鲁教版五四制九年级直角三角形的边角关系单元作业设计（含答案）
文档属性
| 名称 | 鲁教版五四制九年级直角三角形的边角关系单元作业设计（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-19 20:01:23 | ||
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文档简介
初中数学
单元教学设计
单元名称： 直角三角形的边角关系
所在年级： 九年级
教材版本： 鲁教版五四制
一、单元信息
基本信息 学科 年级 学期 教材版本 单元名称
数学 九年级 第一学期 鲁教版 直角三角形的边角关系
单元呈现方式 教材自然单元
课时信息 序号 课时名称 对应教材内容
1 锐角三角函数 （P24-P29）
2 30°，45°，60°角的 三角函数值 （P30-P33）
3 用计算器求锐角的三角函数值 （P34-P39）
4 解直角三角形1 （P40-P43）
5 解直角三角形2 （P44-P45）
6 三角函数的应用 （P46-P50）
7 测旗杆的高度 综合实践作业
8 锐角三角函数科普阅读 跨学科科普阅读
9 锐角三角函数初高衔接 两角和的正切公式的推导和应用
二、单元分析
1.教材分析
直角三角形的边角关系是鲁教版九年级上册第二章的内容，借助函数的概念，对直角三角形的边角关系进行建构和量化，是在原有知识技能的整合与提升，为复杂背景下的问题解决，以及向更高学段的拓展与延伸打下基础。与一次函数、反比例函数不同的是，锐角三角函数依托直角三角形引入，更为形象直观。因此，初中阶段运用锐角三角函数进行问题解决，需要以直角三角形为背景。在教学过程中，要引导学生树立借助直角三角形进行量化运算的观念，进一步发展数形结合的能力。发展建立基本代数模型解决几何问题的意识和能力，提升数学抽象、运算能力、模型观念和应用意识。为在反比例函数、二次函数和圆中，基于图形构造的锐角三角函数的运用以及问题解决创造可能。
直角三角形相关知识和技能的发展过程：
课时作业设计说明：
2.学情分析
本单元内容设置在学生学习了直角三角形性质定理，勾股定理及逆定理，函数相关知识之后。学生对直角三角形和函数的概念有了较为全面的认知。但是问题解决的范围具有一定局限性，数形结合的意识不强。对于本单元内容的教学，应立足学情，立足数形结合的提升和素养的发展，从三角函数的定义出发，按照“从特殊到一般”的顺序，将计算30°，45°，60°角的三角函数值的经验推而广之，引导学生进行学习迁移。按照从直角三角形到非直角三角形的顺序，逐渐变换问题情景，引导学生发展数形结合能力，推理能力和运算能力。按照从计算背景到应用背景的顺序，引导学生感悟数学与生活的紧密联系，激发学习兴趣和内驱力，提升发现、提出、分析和解决问题的能力。
三、单元作业目标
课标要求 1.利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sinA,cosA,tanA），知道30°，45°，60°角的三角函数值； 2.能够借助计算器由已知锐角求出它的三角函数值，或由三角函数值求出相应的锐角； 3.能够用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。
单元作业目标 1.通过分层作业的有效设计，理解锐角三角函数的定义，积累解直角三角形的经验 2.通过对易错题的设置和辨析，帮助学生厘清知识脉络，提升应用能力 3.通过初高衔接类作业设计，联通跨学段知识，提升数学思维 4.通过跨学科阅读类作业设计，丰富问题解决的经验，激发创新思维
学科素养培养 数学抽象，推理能力，几何直观，模型观念，数学运算、应用意识
四、单元作业设计理念
1.以“易错题”为抓手，建构清晰的认知结构
通过对“易错题”的辨析，助力学生澄清概念模糊，厘清算理算法，加深对基础知识的理解，熟练基本技能。在解直角三角形的过程中，渗透数形结合思想，发展推理能力和运算能力，建构清晰的认知结构，为已学知识的调用和新学知识的融入奠定基础。
2.以“跨学科问题解决”为途径，激发学生的创新思维
通过解决“测量旗杆高度”一类典型应用问题，融入“镜面反射”“照相机原理”等跨学科知识辅助进行实验，发展用跨学科知识解决本学科问题的意识和能力。通过锐角三角函数跨学科阅读，丰富基本认识，感受数学与生活的密切联系，激发学生的学习兴趣和创新意识。
3.以“初高衔接”为立意，延伸素养发展的空间
通过“初高衔接”问题的设置和解决，引导学生用初中知识解决高中问题，或在高中问题背景下解决初中问题，感受数学发展的魅力。经历问题解决的过程，拓宽问题解决的视角，延长问题解决的路径，体验思想方法的普适性，促进核心素养的可持续发展。
课时（1）锐角三角函数的定义
基础达标
1.（原创题）如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，a,b,c分别是∠A，∠B，∠C的对边，根据下列条件求∠A的三个三角函数值.
（1）b=6，c=，；
（2）b=a
变式1：（1）如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，求∠A，∠B的三个三角函数值.
（2）观察tanA和tanB的关系？sinA和cosB呢？cosA和sinB呢？你能证明吗？
变式2：如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，若BC=AB，求∠B的三个三角函数值.
2．（改编题）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10.
（1）若sinB=，求AC的长；
（2）若tanA=，求AC的长.
巩固提升
3.（改编题）（1）如图1所示，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是
（2）如图2，sinA=
拓展提高
4.（易错题，改编自课本30页习题第5题）在三角形ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，若cos∠BAD=，BD=，则CD=
四、反思与评价
学生自评
作业用时 参考用时： 实际用时：
错题题号
错因分析
错题订正
教师评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A等：答案正确，过程正确 B等：答案正确，过程有问题 C等：答案不正确，有过程不完整
答题的规范性 A等：过程规范，答案正确 B等：过程不够规范，答案正确 C等：过程不规范，答案错误
解法的创新性 A等：解法有新意，答案正确 B等：思路有创新，答案不完整 C等：思路不清楚，过程复杂或无过程
综合评价等级 A等：AAA、AAB B等：ABB、BBB、AAC C等：其余情况
课时（2）30°，45°，60°角的三角函数值
基础达标
1.（原创题）计算：
（1）sin30°+cos60° （2）tan45°+
（3）
（4）
2.（改编题）如图，一段斜坡AB长是m，其倾斜角为60°，求坡顶到地面的高度.
二、巩固提升
3.（改编题）在Rt△ABC中，∠C=90°，，求sinA和tanA.
4.（原创·易错题）如图，在平面直角坐标系中，OB=2，∠BAO=30°.
（1）求直线AB的表达式；
（2）若直线OC⊥AB于点C，求C点的坐标.
三、拓展提高
5.（改编题）已知：如图，正方形ABCD的边长是1，延长边CB到点E，使BE=BD，连接DE.
求：∠EDB的正切值.
四、反思与评价
学生自评
作业用时 参考用时： 实际用时：
错题题号
错因分析
错题订正
教师评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A等：答案正确，过程正确 B等：答案正确，过程有问题 C等：答案不正确，有过程不完整
答题的规范性 A等：过程规范，答案正确 B等：过程不够规范，答案正确 C等：过程不规范，答案错误
解法的创新性 A等：解法有新意，答案正确 B等：思路有创新，答案不完整 C等：思路不清楚，过程复杂或无过程
综合评价等级 A等：AAA、AAB B等：ABB、BBB、AAC C等：其余情况
课时（3） 用计算器求锐角的三角函数值
一、基础达标
1.（原创题）用计算器求下列锐角三角函数值（结果精确到0.1）
（1）sin37°≈__________ .
（2）cos53°≈_________ .
（3）cos23°30'59''≈__________ .
（4）tan36.4°≈__________ .
（原创题）用计算器求下列各锐角的度数（结果保留整数）
（1）sinA≈0.6，则∠A≈__________°
（2）cosA≈0.8，则∠A≈__________°
（3）tanA≈0.27，则∠A≈__________°
(易错题）sin α＝0.3125，则α≈__________° __________′
二、巩固提升
3.（改编题）若∠A=36°，则cosA的大致取值范围是（ ）
A．＜cosA＜ B．0＜cosA＜ C．＜cosA＜ D．以上都不对
4.（原创题）如图，要测量建筑物AB的高度，在地面点C处架起仪器CD，测得仰角
∠ADE=20°，BC=20米，CD=1米，则建筑物AB的高为（ ）米.
A．1＋20·sin 20° B．1＋ C．1＋20·tan 20° D．1－
三、拓展提高
5.(改编题）(1)通过计算(用计算器)，比较下列各对数的大小，并提出你的猜想：
①sin 20°__________2sin 10°cos10°；
②sin 30°__________2sin 15°cos 15°；
③sin 45°__________2sin 22.5°cos 22.5°；
④sin 60°__________2sin 30°cos 30°；
⑤sin 70°__________2sin 35°cos 35°；
⑥sin 90°__________2sin 45°cos 45°.
猜想：若0°＜α≤45°，则sin 2α________2sin αcos α.
(2)如图，已知△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝2α.请根据图中的提示，利用面积方法验证你的结论．
四、反思与评价
学生自评
作业用时 参考用时： 实际用时：
错题题号
错因分析
错题订正
教师评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A等：答案正确，过程正确 B等：答案正确，过程有问题 C等：答案不正确，有过程不完整
答题的规范性 A等：过程规范，答案正确 B等：过程不够规范，答案正确 C等：过程不规范，答案错误
解法的创新性 A等：解法有新意，答案正确 B等：思路有创新，答案不完整 C等：思路不清楚，过程复杂或无过程
综合评价等级 A等：AAA、AAB B等：ABB、BBB、AAC C等：其余情况
课时（4）解直角三角形
基础达标
1.（改编题）如图，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，a=4，b=，解这个直角三角形.
2.（改编题）在Rt△ABC中，已知∠C=90°，c－a=64，∠A=30°，解这个直角三角形.
巩固提升
3.（原创题）在Rt△ABC中，已知∠C=90°，a=7，c=，求∠A和∠B的度数（结果精确到1°）和b的长.
解答过程中可直接选用表格中的数据哟！
科学计算器按键顺序 计算结果（已取近似值）
44.43
45.57
34.99
4.（易错题原创）如图，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，BC=8，tanB=，CD⊥AB于点D，M为AB的中点.
求CD的长.
求tan∠DCM的值.
拓展提高
5.（改编题）在Rt△ABC中，已知∠C=90°，BC=5,∠A=15°.
求AC的长.
求tan75°的值.
四、反思与评价
学生自评
作业用时 参考用时： 实际用时：
错题题号
错因分析
错题订正
教师评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A等：答案正确，过程正确 B等：答案正确，过程有问题 C等：答案不正确，有过程不完整
答题的规范性 A等：过程规范，答案正确 B等：过程不够规范，答案正确 C等：过程不规范，答案错误
解法的创新性 A等：解法有新意，答案正确 B等：思路有创新，答案不完整 C等：思路不清楚，过程复杂或无过程
综合评价等级 A等：AAA、AAB B等：ABB、BBB、AAC C等：其余情况
课时（5） 解直角三角形
基础达标
1．（易错题）
（1）如图（1），在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝4，求AB的长；
（2）如图（2），在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝15°，AC＝2，求AB的长．
2.（改编题）如图，在△ABC中，AB＝AC＝，，求的值．
二、巩固提升
3.（改编题）如图在中，是边上的高，是边上的中线，已知，求的值．
4.（引用）如图将一副三角尺如图摆放在一起,连接AD，试求∠BAD的正切值.
三、拓展提高
5.(改编题)在一节数学实践课上，老师出示了这样一道题，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝60°，AB＝4，AD＝5．求AC的长.
