转化易出错，所以本题设计了求点的坐标，求点的坐标，向坐标 轴做垂线，转化为求线段长度，结合正方形的性质，易得全等图形，进而求解。通过本题的设 计，强化了学生对直角在平面直角坐标系的用法的理解，为后期函数知识学习做了铺垫。 题目 5：★★★（改编引用题：鲁教版八年级下册第 22 页例 1）如图 5，在正方形 ABCD 中，点 E 是 BC 边的中点，连接 DE，过点 A 作 AG⊥ED 交 DE 于点 F，交 CD 于点 G。
（1）问 AG 与 DE 之间有怎样的关系？请说明理由。 （2）连接 BF，求证：AB=FB。 A D
(
F
●
) G
B E C 图 5
【设计说明】本题是课本例题改编，例题中通过一对旋转全等图形，证明两条线段的数量 关系和位置关系，例题中涉及的知识点，在后期的学习中经常考查，故将例题改编，强化学生 对正方形中的旋转全等图形的理解，改编图形，将题中研究的一对全等图形放在正方形内部， 继续研究两条线段的关系，第一问通过类比例题的解题思路，不难证明这对旋转全等图形， 也是对学生知识迁移能力的考查。第二问难度较大，综合性比较强，对八年级的学生解决本 题需要考虑中点的用法，及直角三角形斜边中线的考查，本题还可以通过建立直角坐标系， 通过代数方法，利用两点间距离公式求线段长度证明，在九年级学习圆时，又可以运用四点 共圆、圆内接四边形的知识求解，本题的设计意图，一是培养学生用代数方法解决几何问题 的方法，二是为后续学习打下基础，激发了学生探究的学习欲望，提高了学生的思维品质。
其他解法展示： 解法一：因为点 E 为 BC 的中点，易证△ABE △DCE，所 以∠AEB=∠DEC，又因为∠ABE=∠DCE=90°, 易知点A、 B 、E、F 四点共圆，所以∠BAF=∠DEC，∠AEB=∠AFB， 可得∠BAF=∠AFB ，则 BF=AB。 。 (
G
) (
F
●
·
O
) A D B E C
解法二：以点 B 为坐标原点，分别以线段 BC、BA 所 在的直线为 x 轴、y 轴，建立如图所示的坐标系。 设正方形的边长为 2，则点 A(0，2)、E(1，0)、D(2， 2)、G(2 ，1)，可分别求出直线AG、DE 的解析式， 即确定点 F 的坐标，由两点间距离公式，不难求出 线段 BF，得证。 (
G
)y (
A
)D F ●
B E Cx
课时作业设计表
第 六 课 时 课题 正方形的判定
课时目标 序号 内容 水平
1 理解并掌握正方形的判定条件。 理解
2 能运用正方形的判定定理解决有关的证明和计 算。 应用
题目属性（使用时 间为课上或课后； 难度为简单、中等 或较难；来源分为 原创、改编或引 用；可加行） 题号 对应课 时目标 使用 时间 题型 难度 预设 时长 来源
1 1 课下 选择 简单 3 分钟 引用
2 1、2 课下 解答 简单 3 分钟 原创
3 1、2 课下 解答 中等 5 分钟 改编
4 1、2 课下 解答 中等 8 分钟 改编
5 1、2 课下 解答 较难 10 分钟 原创
参考答案 及 评价标准 （与题目题号对 应） 题目 1：因为对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形， 故 C 选项符合题意 【评价标准】 理解并掌握判定正方形的方法。 题目 2： ∵AO=OC，BO=OD， ∴四边形的对角线平分且相等，可得四 边形为矩形，又∵AC⊥BD ，所以四边形ABCD 为正方形。 【评价标准】 能运用对角线互相垂直的矩形来进行判定，但方法不唯 一，只要学生合理就可以。 题目 3:
D C (
.
H
E
·
·
G
●
F
) ∵AH，BH，CF，DF 为角平分线， ∴ ∠AHB=∠DFC=∠HGF=90°,∴四边形 EFGH 为矩形，又 AH=BH，AE=BG， ∴HE=HG，∴ 四边形 EFGH 为正方 形。
A 图 3 B
【评价标准】 此题证法不唯一，只要学生合理就可以，突出解决问题 的多样性。 题目 4：
B A ● E ● · F 图 4 D C （1）∵DE∥AC，DF∥AB，∴DE∥ AF，DF∥AE， ∴四边形AEDF 是平行四边形， ∵AD 是△ABC 的角平分线， ∴∠1=∠2，∵∠ADE=∠2， ∴∠1=∠ADE，∴AE=DE ， ∴四边形AEDF 是菱形.
（2）当∠BAC=90°时，四边形 AEDF 是正方形， 理由：由（1）得四边形AEDF 是菱形， ∴当∠BAC=90°,四边形AEDF 是正方形
【评价标准】 能进行菱形的判定，然后在菱形的基础上加条件，可以 是角、对角线两个方向来思考解决实际问题。 题目 5：
A (
D
) B C E 如图，延长 BC 至点 E，使 CE=AB，连接 DE， 易得出△ABD 与△ECD 全等，四边形ABCD 面积转化成等腰直角△BDE 的面积，进而面 积求解，6×6× =18.当然也可利用旋转来 进行思考，相当于把△ABD 绕点 D 逆时针旋
转 90 °。拓展提升的思路可参照上面的思路，一个是静态构造，也可选 择旋转来解决。 【评价标准】 本题是对课本题目的延伸，难度较大，学生部分参与就 可，特别是学优生的解答要进行指导评价，其它同学可以作为选做。
设计说明：★基础题 ★★中档题 ★★★提高题（选做） 整体设计亮点说明：本课时作业设计依然立足于课本例习题和自己原创试题，发挥教材 的引领作用。教材中的课后习题许多具有极高的研究探索价值，教师在教学的过程中不能就 题论题，而应引导学生挖掘题目的内涵，充分发挥习题的价值。例如本次作业的第 6 题，是 对教材习题的一个变式探究活动，如果我们一线数学教师能在课堂中进行上述变化，对激发 学生学习数学的兴趣，感悟数学的魅力，其效果是不言而喻的。同时它的价值更在于让学生 理解知识的起源以及用什么方法和在什么地方运用它们，可以建立良好的知识结构。通过使 用变式，帮助学生形成了概念，解决了问题，构建了一个活动经验系统。 题目 1 ：★（引用题）如图 1，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，下列条件 中，能判定四边形ABCD 是正方形的是( ) A．AC=BC=CD=DA B．AO=CO ，BO=DO，AC ⊥BD C．AO=BO=CO=DO，AC ⊥BD D．AB=BC，CD ⊥DA A D · O
B C 图 1 题目 2：★（原创题）如图 2，等腰直角△AOB，分别延长AO，BO，使 BO=OD，AO=OC， 求证：四边形ABCD 是正方形。
(
B
) (
图
2
)A O 【设计说明】这两个题目的设置都是基于基础性而言，让更多的学生得到锻炼，起点较 低，照顾了全体，题目 2 是一道原创试题，通过等腰直角三角形的变化建立和正方形的关系， 让学生体会正方形中处处有等腰直角三角形。 题目 3：★★（改编题：鲁教版八年级下册第 30 页第 17 题改编）已知：如图 3，矩形ABCD 各角的平分线分别相交于点 E，F，G ，H.求证：四边形 EFGH 是正方形。 D C (
.
H
E
·
·
G
●
F
)
A 图 3 B
题目 4 ：★★（改编题：鲁教版八年级下册第 28 页第 8 题改编）已知：如图 4，AD 是△ ABC 的角平分线，过点 D 分别作 AC 和AB 的平行线，交 AB 于点 E，交 AC 于点 F. （1）试判定四边形 AEDF 的形状，并证明你的结论； （2）△ABC 满足什么条件时，四边形 AEDF 是正方形。
B (
E
) (
●
) (
●
) (
·
F
)A 图 4 D C
【设计说明】题目 3 和题目4 都是对课本后面习题的改编，让学生有种似曾相似的感觉， 但是又高于课本的题目，分别考查了菱形和正方形的判定，有一点的综合性，是对本节课时 内容的强化和巩固。 题目 5 ：★★★（原创题） 课本再现：如图 5，正方形 ABCD 的对角线交于点 O，正方形 A'B'C'D'与正方形 ABCD 的边长相等，正方形 A'B'C'D'绕点O 旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积与正方形 ABCD 的面积关系？并证明。
(
●
) (
C
) (
C'
) (
图
5
)A D O A' (
B
) B' 类比探究：如图 6，四边形 ABCD 中，DC=AD, ∠ABC=∠ADC=90°, 连接 BD，若 BD=6， 则四边形ABCD 的面积为多少？ A P D M (
N
) (
B
)B C (
图
7
)图 6 拓展提升：如图 7，四边形 PMBN 中，∠MBN 与∠MPN 互补，PM=PN，连接 PB，PB=6， ∠MBN=120°,则四边形 PMBN 的面积是多少 【设计说明】题目 5 来源于课本的一道经典题目，学生都做过，但是它可以继续生长， 这里把它设计成课本再现-类比探究-拓展提升这样的一个综合性很强的题目，让学生进行探 究，很好的发挥了教材的育人价值和素材价值。我们说许多数学问题它们都是成堆地生长的， 找到一个以后，很可能附近就有好几个，下面我们把该教材问题进行变式提升，推陈出新，充 分发挥题目的教学功能。
课时作业设计表
第 七 课 时 课题 特殊平行四边形的单元复习
课时目标 序号 内容 水平
1 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义、 性质和判定，以及矩形、菱形、正方形彼此之间 的关系。 理解
2 能利用特殊平行四边形的性质和判定进行推理 和计算。 应用
3 明确特殊平行四边形的知识体系，提高空间想 象能力，掌握基本的推理能力。 迁移
题目属性（使用时 间为课上或课后； 难度为简单、中等 或较难；来源分为 原创、改编或引 用；可加行） 题号 对应课 时目标 使用 时间 题型 难度 预设 时长 来源
1 1、2 课上 解答 简单 3 分钟 改编
2 1、2 课上 解答 简单 3 分钟 改编
3 1、3 课上 填空 中等 2 分钟 原创
4 1、2、 3 课上 解答 中等 8 分钟 改编引用
5 1、3 课上 填空 中等 2 分钟 原创
6 1、2、 3 课上 解答 较难 10 分钟 改编
参考答案 及 评价标准 （与题目题号对 应） 题目 1：该题为开放题，答案不唯一，例如可求出AC=2，BD=2- ，菱形 面积为 2 · , 菱形周长为 8， ∠ABC=60°,∠ABD=30°等等。 【评价标准】 体会菱形的性质，并能运用性质解决简单的问题，只要学生言 之有理就可以。 题目 2：该题为开放题，答案不唯一， 例如可求出 BD=2， OD=OC=OA=OB=1,AD=BC=1,AB=CD=2,矩形的面积和周长， ∠ADB=60°,∠CDO=30°,△ABC 为等边三角形等等。 【评价标准】 体会矩形的性质，并能运用性质解决简单的问题，只要学生言 之有理就可以。 题目 3: 四边形边角对角线对称性平行四边形对边平行且相等对角相等 邻角互补互相平分中心对称图形菱形对边平行且 四条边相等对角相等 邻角互补互相垂直平分 ，每一条对 角线平分一组对角中心对称图形 轴对称图形矩形对边平行且相等四个角是直角互相平分且相等中心对称图形 轴对称图形正方形对边平行且 四条边相等四个角是直角互相垂直平分且相等 ， 每一条对角线平分一组 对角中心对称图形 轴对称图形
【评价标准】 能从边、角、对角线、对称性等维度来刻画四边形的性质，找 到研究四边形问题的方法。
题目 4：当∠BAC 为60 度时，平行四边形 ADFE 不存在 变式 1：当AB=AC 且∠BAC 不等于 60° 时，平行四边形ADFE 是菱形 变式 2：当∠BAC=150°时，四边形ADFE 是矩形 变式 3：当AB=AC 、 ∠BAC=150°时平行四边形ADFE 是正方形 【评价标准】 能充分运用矩形、菱形、正方形的判定方法，解决实际问题， 具备一定的推理能力。 题目 5： 四边形判定方法平行四边形1.定义 ：两组对边分别平行的四边形 2.两组对边分别相等四边形 3.一组对边平行且相等四边形 4.对角线互相平分的四边形菱形1.定义 ：一组邻边相等的平行四边形 2.四条边相等的四边形 3.对角线互相垂直的平行四边形矩形1.定义 ：一个角为直角的平行四边形 2.三个角为直角的四边形 3.对角线相等的平行四边形正方形 (
既是矩形
，又是菱形
)1.定义 ：一组邻边相等的矩形 2.对角线互相垂直的矩形 3.一个角为直角的菱形 4.对角线相等的菱形
【评价标准】 能从边、角、对角线角度寻找判定方法，并能对比之间的联系 和不同。 题目 6： ∵EC 与 FC 分别为角平分线，又∵MN∥BC，∴△OEC 与△OFC 分别是等 腰三角形，可得 OE=OF. 变式 1：当点 O 运动到AC 中点时，四边形AECF 是矩形。 变式 2：当∠ACB 等于 90 度时，四边形AECF 为正方形。 变式 3：作 EH⊥BC，∵ ∠EBC=30°, EF=2，∠ECH=45 °, ∴此时 EH=HC=1, 四边形 OEHC 为正方形，可得 BE=2。 【评价标准】 综合运用特殊平行四边形的性质和判定来解决问题，在推理中 进行数学运算，掌握基本的推理能力。
设计说明：★基础题 ★★中档题 ★★★提高题（选做） 整体设计亮点说明：本课时作业设计突出了主线设计，遵守两条主线来进行设计。 第一个是知识主线，对于特殊平行四边形的复习要类比前面平行四边形的学习，从边、角、对 角线、对称性四个维度来进行展开，题目 3 和题目 5 也是引导学生从条主线来梳理，同样在对题目 的设计过程中，也是从上述四个维度来进行考虑。第二个是题目设计主线，这节课的题目设计摒弃 了传统的习题叠加，而是遵循一题多展的理念，力求让一个题目承载更多的知识，围绕一个问题来 展开递进设计，例如题目4 和题目6 就本着这样的初衷进行题目设计。 题目 1 ：★（改编题：鲁教版八年级下册第 3 页例 1 改编）如图 1，菱形 ABCD 中，AB=2，∠ BAD=120°, 你可以求出什么？用到了菱形的什么性质？
A D ● O B C 图 1 D C ● O
A B 图 2