四、反思与评价
学生自评
作业用时 参考用时： 实际用时：
错题题号
错因分析
错题订正
教师评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A等：答案正确，过程正确 B等：答案正确，过程有问题 C等：答案不正确，有过程不完整
答题的规范性 A等：过程规范，答案正确 B等：过程不够规范，答案正确 C等：过程不规范，答案错误
解法的创新性 A等：解法有新意，答案正确 B等：思路有创新，答案不完整 C等：思路不清楚，过程复杂或无过程
综合评价等级 A等：AAA、AAB B等：ABB、BBB、AAC C等：其余情况
课时（6）三角函数的应用
一、基础达标
1.（易错题）如图，在量角器的圆心O处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪，量角器的0刻度线AB对准楼顶时，铅垂线对应的度数是50°，则此时观察楼顶的仰角度数是___________．
2.（改编题）为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度（或坡比）i＝1:2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD．测得古树底端C到山脚点A的距离AC＝26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D位于E北偏东42°(古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直），则古树CD的高度约为（ ）（参考数据：.67，，）
A．17.0米 B．21.9米 C．23.3米 D．33.3米
巩固提升
3.（引用）学生学完诸葛亮的《出师表》．某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动，测量诸葛亮铜像的高度．如图，在点C处探测器显示，热气球到铜像底座底部所在水平面的距离CE为32m，从热气球C看铜像顶部A的俯角为45°，看铜像底部B的俯角为63.4°。已知底座BD的高度为4m，求铜像AB的高度．（结果保留整数．参考数据：，，，1.414）
4.（改编题） 如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12 m，坡角α 为60°，根据有关部门的规定，α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？(结果取整数，参考数据：，，，，1.732，)
三、拓展提高
5.(改编题)图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC表示车后盖，已知，BC=0.6m，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖ABC落在AC处，与水平面的夹角．
(1)求打开后备箱后，车后盖最高点B到地面l的距离；
(2)若小琳爸爸的身高为1.8m，他从打开的车后盖C处经过，有没有碰头的危险 请说明理由．（结果精确到0.01m，参考数据：，，，）
四、反思与评价
学生自评
作业用时 参考用时： 实际用时：
错题题号
错因分析
错题订正
教师评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A等：答案正确，过程正确 B等：答案正确，过程有问题 C等：答案不正确，有过程不完整
答题的规范性 A等：过程规范，答案正确 B等：过程不够规范，答案正确 C等：过程不规范，答案错误
解法的创新性 A等：解法有新意，答案正确 B等：思路有创新，答案不完整 C等：思路不清楚，过程复杂或无过程
综合评价等级 A等：AAA、AAB B等：ABB、BBB、AAC C等：其余情况
跨学科综合性（实践类）作业
综 合 实 践 课题：测量旗杆的高度
学习目标： 1.通过测量旗杆的高度的活动，发挥数学综合实践活动的内在价值，促进不同学科知识的综合运用，巩固相似三角形和三角函数、勾股定理等有关知识，积累数学活动的经验。 熟悉测量工具的使用技能，了解小镜子使用的物理原理，通过测量活动，使学生初步学会数学建模的方法。 3.理解数学模型来源生活，又为解决生活中的某一问题而服务，体会数学与实际生活的紧密联系，从而增强学生的数学应用意识。
综合实践作业设计： 问题起源：（鲁教版教材八年级下册113页、鲁教版教材九年级上册51页） 综合利用前面学过的知识，请你来设计一套测量旗杆高度的方案。 问题1：结合前面学过的知识，设计测量方案。画出你设计的测量平面图，指出所需测量的数据有哪些？ 预设方案1：利用太阳光下的影子。实验原理：利用太阳光是平行光，得到相似三角形。具体操作:小组选一名同学直立于旗杆影子的顶端处，需测量的数据:观测者的身高、观测者的影长、同一时刻旗杆的影长。 预设方案2：利用镜子的反射。实验原理:根据光线的入射角等于反射角，得到相似三角形。具体操作:小组选一名同学作为观测者,在观测者与旗杆之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记。 观测者看着镜子来回移动，直至看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合。需测量的数据:观测者的身高、观测者的脚到镜子的距离和镜子到旗杆底部的距离。 预设方案3：利用标杆。用眼睛观测，观测者的眼睛与标杆的顶端和旗杆的顶端"三点共线"。实验原理:利用太阳光是平行光，得到相似三角形。具体操作:选一名同学作为观测者，在观测者与旗杆之间的地面上直立一根高度适当的标杆。观测者适当调整自己所处的位置，使旗杆的顶部、标杆的顶端、观测者的眼睛恰好在一条直线上。需测量的数据:观测者的眼睛到地面的距离EF、观测者的脚到标杆底部的距离FD和到旗杆底部的距离FB、标杆的高CD. 预设方案4：利用锐角三角函数。实验原理:构建直角三角形，解直角三角形。具体操作:在地面上放一个侧倾器（或测角仪），转动度盘，使度盘的直径对准目标M，测得M的仰角∠MCE (利用测角仪)。需测量的数据:侧倾器到旗杆底部的距离AN和侧倾器的高度AC. 预设方案5：利用照相机。实验原理:利用照相机的原理把物体按照一定比例缩小，根据比例尺求旗杆高度。具体操作:选一位同学，脚与旗杆底部几乎重合站立 好，用相机照出旗杆和同学的照片。需测量的数据:同学的身高、照片上同学的身高和旗杆的高度。 预设方案6：利用勾股定理。实验原理：将升旗用的绳子和旗杆比较，根据勾股定理列方程求出旗杆的高度。具体作：测出从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长多少，一名同学拉着绳子的下端往后退，将绳子拉直。需测量的数据：拉绳子的手到地面的距离CD与到旗杆的距离CE。 问题2：探究原理，可制定哪些可行性方案？ 问题3：根据你测量的数据，计算旗杆的高度。 问题4：将测量旗杆高度改为测量底部不可以到达的物体的高度，你还能设计出测量方案吗？ 预设方案： （1）在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE. （2）在测点A与物体MN之间的B处安置测倾器（ A，B与N在同一条直线上)，测得此时M的仰角∠MDE. （3）量出测倾器的高度AC=BD，以及测点A和测点B之间的水平距离AB. 根据测量数据，利用三角函数求出物体MN的高度。 问题5：（拓展）若在海上直线航行，你能设计一种测量海上两个岛屿之间距离的方案吗？ 预设方案:如图，A、B是已知的两个小岛，航船时刻在C处，以从C到D的航向航行，测出∠ACD和∠BCD;在时刻，航船航行到D处，测出∠CDB和∠CDA.已知航船的速度为v.利用正弦定理、余弦定理可求得A、B之间的距离。 问题6：（中考链接）如图，希望中学的教学楼AB和综合楼CD之间生长着一棵高度为12.88米的白杨树EF，且其底端B，D，F在同一直线上，BF＝FD＝40米．在综合实践活动课上，小明打算借助这棵树的高度测算出综合楼的高度，他在教学楼顶A处测得点C的仰角为9°，点E的俯角为16°． 问小明能否运用以上数据，得到综合楼的高度？若能，请求出其高度（结果精确到0.01米）；若不能，说明理由． 解答过程中可直接选用表格中的数据哟！ 科学计算器按键顺序计算结果（已取近似值）0.1560.1580.2760.287
评价标准： “测量旗杆的高度”的个人学习自评表 评价内容4分（高）3分（较高）2分（一般）1分（低）参加这个活动的兴趣程度实际操作、测量的能力数据统计、数据计算的能力与同学的交流合作能力数学知识的应用能力成果展示
“测量旗杆的高度”的小组互评表 评价内容优良一般差小组成员的分工协作能力小组测量方案的可行性小组的解决问题的能力
三角函数跨学科阅读
一、三角函数
三角函数是基本初等函数之一，是以角度（数学上最常用弧度制，下同）为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。三角函数一般用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度，在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途。
二、三角学及三角形的发展历史
“三角学”，英文Trigonometry。现代三角学一词最初见于希腊文。最先使用Trigonometry这个词的是皮蒂斯楚斯，他在1595年出版一本著作《三角学：解三角学的简明处理》，创造了这个新词。它是由τριγωυου（三角形）及μετρει υ（测量）两字构成的，原意为三角形的测量，或意为解三角形。古希腊文里没有这个字，原因是当时三角学还没有形成一门独立的科学，而是依附于天文学。因此解三角形构成了古代三角学的实用基础。
早期的解三角形是因天文观测的需要而引起的。还在很早的时候，由于垦殖和畜牧的需要，人们就开始作长途迁移；后来，贸易的发展和求知的欲望，又推动他们去长途旅行。在当时，这种迁移和旅行是一种冒险的行动。人们穿越无边无际、荒无人烟的草地和原始森林，或者经水路沿着海岸线作长途航行，无论是那种方式，都首先要明确方向。那时，人们白天拿太阳作路标，夜里则以星星为指路灯。太阳和星星给长期跋山涉水的商队指出了正确的道路，也给那些沿着遥远的异域海岸航行的人指出了正确的道路。
就这样，最初的以太阳和星星为目标的天文观测，以及为这种观测服务的原始的三角测量就应运而生了。因此可以说，三角学是紧密地同天文学相联系而迈出自己发展史的第一步的。
三角学问题的提出：三角学理论的基础，是对三角形各元素之间相依关系的认识。一般认为，这一认识最早是由希腊天文学家获得的。当时，希腊天文学家为了正确地测量天体的位置。研究天体的运行轨道，力求把天文学发展成为一门以精确的观测和正确的计算为基础之具有定量分析的科学。他们给自己提出的第一个任务是解直角三角形，因为进行天文观测时，人与星球以及大地的位置关系，通常是以直角三角形边角之间的关系反映出来的。在很早以前，希腊天文学家从天文观测的经验中获得了这样一个认识：星球距地面的高度是可以通过人观测星球时所采用的角度来反映的；角度（∠ABC）越大，星球距地面（AC）就越高。然而，星球的高度与人观测的角度之间在数量上究竟怎么样呢？能不能把各种不同的角度所反映的星球的高度都一一算出来呢？这就是天文学向数学提出的第一个课题－制造弦表。
独立三角学的产生：虽然后期的阿拉伯数学家已经开始对三角学进行专门的整理和研究，但是严格地说，他们并没有创立起一门独立的三角学。真正把三角学作为数学的一个独立学科加以系统叙述的，是德国数学家雷基奥蒙坦纳斯。
雷基奥蒙坦纳斯是十五世纪最有声望的德国数学家约翰·谬勒的笔名。他生于哥尼斯堡，年轻时就积极从事欧洲文艺复兴时期作品的收集和翻译工作，并热心出版古希腊和阿拉伯著作。因此对阿拉伯数学家们在三角方面的工作比较了解。
1464年，他以雷基奥蒙坦纳斯的名字发表了《论各种三角形》。在书中，他把以往散见在各种书上的三角学知识，系统地综合了起来，成了三角学在数学上的一个分支，
现代三角学的确认：直到十八世纪，所有的三角量：正弦、余弦、正切、余切、正割和余割，都始终被认为是已知圆内与同一条弧有关的某些线段，即三角学是以几何的面貌表现出来的，这也可以说是三角学的古典面貌。三角学的现代特征，是把三角量看作为函数，即看作为是一种与角相对应的函数值。这方面的工作是由欧拉作出的。1748年，欧拉发表著名的《无穷小分析引论》一书，指出：”三角函数是一种函数线与圆半径的比值”。具体地说，任意一个角的三角函数，都可以认为是以这个角的顶点为圆心，以某定长为半径作圆，由角的一边与圆周的交点P向另一边作垂线PM后，所得的线段OP、OM、MP（即函数线）相互之间所取的比值，sinα=MP/OP，cosα=OM/OP，tanα=MP/OM等。若令半径为单位长，那么所有的六个三角函数又可大为简化。
欧拉的这个定义使三角学从静态地只是研究三角形解法的狭隘天地中解脱了出来，使它有可能去反映运动和变化的过程，从而使三角学成为一门具有现代特征的分析性学科。正如欧拉所说，引进三角函数以后，原来意义下的正弦等三角量，都可以脱离几何图形去进行自由的运算。一切三角关系式也将很容易地从三角函数的定义出发直接得出。这样，就使得从希帕克起许多数学家为之奋斗而得出的三角关系式，有了坚实的理论依据，而且大大地丰富了。严格地说，这时才是三角学的真正确立。
三、我国三角函数的发展历史
我国对三角早有研究，早在春秋战国时期，齐国出了一本有名的工具书，名叫《考工记》，书中记载了几种特殊角的名称： 90°角叫做“矩”，45°角 叫做“宣”，135°角 叫做“罄(qing)折"等。
在公元前1世纪成书的数学著作《周髀算经》里，记载了平面测量的内容，其中包括利用直角三角形和勾股定理来解决一些实际问题。公元3世纪我国著名数学家刘徽在计算单位圆(半径等于单位长度的圆)的内接(顶点都在同一圆上)正六边形等图形的边长时，以及公元13世纪赵友钦在计算圆内接正方形的边长时，实际上已求得了某些特殊角的正弦值。在我国古代历法书中关于根据竿的不同影长来确定季节和时令的方法的记载，实际上已构成了一份余切值表。
16世纪，外国的三角知识传入我国，那时已有正弦、余弦、正切、余切、正割、余割及正矢、余矢等八个名称，总称八线。17世纪，第一部中文的平面三角学(邓玉函等编译的《大测》2卷)和球面三角学(徐光启等编译的 《测量全义》10卷 )相继问世。
四、音乐中的三角函数
人们把数学、音乐、图画作为宇宙的语言与有智慧生命的“外星人"交往，可能吗？美国的“航行者”号太空船遨游在群星之中，飞船里有一张即使使用十亿年也嘹亮如新的唱片，它向“外星人”带去了人类的问候，唱片中有七段音乐，其中有一首是中国古琴曲《流水》，描述了人的意识与宇宙的交融，音乐靠听,图画靠看，数学靠思考，这是人类的三种本质属性，也应当是宇宙智慧生命的共同属性。
三角函数与音高的关系：音高是音乐中最基本的元素之一，三角函数可以用来描述和分析音高的变化规律。通过研究不同频率的声音波形，我们可以发现它们之间的周期性和对称性。在音乐理论中，调谐系统是一种将不同频率的音高组织起来的方法。其中，十二平均律是最常用的一种，它的基础是将一个八度分为12个半音，每个半音之间的频率比为。这个比例关系可以用三角函数来表示，并且可以通过计算得到各个半音的频率值。三角函数还可以用于音乐合成领域。例如，在FM (频率调制)合成中，两个正弦波的频率之差决定了音高，而相位差则决定了音色。这些都可以通过三角函数来进行精确控制。
三角函数与和声的关系：和声是指同时发出的两个或多个音高，它们之间存在着某种和谐的关系。在音乐中，不同的和声组合可以产生不同的色彩和情感效果。三角函数可以用来描述和分析和声的数学结构。例如，和弦是由三个或更多个音高组成的，它们之间的频率比通常遵循一定的规则，如三和弦、七和弦等。基于三角函数的和声理论可以帮助我们更好地理解和创作音乐。通过研究和声的变化规律，我们可以创造出更加丰富和多样的音乐作品
三角函数与节奏的关系：节奏是音乐中的另一个重要元素，它定义了音乐的时间结构。通过对不同节奏模式的研究，我们可以发现它们之间的，周期性和对称性。三角函数可以用来描述和分析节奏的变化规律。例如，在音乐节拍中，周期性的强弱变化可以用三角函数来表示，这样可以更准确地表达出音乐的节奏感。利用三角函数的性质，我们可以设计出各种复杂的节奏模式，并且将其应用到音乐创作中。
三角函数初高衔接1
借助单位圆探究任意角的三角函数值
小明在学习了锐角三角函数后，提出一个疑问，大于90°的角有没有三角函数值呢？为此他查阅了资料，拓宽了对三角函数概念的理解.
材料学习
半径为1的圆称为单位圆，以单位圆的圆心O为原点，以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系。射线OA从x轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角为，终止位置为OP，终边OP与单位圆交于点P.
（注：我们规定，一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角）.
这样借助单位圆可以表示任意角了.
三角函数概念的再认识：
为任意一个角，它的终边OP与单位圆的交点P（x，y）
把点P的纵坐标y叫做的正弦函数，记作sin，即y=sin
（2）把点P的横坐标x叫做的余弦函数，记作cos，即x=cos
（3）把点P的纵坐标与横坐标的比值 叫做的正切，记作tan，即 =tan
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二、结合以上材料学习，完成下面表格
0° 30° 45° 60° 90° 180° 270°
sin
cos
tan
-30° -45° -60° -90° -135° -180° -270°
sin
cos
tan
三角函数初高衔接2
正弦三角函数图象初探
小明同学学习了三角函数后思考，我们学过的函数都有图象，那么三角函数的图象是什么样呢？
小明查阅资料，进行了探究学习。
角度与弧度的换算
材料学习
我们知道，角可以用度为单位进行度量，1度的角等于周角的，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制.
下面介绍在数学和其他科学研究中经常采用的另一种度量角的单位制——弧度制.
如图，射线OA绕端点O旋转到OB形成∠AOB，在旋转过程中，射线OA上的一点P（不同于点O）的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角∠AOB.
设∠AOB=n°，OP=r，点P所形成的圆弧⌒PQ的长为l.由初中所学知识可知
l=，于是
可以发现圆心角∠AOB所对的弧长与半径的比值，只与角∠AOB的大小有关.我们规定:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
根据上述规定，在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为弧度，那么 =
因为周角的弧度是2，而在角度制下的度数是360°，所以
360°=2弧度 180°=弧度
所以 1°=弧度
1弧度=（）°
这样就可以进行弧度与角度的换算了.
、结合以上材料学习，完成下面表格
角度 -180° -90° -60° -30° 0° 30° 60° 90° 180° 270°
弧度
正弦函数的图象
列表
-2 - 0 2
y=sin
描点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图
正弦函数的图象是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线，叫做正弦曲线.
结合图象解决下列问题
正弦函数的函数值的最大值 ，最小值 .
当- -<<时，函数值y随的增大而
当-<<时，函数值y随的增大而
正弦曲线是否为轴对称图形，若是，写出对称轴.
正弦曲线是否为中心对称图形，若是，写出对称中心.
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三角函数初高衔接3
两角和的正切公式探究与应用
以几何图形为背景，探索高中两角和的三角函数公式，并应用公式解决初中问题。
探究新知
如图，在矩形 ABCD 中，E、F 分别在边 CD、AD 上，∠EBC = α，∠EBF = β，EF⊥EB，设BC=1
（1）在Rt△BCE中，EC= (用 α的三角函数表示）
由COSα，得BE= (用 α的三角函数表示）
（2）在Rt△BFE中， 由COSβ
得BF= (用 α、β的三角函数表示）
由tanβ，得EF= (用 α、β的三角函数表示）
（3）在Rt△DFE中，∠DEF = α
由COSα，得DE= (用 α、β的三角函数表示） 由tanα，得DF= (用 α、β的三角函数表示）
（4）在Rt△DFE中，AF= (用 α、β的三角函数表示），AB= (用 α、β的三角函数表示）
得出结论：tan（α+β）=tan∠AFB= (用 α、β的三角函数表示）
应用上面结论解决下面问题
（1）求tan75°的值（结果保留根号）
（2）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D 都在这些小正方形的顶点上, AB 和 CD相交于点P, 求tan∠APD的值
（3）已知直线AB与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2），直线绕点A顺时针旋转45°后得直线AC，求直线AC的解析式
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课时作业设计表
第一课时 课题 锐角三角函数的定义
课时目标 序号 内容 水平
1 经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义，并能够举例说明. 理解
2 能够运用tanA，sinA，cosA表示直角三角形中两边的比，能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算 应用
3 感悟“类比”思想的应用，感受锐角三角函数的应用性 迁移
题目属性（使用时间为课上或课后；难度为简单、中等或较难；来源分为原创、改编或引用；可加行） 题号 对应课时目标 使用 时间 题型 难度 预设 时长 来源
1 1、2 课下 解答 简单 4分钟 原创
2 1、3 课下 解答 简单 4分钟 改编
3 1、2 课下 填空 中等 5分钟 改编
4 1、2 课下 填空 难 5分钟 改编
参考答案 及 评价标准 （与题目题号对应） 1.【参考答案】(1)sinA= ,cosA= ,tanA= (2)sinA=, cosA=,tanA= (1)先由勾股定理求出a的值，再根据锐角三角函数的定义求出∠A的三个三角函数值. （2）由b=a，可设a=3x,b=4x,求出c=5x，再根据锐角三角函数的定义求出∠A的三个三角函数值。 【评价标准】本题考查正切、正弦、余弦的简单应用。 变式1：【参考答案】 （1）tanA=,sinA=,cosA=;tanB=, sinB=,cosB= （2）tanA×tanB=1,sinA=cosB,cosA=sinB 先由勾股定理求出AB=13，根据正切、正弦、余弦的定义分别求出三个角的三角函数值 【评价标准】（1）中通过求∠A和∠B的三个三角函数值巩固三角函数的定义，（2）中学生通过“观察-猜想-证明”的过程，得到互为余角的两个角的三角函数值的关系。 变式2：【参考答案】tanB=,sinB=,cosB= 解：过点A作AD⊥BC，垂足为点D， 由BC=AB，可设AB=x， 则BC=x,BD=x， 由勾股定理得，AD=x， 则tanB=,sinB=,cosB= 【评价标准】如果所求三角函数值不在直角三角形中，应当转化为直角三角形中的角或构造适当的直角三角形. 2.【参考答案】6；8 （1）由条件可求出BC=8，根据勾股定理求出AC=6； （2）由条件可求设AC=4x，BC=3x，由BC=5x可得x=2，所以AC=4. 【评价标准】已知直角三角形一锐角三角函数值和一边，求其他两边的值。 3.【参考答案】（1）；（2） （1）连接AC，∠A=90°，tanABC= （2）连接BD，D点在格点上，∠ADB=90°，sinA= 【评价标准】求网格中锐角的三角函数值，借助网格的特点，构造直角三角形。 4.（易错题，改编自课本30页习题第5题） 【参考答案】1或5 解析：①如图1，当三角形ABC为锐角三角形时，∵BD⊥AC，∴∠ADB=90° ∵cos∠BAD=, ∴设AD=2x，则AB=3x. ∵ ∴, 解得x=1或x=-1（舍去） ∴AB=AC=3,AD=2,∴CD=1 ②如图2， 当△ABC是钝角三角形时， 由①知，AD=2，AB=AC=3 ∴CD=AC+AD=5， 故答案为1或5. 【易错提醒】本题中，不能确定该等腰三角形是锐角三角形还是钝角三角形，因此需要分类讨论 【评价标准】在解决与锐角三角函数有关的计算问题时，若题中没有给出图形，则需要全面考虑，画出所有符合条件的图形，以免漏解。
设计说明 题目难度设计由易到难，变式训练，举一反三 锐角三角函数的定义是本章的首节内容，本作业的设计旨在夯实学生基础，理解锐角三角函数的定义，会求出三个锐角三角函数值。基础达标两个题目，复习巩固求锐角三角函数值，变式训练有助于学生归类比较，举一反三，触类旁通。 2．易错题设计 第 4题是易错题，易错题的出现通常会暴露很多问题，在教学中应该善于观察、仔细留意和寻找发现那些学生在解题过程中，思路混乱、思维不严密、叙述不严谨的习题，通过对易错题的训练，帮助学生分析出错的原因，查缺补漏。 3．渗透“化归思想” 第1题变式1中，通过计算∠A和∠B的三个三角函数值，引导学生猜想、证明、归纳总结互余的两个角三角函数值之间的关系，渗透“化归思想”。
课时作业设计表
第一课时 课题 30°，45°，60°角的三角函数值
课时目标 序号 内容 水平
1 能够根据三角函数的定义推导30°，45°，60°角的三角函数值 理解
2 会用30°，45°，60°角的三角函数值进行计算 应用
3 能用30°，45°，60°角的三角函数值解决 实际问题 迁移
题目属性（使用时间为课上或课后；难度为简单、中等或较难；来源分为原创、改编或引用；可加行） 题号 对应课时目标 使用 时间 题型 难度 预设 时长 来源
1 1、2 课后 计算 简单 3分钟 原创
2 1、2 课后 解答 简单 3分钟 改编
3 2、3 课后 解答 中等 5分钟 改编
4 2、3 课后 解答 中等 5分钟 原创
5 1、2、3 课后 解答 较难 10分钟 改编
参考答案 及 评价标准 （与题目题号对应） 1．【参考答案】：（1）1；（2）；（3）1；（4）0 【评价标准】：已知30°，45°，60°角的三角函数值，能够进行正确运算。 2．【参考答案】：∵AB=,∠C=90°，∴, ∴BC=30，即坡顶到地面的高度为30m. 评价标准：已知60°角的三角函数值，根据题意通过其正弦值，求出线段BC的长度。 3．【参考答案】：, 解析：根据题意画出草图以形助数；然后根据cosA的值将边长量化，并用勾股定理推知三边关系；最后运用三角函数的定义求出sinA，tanA. 评价标准：通过图形辅助，体会并建立三角函数与勾股定理之间的关系，为求任意角的三角函数做好铺垫。 4．【参考答案】：（1）；（2） 解析：易错点1：二次根式运算复杂；易错点2：作出OC后，想不到求OC表达式的方法。对于（1），根据OB的长及30°角的三角函数值，求出OA的长，并将其转化为点A的坐标，联合点B的坐标求出AB的表达式。对于（2），根据k1k2=-1，或几何分析的方法，求出OC的表达式，然后联立方程组求出交点C的坐标。 【评价标准】：能够通过三角函数值的计算，实现线段长度和点的坐标的对应。通过联立方程组，求出交点坐标。 5．【参考答案】：∵CD=1,∴EB=DB=,∠EDB=∠DEB.∴CE=EB+BC=+1. ∴. 【评价标准】：能够通过等腰三角形的性质，实现角度转化。能够体会到相等的角的三角函数值相等，会分母有理化。
设计说明 整体设计有梯度，有分层，适合不同层次的学生。 题目1（原创）设置4个小题，以30°，45°，60°角的三角函数值的计算为背景，实现基本算理算法的迁移，加深对数系扩充的感悟。 题目2（改编）在此基础上，以现实问题的解决为指向设置问题情境。提升直观分析的能力，渗透用三角函数进行问题解决的意识。 题目3（改编）通过问题驱动，引导学生按题画图，渗透数形结合思想，为一般角三角函数值的计算提供方法借鉴。 题目4（原创）以函数为背景，以等式的运算为途径，迁移算理算法。通过线段长度坐标化，或点的坐标图形化，进一步发展数形结合进行问题解决的观念。 题目5（改编）通过求22.5°角的正切值，引导学生经历由特殊向一般的研究转变，提高对数量关系和图形位置的转化技巧，发展应用意识和量化观念，提升核心素养。
课时作业设计表
第一课时 课题 课时3 用计算器求锐角的三角函数值
课时目标 序号 内容 水平
1 会用计算器求一个锐角的三角函数值，已知三角函数值会求相应锐角度数 理解
2 借助计算器进一步理解锐角三角函数定义 应用
3 利用所学定义性质，借助计算器解决探究性问题 迁移
题目属性（使用时间为课上或课后；难度为简单、中等或较难；来源分为原创、改编或引用；可加行） 题号 对应课时目标 使用 时间 题型 难度 预设 时长 来源
1 1、2 课后 填空 简单 2分钟 原创
2 1、2 课后 填空 简单 2分钟 原创
3 1、2 课后 选择 中等 5分钟 改编
4 1、2 课后 选择 中等 5分钟 原创
5 1、2、3 课后 解答 较难 10分钟 改编
参考答案 及 评价标准 （与题目题号对应） 1．【参考答案】（1）0.6，（2）0.6，（3）0.9，（4）0.7 【评价标准】已知锐角度数会用计算器求三角函数值。 2．【参考答案】（1）37°，（2）37°，（3）15°，（4）18°12′ 其中第（4）小题为易错题sin α＝0.3125，则α≈______° _____′ 错解：18°20′ 正解：利用度分秒转化键（DMS)得出答案为18°12′ 【评价标准】已知锐角三角函数值会用计算器求相应的锐角的度数，进一步理解三角函数的定义。 3.【参考答案】A． 解析：cos30°=，cos45°=，∵30°＜40°＜45°，∴＜cosA＜． 【评价标准】进一步体会锐角三角函数的增减性。 4.【参考答案】C．解析：如图，延长DE交AB于点F，则∠AFD=90° 在Rt△AFD中，tan ＝，∴AF＝tanDF ∵在矩形DCBF中，DF＝BC＝20，∴AF=20tan20° ∵BF＝DC＝1，∴AB＝AF＋BF＝20tan ＋1． 【评价标准】会用三角函数表示线段的长，体会三角函数在生活中的应用。学生能用三角函数表示出边即可，没有要求计算器算出结果。 5.【参考答案】解：(1)①～⑥都填“＝”．sin2α＝2sinαcosα. (2)∵＝AC·BE＝×1×sin2α＝sin2α， ＝BC·AD＝BD·AD＝sinαcosα， ∴sin2α＝2sinαcosα. 【评价标准】能借助计算器得出结论，并能借助图形推理证明。逻辑推理清晰即可。
设计说明 整体设计有梯度，有分层，适合不同层次的学生。 题目1（原创）设置4个小题，题目类型涵盖了整数，小数，和度分表的计算器按键练习。 题目2（原创）第（1）（2）题是三边分别为3、4、5的直角三角形的三角函数值，通过练习培养数感，第（4）对小数的结果会用计算器进行度分表的转化。 题目3（改编）进一步体会锐角三角函数的增减性。余弦值随着锐角度数的增加而减少。 题目4（原创）设计思路让学生体会用三角函数可以表示边，只要知道锐角的度数，可用计算器求出结果，这里重点是表示边长。没有要求计算结果。 题目5（改编）在学生已经能熟练使用计算器的基础上，通过计算的出猜想，并能推理验证猜想，培养学生的探究意识。
课时作业设计表
第一课时 课题 解直角三角形（1）
课时目标 序号 内容 水平
1 了解解直角三角形的意义。 理解
2 合理的选择关系式，用两条边解直角三角形，会用一条边和一个锐角解直角三角形。 应用
3 经历运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力。 迁移
题目属性（使用时间为课上或课后；难度为简单、中等或较难；来源分为原创、改编或引用；可加行） 题号 对应课时目标 使用 时间 题型 难度 预设 时长 来源
1 1、2 课后 解答 简单 4分钟 改编
2 1、2 课后 解答 简单 4分钟 改编
3 1、2、3 课后 解答 中等 5分钟 原创
4 1、2、3 课后 解答 中等 8分钟 原创
5 1、2、3 课后 解答 较难 10分钟 改编
参考答案 及 评价标准 （与题目题号对应） 【参考答案】 解：在Rt△ABC中， ∵,a=4，b=， ∴c===8. ∵sinA= , ∴∠A=30° ∴∠B=60° 【评价标准】已知两边解直角三角形时，运用勾股定理求第三条边，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数求角度。 【参考答案】 解：在Rt△ABC中， ∵∠A=30°，sinA= ∴∠B=90°－∠A=90°－30°=60°， a=c sinA=c sin30°=c ∵c－a=64， ∴c－==64， ∴c=128 ∴a=64 ∵,a=64，c=128， ∴b== 【评价标准】利用已知角的锐角三角函数求得直角边和斜边的关系，进而求得直角三角形的两边长。培养学生发现问题、解决问题的能力。 3.【参考答案】在Rt△ABC中， ∵,a=7，c=， ∴b== ∵， 由表格中的数据可得， ∠A≈34.99°≈35° ∴∠B=90°－∠A=90°－35°≈57° 【评价标准】已知两边解直角三角形时，运用勾股定理求第三条边，正确选择表格中的参考数据求角度。 4.【参考答案】易错点1：（1）中想不到合适的方法，易出错；易错点2：（2）中求DM时，数值为分数，计算难度增加，若选择勾股定理求边长，更易出错。 解：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°， ∵BC=8，tanB= ∴AC=15 ∵, ∴AB===17 ∵CD⊥AB ∴B×CD=C×CB ∴CD= ∵∠ACB=90°，CD⊥AB ∴∠ACB=∠CDB=90° ∵∠B为公共角 ∴△DBC∽△CBA ∴ ∴BD=B== ∵M为AB的中点 ∴BM=AM= ∴DM=BM－BD= 在Rt△DCM中，tan∠DCM= 【评价标准】(1)中利用直角三角形的等面积法，求得斜边上的高。（2）中利用相似或勾股定理求得所需边长，然后再根据三角函数求得即可。 【参考答案】 解：(1)作边AB的垂直平分线，交AC于点D，连接BD. ∴AD=BD ∴∠A=∠DBA=15° ∴∠CDB=30° 在Rt△DCB中，∠CDB=30° ∴BD=2BC=10 ∴AD=10,CD= ∴AC=AD+CD=10+ 在Rt△ACB中，∠A=15° ∴∠ABC=90°－∠A=75° ∴tan75°= 【评价标准】本题中没有特殊角，也没有参考数据，通过作辅助线，得到特殊角，进而求解直角三角形即可
设计说明 1.题目设计遵循由易到难的螺旋上升排列。有利于分层作业，符合学生的学习规律，教学应渗透“转化”思想。 第 1题是基础题，较简单，将课本上的例题为原型进行改编，将结论和条件中的一个条件互换，目的是巩固基础知识。 第2题是基础题，较简单，将课本上的例题为原型进行改编，将已知边长改为知两边的关系，培养学生发现问题、解决问题的能力。 中档题目选题灵活，更好的活学活用知识，更好的考查学生的学习。 第3题是中档题，加入了利用计算器求角度的内容；第 4 题难度加大，利用三角形的等面积法，求得高，在第二问中可选择两种方法求边长，熟悉基本图形，会加快做题的速度，培养学生的灵活运用能力。 较难题设置跨度大，能为优秀学生提供更加广阔视角，更能激发学生学习兴趣。 第 5 题是针对常见角度的半角如何求其三角函数，让学生学以致用，将辅助线的构造发挥的淋漓尽致，但是万变不离其宗，在没有参考数据的情况下，应构造含特殊角的直角三角形，在利用特殊角的三角函数求解即可。
课时作业设计表
第一课时 课题 解直角三角形（2）
课时目标 序号 内容 水平
1 在复杂的图形中会用两条边、一条边和一个锐角解直角三角形。 理解
2 通过作辅助线，将非直角三角形问题转化为解直角三角形问题。 应用
3 通过运用数学知识解决问题，感悟“转化”思想。 迁移
题目属性（使用时间为课上或课后；难度为简单、中等或较难；来源分为原创、改编或引用；可加行） 题号 对应课时目标 使用 时间 题型 难度 预设 时长 来源
1 1、2 课下 解答 简单 4分钟 原创
2 1、3 课下 解答 简单 4分钟 改编
3 1、3 课下 解答 中等 5分钟 改编
4 1、2、3 课下 解答 中等 5分钟 引用
5 1、2、3 课下 解答 较难 10分钟 改编
参考答案 及 评价标准 （与题目题号对应） 1.【参考答案】(1)+2 (2)+2 作辅助线，构造含特殊角30°、45°、60°的直角三角形。 【易错提醒】学生容易受第（1）小问的干扰，做第（2）小问时仍然在三角形内部作高，这样就会出现含15°角的直角三角形，让学生解题受到困惑。 【评价标准】（1）知一条边和一个锐角求解直角三角形。（2）AC不为直角三角形的边，通过设未知数列方程，感受方程思想。 2.【参考答案】 作AD⊥BC，在Rt△ABC中求出BD=1，AD=2 由等腰三角形的性质知BD=2， 作BE⊥AC，等面积法求出BE=， 进而得到sinA=. 【评价标准】体会等腰三角形的性质及等面积求线段的长度，将三线合一及高自然而然的应用到解直角三角形中 3．【参考答案】在Rt△BCD中， ∵，BD=4, ∴BC=5，CD=4 作EM⊥AB，由三角形中位线定理知 EM=，DM=2， 【评价标准】求角的三角函数值，就是将这个角放在直角三角形中，借助三角形中位线定理求出所需边的长，借助三角函数的定义求解. 4.【参考答案】作DM⊥AB交AB的延长线于点M， 设BD=x， 在Rt△BDM中，BM=DM=x, 在Rt△BDC中，DC=x，BC=x 在Rt△ABC中，AB=AC=x 【评价标准】题目中没有告诉任何一条边的长度，可以借助特殊角直角三角形边之间的关系求解或用一线三直角模型，△BDM∽△CBA，相似比是 5.【参考答案】 图1在Rt△ABE中，∠BAD=60°，AB=4， ∴AE=8,∵AD=5，则DE=3 在Rt△CDE中，易得CD=， 在Rt△ADC中，AC==2 图2的辅助线与图1思想方法类似都是将60°角、AB边保留在一个直角三角形中，借助矩形CDNM利用DN=CM=3，进而求解Rt△BCD. 【评价标准】提供了两种方法，两种作辅助线的方式都是将四边形问题转化为求解特殊角的直角三角形问题.