题目 2：★（改编题：鲁教版八年级下册第 14 页例 1 改编）如图 2，矩形ABCD 的对角线AC、 BD 相交于点 O，若∠ADO=2∠CDO ，对角线 AC=2，则你能求出什么？用到了矩形的什么性质？ 【设计说明】这两个题目的设置基于两方面思考，一是都是基于课本原来的例题来进行改编， 如图 3，对课本中的两个例题进行了重新设置， 目的是通过具体的问题情境来帮助学生梳理菱形和 矩形的基本性质有哪些？二是具有一定的开放性，对问题的结论给了更大的自由度，给了全体学生 参与的机会，可以唤醒学生从多角度来认识特殊的平行四边形，特别是从边、角、对角线、对称性 等角度来思考问题，为后面基础知识的梳理做好铺垫。
图 3 题目 3：★★（原创题）同学们还能回忆起平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质吗？如图 4， 完成下面的表格。 图 4 【设计说明】在教学中，让学生经历两个问题的头脑风暴和认知冲突后，唤起了学生的思维起 点，这时再对前一章平行四边形和这一章特殊的平行四边形进行系统的总结，学生理解了知识的内 在联系,进而使学生构建了知识体系。
题目 4 ：★★（改编引用题）如图 5，以△ABC 的边 AB，AC 为边的等边三角形ABD 和等边三 角形ACE，四边形 ADFE 是平行四边形，当∠BAC 为多少 度时，平行四边形ADFE 不存
在。 变式 1 ：当△ABC 满足什么条件时，平行四边形ADFE 是菱形？ 为什么？ 变式 2 ：当△ABC 满足什么条件时，平行四边形ADFE 是矩形？ 为什么？ 变式 3：当△ABC 满足什么条件时，平行四边形ADFE 是正方形？ 为什么？ F (
●
D
·
A
·
E
●
) B C 图 5
【设计说明】问题 4 是平行四边形的存在性问题，是对同学们合情推理能力的考查，既是对性 质的理解，同时也是对判定的思考，通过对这一问题的承载设计，在不断的追问中，教师给学生搭 建了思维的支架，引导学生逐渐形成菱形、矩形、正方形判定的知识框架，通过对条件、结论的改 变，促进了学生思维角度的转变，这样的变式追问可以激发学生的积极思考，使课堂教学走向深度 学习。 题目 5：★★（原创题）请同学们能梳理出平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定方法吗？如 图 6 ，完成下面的表格 图6 【设计说明】题目 5 与题目 3 的设置出发点一致，都是在让学生经历解决问题以后对过程的反 思与梳理，仍然引导学生从边、角、对角线等角度来思考问题。 题目 6：★★★（改编题： 鲁教版八年级下册第 18 页知识技能 2）如图 7，在△ABC 中，点 O 是 AC 边上的一个动点（点 O 不与 A 、C 两点重合），过点 O 作直线 MN∥BC，直线 MN 与∠BCA 的平分线相交于点 E，与∠DCA (△ABC 的外角）的平分线相交于点 F，OE 与 OF 相等吗？为什 么？
A (
M
) (
D
)E O /F N B C
图 7
(
N
) (
D
)变式 1 ：当点 O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论。 变式 2 ：在追问 1 的条件下，当∠ACB 等于多少时，四边形AECF 为正方形？并证明你的结论。 变式 3 ：在上面追问 2 的条件下，连接 BE，如图 8，若∠EBC=30°, EF=2，求 BE 的长度。 A (
E
F
M
O
) (
B
)H C 图 8 【设计说明】题目 6 的原型来源于课本后面的一道练习题，通过改变条件和结论，让学生先证 明 OE=OF，考查了角平分线与平行线组合出现等腰三角形这一经典问题，并为后续的追问做好了 基础，追问 1 和追问2 都是基于对矩形和正方形判定方法的灵活运用，追问 3 则让问题进一步走向 深处，需要学生构造辅助线做 EH⊥BC，是对 30°和 45°这两个特殊角度的应用，通过对课本习题 的重新设计让它重换生机，形成了一道梯度渐进，环环相扣，能对特殊平行四边形多个知识点进行 考查的综合题目，学生在问题重建的支架引领下，对知识有了深刻理解，对思想方法有了过程的体 验，数学思维在深度学习中得到了发展。
跨学科综合性（实践类）作业设计表
主题 神奇的折纸，趣折生菱形
跨学科大概念 折纸是一项手工活动，现代折纸是一门交叉学科，涵盖数学、结构力 学、计算机科学等，是一种变形艺术。数学折纸是众多折纸类别中的一个子 类，它关注折纸中的数学原理和折出的结构是否有数学的内涵，数学折纸让 创造性的思维活动变得可视化，在教育中非常重要，可以使学生获得思维成 果，从而产生成就感。数学折纸活动的材料工具非常简单，教师可以借助折 纸活动创设一个蕴含真实问题、挑战性任务的现实情境，让简便易行的折纸 活动成为学生主动探索、发挥想象、展示创造力的舞台。
学科素养点 1.数学抽象：由实际生活的问题能抽象出平面几何图形菱形。 2.直观想象：在折叠的动手操作中直观想象图形，经历操作一观察一猜想一 说理的活动过程。 3.逻辑推理：对于菱形的判定能进行严格的推理证明。
学科内容 1.在折纸过程中，理解菱形判定定理和性质，发展直观想象和数学抽象能 力。 2.在折纸过程中，经历构造轴对称图形，让学生感受对称之美，在证明的过 程中，让学生体会逻辑之美，培养学生的动手操作和团队协作的能力。
评价标准 或 参考实例 评价标准：为使探究活动深入，发挥主体意识，让学生在“做中学”“学中 做” ,感受学习的快乐，整个过程围绕个人和小组两个维度进行评价。 “神奇的折纸，趣折生菱形” 的个人学习自评表 评价内容4 分（高）3 分（较高）2 分（一般）1 分（低）参加这个活动的兴趣程度动手折纸的能力数学抽象、逻辑推理的能力与同学的交流合作能力感受数学美的能力
“神奇的折纸，趣折生菱形” 的小组互评表 评价内容优良一般差小组成员的分工协作能力小组折纸方案的科学性小组的解决问题的能力
设计说明 本节课是基于折纸这门变形艺术的综合实践活动课，在设计的过程中突出了两点： 1.改变学生的学习方式，发展学生的主体意识 折纸活动通过动手、动脑,让学生获得积极的身心参与，能充分改变传统的学习方式，使 学生主动而富有个性地发展，学生在充分经历知识的发现和建构的过程中，对数学学习的情感 体验不断增强，从而发展主体意识。学生在“做中学”“学中做”，在活动中，感受学习的快 乐。 2.积累活动经验，发展核心素养 《课标(2022 版)》强调从学生已有的生活经验出发,让学生亲身经历将实际问题抽象成数 学模型的过程。而学生已有的数学经验和生活经验就是“折纸”数学的基础。通过折纸,学生 从不同途径理解菱形的证明，从不同角度获得菱形的判定。随着折纸活动的层层深人,学生在 观察、实验、猜想、交流、推理、验证、反思等活动中不知不觉学到新知识,使低层次的活动 体验(感官体验)向高层次的数学经验(思维活动)升华。折纸活动符合学生的认知规律,学生的 思维逐渐走向深刻,直观想象、数学抽象和逻辑推理等核心素养进一步得到提升。 问题起源：（鲁教版教材八年级下册第 6 页的做一做） 【设计说明】通过课本中的资源来引出综合实践活动，这样更加自然有针对性，当时新课 教学时由于时间的限制，课堂上没有深入探究，结束新课以后专门拿出时间让学生深入进去， 发现数学的对称之美。 问题 1：请同学们先回顾下菱形的性质有哪些？菱形的判定方法有哪些？ 【设计说明】这是一个知识的铺垫，要折出菱形，要有针对性的折纸，不能盲目操作，首 先要对折叠对象有个清晰的认识，那么菱形是什么样子的呢 它的性质和判定要了解清楚。 问题 2：课本第 6 页给我们提供了一种矩形折叠菱形的方法，同学们还有其它的折法吗？以小 组为单位，形成自己的折叠方案，并请说明理由。 预设方案 1：如图 1，先折矩形对角线 AC，再折 AC 的垂线，与两边交与 B，D 两点，连结 AB，
CD，则四边形ABCD 为菱形。 A B (
●
)E F
H 图 3 D C
A D A H D
(
C
B
)
E
G
B F C 图 2
图 1
G
预设方案2：如图 2，折叠矩形可得四个相同矩形，四个小矩形的边长相等，进而可以得它们的 对角线也相等(EF=FG=GH=HE)，进而由四边相等得 EFGH 为菱形。 预设方案 3：如图 3，将矩形 ABCD 沿对角线 BD 对折，交 AD 于点 F, DG 交 BC 于点H, 四 边形 BFDH 是菱形。 预设方案 4：如图 4，先折出矩形 ABCD 的对称中心 O, 再经过点 O 任意折出两条互相垂直的 直线 EG ，FH，四边形 EFGH 是菱形。
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图
4
)图 5
预设方案 5：如图 5，沿 EF 折叠矩形,点 B 的对应点 B'落在 AD 边上，连接 E，B，F，B'，四边 形 EBFB'为菱形。 【设计说明】通过对一张矩形纸片的一系列折叠、拼接,让学生在观察、实验、猜想、交 流、推理、反思等活动中积累经验,逐步学会分析和综合思考方法，让学生说明理由，是对学 生演绎推理能力的发展,同时在这一过程中学生的合作学习能力也得到了很好的锻炼。 问题 3：观察前面的几种折法，有没有发现一定的规律？ 【设计说明】通过对一张矩形纸片的一系列折叠、拼接,让学生在观察、实验、猜想、交 流、推理、反思等活动中积累经验,逐步学会分析和综合思考方法，让学生说明理由，是对学 生演绎推理能力的发展,同时在这一过程中学生的合作学习能力也得到了很好的锻炼。 问题 4：弱化条件，将矩形改为平行四边形，你还能折出菱形吗？ 【设计说明】不断弱化条件,将图形一般化,体会特殊与一般的思想，简化对复杂几何图形 的认识，突出本质问题。 问题 5：继续弱化条件，如何用三角形纸片折出菱形？ （1）如图 6，三角形是等腰三角形时，如何折出菱形？ （2）如图 7，三角形是一般三角形时，如何折出菱形？
A B A C 图 7
B C
图 6
【设计说明】通过问题 5 的设计，让学生从矩形迁移到等腰三角形,再到一般三角形,知识 之间的横向联系使问题更加深人,学生在持续的深度思考中,形成严谨全面的思维品质。
单元作业设计
单元名称： 特殊平行四边形
所在年级： 八年级
教材版本： 鲁教版五四制 下册
作者姓名： 初三数学组
一、单元信息
基本信息 学科 年级 学期 教材版本 单元名称
数学 八年级 第二学期 鲁教版 特殊平形四边形
单元呈现方式 教材自然单元
课时信息 序号 课时名称 对应教材内容
1 菱形的性质 （P2-P4）
2 菱形的判定 （P5-P11）
3 矩形的性质 （P12-P14）
4 矩形的判定 （P15-P20）
5 正方形的性质 （P21-P23）
6 正方形的判定 （P24-P26）
7 特殊平行四边形的单元复习 （P2-P26）
二、单元分析
1.教材分析
特殊平行四边形是鲁教版八年级下册第六章的内容，是在学生学行四边形的定义、 性质与判定的基础上进行的。特殊平行四边形是对平行四边形的纵向拓展，同时也是对推理 证明的巩固与加深。特殊平行四边形为证明线段相等、平行，证明角相等，证明直线互相垂 直提供了新的方法，为学生后续几何学习奠定了基础，具有承上启下的作用。
矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们的性质和判定都是在平行四边形的基 础上扩充的，它们的探索方法，也都与平行四边形性质和判定的探索方法一脉相承。本章的 教学内容之间联系比较紧密，研究问题的思路和方法也类似。因此在教学中，可以根据实际 情况构建更现实、更贴近学生的问题情境，引导学生进行相关的探索、猜想活动。充分调动 学生的积极性与主动性，引导学生探索、发现结论、体会探索结论的各种方法，理解猜想后 还应该给予证明的意义，感受合情推理与演绎推理的关系。在菱形、矩形、正方形的性质与 判定方法的探索与证明的过程中蕴含着一些数学思想方法，教学中有目的地让学生感悟、领 会这些思想方法，可以对课本的例题和习题进行深入的研究，让学生经历第一次的感悟后， 进行适当的改编和创编，运用变式训练，让学生再次感悟数学思想方法，并应用于解决相关 问题的过程中。
特殊平行四边形在初中数学知识树中的地位如下图所示：
平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的联系如下图所示：
性质联系图 判定联系图
2.学情分析
本单元主要是研究菱形、矩形、正方形特殊的平行四边形，在这之前学生已经有了一定 平行线、三角形、平行四边形等知识储备。本单元受思维定势影响，学生往往还是会走“全 等三角形”的老路，教师应有意识的引导、针对性的训练， 以构建学生头脑中新的知识网络。 本单元特殊平行四边形概念多易混淆，不易理清它们的从属关系，性质及判定方法不易区分， 推理证明时易造成逻辑上的混乱，教学时可借助图示理清它们之间的从属关系。在图形性质 及判定方法的教学中，可借助实物、几何画板等教学软件让学生充分感受知识的产生、发展 及演变过程。本单元逻辑推理论证能力的培养是重点也是难点，受学生的说理能力、逻辑思 维水平的限制，学生在陈述问题的解决过程时，可能出现图形性质与判定方法混淆、判定条 件不全强行推理过渡等现象，教师可通过小组评阅、学生说理过程、规范证明过程展示等多 种形式对学生的解答有针对性的进行调整。
三、单元作业目标
课标要求 1.理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关 系。 2.掌握菱形、矩形、正方形的特殊性质和判别方法，并能运用这些知 识进行简单的有关证明和计算。 3.在参与观察、实验、猜想、证明等数学活动中， 发展合情推理和演 绎推理能力。
单元作业目标 1.通过作业的有效设计，进一步理解并掌握特殊平行四边形的性质和 判定方法，积累基本的数学活动经验。 2.通过对作业问题的变式练习，发展数学思维，构建特殊平行四边 形之间的联系,培养学生逻辑推理能力。 3.通过作业的分层设计，力求覆盖全体同学，让不同的学生得到不同 的发展。 4.通过作业的创新设计，激发学习几何的热情，整体构建数学知识体 系。
学科素养培养 数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算
四、单元作业设计理念思路
该单元作业设计为教材自然单元作业设计，分为课时作业和综合实践作业。
1.挖掘教材，设计原创作业，发挥课本的教学价值。数学教材是进行教学实施的重要依 据，教材的系统知识、对学生数学美的渗透、美好情感的培养，这些都是教辅资料无法替代 的。本单元作业的所有题目都是教师深挖教材的内涵，创造性地开发教材资源，对课本例习 题进行了改编和原创题目，是对学生的二次考查，通过变式训练和一题多变，引导学生找到 母题，不断延伸，这样的题目更具有教学价值和意义，也能让孩子从“题海”中解脱出来， 体现出教材的人文价值和在情感、态度、价值观方面对学生的影响，这也是本次单元作业设 计中作业素材的活水之源。
2.落实双减，设计分层作业，满足不同需求。为了更好的落实双减，课时作业遵循了 “2+2+1” 的设计思路，即每个课时作业严格控制作业数量，共设计 5 个题目，2 个基础题目， 2 个中档题目，1 个提高题目，只在单元复习时设置了 6 个题目，分为三个层次：★、★★、 ★★★,★基础题★★中档题★★★提高题（选做）。基础题目考查对基础知识的基本运用， 属于面向全体学生的题目；中档题目考查对基础知识的综合运用，需要学生一定的思考判断 和解决问题的能力；提高题目是对知识的深入思考和综合考查，有一定的难度，属于面向学 习能力强的学生的题目。通过这样的精心设计分层作业，让学生根据知识内容和自我学习能 力自主选择。分层作业并不是对学生进行分层，分层作业由易到难，基于学生的知识基础设 置开放性问题。★基础组题目适合基础薄弱的学生，★★中档组题目有利于学生思维能力的 发展，进一步整体构建知识之间的联系，完成基础组练习的学生有种成就感，巩固基础同时 会进一步尝试中档组练习，★★★提高组题目对学生的思维要求较高，可以通过小组合作交 流共同完成，在师生交流互动的过程中领悟基本的数学思想方法，提升学生的竞争意识，激 发学生学习数学的热情。
3.立足基础，设计实践作业，积累基本活动经验。本单元作业的综合实践部分立足于学 生已有的数学经验和生活经验就是折纸，折纸学生从小学就开始接触，并多次经历这样的活 动体验，通过折纸活动的动手、动脑,让学生获得积极的身心参与，使学生主动而富有个性地 发展，学生在充分经历知识的发现和建构的过程中，对数学学习的情感体验不断增强。随着 折纸活动的层层深入，学生在观察、实验、猜想、交流、推理、验证、反思等活动中不知不觉 学到新知识，使低层次的活动体验(感官体验)向高层次的数学经验(思维活动)升华，并积累 了活动的经验，发展了核心素养。
五、作业设计正文和作业设计表
课时作业设计
第 一 课 时 课题：菱形的性质
课时学习目标： 1.通过平行四边形与菱形的对比，认识菱形； 2.观察、猜想、证明菱形的性质，能正确运用菱形的性质定理进行简单计算和证 明，并会用两种方法计算菱形面积； 3.经历将菱形的问题转化为特殊三角形来解决的过程，引导学生体会数学的转化 思想。
课时作业设计：* 基础题 ** 中档题 * * * 提高题（选做） 题目 1 ：* （改编题：鲁教版八年级下册第 3 页例 1 改编）如图 1，菱形 ABCD 中， BO=1， ∠BAD=60°, 你可以得出哪些结论？ 题目 2 ：* （原创题）如图 2，在菱形 ABCD 中， ∠BAD=120°, BD=4 ，AE⊥BC，求菱形 ABCD 的面积（用两种方法解）。 题目 3：**（改编引用题）如图 3，在菱形ABCD 中，∠D=50°, 点 E 在AB 上，AE=AC. （1）求∠BCE 的度数； （2）若∠D=α°,用含 α 的字母表达∠BCE 的度数。
题目 4 ：** （改编引用题）如图 4，在菱形ABCD 中，AC 为对角线，∠B=60°, 点 E， F 分别是 BC，CD 上的点，且 BE=CF。 求证：△ AEF 是等边三角形 题目 5 ：* * * （改编引用题）如图 5，在菱形 ABCD 中， ∠BAD ＝60°, AB=2，P 是 AC 边上一动点，连接 DP，PE⊥AB 交 AB 于点 E，求 PD+PE 的最小值。 变式 1 ：如图 6，在菱形 ABCD 中， ∠BAD ＝60°, AB=2 ，E 是 AB 边的中点，P 是 AC 边上 一动点，求 PB＋PE 的最小值； 变式 2 ：如图 7，在菱形 ABCD 中，∠BAD ＝60°, AB=3 ，DE=1 ，DF=2，P 是 AC 边上一动 点，求 PE＋PF 的最小值。
课时作业设计
第 二 课 时 课题：菱形的判定
课时学习目标： 1.经历菱形判定的观察，猜想，证明过程，能够应用定理解决问题； 2.提高自主探究的能力和与他人合作交流的意识，发展合情推理能力和演绎推理 能力； 3.通过运用数学知识解决实际问题，渗透“转化”的数学思想。
课时作业设计：★基础题 ★★中档题 ★★★提高题（选做） 题目 1：*（改编题：鲁教版八年级下册第 6 页例 2 改编）如图 1，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AO=1，AB=2，添加一个条件 ，使得平行四边 形 ABCD 变成菱形。 题目 2：★（原创题）同学们，我们学习了菱形的 性质和判定后，大家比较一下平行四边形和菱形的性质和判定有何共同点和不同点？如图 2， 完成下面的表格。 图 2
题目 3 ：★★（改编引用题）如图 3，在平面直角坐标系中，菱形 OACB 的顶点 O 在原 点，点 B 的坐标为(4,-1)，则点A 的坐标是 ，点 C 的坐标是 。 题目 4 ：★★（改编引用题）如图 4，四边形 ABCD 中，AB∥CD，AC 平分∠BAD ，CE ∥AD 交 AB 于 E . (1)求证：四边形AECD 是菱形； (2)若点 E 是AB 的中点，试判断△ ABC 的形状，并说明理由。 题目 5：★★★（改编引用题）如图 5，平行四边形 ABCD 中，AB⊥AC，AB ＝1，BC= . 对角线AC，BD 相交于点 O，将直线 AC 绕点O 顺时针旋转，分别交 BC，AD 于点 E， F。 (1)试说明在旋转过程中，线段AF 与 EC 总保持相等； (2)当旋转角为多少度时，四边形 ABEF 是平行四边形； (3)在旋转过程中，四边形 BEDF 可能是菱形吗 如果不能，请说明理由；如果能，画出图 形并写出此时AC 绕点O 顺时针旋转的度数。
课时作业设计
第 三 课 时 课题：矩形的性质
课时学习目标： 1.掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系； 2.能运用矩形的性质定理进行简单的计算和证明； 3.经历探究矩形概念和性质的过程，体验数学研究和发现的过程，进一步发展推 理论证的能力。
(
D
C
) (
O
)课时作业设计：★基础题 ★★中档题 ★★★提高题（选做） 题目 1 ：★（改编题：鲁教版八年级下册第 14 页知识技能 1）一个矩形的两条对角线之 和为 20 ，且矩形的两条对角线相交所成的夹角为 60°, 求矩形的各边长。 题目 2 ：★（改编题：鲁教版八年级下册第 14 页例 1 改编）如图 1，矩形 ABCD 的对角 线 AC、BD 相交于点 O，若∠AOB：∠ACD=4：1 ，OA=2，求矩形的面积。 ● O
A B 图 1 题目 3：★★（原创题）如图 2，矩形ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 作 OE ⊥BD ，交 CD 于点 E，若 AB=8 ，BC=6，则 CE= 。 (
C
) (
D
)E O
A B 图 2 题目 4 ：★★（改编题：鲁教版八年级下册第 15 页知识技能 2 改编）如图 3，矩形ABCD 的对角线AC，BD 相交于点 O，AC//DE，BD//CE，若 AC=6，试求四边形 OCED 的周长。 E (
C
)D A B 图 3
题目 5 ：★★★（改编题：鲁教版八年级下册第 20 页问题解决 3）如图 4，有一矩形纸片 ABCD，AB=6 cm，BC=8 cm。试完成以下变式： 变式 1 ：将矩形纸片ABCD 沿 AC 折叠，点 B 的对应点为 B'，CB'交 AD 于点 E，求 DE 的长。 B'
A E D
B 图 4 C
变式 2 ：如图 5，点 F 是 AB 边上的一点，将矩形纸片 ABCD 沿 FC 折叠，使点 B 落在 AD 上 点 B'处，求AF 的长。 A B' D
F
B 图 5 C
变式 3 ：如图 6，点 H 是 AD 边上的一点，将矩形纸片 ABCD 沿 BH 折叠，使点 A 落在点 A' 处，连接 BA'并延长交AD 于点 G，若 DG=3.5 ，求 GH 的长。 A H G D (
A'
)
B 图 6 C
课时作业设计
第 四 课 时 课题：矩形的判定
课时学习目标： 1.理解并掌握矩形的判定方法； 2.能利用矩形的定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题； 3.经历探索矩形判定的过程，发展学生的推理能力，进一步培养学生的分析能 力。
(
D
C
)课时作业设计：★基础题 ★★中档题 ★★★提高题（选做） 题目 1 ：★（原创题）如图 1，在平行四边形 ABCD 中，在不添加任何辅助线的情况下， 请添加一个条件 ，使平行四边形ABCD 是矩形。 (
A
)D (
●
O
) (
B
)C 图 1 题目 2 ：★（改编题：鲁教版八年级下册第 16 页例 2 改编）如图 2，在四边形ABCD 中， 对角线 AC、BD 相交于点 O，若 OA=OC，OB=OD ，且∠OAD=∠ODA 。求证：四边形 ABCD 是矩形。 ● O
A B 图 2 题目 3 ：★★（改编题：鲁教版八年级下册第 17 页知识技能 1 改编）如图 3，线段 DE 和 AF 分别为△ABC 的中位线和中线。当线段 AF 与 BC 满足怎样的数量关系时，四边形 ADFE 为矩形？请说明理由。 A ● D · · E (
C
) (
B
)F 图 3
题目 4 ：★★（改编题：鲁教版八年级下册第 20 页知识技能 2 改编）如图 4，在平行四 边形ABCD 中，点 E 为 AB 的中点，连接 DE 并延长交 CB 的延长线于点 F，连接 BF，AF， 若 CD=DF，求证：四边形 AFBD 是矩形。 (
C
)D (
B
)A E (
图
4
)F 题目 5：★★★（改编引用题: 鲁教版八年级下册第 21 页联系拓广 4）如图 5，在△ ABC 中，AC=9，AB=12 ，BC=15，P 为 BC 边上一动点，PE⊥AC 于点 E，PF⊥AB 于点 F。 （1）求证：四边形AEPF 是矩形； （2）求 3PE+4PF 的值； （3）在点 P 运动的过程中，EF 的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存 在，请说明理由。 A ● E F ● (
P
)C B 图 5
课时作业设计
第 五 课 时 课题：正方形的性质
课时学习目标： 1.掌握正方形的定义、性质，理解正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系； 2.能利用正方形的性质定理进行推理和计算； 3.经历探索正方形的概念和性质的过程，发展学生合情推理的意识，掌握说理的 基本方法。
课时作业设计：★基础题 ★★中档题 ★★★提高题（选做） 题目 1 ：★（改编引用题）如图 1，在正方形 ABCD 的外侧作等边三角形△ABE，连接 (
A
D
)DE，则∠BED = 。 E B C 图 1 题目 2 ：★（原创题）如图 2，在正方形 ABCD 中，对角线 AC，BD ，相交于点 O ，若 OD=2 ，则 AB= ，正方形ABCD 的周长是 ，面积是 。 A D · O
B C 图 2 题目 3：★★（改编题：鲁教版八年级下册第 23 页知识技能 2）如图 3，四边形ABCD 是 正方形，△AEF 是等边三角形，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，若△AEF 的边长是 2，则图中 阴影部分的面积为 。 A D F (
C
)B E 图 3
题目 4 ：★★（改编引用题）如图 4，在正方形 ABCD 中，点 A 的坐标是(-3，1)，则 C 点的坐标是 ，B 点的坐标是 。 y B C A (
O
)x 图 4 题目 5：★★★（改编引用题：鲁教版八年级下册第 22 页例 1）如图 5，在正方形 ABCD 中，点 E 是 BC 边的中点，连接 DE，过点 A 作 AG⊥ED 交 DE 于点 F，交 CD 于点 G。 （1）问 AG 与 DE 之间有怎样的关系？请说明理由。 （2）连接 BF，求证：AB=FB。 A D
(
F
●
) G
B E C 图 5
课时作业设计
第 六 课 时 课题：正方形的判定
课时学习目标： 1.理解并掌握正方形的判定条件； 2.能运用正方形的判定定理解决有关的证明和计算。
课时作业设计：★基础题 ★★中档题 ★★★提高题（选做） 题目 1 ：★（改编引用题）如图 1，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点O，下列条 件中，能判定四边形 ABCD 是正方形的是( ) A．AC=BC=CD=DA B．AO=CO ，BO=DO，AC ⊥BD C．AO=BO=CO=DO，AC ⊥BD D．AB=BC，CD ⊥DA A D · O
(
C
)B 图 1 题目 2：★（原创题）如图 2，等腰直角△AOB，分别延长AO，BO，使 BO=OD，AO=OC， 求证：四边形ABCD 是正方形。 A O (
B
)图 2 题目 3 ：★★（改编题：鲁教版八年级下册第 30 页第 17 题改编）已知：如图 3，矩形 ABCD 各角的平分线分别相交于点 E，F，G ，H.求证：四边形 EFGH 是正方形。 D C (
.