设计说明 整体设计有梯度，有分层，适合不同层次的学生。 题目1（原创）以课本上的例题为参考，设置了两小问，虽然辅助线的位置不同，但都是为了构造含特殊角的直角三角形，让学生在变中找不变，为后续解题积累经验。 题目2（改编）以等腰三角形为背景，等腰三角形的性质三线合一以及等面积法求出腰上的高，借助三角函数的概念解决问题 题目 3 (改编)此题图形看似复杂，容易求出线段CD的长度，为了求角的三角函数必须将其放在直角三角形或者转化角，此题选择构造直角三角形借助三角形中位线定理求出边长，问题便迎刃而解。 题目4 （引用）一副三角板组合题目，在没有给出边的长度，借助特殊直角三角形边角关系去表示其余各边或者借助一线三直角厘清边与边之间的关系，进而求出三角函数值(本题提供了两种方法)。 题目 5 （改编）依托于课本上的课后习题进行改编，让学生学以致用，将辅助线的构造发挥的淋漓尽致，但是万变不离其宗，构造直角三角形借助三角函数解决边角关系的思想在每道题目中都有所渗透。
课时作业设计表
第一课时 课题 三角函数的应用
课时目标 序号 内容 水平
1 理解仰角、俯角、方位角、坡比（坡度）、坡角等概念。 理解
2 能够把实际问题转化为数学问题，画出示意图，构造辅助线，体会三角函数在解决问题中的应用。 掌握
3 会对结果的意义进行说明，发展数学应用意识和解决问题的能力。 运用
题目属性（使用时间为课上或课后；难度为简单、中等或较难；来源分为原创、改编或引用；可加行） 题号 对应课时目标 使用 时间 题型 难度 预设 时长 来源
1 1、2 课下 填空 中等 3分钟 改编
2 1、2 课下 选择 中等 5分钟 改编
3 1、2 课下 解答 简单 4分钟 引用
4 1、2、3 课下 解答 较难 6分钟 改编
5 1、2、3 课下 解答 较难 6分钟 引用
参考答案 及 评价标准 （与题目题号对应） 1【参考答案】40°． 【易错提醒】仰角的概念：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角。学生对仰角的概念掌握的不牢固。会产生错误答案50° 【评价标准】量角器的0刻度线AB对准楼顶时，铅垂线对应的度数是50°，则过AB中点的水平线对应的是140°，所以此时观察楼顶的仰角度数是40°． 2【参考答案】C． 如图，延长DC交EA于点F，则CF⊥EA． ∵山坡AC上坡度＝1:2.4，AC＝26米， ∴令CF＝k，则AF＝2.4k， 由勾股定理，得k2＋(2.4k)2＝262，解得k＝10，从而AF＝24，CF＝10，EF＝30． 在Rt△DEF中，tanE＝， 故DF＝EF tanE＝30×tan48°＝30×1.11＝33.3， 于是，CD＝DF－CF＝23.3，故选C． 【评价标准】本题主要考查了勾股定理，解直角三角形以及坡度问题，通过作恰当的辅助线，构造直角三角形，将实际问题转化成解直角三角形求解是解题的关键． 3【参考答案】铜像AB的高度是14m； 解：由题意知：CE=32m，EF=BD=4m，∴CF=CE-EF=28m， ∵四边形BFCG是矩形，∴BG=CF=28m, 在Rt△BCG中，，∴CG=14m 在Rt△ACG中，∠ACG=45°∴AG=CG=14m ∴AB=BG-AG=28-14=14m. 【评价标准】应用矩形的性质转化边长，然后在直角三角形中选取适当的三角函数解直角三角形. 4【参考答案】解：假设点D移到D′的位置时，恰好α＝39°， 过点D作DE⊥AC于点E，过点D′作D′E′⊥AC于点E′，如图所示． ∵CD＝12，∠DCE＝60°， ∴DE＝CD·sin 60°＝12×＝6 ， CE＝CD·cos 60°＝12×＝6. ∵DE⊥AC，D′E′⊥AC，DD′∥CE′， ∴四边形DEE′D′是矩形．∴D′E′＝DE＝6 . ∵∠D′CE′＝39°，∴CE′＝≈≈12.8. ∴EE′＝CE′－CE≈12.8－6＝6.8≈7. 答：学校至少要把坡顶D向后水平移动7 m才能保证教学楼的安全． 【评价标准】本题主要考查了解直角三角形，矩形的性质熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 题目5 【参考答案】（1）车盖最高点B’到地面的距离是21.5米 作B′E⊥AD，垂足为E，在Rt△AB′E中，AB′=AB=1 ∴， ∴0.454=0.454 ∵平行线间的距离处处相等 ∴B′E+AO=0.454+1.7=2.154≈2.15 没有危险 过点C′作C′F⊥B′E，垂足为点F 易得C′B′E=60°，在Rt△B′C′F中，B′C′=BC=0.6 ∴B′F=B′C′ ∵平行线间的距离处处相等 ∴C′到地面的距离为：2.15-0.3=1.85>1.8 ∴没有危险。 【评价标准】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系、平行线间的距离处处相等是解题的关键。
设计说明 整体设计有梯度，有分层，适合不同层次的学生。 题目1（改编）概念教学是初中数学课堂教学的重要组成部分，让学生意识到概念的重要性，更深入的理解仰角的概念。 题目2（原创）此题涉及到坡比（坡度）、方位角等概念，在弄清题意的基础上，构造辅助线，解直角三角形解决问题。 题目3（改编）诸葛亮的跨学科素材《出师表》，进一步体会仰角、俯角的概念，选取适当的三角函数值解直角三角形 题目4（改编）根据鲁教版九上课本上49页做一做进行改编，让学生根据题意画出示意图，在两个有公共边的直角三角形中解决问题。 题目5（改编）给学生充足的机会让学生进行讨论，培养学生的探究意识，关注学生把实际问题转化为数学问题，并选择适当的三角函数解决问题，并进一步对结果的意义进行说明。
跨学科综合性（实践类）作业设计表
主题 测量旗杆的高度
跨学科大概念 “测量旗杆的高度”是在九年级学生学完相似三角形、三角函数后,借助生活中的现象开展的数学实践活动，通过整合多个学科的知识和技能,将数学知识应用于真实的生活场景,能让学生对教材知识的感知更加生动立体,在实践中探索和解决实际问题。发挥数学综合实践活动的内在价值，促进不同学科知识的综合运用。
学科素养点 1.经历发现、提出、分析和解决问题的过程,制订不同的测量方案,提升抽象能力和几何直观;在探究所含数学原理的过程中,提升运算能力和推理能力;在探讨方案时澈活学生思维,提升批判性思维和思辨能力﹔在室外实践操作中,提升数据观念和数学应用意识,提高实践能力。 2根据测量需要抽象出数学图形﹐提升将实际问题转化为数学问题的能力;通过制作测角仪、探讨测量方案,在动手、动脑中学数学、用数学,深化对数学知识的理解与应用,提升实践能力与创新能力。 3.在经历提出问题、建构数学模型、求解模型、应用模型、检验模型的过程中,提升数学模型意识和模型观念,提高建模﹑解模能力。
学科内容 1.综合运用相似三角形知识、三角函数知识和勾股定理知识。 2.在测量过程中，经历数据的收集、整理、分析过程，提升数据观念和数据应用意识。
评价标准 或 参考实例 评价标准：为使探究活动深入，发挥主体意识，让学生在“做中学”“学中做”,感受学习的快乐，整个过程围绕个人和小组两个维度进行评价。 “测量旗杆的高度”的个人学习自评表 评价内容4分（高）3分（较高）2分（一般）1分（低）参加这个活动的兴趣程度实际操作、测量的能力数据统计、数据计算的能力与同学的交流合作能力数学知识的应用能力成果展示
“测量旗杆的高度”的小组互评表 评价内容优良一般差小组成员的分工协作能力小组测量方案的可行性小组的解决问题的能力
设计说明 本节课是有关“测量旗杆的高度”综合实践活动课，在设计的过程中突出了两点： 1.改变学生的学习方式，发展学生的主体意识 本次实践活动走出教室、走向校园,活动形式多以学生自主活动和合作学习为主,调动了学生的学习积极性,激发了学生的学习兴趣。学生在跨学科综合实践活动中经历了发现知识的过程,让学生真实地感受知识体系的构建过程、积累活动经验，引导学生从不同角度思考数学问题,培养了学生的创新能力和逻辑思维能力。 2.积累活动经验，发展核心素养 本次实践活动能发挥数学综合实践活动的内在价值,促进不同学科知识的综合运用。学生亲历“测量旗杆高度”的全过程,可以提高思维的广度和深度,体会实践研究的重要性,感受知识的应用价值,提升实践能力、应用意识和创新意识，能让学生对教材知识的感知更加生动立体,在实践中探索和解决实际问题，发展核心素养。 问题起源：（鲁教版教材八年级下册113页、鲁教版教材九年级上册51页） 综合利用前面学过的知识，请你来设计一套测量旗杆高度的方案。 问题1：结合前面学过的知识，设计测量方案。画出你设计的测量平面图，指出所需测量的数据有哪些？ 预设方案1：利用太阳光下的影子。实验原理：利用太阳光是平行光，得到相似三角形。具体操作:小组选一名同学直立于旗杆影子的顶端处，需测量的数据:观测者的身高、观测者的影长、同一时刻旗杆的影长。 预设方案2：利用镜子的反射。实验原理:根据光线的入射角等于反射角，得到相似三角形。具体操作:小组选一名同学作为观测者,在观测者与旗杆之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记。 观测者看着镜子来回移动，直至看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合。需测量的数据:观测者的身高、观测者的脚到镜子的距离和镜子到旗杆底部的距离。 预设方案3：利用标杆。用眼睛观测，观测者的眼睛与标杆的顶端和旗杆的顶端"三点共线"。实验原理:利用太阳光是平行光，得到相似三角形。具体操作:选一名同学作为观测者，在观测者与旗杆之间的地面上直立一根高度适当的标杆。观测者适当调整自己所处的位置，使旗杆的顶部、标杆的顶端、观测者的眼睛恰好在一条直线上。需测量的数据:观测者的眼睛到地面的距离EF、观测者的脚到标杆底部的距离FD和到旗杆底部的距离FB、标杆的高CD. 预设方案4：利用锐角三角函数。实验原理:构建直角三角形，解直角三角形。具体操作:在地面上放一个侧倾器（或测角仪），转动度盘，使度盘的直径对准目标M，测得M的仰角∠MCE (利用测角仪)。需测量的数据:侧倾器到旗杆底部的距离AN和侧倾器的高度AC. 预设方案5：利用照相机。实验原理:利用照相机的原理把物体按照一定比例缩小，根据比例尺求旗杆高度。具体操作:选一位同学，脚与旗杆底部几乎重合站立 好，用相机照出旗杆和同学的照片。需测量的数据:同学的身高、照片上同学的身高和旗杆的高度。 预设方案6：利用勾股定理。实验原理：将升旗用的绳子和旗杆比较，根据勾股定理列方程求出旗杆的高度。具体操作：测出从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长多少，一名同学拉着绳子的下端往后退，将绳子拉直。需测量的数据：拉绳子的手到地面的距离CD与到旗杆的距离CE。 【设计说明】“测量旗杆的高度”是真实的相对复杂的但学生感兴趣且具有挑战性的实践活动。从能力上看,九年级学生已有数据收集、整理、分析的能力,会把现实问题转化成数学问题借助数学模型加以解决,也具备一定的探究能力与合作意识。学生围绕学习的主题开展研究,从独立思考到合作探究,经历发现、提出、分析、解决问题的过程,从数学的角度思考问题,用数学的眼光观察现实世界,用数学的思维思考现实世界,用数学的语言表达现实世界。 问题2：探究原理，可制定哪些可行性方案？ 【设计说明】教师引导学生多维度思考、分析、探究,对测量方案进行优化、完善,并考虑方案执行的可行性、执行过程中可能存在的问题及解决办法(如部分方案会受外界因素干扰或受场地、工具等限制) ,必要时给予帮助。 问题3：根据你测量的数据，计算旗杆的高度。 【设计说明】在实践活动中,学生们充当“参照物”，配合旗杆和镜子构造相似三角形，拉 着卷尺反复测量数据,为计算争取更小误差，小组成员分工合作,各司其职。 测量原理分为运用相似三角形知识、三角函数知识和勾股定理知识。 问题4：将测量旗杆高度改为测量底部不可以到达的物体的高度，你还能设计出测量方案吗？ 预设方案： ( 1)在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE. (2）在测点A与物体MN之间的B处安置测倾器（ A，B与N在同一条直线上)，测得此时M的仰角∠MDE. (3）量出测倾器的高度AC=BD，以及测点A和测点B之间的水平距离AB. 根据测量数据，利用三角函数求出物体MN的高度。 【设计说明】测量底部不可达的物体的高度，考察学生灵活运用所学知识的能力，通过知识的迁移解决问题。 问题5：（拓展）若在海上直线航行，你能设计一种测量海上两个岛屿之间距离的方案吗？ 预设方案:如图，A、B是已知的两个小岛，航船时刻在C处，以从C到D的航向航行，测出∠ACD和∠BCD;在时刻，航船航行到D处，测出∠CDB和∠CDA.已知航船的速度为v.利用正弦定理、余弦定理可求得A、B之间的距离。 【设计说明】本节实践课让学生经历发现、提出、分析、解决问题的过程，迁移到解决其他现实问题，将所学知识灵活运用到现实生活中，感受知识的应用价值，学会从数学的角度思考问题，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界。 问题6：（中考链接）如图，希望中学的教学楼AB和综合楼CD之间生长着一棵高度为12.88米的白杨树EF，且其底端B，D，F在同一直线上，BF＝FD＝40米．在综合实践活动课上，小明打算借助这棵树的高度测算出综合楼的高度，他在教学楼顶A处测得点C的仰角为9°，点E的俯角为16°． 问小明能否运用以上数据，得到综合楼的高度？若能，请求出其高度（结果精确到0.01米）；若不能，说明理由． 解答过程中可直接选用表格中的数据哟！ 科学计算器按键顺序计算结果（已取近似值）0.1560.1580.2760.287
【设计说明】让学生感受中考题中如何利用数学知识解决现实问题，让学生感悟数学与生活的关联。学会从数学的角度思考问题，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界。
单元教学设计
单元名称： 直角三角形的边角关系
所在年级： 九年级
教材版本： 鲁教版五四制
一、单元信息
基本信息 学科 年级 学期 教材版本 单元名称
数学 九年级 第一学期 鲁教版 直角三角形的边角关系
单元呈现方式 教材自然单元
课时信息 序号 课时名称 对应教材内容
1 锐角三角函数 （P24-P29）
2 30°，45°，60°角的 三角函数值 （P30-P33）
3 用计算器求锐角的三角函数值 （P34-P39）
4 解直角三角形1 （P40-P43）
5 解直角三角形2 （P44-P45）
6 三角函数的应用 （P46-P50）
7 测旗杆的高度 综合实践作业
8 锐角三角函数科普阅读 跨学科科普阅读
9 锐角三角函数初高衔接 两角和的正切公式的推导和应用
二、单元分析
1.教材分析
直角三角形的边角关系是鲁教版九年级上册第二章的内容，借助函数的概念，对直角三角形的边角关系进行建构和量化，是在原有知识技能的整合与提升，为复杂背景下的问题解决，以及向更高学段的拓展与延伸打下基础。与一次函数、反比例函数不同的是，锐角三角函数依托直角三角形引入，更为形象直观。因此，初中阶段运用锐角三角函数进行问题解决，需要以直角三角形为背景。在教学过程中，要引导学生树立借助直角三角形进行量化运算的观念，进一步发展数形结合的能力。发展建立基本代数模型解决几何问题的意识和能力，提升数学抽象、运算能力、模型观念和应用意识。为在反比例函数、二次函数和圆中，基于图形构造的锐角三角函数的运用以及问题解决创造可能。
直角三角形相关知识和技能的发展过程：
课时作业设计说明：
2.学情分析
本单元内容设置在学生学习了直角三角形性质定理，勾股定理及逆定理，函数相关知识之后。学生对直角三角形和函数的概念有了较为全面的认知。但是问题解决的范围具有一定局限性，数形结合的意识不强。对于本单元内容的教学，应立足学情，立足数形结合的提升和素养的发展，从三角函数的定义出发，按照“从特殊到一般”的顺序，将计算30°，45°，60°角的三角函数值的经验推而广之，引导学生进行学习迁移。按照从直角三角形到非直角三角形的顺序，逐渐变换问题情景，引导学生发展数形结合能力，推理能力和运算能力。按照从计算背景到应用背景的顺序，引导学生感悟数学与生活的紧密联系，激发学习兴趣和内驱力，提升发现、提出、分析和解决问题的能力。
三、单元作业目标
课标要求 1.利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sinA,cosA,tanA），知道30°，45°，60°角的三角函数值； 2.能够借助计算器由已知锐角求出它的三角函数值，或由三角函数值求出相应的锐角； 3.能够用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。
单元作业目标 1.通过分层作业的有效设计，理解锐角三角函数的定义，积累解直角三角形的经验 2.通过对易错题的设置和辨析，帮助学生厘清知识脉络，提升应用能力 3.通过初高衔接类作业设计，联通跨学段知识，提升数学思维 4.通过跨学科阅读类作业设计，丰富问题解决的经验，激发创新思维
学科素养培养 数学抽象，推理能力，几何直观，模型观念，数学运算、应用意识
四、单元作业设计理念
1.以“易错题”为抓手，建构清晰的认知结构
通过对“易错题”的辨析，助力学生澄清概念模糊，厘清算理算法，加深对基础知识的理解，熟练基本技能。在解直角三角形的过程中，渗透数形结合思想，发展推理能力和运算能力，建构清晰的认知结构，为已学知识的调用和新学知识的融入奠定基础。
2.以“跨学科问题解决”为途径，激发学生的创新思维
通过解决“测量旗杆高度”一类典型应用问题，融入“镜面反射”“照相机原理”等跨学科知识辅助进行实验，发展用跨学科知识解决本学科问题的意识和能力。通过锐角三角函数跨学科阅读，丰富基本认识，感受数学与生活的密切联系，激发学生的学习兴趣和创新意识。
3.以“初高衔接”为立意，延伸素养发展的空间
通过“初高衔接”问题的设置和解决，引导学生用初中知识解决高中问题，或在高中问题背景下解决初中问题，感受数学发展的魅力。经历问题解决的过程，拓宽问题解决的视角，延长问题解决的路径，体验思想方法的普适性，促进核心素养的可持续发展。
课时（1）锐角三角函数的定义
基础达标
1.（原创题）如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，a,b,c分别是∠A，∠B，∠C的对边，根据下列条件求∠A的三个三角函数值.