H
E
·
·
G
●
F
) (
B
)A 图 3
题目 4 ：★★（改编题：鲁教版八年级下册第 28 页第 8 题改编）已知：如图 4，AD 是△ ABC 的角平分线，过点 D 分别作 AC 和 AB 的平行线，交 AB 于点 E，交 AC 于点 F。 （1）试判定四边形 AEDF 的形状，并证明你的结论； （2）△ABC 满足什么条件时，四边形 AEDF 是正方形。 A ● E ● · F (
B
)图 4 D C 题目 5 ：★★★（原创题） 课本再现：如图 5，正方形 ABCD 的对角线交于点 O，正方形 A'B'C'D'与正方形 ABCD 的边长相等，正方形 A'B'C'D'绕点O 旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积与正方形 ABCD 的面积关系？并证明。 A D O A' (
C
) (
C'
) (
B
)图 5 B' 类比探究：如图 6，四边形ABCD 中，DC=AD，∠ABC=∠ADC=90°, 连接 BD，若 BD=6， 则四边形ABCD 的面积为多少？ A P D M (
N
) (
B
)B C (
图
7
)图 6 拓展提升：如图 7，四边形 PMBN 中，∠MBN 与∠MPN 互补，PM=PN，连接 PB，PB=6， ∠MBN=120°, 则四边形 PMBN 的面积是多少？
课时作业设计
第 七 课 时 课题：特殊平行四边形的单元复习
课时学习目标： 1.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义、性质和判定，以及矩形、菱 形、正方形彼此之间的关系； 2.能利用特殊平行四边形的性质和判定进行推理和计算； 3.明确特殊平行四边形的知识体系，提高空间想象能力，掌握基本的推理能力。
(
A
·
·
D
) (
D
C
) (
●
) (
O
)课时作业设计：★基础题 ★★中档题 ★★★提高题（选做） 题目 1 ：★（改编题：鲁教版八年级下册第 3 页例 1 改编）如图 1，菱形 ABCD 中， AB=2，∠BAD=120°, 你可以求出什么？用到了菱形的什么性质？ ● O
(
B
C
)A B (
图
1
)图 2 题目 2 ：★（改编题：鲁教版八年级下册第 14 页例 1 改编）如图 2，矩形 ABCD 的对角 线 AC、BD 相交于点 O，若∠ADO=2∠CDO，对角线 AC=2，则你能求出什么？用到了矩形的 什么性质？ 题目 3：★★（原创题）同学们还能回忆起平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质吗？ 如图 4 ，完成下面的表格。 图 4
题目 4 ：★★（改编引用题）如图 5，以△ABC 的边 AB，AC 为边的等边三角形 ABD 和 等边三角形 ACE，四边形ADFE 是平行四边形，当∠BAC 为多少 度时，平行四边形 ADFE 不存在。 变式 1 ：当△ABC 满足什么条件时，平行四边形ADFE 是菱形？为什么？ 变式 2 ：当△ABC 满足什么条件时，平行四边形ADFE 是矩形？为什么？ 变式 3 ：当△ABC 满足什么条件时，平行四边形ADFE 是正方形？为什么？ F
(
●
D
·
A
·
E
●
)
B C 图 5 题目 5 ：★★（原创题）请同学们能梳理出平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定方 法吗？如图 6 ，完成下面的表格 图 6 题目 6：★★★（改编题： 鲁教版八年级下册第 18 页知识技能 2）如图 7，在△ABC 中， 点 O 是AC 边上的一个动点（点O 不与A 、C 两点重合），过点 O 作直线 MN∥BC，直线 MN 与∠BCA 的平分线相交于点 E，与∠DCA (△ABC 的外角）的平分线相交于点 F，OE 与 OF 相等吗？为什么？
A (
M
) (
D
)E O /F N B C
图7
变式 1 ：当点 O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论； 变式 2 ：在追问 1 的条件下，当∠ACB 等于多少时，四边形 AECF 为正方形？并证明你的结 论； 变式 3 ：在上面追问 2 的条件下，连接 BE，如图 8，若∠EBC=30°, EF=2，求 BE 的长度。
B A M (
F
)NEO
D
图 8 C
跨学科综合性（实践类）作业
综合 实践 课题：神奇的折纸，趣折生菱形
学习目标： 1.通过折纸，进一步理解菱形判定定理和性质，发展直观想象和数学抽象能力； 2.在折纸过程中，经历构造轴对称图形，让学生感受对称之美，在证明的过程中， 让学生体会逻辑之美，培养学生的动手操作和团队协作的能力。
综合实践作业设计： 问题起源：（鲁教版教材八年级下册第6 页的做一做） 问题 1：请同学们先回顾下菱形的性质有哪些？菱形的判定方法有哪些？ 问题 2：课本第 6 页给我们提供了一种矩形折叠菱形的方法，同学们还有其它的折法吗？以小 组为单位，形成自己的折叠方案，并请说明理由。 预设方案 1：如图 1，先折矩形对角线 AC，再折AC 的垂线，与两边交与 B，D 两点，连结 AB，
CD，则四边形ABCD 为菱形。 A B (
●
)E F
H 图 3 D C
A D C B 图 1 A H D
E
G
B F C 图 2
G 预设方案 2：如图 2，折叠矩形可得四个相同矩形，四个小矩形的边长相等，进而可以得它们的 对角线也相等(EF=FG=GH=HE)，进而由四边相等得 EFGH 为菱形。
预设方案 3：如图 3，将矩形 ABCD 沿对角线 BD 对折，交AD 于点 F, DG 交 BC 于点H, 四边 形 BFDH 是菱形。 预设方案4：如图 4，先折出矩形 ABCD 的对称中心 O, 再经过点 O 任意折出两条互相垂直的直
(
·
H
) (
C
) (
B
F
图
5
)线 EG ，FH，四边形 EFGH 是菱形。 A' (
D
) (
A
E
B
'
)A E H D (
●
O
)
(
B
F
)G C 图 4
预设方案 5：如图 5，沿 EF 折叠矩形,点 B 的对应点 B'落在AD 边上，连接 E，B，F，B'，四边 形 EBFB'为菱形。 问题 3：观察前面的几种折法，有没有发现一定的规律？ 问题 4：弱化条件，将矩形改为平行四边形，你还能折出菱形吗？ 问题 5：继续弱化条件，如何用三角形纸片折出菱形？ （1）如图 6，三角形是等腰三角形时，如何折出菱形？ （2）如图 7，三角形是一般三角形时，如何折出菱形？
A B A C 图 7
B C
图 6
问题 6：（中考试题链接）将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤, 然后剪出图⑤ 中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是( ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．矩形 D．菱形
评价标准： “神奇的折纸，趣折生菱形” 的个人学习自评表 评价内容4 分（高）3 分（较高）2 分（一般）1 分（低）参加这个活动的兴趣程度动手折纸的能力数学抽象、逻辑推理的能力与同学的交流合作能力感受数学美的能力
“神奇的折纸，趣折生菱形” 的小组互评表 评价内容优良一般差小组成员的分工协作能力小组折纸方案的科学性小组的解决问题的能力
课时作业设计表
第 一 课 时 课题 菱形的性质
课时目标 序号 内容 水平
1 通过平行四边形与菱形的对比，认识菱 形； 理解
2 观察、猜想、证明菱形的性质， 能正确运 用菱形的性质定理进行简单计算和证明， 并会用两种方法计算菱形面积； 应用
3 经历将菱形的问题转化为特殊三角形来 解决的过程，引导学生体会数学的转化思 想。 迁移
题目属性（使用时 间为课上或课后； 难度为简单、中等 或较难；来源分为 原创、改编或引 用；可加行） 题号 对应课 时目标 使用 时间 题型 难度 预设 时长 来源
1 1、2 课上 解答 简单 3 分钟 改编
2 1、2 课上 解答 简单 2 分钟 原创
3 1、3 课上 解答 中等 3 分钟 改编引用
4 1、2、 3 课上 解答 中等 5 分钟 改编引用
5 1、2、 3 课上 解答 中等 5 分钟 改编引用
参考答案 及 评价标准 （与题目题号对 应） 题目 1：该题为开放题，答案不唯一，例如可求出 BD=2，AC= 23 ，AB=2, 菱形面积为2 · , 菱形周长为 8， ∠BAC=30°等。 【评价标准】 体会菱形的性质，并能运用性质解决简单的问题，只要学生言 之有理就可以。 题目 2：该题考查菱形面积的求法， 方法一可先求 AC=4，BD=4J3 ，进而利 用 ·AC·BD 得出答案8 。方法二先求 BC=4，AE=2 ,进而利用底×高 求出面积83 。 【评价标准】 体会理解菱形面积的两种求法，并能运用两种方法解决问题， 学生思路和解题步骤需规范要求。 题目 3:该题考查菱形的性质，等腰三角形等知识点，第一问先求出∠BAC=∠ BCA=65°, 再求出∠AEC=∠ACE=57.5°,从而得到∠BCE=7.5°。第二问 把∠D 的度数换成字母，提高了题目的难度，但解题过程类似，最后得到∠ BCE=45· - α。 【评价标准】 能利用菱形的性质和等腰三角形的相关知识进行分析，思路清 晰即可。用字母表示数是初中代数的难点之一，要求学生掌握。 题目 4： 由∠B=60°可得∠ACD=60°, 所以AB=AC，又因为 BE=CF，从而 得到△ABE≌△ACF，所以 AE=AF，∠BAE=∠CAF，∠EAF=∠BAC=60°,所 以△AEF 是等边三角形。 【评价标准】 能运用菱形的性质及三角形全等，解决实际问题，具备一定的 推理能力。
题目 5：求 PD+PE 最小可转化为P 到AB 的垂线段最短，易得 PD+PE 的最小 值为 ·3 。 变式一：本题考查将军饮马问题，易得 PB+PE 最小值为J3 。 变式二：首先找点 F 关于AC 的对称点 F '，连接 EF '，根据两点之间线段最 短，本题求 EF '的长度即可。易证四边形 EFCD 是平行四边形，从而 EF'=DC=3. 【评价标准】 综合运用菱形的性质和最值问题相关知识来解决问题，使学生 养成思维严谨的品质，通过运用数学知识解决实际问题，帮助学生逐步积累 数学活动经验。
设计说明：★基础题 ★★中档题 ★★★提高题（选做） 整体设计亮点说明：本课时作业设计基于“双减”，重在提升学生的能力，发展学生的核心素养。 本设计注重对学生基础知识与基本能力的考查，通过对问题的解决，总结求解菱形问题常用的数学思 想方法以及几何图形研究的一般思路和方法，为后续学习特殊平行四边形做基础，加深学生对数学学 科思想方法和关键能力的培养。题目 1 和题目 2 注重基础知识和基本方法的夯实，题目 3 和题目 4 进 一步发展学生合情推理能力和演绎推理能力，渗透“转化”的数学思想。 题目 1 ：*（改编题：鲁教版八年级下册第 3 页例 1 改编）如图 1，菱形 ABCD 中，BO=1 ， ∠ BAD=60°,你可以得出哪些结论？
【设计说明】这个题目的设置基于两方面思考，一是基于课本原来的例题来进行改编，如图 1， 对课本中的例题进行了重新设置， 目的是通过具体的问题情境来帮助学生梳理菱形基本性质？二是 具有一定的开放性，对问题的结论给了更大的自由度，给了全体学生参与的机会，可以唤醒学生从多 角度来认识菱形，加深学生对基本图形的理解，为后面基础知识的梳理做好铺垫。
题目 2：*（原创题）如图 2，在菱形ABCD 中，∠BAD=120°, BD=4 3 ，AE⊥BC，求菱形 ABCD 的
面积（用两种方法解）。
【设计说明】这个题目的设置主要是让学生对菱形两种面积解法的熟练掌握，旨在对基本方法的 训练，为以后利用等积式解决问题做好铺垫。 题目 3 ：**（改编引用题） 如图 3，在菱形 ABCD 中， ∠D=50°, 点 E 在 AB 上.若 AE=AC.