（1）b=6，c=，；
（2）b=a
变式1：（1）如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，求∠A，∠B的三个三角函数值.
（2）观察tanA和tanB的关系？sinA和cosB呢？cosA和sinB呢？你能证明吗？
变式2：如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，若BC=AB，求∠B的三个三角函数值.
2．（改编题）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10.
（1）若sinB=，求AC的长；
（2）若tanA=，求AC的长.
巩固提升
3.（改编题）（1）如图1所示，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是
（2）如图2，sinA=
拓展提高
4.（易错题，改编自课本30页习题第5题）在三角形ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，若cos∠BAD=，BD=，则CD=
四、反思与评价
学生自评
作业用时 参考用时： 实际用时：
错题题号
错因分析
错题订正
教师评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A等：答案正确，过程正确 B等：答案正确，过程有问题 C等：答案不正确，有过程不完整
答题的规范性 A等：过程规范，答案正确 B等：过程不够规范，答案正确 C等：过程不规范，答案错误
解法的创新性 A等：解法有新意，答案正确 B等：思路有创新，答案不完整 C等：思路不清楚，过程复杂或无过程
综合评价等级 A等：AAA、AAB B等：ABB、BBB、AAC C等：其余情况
课时（2）30°，45°，60°角的三角函数值
基础达标
1.（原创题）计算：
（1）sin30°+cos60° （2）tan45°+
（3）
（4）
2.（改编题）如图，一段斜坡AB长是m，其倾斜角为60°，求坡顶到地面的高度.
二、巩固提升
3.（改编题）在Rt△ABC中，∠C=90°，，求sinA和tanA.
4.（原创·易错题）如图，在平面直角坐标系中，OB=2，∠BAO=30°.
（1）求直线AB的表达式；
（2）若直线OC⊥AB于点C，求C点的坐标.
三、拓展提高
5.（改编题）已知：如图，正方形ABCD的边长是1，延长边CB到点E，使BE=BD，连接DE.
求：∠EDB的正切值.
四、反思与评价
学生自评
作业用时 参考用时： 实际用时：
错题题号
错因分析
错题订正
教师评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A等：答案正确，过程正确 B等：答案正确，过程有问题 C等：答案不正确，有过程不完整
答题的规范性 A等：过程规范，答案正确 B等：过程不够规范，答案正确 C等：过程不规范，答案错误
解法的创新性 A等：解法有新意，答案正确 B等：思路有创新，答案不完整 C等：思路不清楚，过程复杂或无过程
综合评价等级 A等：AAA、AAB B等：ABB、BBB、AAC C等：其余情况
课时（3） 用计算器求锐角的三角函数值
一、基础达标
1.（原创题）用计算器求下列锐角三角函数值（结果精确到0.1）
（1）sin37°≈__________ .
（2）cos53°≈_________ .
（3）cos23°30'59''≈__________ .
（4）tan36.4°≈__________ .
（原创题）用计算器求下列各锐角的度数（结果保留整数）
（1）sinA≈0.6，则∠A≈__________°
（2）cosA≈0.8，则∠A≈__________°
（3）tanA≈0.27，则∠A≈__________°
(易错题）sin α＝0.3125，则α≈__________° __________′
二、巩固提升
3.（改编题）若∠A=36°，则cosA的大致取值范围是（ ）
A．＜cosA＜ B．0＜cosA＜ C．＜cosA＜ D．以上都不对
4.（原创题）如图，要测量建筑物AB的高度，在地面点C处架起仪器CD，测得仰角
∠ADE=20°，BC=20米，CD=1米，则建筑物AB的高为（ ）米.
A．1＋20·sin 20° B．1＋ C．1＋20·tan 20° D．1－
三、拓展提高
5.(改编题）(1)通过计算(用计算器)，比较下列各对数的大小，并提出你的猜想：
①sin 20°__________2sin 10°cos10°；
②sin 30°__________2sin 15°cos 15°；
③sin 45°__________2sin 22.5°cos 22.5°；
④sin 60°__________2sin 30°cos 30°；
⑤sin 70°__________2sin 35°cos 35°；
⑥sin 90°__________2sin 45°cos 45°.
猜想：若0°＜α≤45°，则sin 2α________2sin αcos α.
(2)如图，已知△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝2α.请根据图中的提示，利用面积方法验证你的结论．
四、反思与评价
学生自评
作业用时 参考用时： 实际用时：
错题题号
错因分析
错题订正
教师评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A等：答案正确，过程正确 B等：答案正确，过程有问题 C等：答案不正确，有过程不完整
答题的规范性 A等：过程规范，答案正确 B等：过程不够规范，答案正确 C等：过程不规范，答案错误
解法的创新性 A等：解法有新意，答案正确 B等：思路有创新，答案不完整 C等：思路不清楚，过程复杂或无过程
综合评价等级 A等：AAA、AAB B等：ABB、BBB、AAC C等：其余情况
课时（4）解直角三角形
基础达标
1.（改编题）如图，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，a=4，b=，解这个直角三角形.
2.（改编题）在Rt△ABC中，已知∠C=90°，c－a=64，∠A=30°，解这个直角三角形.
巩固提升
3.（原创题）在Rt△ABC中，已知∠C=90°，a=7，c=，求∠A和∠B的度数（结果精确到1°）和b的长.
解答过程中可直接选用表格中的数据哟！
科学计算器按键顺序 计算结果（已取近似值）
44.43
45.57
34.99
4.（易错题原创）如图，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，BC=8，tanB=，CD⊥AB于点D，M为AB的中点.
求CD的长.
求tan∠DCM的值.
拓展提高
5.（改编题）在Rt△ABC中，已知∠C=90°，BC=5,∠A=15°.
求AC的长.
求tan75°的值.
四、反思与评价
学生自评
作业用时 参考用时： 实际用时：
错题题号
错因分析
错题订正
教师评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A等：答案正确，过程正确 B等：答案正确，过程有问题 C等：答案不正确，有过程不完整
答题的规范性 A等：过程规范，答案正确 B等：过程不够规范，答案正确 C等：过程不规范，答案错误
解法的创新性 A等：解法有新意，答案正确 B等：思路有创新，答案不完整 C等：思路不清楚，过程复杂或无过程
综合评价等级 A等：AAA、AAB B等：ABB、BBB、AAC C等：其余情况
课时（5） 解直角三角形
基础达标
1．（易错题）
（1）如图（1），在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝4，求AB的长；
（2）如图（2），在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝15°，AC＝2，求AB的长．
2.（改编题）如图，在△ABC中，AB＝AC＝，，求的值．
二、巩固提升
3.（改编题）如图在中，是边上的高，是边上的中线，已知，求的值．
4.（引用）如图将一副三角尺如图摆放在一起,连接AD，试求∠BAD的正切值.
三、拓展提高
5.(改编题)在一节数学实践课上，老师出示了这样一道题，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝60°，AB＝4，AD＝5．求AC的长.