（1）求∠BCE 的度数； （2）若∠D=α°,用含 α 的字母表达∠BCE 的度数。
【设计说明】在教学中，让学生经历两个问题的头脑风暴和认知冲突后，学生的几何结论的证明 思路和证明方法经历了一个探索、分析的过程。本题思维逆转使学生对菱形的性质有更深入的理解和 掌握，学会把菱形的问题转化为特殊的三角形来解决，体会数学的转化思想。 题目 4：**（改编引用题）如图 4，在菱形ABCD 中，AC 为对角线，∠B=60°,点 E，F 分别是
BC，CD 上的点，且 BE=CF。 求证：△AEF 是等边三角形
【设计说明】学生在此之前已经探索并证明了菱形的性质定理，因此学生已具备一定的探究经 验。在此基础上把菱形和前面讲过的“手拉手”数学模型相联系，从而促进学生从感性认识向理性思 维发展，从形象思维向抽象思维转型。 题目 5 ：***（改编引用题）如图 5，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°, AB=2，P 是AC 边上一动 点，连接 DP，PE⊥AB 交AB 于点 E.求 PD+PE 的最小值。
变式 1 ：如图 6，在菱形 ABCD 中， ∠BAD ＝60°, AB=2，E 是 AB 边的中点，P 是 AC 边上一动点， 求 PB＋PE 的最小值； 变式 2 ：如图 7，在菱形 ABCD 中，∠BAD ＝60°, AB=3，DE=1，DF=2，P 是 AC 边上一动点，求 PE +PF 的最小值。 【设计说明】从简单的最值问题开始展开联想，由易到难，循序渐进，通过不同梯度的问题设计， 抽丝拨茧，一步一步引导学生分析问题、找出解决问题不同方法。以“求最值”为驱动，鼓励学生发 散思维，逐层推进解决问题，激发学生的探究热情，从而达到有效教学。
课时作业设计表
第 二 课 时 课题 菱形的判定
课时目标 序号 内容 水平
1 经历菱形判定的观察，猜想，证明过程，能够应 用定理解决问题。 理解
2 提高自主探究的能力和与他人合作交流的意 识，发展合情推理能力和演绎推理能力。 应用
3 通过运用数学知识解决实际问题，渗透“转化” 的数学思想。 迁移
题目属性（使用时 间为课上或课后； 难度为简单、中等 或较难；来源分为 原创、改编或引 用；可加行） 题号 对应课 时目标 使用 时间 题型 难度 预设 时长 来源
1 1、2 课下 解答 简单 3 分钟 改编
2 1、3 课下 解答 简单 3 分钟 原创
3 1、2 课下 填空 中等 2 分钟 改编引用
4 1、2、 3 课下 解答 中等 7 分钟 改编引用
5 1、2、 3 课下 填空 中等 5 分钟 改编引用
参考答案 及 评价标准 （与题目题号对 应） 题目 1：该题为开放题，答案不唯一，例如AO⊥BD，BO= ，AD=2 等。 【评价标准】 理解菱形的判定定理，并能运用判定定理解决简单的问题，只 要学生言之有理就可以。 题目 2： 【评价标准】 梳理菱形和平行四边形的性质和判定定理，并能并能从多维度 来刻画平行四边形和菱形。 题目 3: A（4，1），C（8，0）
【评价标准】 理清问题思路，利用菱形的对称性等方法解决问题，学生言之 有理即可。 题目 4：（1）∵AB//CD ，CE//AD. ∴四边形AECD 为平行四边形 ∵AC 平分∠BAD ,AE//CD ∴∠DAC=∠CDA=∠DCA ∴AD=DC ∴平行四边形AECD 是菱形 （2）若 E 为AB 中点 ∴EC=AE=EB ∴△ACB 是直角三角形 【评价标准】 能充分运用菱形的判定方法，解决实际问题，具备一定的推理 能力，学生逻辑推理清晰即可。 题目 5： （1）先证△AOF≌△COE，即可得AF=EC （2）当旋转角是 90°, 即∠AOF=90°时是菱形 （3）45 ° 【评价标准】 综合运用平行四边形和菱形的性质和判定来解决问题，掌握基 本的推理能力，养成严谨的思维品质。
设计说明：★基础题 ★★中档题 ★★★提高题（选做） 整体设计亮点说明：本课时作业设计有层次梯度性，通过层层递进习题，使不同层次学生都能 得到提高，人人都能获得必须的数学，不同的人在数学上得到不同的发展，基础巩固类适用于全体 学生。能力提升类适用于中等偏上学生。提高题又兼顾了学优生吃不饱的问题。使得班内不同层次 的学生都能学有所获。 题目 1 ：★（改编题：鲁教版八年级下册第 6 页例 2 改编）如图 1，在平行四边形ABCD 中， 对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AO=1，AB=2，添加一个条件 ，使得平行四边形 ABCD 变成菱形。
【设计说明】这个题目的设置基于两方面思考，一是基于课本原来的例题来进行改编，如图 1， 对课本中的例题进行了重新设置， 目的是通过具体的问题情境来帮助学生梳理菱形基本判定定理。 二是具有一定的开放性，对问题的结论给了更大的自由度，给了全体学生参与的机会，可以唤醒学 生从多角度来认识菱形，加深学生对基本图形的理解，为后面基础知识的梳理做好铺垫。 题目 2 ：★（原创题）同学们，我们学习了菱形的性质和判定后，大家比较一下平行四边形和 菱形的性质和判定有何共同点和不同点？如图 2 ，完成下面的表格。 图 2 【设计说明】在教学中，让学生经历了应用不同判定定理进行解题后，唤起了学生的思维起点， 这时再对前一章平行四边形和这一节菱形的性质和判定进行总结，学生理解了知识的内在联系,进 而使学生构建了知识体系。及时总结经验是帮助学生形成解题思路的好办法，教师借助这一环节既 帮助学生梳理了思路，同时对于学习还有困难的学生是一个好的学习机会。 题目 3 ：★★（改编引用题）如图 3，在平面直角坐标系中，菱形 OACB 的顶点 O 在原点，点 B 的 坐标为(4,-1)，则点 A 的坐标是 ，点 C 的坐标是 。 【设计说明】通过此题让学生对菱形的相关性质进行灵活应用，同时学生对于具体问题通过自 主思考，独立完成，再小组交流，教师点拨后基本能形成比较好的解题思路，同时给学生渗透“转 化思想”。 题目 4 ：★★（改编引用题）如图 4，四边形ABCD 中，AB∥CD，AC 平分∠BAD ，CE∥AD 交AB 于 E .
(1)求证：四边形AECD 是菱形； (2)若点 E 是AB 的中点，试判断△ABC 的形状，并说明理由。 【设计说明】本题让学生更加深入的掌握菱形的性质和判定，要想解决此题，必须灵活运用菱 形的判定定理，学生完成后帮助学生完成解题思路，借助这一题目继续加深学生对定理的理解，同 时对于学习困难的学生也是一个再学习的机会。 题目 5：★★★（改编引用题）如图 5，平行四边形ABCD 中，AB⊥AC，AB ＝1，BC ＝ 5 ．对 角线AC，BD 相交于点 O，将直线AC 绕点 O 顺时针旋转，分别交 BC，AD 于点 E，F. (1)试说明在旋转过程中，线段AF 与 EC 总保持相等； (2)当旋转角为多少度时，四边形 ABEF 是平行四边形； (3)在旋转过程中，四边形 BEDF 可能是菱形吗 如果不能，请说明理由；如果能，画出图形并 写出此时AC 绕点 O 顺时针旋转的度数。 【设计说明】学生在此之前已经探索并证明了平行四边形的性质定理与判定定理，因此学生已 经具备一定的研究经验。本题考查学生用所学知识解决实际问题，针对不同的条件选择不同的方法， 提高学生综合运用各方法的能力。
课时作业设计表
第 三 课 时 课题 矩形的性质
课时目标 序号 内容 水平
1 掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边 形的区别与联系。 理解
2 能运用矩形的性质定理进行简单的计算和证 明。 应用
3 经历探究矩形概念和性质的过程，体验数学研 究和发现的过程，进一步发展推理论证的能力。 迁移
题目属性（使用时 间为课上或课后； 难度为简单、中等 或较难；来源分为 原创、改编或引 用；可加行） 题号 对应课 时目标 使用 时间 题型 难度 预设 时长 来源
1 1、2 课下 解答 简单 3 分钟 改编
2 1、2 课下 解答 简单 3 分钟 改编
3 1、3 课下 填空 中等 5 分钟 原创
4 1、2、 3 课下 解答 中等 4 分钟 改编
5 1、2、 3 课下 解答 较难 10 分钟 改编
参考答案 及 评价标准 （与题目题号对 应） 题目 1： 答案解析：如图，由矩形的两条对角线相等且 互相平分，夹角为 60 ° , 不难得出 BD=10， ∠ABD=30 ° , 再有含 30°的直角三角形的边 角关系，求出矩形各边长。 矩形的各边长分别为 5 、5 3 、5 、5 3 。 (
D
C
) ● O
A B
【评价标准】 体会矩形的性质：两条对角线相等且互相平分，以及熟练掌握 含 30°的直角三角形的边角关系解决问题。
题目 2： 答案解析：如图，由∠AOB：∠ACD=4：1 得，设∠AOB=4x，∠ACD=x， 由矩形的两条对角线相等且互相平分，得到 ∠BDC=x，AC=4，在△ODC 中，由三角形 内角和，可求得 x=30°, 再有含 30 ° 的直角 三角形的边角关系，求出AD=2，CD= 2 3 ，故矩形的面积为4 3 。 (
D
C
) ● O
A B
【评价标准】 体会矩形的性质，及出现连比时，掌握一般的设法，并能运用 相关知识解决问题。 题目 3: 答案解析：此题解法不唯一。
解法一：如图，在 Rt△BCD 中，由勾股定理可得 BD=10，即 OD=5 ，再由
△DOE △DCB，可求 DE= ，故 CE= 。 解法二：连接 BE，可知 OE 垂直平分 BD， 所以 BE=DE ，设 CE=x,则 BE=DE=8-x ，在 Rt △BCE 中，由勾股定理可求x。 D E O
C
A B 【评价标准】 体会矩形的性质以及垂直平分线的性质，并能灵活相似或方程 思想解决问题。 题目 4: 答案解析：由AC//DE，BD//CE 可知，四边形 OCED 是平行四边形，再由矩 形两条对角线相等且互相平分，可得 OD=OC=3，故可得平行四边形 OCED 是菱形，所以四边形 OCED 的周长为 12。 【评价标准】 体会矩形的性质以及菱形的判定，灵活运用相关知识解决问 题，发展推理论证的能力。 题目 5: 答案解析： 变式 1 ：由折叠可知∠ACB=∠ACE，再有 AD//BC 可得 AE=CE，设 DE=x， 则 CE=AE=8-x，在 Rt△CDE 中，由勾股定理可求x= 。 变式 2 ：设AF=x ，由折叠可得，B'F=BF=6-x，CB'=CB=8，再由△FAB'∽△ B'DC，可求 x= 变式 3 ：设 GH= x，由折叠，A'H=AH =4.5-x，△GA'H ∽△GAB， 求得 x= 。 【评价标准】 体会矩形的性质以及轴对称的性质，并能灵活相似或方程思想 解决问题，发展推理论证的能力。
设计说明：★基础题 ★★中档题 ★★★提高题（选做） 整体设计亮点说明：本课时作业设计突出了主线设计，遵守两条主线来进行设计。 第一个是知识主线，对于矩形的性质从边、角、对角线、对称性四个维度来进行展开，每个题 目的设计均是围绕上述四个维度来进行考虑。第二个是题目设计主线，这节课题目的设计不是单一 矩形的性质考查，涉及了若干知识点，如题目 1 、题目 2 涵盖 30°的直角三角形的边角关系知识， 题目 3 涵盖垂直平分线的性质知识，题目 3 、题目 5 涵盖相似的性质以及方程的数学思想、轴对称 的性质等相关知识点，题目 4 涵盖菱形的判定相关知识。 题目 1 ：★（改编题：鲁教版八年级下册第 14 页知识技能 1）一个矩形的两条对角线之和为 20 ，且矩形的两条对角线相交所成的夹角为 60°, 求矩形的各边长。
题目 2：★（改编题：鲁教版八年级下册第 14 页例 1 改编）如图 1，矩形ABCD 的对角线AC、 BD 相交于点 O，若∠AOB：∠ACD=4：1 ，OA=2，求矩形的面积。
(
D
C
) ● O
A B 图 1