四、反思与评价
学生自评
作业用时 参考用时： 实际用时：
错题题号
错因分析
错题订正
教师评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A等：答案正确，过程正确 B等：答案正确，过程有问题 C等：答案不正确，有过程不完整
答题的规范性 A等：过程规范，答案正确 B等：过程不够规范，答案正确 C等：过程不规范，答案错误
解法的创新性 A等：解法有新意，答案正确 B等：思路有创新，答案不完整 C等：思路不清楚，过程复杂或无过程
综合评价等级 A等：AAA、AAB B等：ABB、BBB、AAC C等：其余情况
课时（6）三角函数的应用
一、基础达标
1.（易错题）如图，在量角器的圆心O处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪，量角器的0刻度线AB对准楼顶时，铅垂线对应的度数是50°，则此时观察楼顶的仰角度数是___________．
2.（改编题）为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度（或坡比）i＝1:2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD．测得古树底端C到山脚点A的距离AC＝26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D位于E北偏东42°(古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直），则古树CD的高度约为（ ）（参考数据：.67，，）
A．17.0米 B．21.9米 C．23.3米 D．33.3米
巩固提升
3.（引用）学生学完诸葛亮的《出师表》．某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动，测量诸葛亮铜像的高度．如图，在点C处探测器显示，热气球到铜像底座底部所在水平面的距离CE为32m，从热气球C看铜像顶部A的俯角为45°，看铜像底部B的俯角为63.4°。已知底座BD的高度为4m，求铜像AB的高度．（结果保留整数．参考数据：，，，1.414）
4.（改编题） 如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12 m，坡角α 为60°，根据有关部门的规定，α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？(结果取整数，参考数据：，，，，1.732，)
三、拓展提高
5.(改编题)图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC表示车后盖，已知，BC=0.6m，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖ABC落在AC处，与水平面的夹角．
(1)求打开后备箱后，车后盖最高点B到地面l的距离；
(2)若小琳爸爸的身高为1.8m，他从打开的车后盖C处经过，有没有碰头的危险 请说明理由．（结果精确到0.01m，参考数据：，，，）
四、反思与评价
学生自评
作业用时 参考用时： 实际用时：
错题题号
错因分析
错题订正
教师评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A等：答案正确，过程正确 B等：答案正确，过程有问题 C等：答案不正确，有过程不完整
答题的规范性 A等：过程规范，答案正确 B等：过程不够规范，答案正确 C等：过程不规范，答案错误
解法的创新性 A等：解法有新意，答案正确 B等：思路有创新，答案不完整 C等：思路不清楚，过程复杂或无过程
综合评价等级 A等：AAA、AAB B等：ABB、BBB、AAC C等：其余情况
跨学科综合性（实践类）作业
综 合 实 践 课题：测量旗杆的高度
学习目标： 1.通过测量旗杆的高度的活动，发挥数学综合实践活动的内在价值，促进不同学科知识的综合运用，巩固相似三角形和三角函数、勾股定理等有关知识，积累数学活动的经验。 熟悉测量工具的使用技能，了解小镜子使用的物理原理，通过测量活动，使学生初步学会数学建模的方法。 3.理解数学模型来源生活，又为解决生活中的某一问题而服务，体会数学与实际生活的紧密联系，从而增强学生的数学应用意识。
综合实践作业设计： 问题起源：（鲁教版教材八年级下册113页、鲁教版教材九年级上册51页） 综合利用前面学过的知识，请你来设计一套测量旗杆高度的方案。 问题1：结合前面学过的知识，设计测量方案。画出你设计的测量平面图，指出所需测量的数据有哪些？ 预设方案1：利用太阳光下的影子。实验原理：利用太阳光是平行光，得到相似三角形。具体操作:小组选一名同学直立于旗杆影子的顶端处，需测量的数据:观测者的身高、观测者的影长、同一时刻旗杆的影长。 预设方案2：利用镜子的反射。实验原理:根据光线的入射角等于反射角，得到相似三角形。具体操作:小组选一名同学作为观测者,在观测者与旗杆之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记。 观测者看着镜子来回移动，直至看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合。需测量的数据:观测者的身高、观测者的脚到镜子的距离和镜子到旗杆底部的距离。 预设方案3：利用标杆。用眼睛观测，观测者的眼睛与标杆的顶端和旗杆的顶端"三点共线"。实验原理:利用太阳光是平行光，得到相似三角形。具体操作:选一名同学作为观测者，在观测者与旗杆之间的地面上直立一根高度适当的标杆。观测者适当调整自己所处的位置，使旗杆的顶部、标杆的顶端、观测者的眼睛恰好在一条直线上。需测量的数据:观测者的眼睛到地面的距离EF、观测者的脚到标杆底部的距离FD和到旗杆底部的距离FB、标杆的高CD. 预设方案4：利用锐角三角函数。实验原理:构建直角三角形，解直角三角形。具体操作:在地面上放一个侧倾器（或测角仪），转动度盘，使度盘的直径对准目标M，测得M的仰角∠MCE (利用测角仪)。需测量的数据:侧倾器到旗杆底部的距离AN和侧倾器的高度AC. 预设方案5：利用照相机。实验原理:利用照相机的原理把物体按照一定比例缩小，根据比例尺求旗杆高度。具体操作:选一位同学，脚与旗杆底部几乎重合站立 好，用相机照出旗杆和同学的照片。需测量的数据:同学的身高、照片上同学的身高和旗杆的高度。 预设方案6：利用勾股定理。实验原理：将升旗用的绳子和旗杆比较，根据勾股定理列方程求出旗杆的高度。具体作：测出从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长多少，一名同学拉着绳子的下端往后退，将绳子拉直。需测量的数据：拉绳子的手到地面的距离CD与到旗杆的距离CE。 问题2：探究原理，可制定哪些可行性方案？ 问题3：根据你测量的数据，计算旗杆的高度。 问题4：将测量旗杆高度改为测量底部不可以到达的物体的高度，你还能设计出测量方案吗？ 预设方案： （1）在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE. （2）在测点A与物体MN之间的B处安置测倾器（ A，B与N在同一条直线上)，测得此时M的仰角∠MDE. （3）量出测倾器的高度AC=BD，以及测点A和测点B之间的水平距离AB. 根据测量数据，利用三角函数求出物体MN的高度。 问题5：（拓展）若在海上直线航行，你能设计一种测量海上两个岛屿之间距离的方案吗？ 预设方案:如图，A、B是已知的两个小岛，航船时刻在C处，以从C到D的航向航行，测出∠ACD和∠BCD;在时刻，航船航行到D处，测出∠CDB和∠CDA.已知航船的速度为v.利用正弦定理、余弦定理可求得A、B之间的距离。 问题6：（中考链接）如图，希望中学的教学楼AB和综合楼CD之间生长着一棵高度为12.88米的白杨树EF，且其底端B，D，F在同一直线上，BF＝FD＝40米．在综合实践活动课上，小明打算借助这棵树的高度测算出综合楼的高度，他在教学楼顶A处测得点C的仰角为9°，点E的俯角为16°． 问小明能否运用以上数据，得到综合楼的高度？若能，请求出其高度（结果精确到0.01米）；若不能，说明理由． 解答过程中可直接选用表格中的数据哟！ 科学计算器按键顺序计算结果（已取近似值）0.1560.1580.2760.287
评价标准： “测量旗杆的高度”的个人学习自评表 评价内容4分（高）3分（较高）2分（一般）1分（低）参加这个活动的兴趣程度实际操作、测量的能力数据统计、数据计算的能力与同学的交流合作能力数学知识的应用能力成果展示
“测量旗杆的高度”的小组互评表 评价内容优良一般差小组成员的分工协作能力小组测量方案的可行性小组的解决问题的能力
三角函数跨学科阅读
一、三角函数
三角函数是基本初等函数之一，是以角度（数学上最常用弧度制，下同）为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。三角函数一般用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度，在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途。
二、三角学及三角形的发展历史
“三角学”，英文Trigonometry。现代三角学一词最初见于希腊文。最先使用Trigonometry这个词的是皮蒂斯楚斯，他在1595年出版一本著作《三角学：解三角学的简明处理》，创造了这个新词。它是由τριγωυου（三角形）及μετρει υ（测量）两字构成的，原意为三角形的测量，或意为解三角形。古希腊文里没有这个字，原因是当时三角学还没有形成一门独立的科学，而是依附于天文学。因此解三角形构成了古代三角学的实用基础。
早期的解三角形是因天文观测的需要而引起的。还在很早的时候，由于垦殖和畜牧的需要，人们就开始作长途迁移；后来，贸易的发展和求知的欲望，又推动他们去长途旅行。在当时，这种迁移和旅行是一种冒险的行动。人们穿越无边无际、荒无人烟的草地和原始森林，或者经水路沿着海岸线作长途航行，无论是那种方式，都首先要明确方向。那时，人们白天拿太阳作路标，夜里则以星星为指路灯。太阳和星星给长期跋山涉水的商队指出了正确的道路，也给那些沿着遥远的异域海岸航行的人指出了正确的道路。
就这样，最初的以太阳和星星为目标的天文观测，以及为这种观测服务的原始的三角测量就应运而生了。因此可以说，三角学是紧密地同天文学相联系而迈出自己发展史的第一步的。
三角学问题的提出：三角学理论的基础，是对三角形各元素之间相依关系的认识。一般认为，这一认识最早是由希腊天文学家获得的。当时，希腊天文学家为了正确地测量天体的位置。研究天体的运行轨道，力求把天文学发展成为一门以精确的观测和正确的计算为基础之具有定量分析的科学。他们给自己提出的第一个任务是解直角三角形，因为进行天文观测时，人与星球以及大地的位置关系，通常是以直角三角形边角之间的关系反映出来的。在很早以前，希腊天文学家从天文观测的经验中获得了这样一个认识：星球距地面的高度是可以通过人观测星球时所采用的角度来反映的；角度（∠ABC）越大，星球距地面（AC）就越高。然而，星球的高度与人观测的角度之间在数量上究竟怎么样呢？能不能把各种不同的角度所反映的星球的高度都一一算出来呢？这就是天文学向数学提出的第一个课题－制造弦表。
独立三角学的产生：虽然后期的阿拉伯数学家已经开始对三角学进行专门的整理和研究，但是严格地说，他们并没有创立起一门独立的三角学。真正把三角学作为数学的一个独立学科加以系统叙述的，是德国数学家雷基奥蒙坦纳斯。
雷基奥蒙坦纳斯是十五世纪最有声望的德国数学家约翰·谬勒的笔名。他生于哥尼斯堡，年轻时就积极从事欧洲文艺复兴时期作品的收集和翻译工作，并热心出版古希腊和阿拉伯著作。因此对阿拉伯数学家们在三角方面的工作比较了解。
1464年，他以雷基奥蒙坦纳斯的名字发表了《论各种三角形》。在书中，他把以往散见在各种书上的三角学知识，系统地综合了起来，成了三角学在数学上的一个分支，
现代三角学的确认：直到十八世纪，所有的三角量：正弦、余弦、正切、余切、正割和余割，都始终被认为是已知圆内与同一条弧有关的某些线段，即三角学是以几何的面貌表现出来的，这也可以说是三角学的古典面貌。三角学的现代特征，是把三角量看作为函数，即看作为是一种与角相对应的函数值。这方面的工作是由欧拉作出的。1748年，欧拉发表著名的《无穷小分析引论》一书，指出：”三角函数是一种函数线与圆半径的比值”。具体地说，任意一个角的三角函数，都可以认为是以这个角的顶点为圆心，以某定长为半径作圆，由角的一边与圆周的交点P向另一边作垂线PM后，所得的线段OP、OM、MP（即函数线）相互之间所取的比值，sinα=MP/OP，cosα=OM/OP，tanα=MP/OM等。若令半径为单位长，那么所有的六个三角函数又可大为简化。
欧拉的这个定义使三角学从静态地只是研究三角形解法的狭隘天地中解脱了出来，使它有可能去反映运动和变化的过程，从而使三角学成为一门具有现代特征的分析性学科。正如欧拉所说，引进三角函数以后，原来意义下的正弦等三角量，都可以脱离几何图形去进行自由的运算。一切三角关系式也将很容易地从三角函数的定义出发直接得出。这样，就使得从希帕克起许多数学家为之奋斗而得出的三角关系式，有了坚实的理论依据，而且大大地丰富了。严格地说，这时才是三角学的真正确立。
三、我国三角函数的发展历史
我国对三角早有研究，早在春秋战国时期，齐国出了一本有名的工具书，名叫《考工记》，书中记载了几种特殊角的名称： 90°角叫做“矩”，45°角 叫做“宣”，135°角 叫做“罄(qing)折"等。
在公元前1世纪成书的数学著作《周髀算经》里，记载了平面测量的内容，其中包括利用直角三角形和勾股定理来解决一些实际问题。公元3世纪我国著名数学家刘徽在计算单位圆(半径等于单位长度的圆)的内接(顶点都在同一圆上)正六边形等图形的边长时，以及公元13世纪赵友钦在计算圆内接正方形的边长时，实际上已求得了某些特殊角的正弦值。在我国古代历法书中关于根据竿的不同影长来确定季节和时令的方法的记载，实际上已构成了一份余切值表。
16世纪，外国的三角知识传入我国，那时已有正弦、余弦、正切、余切、正割、余割及正矢、余矢等八个名称，总称八线。17世纪，第一部中文的平面三角学(邓玉函等编译的《大测》2卷)和球面三角学(徐光启等编译的 《测量全义》10卷 )相继问世。
四、音乐中的三角函数
人们把数学、音乐、图画作为宇宙的语言与有智慧生命的“外星人"交往，可能吗？美国的“航行者”号太空船遨游在群星之中，飞船里有一张即使使用十亿年也嘹亮如新的唱片，它向“外星人”带去了人类的问候，唱片中有七段音乐，其中有一首是中国古琴曲《流水》，描述了人的意识与宇宙的交融，音乐靠听,图画靠看，数学靠思考，这是人类的三种本质属性，也应当是宇宙智慧生命的共同属性。
三角函数与音高的关系：音高是音乐中最基本的元素之一，三角函数可以用来描述和分析音高的变化规律。通过研究不同频率的声音波形，我们可以发现它们之间的周期性和对称性。在音乐理论中，调谐系统是一种将不同频率的音高组织起来的方法。其中，十二平均律是最常用的一种，它的基础是将一个八度分为12个半音，每个半音之间的频率比为。这个比例关系可以用三角函数来表示，并且可以通过计算得到各个半音的频率值。三角函数还可以用于音乐合成领域。例如，在FM (频率调制)合成中，两个正弦波的频率之差决定了音高，而相位差则决定了音色。这些都可以通过三角函数来进行精确控制。
三角函数与和声的关系：和声是指同时发出的两个或多个音高，它们之间存在着某种和谐的关系。在音乐中，不同的和声组合可以产生不同的色彩和情感效果。三角函数可以用来描述和分析和声的数学结构。例如，和弦是由三个或更多个音高组成的，它们之间的频率比通常遵循一定的规则，如三和弦、七和弦等。基于三角函数的和声理论可以帮助我们更好地理解和创作音乐。通过研究和声的变化规律，我们可以创造出更加丰富和多样的音乐作品
三角函数与节奏的关系：节奏是音乐中的另一个重要元素，它定义了音乐的时间结构。通过对不同节奏模式的研究，我们可以发现它们之间的，周期性和对称性。三角函数可以用来描述和分析节奏的变化规律。例如，在音乐节拍中，周期性的强弱变化可以用三角函数来表示，这样可以更准确地表达出音乐的节奏感。利用三角函数的性质，我们可以设计出各种复杂的节奏模式，并且将其应用到音乐创作中。
三角函数初高衔接1
借助单位圆探究任意角的三角函数值
小明在学习了锐角三角函数后，提出一个疑问，大于90°的角有没有三角函数值呢？为此他查阅了资料，拓宽了对三角函数概念的理解.
材料学习
半径为1的圆称为单位圆，以单位圆的圆心O为原点，以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系。射线OA从x轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角为，终止位置为OP，终边OP与单位圆交于点P.
（注：我们规定，一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角）.
这样借助单位圆可以表示任意角了.
三角函数概念的再认识：
为任意一个角，它的终边OP与单位圆的交点P（x，y）
把点P的纵坐标y叫做的正弦函数，记作sin，即y=sin
（2）把点P的横坐标x叫做的余弦函数，记作cos，即x=cos
（3）把点P的纵坐标与横坐标的比值 叫做的正切，记作tan，即 =tan
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二、结合以上材料学习，完成下面表格
0° 30° 45° 60° 90° 180° 270°
sin
cos
tan
-30° -45° -60° -90° -135° -180° -270°
sin
cos
tan
三角函数初高衔接2
正弦三角函数图象初探
小明同学学习了三角函数后思考，我们学过的函数都有图象，那么三角函数的图象是什么样呢？
小明查阅资料，进行了探究学习。
角度与弧度的换算
材料学习
我们知道，角可以用度为单位进行度量，1度的角等于周角的，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制.
下面介绍在数学和其他科学研究中经常采用的另一种度量角的单位制——弧度制.
如图，射线OA绕端点O旋转到OB形成∠AOB，在旋转过程中，射线OA上的一点P（不同于点O）的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角∠AOB.
设∠AOB=n°，OP=r，点P所形成的圆弧⌒PQ的长为l.由初中所学知识可知
l=，于是
可以发现圆心角∠AOB所对的弧长与半径的比值，只与角∠AOB的大小有关.我们规定:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
根据上述规定，在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为弧度，那么 =
因为周角的弧度是2，而在角度制下的度数是360°，所以
360°=2弧度 180°=弧度
所以 1°=弧度
1弧度=（）°
这样就可以进行弧度与角度的换算了.
、结合以上材料学习，完成下面表格
角度 -180° -90° -60° -30° 0° 30° 60° 90° 180° 270°
弧度
正弦函数的图象
列表
-2 - 0 2
y=sin
描点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图
正弦函数的图象是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线，叫做正弦曲线.
结合图象解决下列问题
正弦函数的函数值的最大值 ，最小值 .
当- -<<时，函数值y随的增大而
当-<<时，函数值y随的增大而
正弦曲线是否为轴对称图形，若是，写出对称轴.
正弦曲线是否为中心对称图形，若是，写出对称中心.