【设计说明】这两个题目基于课本原来的题目进行改编，属于基础题，设计目的从不同角度， 考查矩形的性质，不断强化学生矩形性质的运用，将习题改编角度为 60°, 引导学生对基本图形的 认识，如：矩形中常出现的直角三角形、等腰三角形，当遇到 30 °、60 ° 、120 °时，常于 30 °的 直角三角形的边角关系联系一起，培养学生抽取基本图形的意识。 题目 3 ：★★（原创题）如图 2，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 作 OE⊥
BD ，交 CD 于点 E，若 AB=8 ，BC=6，则 CE= 。 【设计说明】本题是原创题，设计的出发点为考虑到矩形中能 出现“直角 ”，矩形两条对角线相等且互相平分能出现“ 中点”，条 件中过中点作垂直，基于两个方面的考查，一是垂直平分线的应用， 轴对称的题目与勾股定理建立联系，可运用方程思想求解；二是相 似应用，如此改编，解题的思路不唯一，激发学生探究的积极性。 在教学中，引导学生学会分析问题，如遇到中点、垂直想到垂直平 分线的性质，结合矩形中出现直角，不难与相似建立联系，再者出 D E C O
A B 图 2
现垂直平分线想到配对称，求线段长度时，常于勾股定理联系，培养学生分析问题的能力，掌握做 题的基本方法，培养学生知识迁移运用的能力。 题目 4 ：★★（改编题：鲁教版八年级下册第 15 页知识技能 2 改编）如图 3，矩形 ABCD 的对 角线AC，BD 相交于点 O，AC//DE，BD//CE，若 AC=6，试求四边形 OCED 的周长。
E
D ● O
C
A B 图 3
【设计说明】本题是课本习题改编，课本原题主要考查直角三角形斜边中线的性质，将此题条 件“直角三角形 ”改编为“矩形”，基于矩形背景下，求四边形 OCED 的周长，需要学生先去判断 四边形 OCED 的性状，既考察了矩形的性质，又考查了平行四边形、菱形的判定方法，综合提升学
生解决问题的能力，在探究中发展学生的推理论证能力。 题目 5：★★★（改编题：鲁教版八年级下册第 20 页问题解决 3）如图 4，有一矩形纸片ABCD， AB=6 cm，BC=8 cm。试完成以下变式： 变式 1 ：将矩形纸片 ABCD 沿 AC 折叠，点 B 的对应点为 B'，CB'交 AD 于点 E，求 DE 的长。 B'
A E D
B 图 4 C
变式 2 ：如图 5 ，点 F 是 AB 边上的一点，将矩形纸片 ABCD 沿 FC 折叠，使点 B 落在 AD 上点 B'
处，求 AF 的长。 A F B B' D
图 5 C
变式 3 ：如图 6 ，点 H 是AD 边上的一点，将矩形纸片 ABCD 沿 BH 折叠，使点 A 落在点 A'处，连
接 BA'并延长交 AD 于点 G，若 DG=3.5 ，求 GH 的长。 A B H G D (
A'
)
图 6 C
【设计说明】题目 5 的设计来源于课本一道练习题，题目设计基于原题折叠矩形纸片的背景， 通过改变折叠方式，使对应点的位置发生改变，分别落在矩形“ 内部、外部、边上 ”，让学生在解决 问题时，体会折叠问题的求解思路，如：相似、轴对称、勾股定理、方程思想等等，通过这样的变 式练习，激发学生的思考及探究欲望，引导学生通过去探究、动手操作、推理、归纳，得出折叠问 题的解题思路，让学生掌握了解决问题的基本方法，数学思维在学习中得到了发展。
课时作业设计表
第 四 课 时 课题 矩形的判定
课时目标 序号 内容 水平
1 理解并掌握矩形的判定方法。 理解
2 能利用矩形的定义、判定等知识，解决简单的证明 题和计算题。 应用
3 经历探索矩形判定的过程，发展学生的推理能力， 进一步培养学生的分析能力。 迁移
题目属性（使用时间 为课上或课后；难度 为简单、中等或较 难；来源分为原创、 改编或引用；可加 行） 题号 对应课 时目标 使用 时间 题型 难度 预设 时长 来源
1 1、2 课下 填空 简单 3 分钟 原创
2 1、2 课下 解答 简单 3 分钟 改编
3 1、3 课下 解答 中等 2 分钟 改编
4 1、2、3 课下 解答 中等 8 分钟 改编
5 1、2、3 课下 解答 较难 10 分钟 改编引用
参考答案 及 评价标准 （与题目题号对应） 题目 1： 答案解析：该题为开放题，答案不唯一，例如可添加 AC=BD 或∠ABC=90° 或 OA=OB 等等。 【评价标准】 体会矩形的判定方法，考查学生矩形判定方法的灵活运用， 由添加的条件能指明推理依据即可。 题目 2： 答案解析：由 OA=OC，OB=OD 可得四边形 ABCD 是平行四边形，又因为 ∠OAD=∠ODA ，可得 OA= OD ，即AC=BD ， 得证。 【评价标准】 体会矩形和平行四边形的判定方法，发展学生合情推理能 力。 题目 3: 答案解析：当AF= BC 时，四边形 ADFE 为矩形。理由如下：由题意可 知，DF，EF，DE 均是△ABC 的中位线，所以 DF//AC，EF//AB ，DE= BC，可得四边形ADFE 为平行四边形，又因为BC，所以 AF=DE， 可证平行四边形 ADFE 为矩形。 【评价标准】 能熟练掌握矩形判定方法，学会运用逆向思维找到线段AF 与 BC 间的数量关系，并利用添加的条件解决实际问题，具备一定的推理能 力。 题目 4: 答案解析：由平行四边形ABCD，可得AD//CF，CD=AB，因为点 E 为AB 的中点，所以AE=BE ，可证△ADE △BFE ，即AD 与 BF 平行且相等，所 以四边形AFBD 是平行四边形，又因为 CD=AB ，CD=DF，所以AB=DF， 可证四边形 AFBD 是矩形。
【评价标准】 能熟练掌握矩形及平行四边形的判定方法，学生有中点遇到 平行时构造全等图形的意识，具备基本的解决问题的方法。 题目 5: 答案解析：（1）由题意可知，△ABC 为直角三角形，因为 PE⊥AC，PF⊥ AB，可得∠A=∠AEP=∠AFP=90°, 得证。 （2）连接AP ， 由SΔABC = SΔAPC + SΔAPB 可得，3PE+4PF=36。 （3）由矩形对角线的性质可得，EF=AP ，当 AP⊥BC 时，AP 最小，可求 得 EF 长度的最小值是 。 【评价标准】 熟练掌握矩形的判定方法，并学会知识迁移，体会转化的数 学思想，提升学生的思维品质。
(
D
C
)设计说明：★基础题 ★★中档题 ★★★提高题（选做） 整体设计亮点说明：本课时作业设计突出了主线设计，遵守两条主线来进行设计。 第一个是知识主线，题目的设计既有原创题目也有课本题目改变， 围绕矩形的判定方法，主要 考查学生对矩形判定方法的灵活运用能力。第二个是题目设计主线，这节课的题目设计一个开放题， 题目 1，考查学生矩形判定方法掌握的情况，其余题目主要是基于课本题目的改编，通过改编题目中 的条件或结论，引导学生总结并掌握基本的解题方法和技巧，发展学生合情推理能力。 题目 1 ：★（原创题）如图 1，在平行四边形ABCD 中，在不添加任何辅助线的情况下，请添 (
A
)加一个条件 ，使平行四边形ABCD 是矩形。 D (
●
O
) (
B
)C 图 1 【设计说明】本题是一个开放题，添加的条件很多，学生都能去参与，本题的设计主要基于两个 目的，一是考查学生对矩形的判定方法掌握的情况，看学生是否能灵活运用矩形的判定方法；二是 激发学生积极参与的热情，发展学生的数学思维。 题目 2 ：★（改编题：鲁教版八年级下册第 16 页例 2 改编）如图 2，在四边形ABCD 中，对角 线 AC、BD 相交于点 O，若 OA=OC，OB=OD ，且∠OAD=∠ODA 。求证：四边形 ABCD 是矩形。 ● O
A B 图 2 【设计说明】本题是课本例题的改编，例题中，已知四边形ABCD 是平行四边形，由等边三角 形边的关系，得到平行四边形ABCD 的对角线相等，根据“对角相等的平行四边形是矩形 ”可证四 边形ABCD 是矩形，进而求得面积。将例题条件改编为 OA=OC，OB=OD ，且∠OAD=∠ODA，学 生需要先根据条件“OA=OC，OB=OD ”证出四边形ABCD 是平行四边形，再由条件“ ∠OAD=∠
ODA”证得平行四边形ABCD 的对角线相等，最后说明平行四边形ABCD 是矩形。本题的改编基 于例题考查的知识点，同时考查学生平行四边的判定方法掌握情况，锻炼学生的思维。 题目 3 ：★★（改编题：鲁教版八年级下册第 17 页知识技能 1 改编）如图 3，线段 DE 和 AF 分别为△ABC 的中位线和中线。当线段AF 与 BC 满足怎样的数量关系时，四边形ADFE 为矩形？ 请说明理由。
B A C
● D · · E
F 图 3
【设计说明】本题是课本习题的改编，课本习题考查三角形中线、中点、全等、平行四边形的 判定、矩形的判定等知识点，基于习题中考查的知识点，将条件进行改编，所证矩形在三角形内 部，考查知识点包含中位线、中线、全等、平行四边形的判定、矩形的判定等知识点，让学生学会 分析问题，灵活运用相关知识点解决问题，强化学生证明矩形的判定方法，培养学生分析问题，解 决问题的能力，加强学生知识迁移的意识，锻炼学生的数学思维。 题目 4 ：★★（改编题：鲁教版八年级下册第 20 页知识技能 2 改编）如图 4 ，在平行四边形 ABCD 中，点 E 为 AB 的中点，连接 DE 并延长交 CB 的延长线于点 F，连接 BF，AF，若 CD=DF，求证：四边形AFBD 是矩形。
D (
B
)A E (
图
4
)F C
【设计说明】本题是课本习题的改编，课本习题考查等腰三角形“三线合一”的性质及矩形的 判定方法等知识点，基于习题中考查的知识点，将条件进行改编，等腰三角形的条件不变，改变 “ 中点 ”的考查，改为“点 E 为平行四边形ABCD 边 AB 的中点”，学生需要通过平行、中点证明 全等，进而证出四边形AFBD 是平行四边形，再由矩形对角线的判定方法证明即可。虽然都是对 “ 中点 ”的考查，但分析难度不同，引导学生学会“中点”的用法，掌握常用的解题基本方法，归 纳解题的思路，提升学生的思维品质。
题目 5：★★★（改编引用题: 鲁教版八年级下册第 21 页联系拓广 4）如图 5，在△ABC 中， AC=9，AB=12 ，BC=15 ，P 为 BC 边上一动点，PE⊥AC 于点 E，PF⊥AB 于点 F。 （1）求证：四边形AEPF 是矩形； （2）求 3PE+4PF 的值； （3）在点 P 运动的过程中，EF 的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说
明理由。 C A ● E F ● (
B
)P 图 5
【设计说明】本题是课本习题的改编，课本的习题难度较大，解决课本习题的思路可以引导学 生从特殊位置入手，猜测“PE+PF”的值，然后再给出一般的求解思路，通过等面积法可求，渗透从 特殊到一般的数学思想，第一问，由条件“AC=9，AB=12，BC=15 ”可证∠A 为直角，再由“有三个 角是直角的三角形是矩形 ”可证。第二问解决的思路来源于本习题“等面积的解法 ”求解，培养学 生学以致用的能力。第三问为动点问题，需要学生运用矩形两条对角线相等的性质，将线段 EF 转化 为线段 AP ，再由“垂线段最短 ”解决即可，主要考查矩形的性质及转化的数学思想，通过改编，渗 透“从特殊到一般 ”、“转化 ”的数学思想。
课时作业设计表
第 五 课 时 课题 正方形的性质
课时目标 序号 内容 水平
1 掌握正方形的定义、性质，理解正方形与平行四 边形、菱形、矩形的关系。 理解
2 能利用正方形的性质定理进行推理和计算。 应用
3 经历探索正方形的概念和性质的过程，发展学 生合情推理的意识，掌握说理的基本方法。 迁移
题目属性（使用时 间为课上或课后； 难度为简单、中等 或较难；来源分为 原创、改编或引 用；可加行） 题号 对应课 时目标 使用 时间 题型 难度 预设 时长 来源
1 1、2 课下 填空 简单 2 分钟 改编引用
2 1、2 课下 填空 简单 3 分钟 原创
3 1、3 课下 填空 中等 5 分钟 改编
4 1、2、 3 课下 填空 中等 8 分钟 改编引用
5 1、2、 3 课下 解答 较难 10 分钟 改编引用
参考答案 及 评价标准 （与题目题号对 应） 题目 1： 答案解析：由正方形、等边三角形的边角的性质，可分析出△ABE 是 等腰三角形， ∠DAE=150°, ∠AEB=60 ° , 所以∠BED=45 °。 【评价标准】 体会正方形、等边三角形的性质，掌握等腰三角形中求
角的方法，熟练准确计算。 题目 2： 答案解析： 由正方形的性质可得，△ ABE 为等腰直角三角形，由于 OD=2， 根据等腰直角三角形边角关系不难求 解。所以AB= 2 2 ，正方形 ABCD 的周 长是8 2 ，面积是 8。 (
F
)y B C A D O E x
【评价标准】 体会正方形的性质，并能理解正方形对角线相连后，产 生四个全等的等腰直角三角形，考查学生对基本图形的理解，并能运 用相关知识解决简单的问题。 题目 3: 答案解析： 由正方形、等边三角形的性质，易证△ABE △ADF，得 BE=DF，即 CE=CF，所以△CEF 为等腰直角三角形，可求图中阴影部 分的面积为 1。 【评价标准】 体会正方形、等边三角形的性质，并能从对称性观察分 析图形，得到全等图形，运用等腰直角三角形的性质解决问题，考查 学生对图形对称性、基本图形的理解。 题目 4: 答案解析： 求点的坐标，向坐标轴作垂线，转化为求线段长度， 由正
方形的性质，易证△ADO≌△OEC≌△BFA ，由点A 的坐标是(-3，1) 可得，AD=1， DO=3 ，所以 C 点的坐标是(1，3)，B 点的坐标是(- 2，4)。 【评价标准】 体会正方形的性质，掌握平面直角坐标中出现直角、求 点的坐标的基本解题思路，能灵活掌握点的坐标与线段长度的间转 化，本题易错是点 B 的坐标，学生具备一定分析问题的能力。 题目 5: 答案解析： （1）由正方形的边角性质，易证△ADG △DCE，可得
AG 与 DE 垂直且相等。 （2）利用直角三角形斜边中线的性质证明， 延长 DE 交AB 的延长线于点 H，因为点 E 为 BC 的中点，易证△HBE △DCE，所以 AB=DC=BH，即点 B 是 AH 的中点，又因为 ∠BED=90°, 所以 BF= AH=AB。 A D
B F ● (
E
)
G C
H
【评价标准】 体会正方形的性质，掌握证明线段相等的方法，第二问 难度较大，考查中点及直角三角形斜边中线的用法，学生需具备中点 常用的辅助线作法，考查学生归纳总结的能力，锻炼学生的思维。
设计说明：★基础题 ★★中档题 ★★★提高题（选做） 整体设计亮点说明：本课时作业设计突出了主线设计，遵守两条主线来进行设计。 第一个是知识主线，主要围绕正方形的性质，以及特殊三角形，如等边三角形、等腰直角 三角形的性质的综合考查，以如题目 1 、题目 2 、题目 3 均是引导学生从知识主线考查。第二 是题目设计主线，围绕正方形与特殊三角形的联系，整合知识设计题目，引导学生学会抽取 基本图形，通过对课本例题的改编，考查学生知识迁移能力，如题目 5，锻炼学生的思维，提 高学生分析问题的能力。 题目 1 ：★（改编引用题）如图 1，在正方形 ABCD 的外侧作等边三角形△ABE，连接
DE，则∠BED = 。 A D
E
B C 图 1
【设计说明】本题是改编引用题目，属于基础题，综合考查正方形、等边三角形和等腰三 角形的性质，主要考查学生基本图形的认识及相关知识点灵活运用的情况，另一方面考查学 生基本的运算能力。
题目 2 ：★（原创题）如图 2，在正方形 ABCD 中，对角线 AC，BD ，相交于点 O ，若 OD=2 ，则 AB= ，正方形ABCD 的周长是 ，面积是 。 A D · O
B C 图 2 【设计说明】本题是原创题目，属于基础题，学生们都能参与课堂，设计本题基于两方面 的思考，一是考查学生具备正方形涵盖等腰直角三角形的意识，等腰直角三角形的边角关系 运用较多，为后期的学习做铺垫。二是设计求边、周长、面积，考查学生的基本运算能力。借 助本题，引导学生对正方形中基本图形的认识及应用，强化学生归纳总结的意识。 题目 3：★★（改编题：鲁教版八年级下册第 23 页知识技能 2）如图 3，四边形ABCD 是 正方形，△AEF 是等边三角形，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，若△AEF 的边长是 2，则图中
阴影部分的面积为 。 A D F
B E 图 3 C
【设计说明】本题为课本习题改编，习题中等边三角形边与正方形的边重合，从图形的对 称性观察，易得一对全等图形、等腰三角形等基本图形，将本题等边的三角形摆放改编，使等 边三角形的顶点与正方形的顶点重合，考查从图形变化的角度分析图形，涉及全等，等腰直 角三角形的综合考查， 引导学生从整体观察图形的意识，强化学生对基本图形的理解，发展 学生的数学思维。
题目 4 ：★★（改编引用题）如图 4，在正方形 ABCD 中，点 A 的坐标是（- 3,1），则 C
点的坐标是 ，B 点的坐标是 。 y B C A (
O
)x 图 4
【设计说明】本题是改编引用题，设计本题的意图有两个方面，一是基于后期学习时，常 涉及到直角在平面直角坐标系中的用法，故将正方形放置于平面直角坐标系考查；二是学生 对于点的坐标与线段长度的转化易出错，所以本题设计了求点的坐标，求点的坐标，向坐标 轴做垂线，转化为求线段长度，结合正方形的性质，易得全等图形，进而求解。通过本题的设 计，强化了学生对直角在平面直角坐标系的用法的理解，为后期函数知识学习做了铺垫。 题目 5：★★★（改编引用题：鲁教版八年级下册第 22 页例 1）如图 5，在正方形 ABCD 中，点 E 是 BC 边的中点，连接 DE，过点 A 作 AG⊥ED 交 DE 于点 F，交 CD 于点 G。
（1）问 AG 与 DE 之间有怎样的关系？请说明理由。 （2）连接 BF，求证：AB=FB。 A D
(
F
●
) G
B E C 图 5
【设计说明】本题是课本例题改编，例题中通过一对旋转全等图形，证明两条线段的数量 关系和位置关系，例题中涉及的知识点，在后期的学习中经常考查，故将例题改编，强化学生 对正方形中的旋转全等图形的理解，改编图形，将题中研究的一对全等图形放在正方形内部， 继续研究两条线段的关系，第一问通过类比例题的解题思路，不难证明这对旋转全等图形， 也是对学生知识迁移能力的考查。第二问难度较大，综合性比较强，对八年级的学生解决本 题需要考虑中点的用法，及直角三角形斜边中线的考查，本题还可以通过建立直角坐标系， 通过代数方法，利用两点间距离公式求线段长度证明，在九年级学习圆时，又可以运用四点 共圆、圆内接四边形的知识求解，本题的设计意图，一是培养学生用代数方法解决几何问题 的方法，二是为后续学习打下基础，激发了学生探究的学习欲望，提高了学生的思维品质。
其他解法展示： 解法一：因为点 E 为 BC 的中点，易证△ABE △DCE，所 以∠AEB=∠DEC，又因为∠ABE=∠DCE=90°, 易知点A、 B 、E、F 四点共圆，所以∠BAF=∠DEC，∠AEB=∠AFB， 可得∠BAF=∠AFB ，则 BF=AB。 。 (
G
) (
F
●
·
O
) A D B E C
解法二：以点 B 为坐标原点，分别以线段 BC、BA 所 在的直线为 x 轴、y 轴，建立如图所示的坐标系。 设正方形的边长为 2，则点 A(0，2)、E(1，0)、D(2， 2)、G(2 ，1)，可分别求出直线AG、DE 的解析式， 即确定点 F 的坐标，由两点间距离公式，不难求出 线段 BF，得证。 (
G
)y (
A
)D F ●
B E Cx
课时作业设计表
第 六 课 时 课题 正方形的判定
课时目标 序号 内容 水平
1 理解并掌握正方形的判定条件。 理解
2 能运用正方形的判定定理解决有关的证明和计 算。 应用
题目属性（使用时 间为课上或课后； 难度为简单、中等 或较难；来源分为 原创、改编或引 用；可加行） 题号 对应课 时目标 使用 时间 题型 难度 预设 时长 来源
1 1 课下 选择 简单 3 分钟 引用
2 1、2 课下 解答 简单 3 分钟 原创
3 1、2 课下 解答 中等 5 分钟 改编
4 1、2 课下 解答 中等 8 分钟 改编
5 1、2 课下 解答 较难 10 分钟 原创
参考答案 及 评价标准 （与题目题号对 应） 题目 1：因为对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形， 故 C 选项符合题意 【评价标准】 理解并掌握判定正方形的方法。 题目 2： ∵AO=OC，BO=OD， ∴四边形的对角线平分且相等，可得四 边形为矩形，又∵AC⊥BD ，所以四边形ABCD 为正方形。 【评价标准】 能运用对角线互相垂直的矩形来进行判定，但方法不唯 一，只要学生合理就可以。 题目 3:
D C (
.
H
E
·
·
G
●
F
) ∵AH，BH，CF，DF 为角平分线， ∴ ∠AHB=∠DFC=∠HGF=90°,∴四边形 EFGH 为矩形，又 AH=BH，AE=BG， ∴HE=HG，∴ 四边形 EFGH 为正方 形。
A 图 3 B
【评价标准】 此题证法不唯一，只要学生合理就可以，突出解决问题 的多样性。 题目 4：
B A ● E ● · F 图 4 D C （1）∵DE∥AC，DF∥AB，∴DE∥ AF，DF∥AE， ∴四边形AEDF 是平行四边形， ∵AD 是△ABC 的角平分线， ∴∠1=∠2，∵∠ADE=∠2， ∴∠1=∠ADE，∴AE=DE ， ∴四边形AEDF 是菱形.
（2）当∠BAC=90°时，四边形 AEDF 是正方形， 理由：由（1）得四边形AEDF 是菱形， ∴当∠BAC=90°,四边形AEDF 是正方形
【评价标准】 能进行菱形的判定，然后在菱形的基础上加条件，可以 是角、对角线两个方向来思考解决实际问题。 题目 5：
A (
D
) B C E 如图，延长 BC 至点 E，使 CE=AB，连接 DE， 易得出△ABD 与△ECD 全等，四边形ABCD 面积转化成等腰直角△BDE 的面积，进而面 积求解，6×6× =18.当然也可利用旋转来 进行思考，相当于把△ABD 绕点 D 逆时针旋
转 90 °。拓展提升的思路可参照上面的思路，一个是静态构造，也可选 择旋转来解决。 【评价标准】 本题是对课本题目的延伸，难度较大，学生部分参与就 可，特别是学优生的解答要进行指导评价，其它同学可以作为选做。
设计说明：★基础题 ★★中档题 ★★★提高题（选做） 整体设计亮点说明：本课时作业设计依然立足于课本例习题和自己原创试题，发挥教材 的引领作用。教材中的课后习题许多具有极高的研究探索价值，教师在教学的过程中不能就 题论题，而应引导学生挖掘题目的内涵，充分发挥习题的价值。例如本次作业的第 6 题，是 对教材习题的一个变式探究活动，如果我们一线数学教师能在课堂中进行上述变化，对激发 学生学习数学的兴趣，感悟数学的魅力，其效果是不言而喻的。同时它的价值更在于让学生 理解知识的起源以及用什么方法和在什么地方运用它们，可以建立良好的知识结构。通过使 用变式，帮助学生形成了概念，解决了问题，构建了一个活动经验系统。 题目 1 ：★（引用题）如图 1，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，下列条件 中，能判定四边形ABCD 是正方形的是( ) A．AC=BC=CD=DA B．AO=CO ，BO=DO，AC ⊥BD C．AO=BO=CO=DO，AC ⊥BD D．AB=BC，CD ⊥DA A D · O
B C 图 1 题目 2：★（原创题）如图 2，等腰直角△AOB，分别延长AO，BO，使 BO=OD，AO=OC， 求证：四边形ABCD 是正方形。
(
B
) (
图
2
)A O 【设计说明】这两个题目的设置都是基于基础性而言，让更多的学生得到锻炼，起点较 低，照顾了全体，题目 2 是一道原创试题，通过等腰直角三角形的变化建立和正方形的关系， 让学生体会正方形中处处有等腰直角三角形。 题目 3：★★（改编题：鲁教版八年级下册第 30 页第 17 题改编）已知：如图 3，矩形ABCD 各角的平分线分别相交于点 E，F，G ，H.求证：四边形 EFGH 是正方形。 D C (
.