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三角函数初高衔接3
两角和的正切公式探究与应用
以几何图形为背景，探索高中两角和的三角函数公式，并应用公式解决初中问题。
探究新知
如图，在矩形 ABCD 中，E、F 分别在边 CD、AD 上，∠EBC = α，∠EBF = β，EF⊥EB，设BC=1
（1）在Rt△BCE中，EC= (用 α的三角函数表示）
由COSα，得BE= (用 α的三角函数表示）
（2）在Rt△BFE中， 由COSβ
得BF= (用 α、β的三角函数表示）
由tanβ，得EF= (用 α、β的三角函数表示）
（3）在Rt△DFE中，∠DEF = α
由COSα，得DE= (用 α、β的三角函数表示） 由tanα，得DF= (用 α、β的三角函数表示）
（4）在Rt△DFE中，AF= (用 α、β的三角函数表示），AB= (用 α、β的三角函数表示）
得出结论：tan（α+β）=tan∠AFB= (用 α、β的三角函数表示）
应用上面结论解决下面问题
（1）求tan75°的值（结果保留根号）
（2）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D 都在这些小正方形的顶点上, AB 和 CD相交于点P, 求tan∠APD的值
（3）已知直线AB与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2），直线绕点A顺时针旋转45°后得直线AC，求直线AC的解析式
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课时作业设计表
第一课时 课题 锐角三角函数的定义
课时目标 序号 内容 水平
1 经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义，并能够举例说明. 理解
2 能够运用tanA，sinA，cosA表示直角三角形中两边的比，能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算 应用
3 感悟“类比”思想的应用，感受锐角三角函数的应用性 迁移
题目属性（使用时间为课上或课后；难度为简单、中等或较难；来源分为原创、改编或引用；可加行） 题号 对应课时目标 使用 时间 题型 难度 预设 时长 来源
1 1、2 课下 解答 简单 4分钟 原创
2 1、3 课下 解答 简单 4分钟 改编
3 1、2 课下 填空 中等 5分钟 改编
4 1、2 课下 填空 难 5分钟 改编
参考答案 及 评价标准 （与题目题号对应） 1.【参考答案】(1)sinA= ,cosA= ,tanA= (2)sinA=, cosA=,tanA= (1)先由勾股定理求出a的值，再根据锐角三角函数的定义求出∠A的三个三角函数值. （2）由b=a，可设a=3x,b=4x,求出c=5x，再根据锐角三角函数的定义求出∠A的三个三角函数值。 【评价标准】本题考查正切、正弦、余弦的简单应用。 变式1：【参考答案】 （1）tanA=,sinA=,cosA=;tanB=, sinB=,cosB= （2）tanA×tanB=1,sinA=cosB,cosA=sinB 先由勾股定理求出AB=13，根据正切、正弦、余弦的定义分别求出三个角的三角函数值 【评价标准】（1）中通过求∠A和∠B的三个三角函数值巩固三角函数的定义，（2）中学生通过“观察-猜想-证明”的过程，得到互为余角的两个角的三角函数值的关系。 变式2：【参考答案】tanB=,sinB=,cosB= 解：过点A作AD⊥BC，垂足为点D， 由BC=AB，可设AB=x， 则BC=x,BD=x， 由勾股定理得，AD=x， 则tanB=,sinB=,cosB= 【评价标准】如果所求三角函数值不在直角三角形中，应当转化为直角三角形中的角或构造适当的直角三角形. 2.【参考答案】6；8 （1）由条件可求出BC=8，根据勾股定理求出AC=6； （2）由条件可求设AC=4x，BC=3x，由BC=5x可得x=2，所以AC=4. 【评价标准】已知直角三角形一锐角三角函数值和一边，求其他两边的值。 3.【参考答案】（1）；（2） （1）连接AC，∠A=90°，tanABC= （2）连接BD，D点在格点上，∠ADB=90°，sinA= 【评价标准】求网格中锐角的三角函数值，借助网格的特点，构造直角三角形。 4.（易错题，改编自课本30页习题第5题） 【参考答案】1或5 解析：①如图1，当三角形ABC为锐角三角形时，∵BD⊥AC，∴∠ADB=90° ∵cos∠BAD=, ∴设AD=2x，则AB=3x. ∵ ∴, 解得x=1或x=-1（舍去） ∴AB=AC=3,AD=2,∴CD=1 ②如图2， 当△ABC是钝角三角形时， 由①知，AD=2，AB=AC=3 ∴CD=AC+AD=5， 故答案为1或5. 【易错提醒】本题中，不能确定该等腰三角形是锐角三角形还是钝角三角形，因此需要分类讨论 【评价标准】在解决与锐角三角函数有关的计算问题时，若题中没有给出图形，则需要全面考虑，画出所有符合条件的图形，以免漏解。
设计说明 题目难度设计由易到难，变式训练，举一反三 锐角三角函数的定义是本章的首节内容，本作业的设计旨在夯实学生基础，理解锐角三角函数的定义，会求出三个锐角三角函数值。基础达标两个题目，复习巩固求锐角三角函数值，变式训练有助于学生归类比较，举一反三，触类旁通。 2．易错题设计 第 4题是易错题，易错题的出现通常会暴露很多问题，在教学中应该善于观察、仔细留意和寻找发现那些学生在解题过程中，思路混乱、思维不严密、叙述不严谨的习题，通过对易错题的训练，帮助学生分析出错的原因，查缺补漏。 3．渗透“化归思想” 第1题变式1中，通过计算∠A和∠B的三个三角函数值，引导学生猜想、证明、归纳总结互余的两个角三角函数值之间的关系，渗透“化归思想”。
课时作业设计表
第一课时 课题 30°，45°，60°角的三角函数值
课时目标 序号 内容 水平
1 能够根据三角函数的定义推导30°，45°，60°角的三角函数值 理解
2 会用30°，45°，60°角的三角函数值进行计算 应用
3 能用30°，45°，60°角的三角函数值解决 实际问题 迁移
题目属性（使用时间为课上或课后；难度为简单、中等或较难；来源分为原创、改编或引用；可加行） 题号 对应课时目标 使用 时间 题型 难度 预设 时长 来源
1 1、2 课后 计算 简单 3分钟 原创
2 1、2 课后 解答 简单 3分钟 改编
3 2、3 课后 解答 中等 5分钟 改编
4 2、3 课后 解答 中等 5分钟 原创
5 1、2、3 课后 解答 较难 10分钟 改编
参考答案 及 评价标准 （与题目题号对应） 1．【参考答案】：（1）1；（2）；（3）1；（4）0 【评价标准】：已知30°，45°，60°角的三角函数值，能够进行正确运算。 2．【参考答案】：∵AB=,∠C=90°，∴, ∴BC=30，即坡顶到地面的高度为30m. 评价标准：已知60°角的三角函数值，根据题意通过其正弦值，求出线段BC的长度。 3．【参考答案】：, 解析：根据题意画出草图以形助数；然后根据cosA的值将边长量化，并用勾股定理推知三边关系；最后运用三角函数的定义求出sinA，tanA. 评价标准：通过图形辅助，体会并建立三角函数与勾股定理之间的关系，为求任意角的三角函数做好铺垫。 4．【参考答案】：（1）；（2） 解析：易错点1：二次根式运算复杂；易错点2：作出OC后，想不到求OC表达式的方法。对于（1），根据OB的长及30°角的三角函数值，求出OA的长，并将其转化为点A的坐标，联合点B的坐标求出AB的表达式。对于（2），根据k1k2=-1，或几何分析的方法，求出OC的表达式，然后联立方程组求出交点C的坐标。 【评价标准】：能够通过三角函数值的计算，实现线段长度和点的坐标的对应。通过联立方程组，求出交点坐标。 5．【参考答案】：∵CD=1,∴EB=DB=,∠EDB=∠DEB.∴CE=EB+BC=+1. ∴. 【评价标准】：能够通过等腰三角形的性质，实现角度转化。能够体会到相等的角的三角函数值相等，会分母有理化。
设计说明 整体设计有梯度，有分层，适合不同层次的学生。 题目1（原创）设置4个小题，以30°，45°，60°角的三角函数值的计算为背景，实现基本算理算法的迁移，加深对数系扩充的感悟。 题目2（改编）在此基础上，以现实问题的解决为指向设置问题情境。提升直观分析的能力，渗透用三角函数进行问题解决的意识。 题目3（改编）通过问题驱动，引导学生按题画图，渗透数形结合思想，为一般角三角函数值的计算提供方法借鉴。 题目4（原创）以函数为背景，以等式的运算为途径，迁移算理算法。通过线段长度坐标化，或点的坐标图形化，进一步发展数形结合进行问题解决的观念。 题目5（改编）通过求22.5°角的正切值，引导学生经历由特殊向一般的研究转变，提高对数量关系和图形位置的转化技巧，发展应用意识和量化观念，提升核心素养。
课时作业设计表
第一课时 课题 课时3 用计算器求锐角的三角函数值
课时目标 序号 内容 水平
1 会用计算器求一个锐角的三角函数值，已知三角函数值会求相应锐角度数 理解
2 借助计算器进一步理解锐角三角函数定义 应用
3 利用所学定义性质，借助计算器解决探究性问题 迁移
题目属性（使用时间为课上或课后；难度为简单、中等或较难；来源分为原创、改编或引用；可加行） 题号 对应课时目标 使用 时间 题型 难度 预设 时长 来源
1 1、2 课后 填空 简单 2分钟 原创
2 1、2 课后 填空 简单 2分钟 原创
3 1、2 课后 选择 中等 5分钟 改编
4 1、2 课后 选择 中等 5分钟 原创
5 1、2、3 课后 解答 较难 10分钟 改编
参考答案 及 评价标准 （与题目题号对应） 1．【参考答案】（1）0.6，（2）0.6，（3）0.9，（4）0.7 【评价标准】已知锐角度数会用计算器求三角函数值。 2．【参考答案】（1）37°，（2）37°，（3）15°，（4）18°12′ 其中第（4）小题为易错题sin α＝0.3125，则α≈______° _____′ 错解：18°20′ 正解：利用度分秒转化键（DMS)得出答案为18°12′ 【评价标准】已知锐角三角函数值会用计算器求相应的锐角的度数，进一步理解三角函数的定义。 3.【参考答案】A． 解析：cos30°=，cos45°=，∵30°＜40°＜45°，∴＜cosA＜． 【评价标准】进一步体会锐角三角函数的增减性。 4.【参考答案】C．解析：如图，延长DE交AB于点F，则∠AFD=90° 在Rt△AFD中，tan ＝，∴AF＝tanDF ∵在矩形DCBF中，DF＝BC＝20，∴AF=20tan20° ∵BF＝DC＝1，∴AB＝AF＋BF＝20tan ＋1． 【评价标准】会用三角函数表示线段的长，体会三角函数在生活中的应用。学生能用三角函数表示出边即可，没有要求计算器算出结果。 5.【参考答案】解：(1)①～⑥都填“＝”．sin2α＝2sinαcosα. (2)∵＝AC·BE＝×1×sin2α＝sin2α， ＝BC·AD＝BD·AD＝sinαcosα， ∴sin2α＝2sinαcosα. 【评价标准】能借助计算器得出结论，并能借助图形推理证明。逻辑推理清晰即可。
设计说明 整体设计有梯度，有分层，适合不同层次的学生。 题目1（原创）设置4个小题，题目类型涵盖了整数，小数，和度分表的计算器按键练习。 题目2（原创）第（1）（2）题是三边分别为3、4、5的直角三角形的三角函数值，通过练习培养数感，第（4）对小数的结果会用计算器进行度分表的转化。 题目3（改编）进一步体会锐角三角函数的增减性。余弦值随着锐角度数的增加而减少。 题目4（原创）设计思路让学生体会用三角函数可以表示边，只要知道锐角的度数，可用计算器求出结果，这里重点是表示边长。没有要求计算结果。 题目5（改编）在学生已经能熟练使用计算器的基础上，通过计算的出猜想，并能推理验证猜想，培养学生的探究意识。
课时作业设计表
第一课时 课题 解直角三角形（1）
课时目标 序号 内容 水平
1 了解解直角三角形的意义。 理解
2 合理的选择关系式，用两条边解直角三角形，会用一条边和一个锐角解直角三角形。 应用
3 经历运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力。 迁移
题目属性（使用时间为课上或课后；难度为简单、中等或较难；来源分为原创、改编或引用；可加行） 题号 对应课时目标 使用 时间 题型 难度 预设 时长 来源
1 1、2 课后 解答 简单 4分钟 改编
2 1、2 课后 解答 简单 4分钟 改编
3 1、2、3 课后 解答 中等 5分钟 原创
4 1、2、3 课后 解答 中等 8分钟 原创
5 1、2、3 课后 解答 较难 10分钟 改编
参考答案 及 评价标准 （与题目题号对应） 【参考答案】 解：在Rt△ABC中， ∵,a=4，b=， ∴c===8. ∵sinA= , ∴∠A=30° ∴∠B=60° 【评价标准】已知两边解直角三角形时，运用勾股定理求第三条边，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数求角度。 【参考答案】 解：在Rt△ABC中， ∵∠A=30°，sinA= ∴∠B=90°－∠A=90°－30°=60°， a=c sinA=c sin30°=c ∵c－a=64， ∴c－==64， ∴c=128 ∴a=64 ∵,a=64，c=128， ∴b== 【评价标准】利用已知角的锐角三角函数求得直角边和斜边的关系，进而求得直角三角形的两边长。培养学生发现问题、解决问题的能力。 3.【参考答案】在Rt△ABC中， ∵,a=7，c=， ∴b== ∵， 由表格中的数据可得， ∠A≈34.99°≈35° ∴∠B=90°－∠A=90°－35°≈57° 【评价标准】已知两边解直角三角形时，运用勾股定理求第三条边，正确选择表格中的参考数据求角度。 4.【参考答案】易错点1：（1）中想不到合适的方法，易出错；易错点2：（2）中求DM时，数值为分数，计算难度增加，若选择勾股定理求边长，更易出错。 解：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°， ∵BC=8，tanB= ∴AC=15 ∵, ∴AB===17 ∵CD⊥AB ∴B×CD=C×CB ∴CD= ∵∠ACB=90°，CD⊥AB ∴∠ACB=∠CDB=90° ∵∠B为公共角 ∴△DBC∽△CBA ∴ ∴BD=B== ∵M为AB的中点 ∴BM=AM= ∴DM=BM－BD= 在Rt△DCM中，tan∠DCM= 【评价标准】(1)中利用直角三角形的等面积法，求得斜边上的高。（2）中利用相似或勾股定理求得所需边长，然后再根据三角函数求得即可。 【参考答案】 解：(1)作边AB的垂直平分线，交AC于点D，连接BD. ∴AD=BD ∴∠A=∠DBA=15° ∴∠CDB=30° 在Rt△DCB中，∠CDB=30° ∴BD=2BC=10 ∴AD=10,CD= ∴AC=AD+CD=10+ 在Rt△ACB中，∠A=15° ∴∠ABC=90°－∠A=75° ∴tan75°= 【评价标准】本题中没有特殊角，也没有参考数据，通过作辅助线，得到特殊角，进而求解直角三角形即可
设计说明 1.题目设计遵循由易到难的螺旋上升排列。有利于分层作业，符合学生的学习规律，教学应渗透“转化”思想。 第 1题是基础题，较简单，将课本上的例题为原型进行改编，将结论和条件中的一个条件互换，目的是巩固基础知识。 第2题是基础题，较简单，将课本上的例题为原型进行改编，将已知边长改为知两边的关系，培养学生发现问题、解决问题的能力。 中档题目选题灵活，更好的活学活用知识，更好的考查学生的学习。 第3题是中档题，加入了利用计算器求角度的内容；第 4 题难度加大，利用三角形的等面积法，求得高，在第二问中可选择两种方法求边长，熟悉基本图形，会加快做题的速度，培养学生的灵活运用能力。 较难题设置跨度大，能为优秀学生提供更加广阔视角，更能激发学生学习兴趣。 第 5 题是针对常见角度的半角如何求其三角函数，让学生学以致用，将辅助线的构造发挥的淋漓尽致，但是万变不离其宗，在没有参考数据的情况下，应构造含特殊角的直角三角形，在利用特殊角的三角函数求解即可。
课时作业设计表
第一课时 课题 解直角三角形（2）
课时目标 序号 内容 水平
1 在复杂的图形中会用两条边、一条边和一个锐角解直角三角形。 理解
2 通过作辅助线，将非直角三角形问题转化为解直角三角形问题。 应用
3 通过运用数学知识解决问题，感悟“转化”思想。 迁移
题目属性（使用时间为课上或课后；难度为简单、中等或较难；来源分为原创、改编或引用；可加行） 题号 对应课时目标 使用 时间 题型 难度 预设 时长 来源
1 1、2 课下 解答 简单 4分钟 原创
2 1、3 课下 解答 简单 4分钟 改编
3 1、3 课下 解答 中等 5分钟 改编
4 1、2、3 课下 解答 中等 5分钟 引用
5 1、2、3 课下 解答 较难 10分钟 改编
参考答案 及 评价标准 （与题目题号对应） 1.【参考答案】(1)+2 (2)+2 作辅助线，构造含特殊角30°、45°、60°的直角三角形。 【易错提醒】学生容易受第（1）小问的干扰，做第（2）小问时仍然在三角形内部作高，这样就会出现含15°角的直角三角形，让学生解题受到困惑。 【评价标准】（1）知一条边和一个锐角求解直角三角形。（2）AC不为直角三角形的边，通过设未知数列方程，感受方程思想。 2.【参考答案】 作AD⊥BC，在Rt△ABC中求出BD=1，AD=2 由等腰三角形的性质知BD=2， 作BE⊥AC，等面积法求出BE=， 进而得到sinA=. 【评价标准】体会等腰三角形的性质及等面积求线段的长度，将三线合一及高自然而然的应用到解直角三角形中 3．【参考答案】在Rt△BCD中， ∵，BD=4, ∴BC=5，CD=4 作EM⊥AB，由三角形中位线定理知 EM=，DM=2， 【评价标准】求角的三角函数值，就是将这个角放在直角三角形中，借助三角形中位线定理求出所需边的长，借助三角函数的定义求解. 4.【参考答案】作DM⊥AB交AB的延长线于点M， 设BD=x， 在Rt△BDM中，BM=DM=x, 在Rt△BDC中，DC=x，BC=x 在Rt△ABC中，AB=AC=x 【评价标准】题目中没有告诉任何一条边的长度，可以借助特殊角直角三角形边之间的关系求解或用一线三直角模型，△BDM∽△CBA，相似比是 5.【参考答案】 图1在Rt△ABE中，∠BAD=60°，AB=4， ∴AE=8,∵AD=5，则DE=3 在Rt△CDE中，易得CD=， 在Rt△ADC中，AC==2 图2的辅助线与图1思想方法类似都是将60°角、AB边保留在一个直角三角形中，借助矩形CDNM利用DN=CM=3，进而求解Rt△BCD. 【评价标准】提供了两种方法，两种作辅助线的方式都是将四边形问题转化为求解特殊角的直角三角形问题.