H
E
·
·
G
●
F
)
A 图 3 B
题目 4 ：★★（改编题：鲁教版八年级下册第 28 页第 8 题改编）已知：如图 4，AD 是△ ABC 的角平分线，过点 D 分别作 AC 和AB 的平行线，交 AB 于点 E，交 AC 于点 F. （1）试判定四边形 AEDF 的形状，并证明你的结论； （2）△ABC 满足什么条件时，四边形 AEDF 是正方形。
B (
E
) (
●
) (
●
) (
·
F
)A 图 4 D C
【设计说明】题目 3 和题目4 都是对课本后面习题的改编，让学生有种似曾相似的感觉， 但是又高于课本的题目，分别考查了菱形和正方形的判定，有一点的综合性，是对本节课时 内容的强化和巩固。 题目 5 ：★★★（原创题） 课本再现：如图 5，正方形 ABCD 的对角线交于点 O，正方形 A'B'C'D'与正方形 ABCD 的边长相等，正方形 A'B'C'D'绕点O 旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积与正方形 ABCD 的面积关系？并证明。
(
●
) (
C
) (
C'
) (
图
5
)A D O A' (
B
) B' 类比探究：如图 6，四边形 ABCD 中，DC=AD, ∠ABC=∠ADC=90°, 连接 BD，若 BD=6， 则四边形ABCD 的面积为多少？ A P D M (
N
) (
B
)B C (
图
7
)图 6 拓展提升：如图 7，四边形 PMBN 中，∠MBN 与∠MPN 互补，PM=PN，连接 PB，PB=6， ∠MBN=120°,则四边形 PMBN 的面积是多少 【设计说明】题目 5 来源于课本的一道经典题目，学生都做过，但是它可以继续生长， 这里把它设计成课本再现-类比探究-拓展提升这样的一个综合性很强的题目，让学生进行探 究，很好的发挥了教材的育人价值和素材价值。我们说许多数学问题它们都是成堆地生长的， 找到一个以后，很可能附近就有好几个，下面我们把该教材问题进行变式提升，推陈出新，充 分发挥题目的教学功能。
课时作业设计表
第 七 课 时 课题 特殊平行四边形的单元复习
课时目标 序号 内容 水平
1 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义、 性质和判定，以及矩形、菱形、正方形彼此之间 的关系。 理解
2 能利用特殊平行四边形的性质和判定进行推理 和计算。 应用
3 明确特殊平行四边形的知识体系，提高空间想 象能力，掌握基本的推理能力。 迁移
题目属性（使用时 间为课上或课后； 难度为简单、中等 或较难；来源分为 原创、改编或引 用；可加行） 题号 对应课 时目标 使用 时间 题型 难度 预设 时长 来源
1 1、2 课上 解答 简单 3 分钟 改编
2 1、2 课上 解答 简单 3 分钟 改编
3 1、3 课上 填空 中等 2 分钟 原创
4 1、2、 3 课上 解答 中等 8 分钟 改编引用
5 1、3 课上 填空 中等 2 分钟 原创
6 1、2、 3 课上 解答 较难 10 分钟 改编
参考答案 及 评价标准 （与题目题号对 应） 题目 1：该题为开放题，答案不唯一，例如可求出AC=2，BD=2- ，菱形 面积为 2 · , 菱形周长为 8， ∠ABC=60°,∠ABD=30°等等。 【评价标准】 体会菱形的性质，并能运用性质解决简单的问题，只要学生言 之有理就可以。 题目 2：该题为开放题，答案不唯一， 例如可求出 BD=2， OD=OC=OA=OB=1,AD=BC=1,AB=CD=2,矩形的面积和周长， ∠ADB=60°,∠CDO=30°,△ABC 为等边三角形等等。 【评价标准】 体会矩形的性质，并能运用性质解决简单的问题，只要学生言 之有理就可以。 题目 3: 四边形边角对角线对称性平行四边形对边平行且相等对角相等 邻角互补互相平分中心对称图形菱形对边平行且 四条边相等对角相等 邻角互补互相垂直平分 ，每一条对 角线平分一组对角中心对称图形 轴对称图形矩形对边平行且相等四个角是直角互相平分且相等中心对称图形 轴对称图形正方形对边平行且 四条边相等四个角是直角互相垂直平分且相等 ， 每一条对角线平分一组 对角中心对称图形 轴对称图形
【评价标准】 能从边、角、对角线、对称性等维度来刻画四边形的性质，找 到研究四边形问题的方法。
题目 4：当∠BAC 为60 度时，平行四边形 ADFE 不存在 变式 1：当AB=AC 且∠BAC 不等于 60° 时，平行四边形ADFE 是菱形 变式 2：当∠BAC=150°时，四边形ADFE 是矩形 变式 3：当AB=AC 、 ∠BAC=150°时平行四边形ADFE 是正方形 【评价标准】 能充分运用矩形、菱形、正方形的判定方法，解决实际问题， 具备一定的推理能力。 题目 5： 四边形判定方法平行四边形1.定义 ：两组对边分别平行的四边形 2.两组对边分别相等四边形 3.一组对边平行且相等四边形 4.对角线互相平分的四边形菱形1.定义 ：一组邻边相等的平行四边形 2.四条边相等的四边形 3.对角线互相垂直的平行四边形矩形1.定义 ：一个角为直角的平行四边形 2.三个角为直角的四边形 3.对角线相等的平行四边形正方形 (
既是矩形
，又是菱形
)1.定义 ：一组邻边相等的矩形 2.对角线互相垂直的矩形 3.一个角为直角的菱形 4.对角线相等的菱形
【评价标准】 能从边、角、对角线角度寻找判定方法，并能对比之间的联系 和不同。 题目 6： ∵EC 与 FC 分别为角平分线，又∵MN∥BC，∴△OEC 与△OFC 分别是等 腰三角形，可得 OE=OF. 变式 1：当点 O 运动到AC 中点时，四边形AECF 是矩形。 变式 2：当∠ACB 等于 90 度时，四边形AECF 为正方形。 变式 3：作 EH⊥BC，∵ ∠EBC=30°, EF=2，∠ECH=45 °, ∴此时 EH=HC=1, 四边形 OEHC 为正方形，可得 BE=2。 【评价标准】 综合运用特殊平行四边形的性质和判定来解决问题，在推理中 进行数学运算，掌握基本的推理能力。
设计说明：★基础题 ★★中档题 ★★★提高题（选做） 整体设计亮点说明：本课时作业设计突出了主线设计，遵守两条主线来进行设计。 第一个是知识主线，对于特殊平行四边形的复习要类比前面平行四边形的学习，从边、角、对 角线、对称性四个维度来进行展开，题目 3 和题目 5 也是引导学生从条主线来梳理，同样在对题目 的设计过程中，也是从上述四个维度来进行考虑。第二个是题目设计主线，这节课的题目设计摒弃 了传统的习题叠加，而是遵循一题多展的理念，力求让一个题目承载更多的知识，围绕一个问题来 展开递进设计，例如题目4 和题目6 就本着这样的初衷进行题目设计。 题目 1 ：★（改编题：鲁教版八年级下册第 3 页例 1 改编）如图 1，菱形 ABCD 中，AB=2，∠ BAD=120°, 你可以求出什么？用到了菱形的什么性质？
A D ● O B C 图 1 D C ● O
A B 图 2
题目 2：★（改编题：鲁教版八年级下册第 14 页例 1 改编）如图 2，矩形ABCD 的对角线AC、 BD 相交于点 O，若∠ADO=2∠CDO ，对角线 AC=2，则你能求出什么？用到了矩形的什么性质？ 【设计说明】这两个题目的设置基于两方面思考，一是都是基于课本原来的例题来进行改编， 如图 3，对课本中的两个例题进行了重新设置， 目的是通过具体的问题情境来帮助学生梳理菱形和 矩形的基本性质有哪些？二是具有一定的开放性，对问题的结论给了更大的自由度，给了全体学生 参与的机会，可以唤醒学生从多角度来认识特殊的平行四边形，特别是从边、角、对角线、对称性 等角度来思考问题，为后面基础知识的梳理做好铺垫。
图 3 题目 3：★★（原创题）同学们还能回忆起平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质吗？如图 4， 完成下面的表格。 图 4 【设计说明】在教学中，让学生经历两个问题的头脑风暴和认知冲突后，唤起了学生的思维起 点，这时再对前一章平行四边形和这一章特殊的平行四边形进行系统的总结，学生理解了知识的内 在联系,进而使学生构建了知识体系。
题目 4 ：★★（改编引用题）如图 5，以△ABC 的边 AB，AC 为边的等边三角形ABD 和等边三 角形ACE，四边形 ADFE 是平行四边形，当∠BAC 为多少 度时，平行四边形ADFE 不存
在。 变式 1 ：当△ABC 满足什么条件时，平行四边形ADFE 是菱形？ 为什么？ 变式 2 ：当△ABC 满足什么条件时，平行四边形ADFE 是矩形？ 为什么？ 变式 3：当△ABC 满足什么条件时，平行四边形ADFE 是正方形？ 为什么？ F (
●
D
·
A
·
E
●
) B C 图 5
【设计说明】问题 4 是平行四边形的存在性问题，是对同学们合情推理能力的考查，既是对性 质的理解，同时也是对判定的思考，通过对这一问题的承载设计，在不断的追问中，教师给学生搭 建了思维的支架，引导学生逐渐形成菱形、矩形、正方形判定的知识框架，通过对条件、结论的改 变，促进了学生思维角度的转变，这样的变式追问可以激发学生的积极思考，使课堂教学走向深度 学习。 题目 5：★★（原创题）请同学们能梳理出平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定方法吗？如 图 6 ，完成下面的表格 图6 【设计说明】题目 5 与题目 3 的设置出发点一致，都是在让学生经历解决问题以后对过程的反 思与梳理，仍然引导学生从边、角、对角线等角度来思考问题。 题目 6：★★★（改编题： 鲁教版八年级下册第 18 页知识技能 2）如图 7，在△ABC 中，点 O 是 AC 边上的一个动点（点 O 不与 A 、C 两点重合），过点 O 作直线 MN∥BC，直线 MN 与∠BCA 的平分线相交于点 E，与∠DCA (△ABC 的外角）的平分线相交于点 F，OE 与 OF 相等吗？为什 么？
A (
M
) (
D
)E O /F N B C
图 7
(
N
) (
D
)变式 1 ：当点 O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论。 变式 2 ：在追问 1 的条件下，当∠ACB 等于多少时，四边形AECF 为正方形？并证明你的结论。 变式 3 ：在上面追问 2 的条件下，连接 BE，如图 8，若∠EBC=30°, EF=2，求 BE 的长度。 A (
E
F
M
O
) (
B
)H C 图 8 【设计说明】题目 6 的原型来源于课本后面的一道练习题，通过改变条件和结论，让学生先证 明 OE=OF，考查了角平分线与平行线组合出现等腰三角形这一经典问题，并为后续的追问做好了 基础，追问 1 和追问2 都是基于对矩形和正方形判定方法的灵活运用，追问 3 则让问题进一步走向 深处，需要学生构造辅助线做 EH⊥BC，是对 30°和 45°这两个特殊角度的应用，通过对课本习题 的重新设计让它重换生机，形成了一道梯度渐进，环环相扣，能对特殊平行四边形多个知识点进行 考查的综合题目，学生在问题重建的支架引领下，对知识有了深刻理解，对思想方法有了过程的体 验，数学思维在深度学习中得到了发展。
跨学科综合性（实践类）作业设计表
主题 神奇的折纸，趣折生菱形
跨学科大概念 折纸是一项手工活动，现代折纸是一门交叉学科，涵盖数学、结构力 学、计算机科学等，是一种变形艺术。数学折纸是众多折纸类别中的一个子 类，它关注折纸中的数学原理和折出的结构是否有数学的内涵，数学折纸让 创造性的思维活动变得可视化，在教育中非常重要，可以使学生获得思维成 果，从而产生成就感。数学折纸活动的材料工具非常简单，教师可以借助折 纸活动创设一个蕴含真实问题、挑战性任务的现实情境，让简便易行的折纸 活动成为学生主动探索、发挥想象、展示创造力的舞台。
学科素养点 1.数学抽象：由实际生活的问题能抽象出平面几何图形菱形。 2.直观想象：在折叠的动手操作中直观想象图形，经历操作一观察一猜想一 说理的活动过程。 3.逻辑推理：对于菱形的判定能进行严格的推理证明。
学科内容 1.在折纸过程中，理解菱形判定定理和性质，发展直观想象和数学抽象能 力。 2.在折纸过程中，经历构造轴对称图形，让学生感受对称之美，在证明的过 程中，让学生体会逻辑之美，培养学生的动手操作和团队协作的能力。
评价标准 或 参考实例 评价标准：为使探究活动深入，发挥主体意识，让学生在“做中学”“学中 做” ,感受学习的快乐，整个过程围绕个人和小组两个维度进行评价。 “神奇的折纸，趣折生菱形” 的个人学习自评表 评价内容4 分（高）3 分（较高）2 分（一般）1 分（低）参加这个活动的兴趣程度动手折纸的能力数学抽象、逻辑推理的能力与同学的交流合作能力感受数学美的能力
“神奇的折纸，趣折生菱形” 的小组互评表 评价内容优良一般差小组成员的分工协作能力小组折纸方案的科学性小组的解决问题的能力
设计说明 本节课是基于折纸这门变形艺术的综合实践活动课，在设计的过程中突出了两点： 1.改变学生的学习方式，发展学生的主体意识 折纸活动通过动手、动脑,让学生获得积极的身心参与，能充分改变传统的学习方式，使 学生主动而富有个性地发展，学生在充分经历知识的发现和建构的过程中，对数学学习的情感 体验不断增强，从而发展主体意识。学生在“做中学”“学中做”，在活动中，感受学习的快 乐。 2.积累活动经验，发展核心素养 《课标(2022 版)》强调从学生已有的生活经验出发,让学生亲身经历将实际问题抽象成数 学模型的过程。而学生已有的数学经验和生活经验就是“折纸”数学的基础。通过折纸,学生 从不同途径理解菱形的证明，从不同角度获得菱形的判定。随着折纸活动的层层深人,学生在 观察、实验、猜想、交流、推理、验证、反思等活动中不知不觉学到新知识,使低层次的活动 体验(感官体验)向高层次的数学经验(思维活动)升华。折纸活动符合学生的认知规律,学生的 思维逐渐走向深刻,直观想象、数学抽象和逻辑推理等核心素养进一步得到提升。 问题起源：（鲁教版教材八年级下册第 6 页的做一做） 【设计说明】通过课本中的资源来引出综合实践活动，这样更加自然有针对性，当时新课 教学时由于时间的限制，课堂上没有深入探究，结束新课以后专门拿出时间让学生深入进去， 发现数学的对称之美。 问题 1：请同学们先回顾下菱形的性质有哪些？菱形的判定方法有哪些？ 【设计说明】这是一个知识的铺垫，要折出菱形，要有针对性的折纸，不能盲目操作，首 先要对折叠对象有个清晰的认识，那么菱形是什么样子的呢 它的性质和判定要了解清楚。 问题 2：课本第 6 页给我们提供了一种矩形折叠菱形的方法，同学们还有其它的折法吗？以小 组为单位，形成自己的折叠方案，并请说明理由。 预设方案 1：如图 1，先折矩形对角线 AC，再折 AC 的垂线，与两边交与 B，D 两点，连结 AB，
CD，则四边形ABCD 为菱形。 A B (
●
)E F
H 图 3 D C
A D A H D
(
C
B
)
E
G
B F C 图 2
图 1
G
预设方案2：如图 2，折叠矩形可得四个相同矩形，四个小矩形的边长相等，进而可以得它们的 对角线也相等(EF=FG=GH=HE)，进而由四边相等得 EFGH 为菱形。 预设方案 3：如图 3，将矩形 ABCD 沿对角线 BD 对折，交 AD 于点 F, DG 交 BC 于点H, 四 边形 BFDH 是菱形。 预设方案 4：如图 4，先折出矩形 ABCD 的对称中心 O, 再经过点 O 任意折出两条互相垂直的 直线 EG ，FH，四边形 EFGH 是菱形。
(
E
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) (
A
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D
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D
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)B F (
图
4
)图 5
预设方案 5：如图 5，沿 EF 折叠矩形,点 B 的对应点 B'落在 AD 边上，连接 E，B，F，B'，四边 形 EBFB'为菱形。 【设计说明】通过对一张矩形纸片的一系列折叠、拼接,让学生在观察、实验、猜想、交 流、推理、反思等活动中积累经验,逐步学会分析和综合思考方法，让学生说明理由，是对学 生演绎推理能力的发展,同时在这一过程中学生的合作学习能力也得到了很好的锻炼。 问题 3：观察前面的几种折法，有没有发现一定的规律？ 【设计说明】通过对一张矩形纸片的一系列折叠、拼接,让学生在观察、实验、猜想、交 流、推理、反思等活动中积累经验,逐步学会分析和综合思考方法，让学生说明理由，是对学 生演绎推理能力的发展,同时在这一过程中学生的合作学习能力也得到了很好的锻炼。 问题 4：弱化条件，将矩形改为平行四边形，你还能折出菱形吗？ 【设计说明】不断弱化条件,将图形一般化,体会特殊与一般的思想，简化对复杂几何图形 的认识，突出本质问题。 问题 5：继续弱化条件，如何用三角形纸片折出菱形？ （1）如图 6，三角形是等腰三角形时，如何折出菱形？ （2）如图 7，三角形是一般三角形时，如何折出菱形？
A B A C 图 7
B C
图 6
【设计说明】通过问题 5 的设计，让学生从矩形迁移到等腰三角形,再到一般三角形,知识 之间的横向联系使问题更加深人,学生在持续的深度思考中,形成严谨全面的思维品质。