设计说明 整体设计有梯度，有分层，适合不同层次的学生。 题目1（原创）以课本上的例题为参考，设置了两小问，虽然辅助线的位置不同，但都是为了构造含特殊角的直角三角形，让学生在变中找不变，为后续解题积累经验。 题目2（改编）以等腰三角形为背景，等腰三角形的性质三线合一以及等面积法求出腰上的高，借助三角函数的概念解决问题 题目 3 (改编)此题图形看似复杂，容易求出线段CD的长度，为了求角的三角函数必须将其放在直角三角形或者转化角，此题选择构造直角三角形借助三角形中位线定理求出边长，问题便迎刃而解。 题目4 （引用）一副三角板组合题目，在没有给出边的长度，借助特殊直角三角形边角关系去表示其余各边或者借助一线三直角厘清边与边之间的关系，进而求出三角函数值(本题提供了两种方法)。 题目 5 （改编）依托于课本上的课后习题进行改编，让学生学以致用，将辅助线的构造发挥的淋漓尽致，但是万变不离其宗，构造直角三角形借助三角函数解决边角关系的思想在每道题目中都有所渗透。
课时作业设计表
第一课时 课题 三角函数的应用
课时目标 序号 内容 水平
1 理解仰角、俯角、方位角、坡比（坡度）、坡角等概念。 理解
2 能够把实际问题转化为数学问题，画出示意图，构造辅助线，体会三角函数在解决问题中的应用。 掌握
3 会对结果的意义进行说明，发展数学应用意识和解决问题的能力。 运用
题目属性（使用时间为课上或课后；难度为简单、中等或较难；来源分为原创、改编或引用；可加行） 题号 对应课时目标 使用 时间 题型 难度 预设 时长 来源
1 1、2 课下 填空 中等 3分钟 改编
2 1、2 课下 选择 中等 5分钟 改编
3 1、2 课下 解答 简单 4分钟 引用
4 1、2、3 课下 解答 较难 6分钟 改编
5 1、2、3 课下 解答 较难 6分钟 引用
参考答案 及 评价标准 （与题目题号对应） 1【参考答案】40°． 【易错提醒】仰角的概念：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角。学生对仰角的概念掌握的不牢固。会产生错误答案50° 【评价标准】量角器的0刻度线AB对准楼顶时，铅垂线对应的度数是50°，则过AB中点的水平线对应的是140°，所以此时观察楼顶的仰角度数是40°． 2【参考答案】C． 如图，延长DC交EA于点F，则CF⊥EA． ∵山坡AC上坡度＝1:2.4，AC＝26米， ∴令CF＝k，则AF＝2.4k， 由勾股定理，得k2＋(2.4k)2＝262，解得k＝10，从而AF＝24，CF＝10，EF＝30． 在Rt△DEF中，tanE＝， 故DF＝EF tanE＝30×tan48°＝30×1.11＝33.3， 于是，CD＝DF－CF＝23.3，故选C． 【评价标准】本题主要考查了勾股定理，解直角三角形以及坡度问题，通过作恰当的辅助线，构造直角三角形，将实际问题转化成解直角三角形求解是解题的关键． 3【参考答案】铜像AB的高度是14m； 解：由题意知：CE=32m，EF=BD=4m，∴CF=CE-EF=28m， ∵四边形BFCG是矩形，∴BG=CF=28m, 在Rt△BCG中，，∴CG=14m 在Rt△ACG中，∠ACG=45°∴AG=CG=14m ∴AB=BG-AG=28-14=14m. 【评价标准】应用矩形的性质转化边长，然后在直角三角形中选取适当的三角函数解直角三角形. 4【参考答案】解：假设点D移到D′的位置时，恰好α＝39°， 过点D作DE⊥AC于点E，过点D′作D′E′⊥AC于点E′，如图所示． ∵CD＝12，∠DCE＝60°， ∴DE＝CD·sin 60°＝12×＝6 ， CE＝CD·cos 60°＝12×＝6. ∵DE⊥AC，D′E′⊥AC，DD′∥CE′， ∴四边形DEE′D′是矩形．∴D′E′＝DE＝6 . ∵∠D′CE′＝39°，∴CE′＝≈≈12.8. ∴EE′＝CE′－CE≈12.8－6＝6.8≈7. 答：学校至少要把坡顶D向后水平移动7 m才能保证教学楼的安全． 【评价标准】本题主要考查了解直角三角形，矩形的性质熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 题目5 【参考答案】（1）车盖最高点B’到地面的距离是21.5米 作B′E⊥AD，垂足为E，在Rt△AB′E中，AB′=AB=1 ∴， ∴0.454=0.454 ∵平行线间的距离处处相等 ∴B′E+AO=0.454+1.7=2.154≈2.15 没有危险 过点C′作C′F⊥B′E，垂足为点F 易得C′B′E=60°，在Rt△B′C′F中，B′C′=BC=0.6 ∴B′F=B′C′ ∵平行线间的距离处处相等 ∴C′到地面的距离为：2.15-0.3=1.85>1.8 ∴没有危险。 【评价标准】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系、平行线间的距离处处相等是解题的关键。
设计说明 整体设计有梯度，有分层，适合不同层次的学生。 题目1（改编）概念教学是初中数学课堂教学的重要组成部分，让学生意识到概念的重要性，更深入的理解仰角的概念。 题目2（原创）此题涉及到坡比（坡度）、方位角等概念，在弄清题意的基础上，构造辅助线，解直角三角形解决问题。 题目3（改编）诸葛亮的跨学科素材《出师表》，进一步体会仰角、俯角的概念，选取适当的三角函数值解直角三角形 题目4（改编）根据鲁教版九上课本上49页做一做进行改编，让学生根据题意画出示意图，在两个有公共边的直角三角形中解决问题。 题目5（改编）给学生充足的机会让学生进行讨论，培养学生的探究意识，关注学生把实际问题转化为数学问题，并选择适当的三角函数解决问题，并进一步对结果的意义进行说明。
跨学科综合性（实践类）作业设计表
主题 测量旗杆的高度
跨学科大概念 “测量旗杆的高度”是在九年级学生学完相似三角形、三角函数后,借助生活中的现象开展的数学实践活动，通过整合多个学科的知识和技能,将数学知识应用于真实的生活场景,能让学生对教材知识的感知更加生动立体,在实践中探索和解决实际问题。发挥数学综合实践活动的内在价值，促进不同学科知识的综合运用。
学科素养点 1.经历发现、提出、分析和解决问题的过程,制订不同的测量方案,提升抽象能力和几何直观;在探究所含数学原理的过程中,提升运算能力和推理能力;在探讨方案时澈活学生思维,提升批判性思维和思辨能力﹔在室外实践操作中,提升数据观念和数学应用意识,提高实践能力。 2根据测量需要抽象出数学图形﹐提升将实际问题转化为数学问题的能力;通过制作测角仪、探讨测量方案,在动手、动脑中学数学、用数学,深化对数学知识的理解与应用,提升实践能力与创新能力。 3.在经历提出问题、建构数学模型、求解模型、应用模型、检验模型的过程中,提升数学模型意识和模型观念,提高建模﹑解模能力。
学科内容 1.综合运用相似三角形知识、三角函数知识和勾股定理知识。 2.在测量过程中，经历数据的收集、整理、分析过程，提升数据观念和数据应用意识。
评价标准 或 参考实例 评价标准：为使探究活动深入，发挥主体意识，让学生在“做中学”“学中做”,感受学习的快乐，整个过程围绕个人和小组两个维度进行评价。 “测量旗杆的高度”的个人学习自评表 评价内容4分（高）3分（较高）2分（一般）1分（低）参加这个活动的兴趣程度实际操作、测量的能力数据统计、数据计算的能力与同学的交流合作能力数学知识的应用能力成果展示
“测量旗杆的高度”的小组互评表 评价内容优良一般差小组成员的分工协作能力小组测量方案的可行性小组的解决问题的能力
设计说明 本节课是有关“测量旗杆的高度”综合实践活动课，在设计的过程中突出了两点： 1.改变学生的学习方式，发展学生的主体意识 本次实践活动走出教室、走向校园,活动形式多以学生自主活动和合作学习为主,调动了学生的学习积极性,激发了学生的学习兴趣。学生在跨学科综合实践活动中经历了发现知识的过程,让学生真实地感受知识体系的构建过程、积累活动经验，引导学生从不同角度思考数学问题,培养了学生的创新能力和逻辑思维能力。 2.积累活动经验，发展核心素养 本次实践活动能发挥数学综合实践活动的内在价值,促进不同学科知识的综合运用。学生亲历“测量旗杆高度”的全过程,可以提高思维的广度和深度,体会实践研究的重要性,感受知识的应用价值,提升实践能力、应用意识和创新意识，能让学生对教材知识的感知更加生动立体,在实践中探索和解决实际问题，发展核心素养。 问题起源：（鲁教版教材八年级下册113页、鲁教版教材九年级上册51页） 综合利用前面学过的知识，请你来设计一套测量旗杆高度的方案。 问题1：结合前面学过的知识，设计测量方案。画出你设计的测量平面图，指出所需测量的数据有哪些？ 预设方案1：利用太阳光下的影子。实验原理：利用太阳光是平行光，得到相似三角形。具体操作:小组选一名同学直立于旗杆影子的顶端处，需测量的数据:观测者的身高、观测者的影长、同一时刻旗杆的影长。 预设方案2：利用镜子的反射。实验原理:根据光线的入射角等于反射角，得到相似三角形。具体操作:小组选一名同学作为观测者,在观测者与旗杆之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记。 观测者看着镜子来回移动，直至看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合。需测量的数据:观测者的身高、观测者的脚到镜子的距离和镜子到旗杆底部的距离。 预设方案3：利用标杆。用眼睛观测，观测者的眼睛与标杆的顶端和旗杆的顶端"三点共线"。实验原理:利用太阳光是平行光，得到相似三角形。具体操作:选一名同学作为观测者，在观测者与旗杆之间的地面上直立一根高度适当的标杆。观测者适当调整自己所处的位置，使旗杆的顶部、标杆的顶端、观测者的眼睛恰好在一条直线上。需测量的数据:观测者的眼睛到地面的距离EF、观测者的脚到标杆底部的距离FD和到旗杆底部的距离FB、标杆的高CD. 预设方案4：利用锐角三角函数。实验原理:构建直角三角形，解直角三角形。具体操作:在地面上放一个侧倾器（或测角仪），转动度盘，使度盘的直径对准目标M，测得M的仰角∠MCE (利用测角仪)。需测量的数据:侧倾器到旗杆底部的距离AN和侧倾器的高度AC. 预设方案5：利用照相机。实验原理:利用照相机的原理把物体按照一定比例缩小，根据比例尺求旗杆高度。具体操作:选一位同学，脚与旗杆底部几乎重合站立 好，用相机照出旗杆和同学的照片。需测量的数据:同学的身高、照片上同学的身高和旗杆的高度。 预设方案6：利用勾股定理。实验原理：将升旗用的绳子和旗杆比较，根据勾股定理列方程求出旗杆的高度。具体操作：测出从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长多少，一名同学拉着绳子的下端往后退，将绳子拉直。需测量的数据：拉绳子的手到地面的距离CD与到旗杆的距离CE。 【设计说明】“测量旗杆的高度”是真实的相对复杂的但学生感兴趣且具有挑战性的实践活动。从能力上看,九年级学生已有数据收集、整理、分析的能力,会把现实问题转化成数学问题借助数学模型加以解决,也具备一定的探究能力与合作意识。学生围绕学习的主题开展研究,从独立思考到合作探究,经历发现、提出、分析、解决问题的过程,从数学的角度思考问题,用数学的眼光观察现实世界,用数学的思维思考现实世界,用数学的语言表达现实世界。 问题2：探究原理，可制定哪些可行性方案？ 【设计说明】教师引导学生多维度思考、分析、探究,对测量方案进行优化、完善,并考虑方案执行的可行性、执行过程中可能存在的问题及解决办法(如部分方案会受外界因素干扰或受场地、工具等限制) ,必要时给予帮助。 问题3：根据你测量的数据，计算旗杆的高度。 【设计说明】在实践活动中,学生们充当“参照物”，配合旗杆和镜子构造相似三角形，拉 着卷尺反复测量数据,为计算争取更小误差，小组成员分工合作,各司其职。 测量原理分为运用相似三角形知识、三角函数知识和勾股定理知识。 问题4：将测量旗杆高度改为测量底部不可以到达的物体的高度，你还能设计出测量方案吗？ 预设方案： ( 1)在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE. (2）在测点A与物体MN之间的B处安置测倾器（ A，B与N在同一条直线上)，测得此时M的仰角∠MDE. (3）量出测倾器的高度AC=BD，以及测点A和测点B之间的水平距离AB. 根据测量数据，利用三角函数求出物体MN的高度。 【设计说明】测量底部不可达的物体的高度，考察学生灵活运用所学知识的能力，通过知识的迁移解决问题。 问题5：（拓展）若在海上直线航行，你能设计一种测量海上两个岛屿之间距离的方案吗？ 预设方案:如图，A、B是已知的两个小岛，航船时刻在C处，以从C到D的航向航行，测出∠ACD和∠BCD;在时刻，航船航行到D处，测出∠CDB和∠CDA.已知航船的速度为v.利用正弦定理、余弦定理可求得A、B之间的距离。 【设计说明】本节实践课让学生经历发现、提出、分析、解决问题的过程，迁移到解决其他现实问题，将所学知识灵活运用到现实生活中，感受知识的应用价值，学会从数学的角度思考问题，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界。 问题6：（中考链接）如图，希望中学的教学楼AB和综合楼CD之间生长着一棵高度为12.88米的白杨树EF，且其底端B，D，F在同一直线上，BF＝FD＝40米．在综合实践活动课上，小明打算借助这棵树的高度测算出综合楼的高度，他在教学楼顶A处测得点C的仰角为9°，点E的俯角为16°． 问小明能否运用以上数据，得到综合楼的高度？若能，请求出其高度（结果精确到0.01米）；若不能，说明理由． 解答过程中可直接选用表格中的数据哟！ 科学计算器按键顺序计算结果（已取近似值）0.1560.1580.2760.287
【设计说明】让学生感受中考题中如何利用数学知识解决现实问题，让学生感悟数学与生活的关联。学会从数学的角度思考问题，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界。