重难提优8　函数y＝A sin (ωx＋φ)中ω的最值与取值范围问题 课时练习（含解析）高中数学 必修1（苏教版）

重难提优8　函数y＝A sin (ωx＋φ)中ω的最值与取值范围问题
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一、 单项选择题
1. 已知函数y＝sin (ω>0)在区间上有且只有一个最大值和一个最小值，则ω的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
2. 设函数f(x)＝sin (ω>0)，若f(x)≤f对任意的实数x都成立，则ω的最小值为(　　)
A. B. 1 C. D.
3. 已知函数f(x)＝cos (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)为奇函数，且在区间上单调递减，则ω的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
4. (2024保定部分高中开学考试)已知函数y＝sin (ω>0)在区间上有且只有一个最大值点(即取得最大值对应的自变量)，则ω的取值范围是(　　)
A. [1，7] B. (1，7] C. (1，7) D. (4，7]
5. (2024苏州学业质量阳光指标调研)已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)的图象过点(0，1)，且f(x)在区间上具有单调性，则ω的最大值为(　　)
A. B. 4 C. D. 8
6. (2024淮安期末)已知函数f(x)＝有且仅有3个零点，则正数a的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
7. (2024宁波九校期末联考)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ).若f为奇函数，f为偶函数，且f(x)在区间上没有最小值，则ω的最大值是(　　)
A. 2 B. 6 C. 10 D. 14
二、 多项选择题
8. 已知函数f(x)＝sin (ω>0)，则下列结论中正确的是(　　)
A. 若f(x)的最小正周期为T，且2πB. 若ω＝，则函数f(x)的图象关于直线x＝对称
C. 若函数f(x)的图象关于点对称，则ω的值可以为3
D. 若函数f(x)在区间上有且仅有4个零点，则ω的取值范围是[11，14)
9. (2024衡阳期末)设f(x)＝sin (ω>0)，已知f(x)在区间[0，2π]上有且仅有5个零点，则下列结论中正确的是(　　)
A. f(x)在区间(0，2π)上有且仅有3个最大值
B. f(x)在区间(0，2π)上有且仅有2个最小值
C. f(x)在区间上单调递增
D. ω的取值范围是
三、 填空题
10. 已知函数f(x)＝sin ωx在区间上单调递增，则ω的最大值是________．
11. (2024宿迁期末)函数f(x)＝sin (ω>0)的图象过点，且在区间上单调递增，则ω的值为________．
12. (2024泉州期末)将函数f(x)＝2sin 图象所有点的横坐标变为原来的(ω>0)，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象．若对于任意x1∈，总存在唯一的x2∈.使得f(x1)＝g(x2)＋2，则ω的取值范围为________．
四、 解答题
13. (2024泰州期末)已知函数f(x)＝sin ，ω>0.
(1) 当ω＝2时，求f(x)在区间上的值域；
(2) 若f(x)在区间[0，π]上单调递增，求实数ω的取值范围．
重难提优8　函数y＝A sin (ωx＋φ)中ω的最值与取值范围问题
1. D　因为x∈，所以ωx＋∈.由题意，得<＋≤，解得<ω≤.
2. C　由f(x)≤f可知，当x＝时，函数f(x)取得最大值，所以ω×＋＝2kπ＋，k∈Z，解得ω＝8k＋，k∈Z.因为ω>0，所以ω的最小值为.
3. C　因为f(x)为奇函数，0<φ<π，所以φ＝，所以f(x)＝cos ＝－sin ωx.令t＝ωx，由x∈，ω>0，得t∈.因为f(x)在区间上单调递减，所以解得ω≤，所以0<ω≤.
4. B　由x∈，得ωx＋∈(，＋).由题意，得<＋≤，解得1<ω≤7，故ω的取值范围是(1，7].
5. C　由题意，得f(0)＝2sin φ＝1，即sin φ＝.因为0<φ<，所以φ＝，所以f(x)＝2sin .当x∈时，ωx＋∈(＋，＋).因为f(x)在区间上具有单调性，所以(＋，＋) (－＋kπ，＋kπ)，k∈Z，即＋≥－＋kπ且＋≤＋kπ，k∈Z，则－＋8k≤ω≤＋4k，k∈Z.因为－＋8k≤＋4k，所以k≤.因为ω>0，所以当k＝0时，ω∈，则ω∈；当k＝1时，ω∈，综上，ω∈∪，即ω的最大值为.
6. B　对于y＝－x2＋ax＋1＝0，易知Δ＝a2＋4>0，且必有一个负根一个正根，所以y＝sin ，0≤x≤π有且只有两个零点．易知ax＋∈[，aπ＋](a>0)，则aπ＋∈[2π，3π)，所以a∈.
7. B　由题意，得f＝sin ，f(x＋)＝sin .因为f为奇函数，所以－ω＋φ＝k1π(k1∈Z)①，因为f为偶函数，所以ω＋φ＝＋k2π(k2∈Z)②.由①②，得φ＝＋π(k1，k2∈Z). 又因为|φ|<，所以φ＝±.当φ＝时，－ω＋＝k1π(k1∈Z)，即ω＝2－8k1(k1∈Z)，ω＋＝＋k2π(k2∈Z)，即ω＝2＋8k2(k2∈Z)，所以ω＝2＋8k(k∈Z).因为 f(x)在区间上没有最小值，设t＝ωx＋∈(，ω＋)，则ω＋≤，解得0<ω≤，所以ω的最大值是2；当φ＝－时，－ω－＝k1π(k1∈Z)，即ω＝－2－8k1(k1∈Z)，ω－＝＋k2π(k2∈Z)，即ω＝6＋8k2(k2∈Z)，所以ω＝6＋8k(k∈Z).因为 f(x)在区间上没有最小值，设t＝ωx－∈(－，ω－)，则ω－≤，解得0<ω≤，所以ω的最大值是6. 综上，ω的最大值是6.
8. AD　因为2π0，所以2π<<3π，解得<ω<1，故A正确；令x＝，则sin (×＋)＝sin ≠±1，故B错误；令x＝，则sin (ω＋)＝0，而当ω＝3时，sin (ω＋)＝cos ＝≠0，故C错误；由x∈，得 ωx＋∈[，＋].又函数f(x)在区间上有且仅有4个零点，所以4π≤＋<5π，解得 11≤ω<14，故D正确．故选AD.
9. ACD　对于D，设z＝ωx＋，由x∈[0，2π]，ω>0，得z∈[，2πω＋]，作出y＝sin z的图象如图．要使f(x)在区间[0，2π]上有且仅有5个零点，则5π≤2πω＋<6π，解得≤ω<，故D正确；对于A，由图可知，当x∈(0，2π)时，z∈(，2πω＋)，在此区间上函数有且仅有3个最大值，故A正确；对于B，由图可知，当x∈(0，2π)时，z∈(，2πω＋)，在此区间上函数的最小值可能有2个或3个，故B错误；对于C，当x∈时，z∈(，ω＋)，由上分析知≤ω<，则≤ω＋<，即z∈，而此时y＝sin z单调递增，故f(x)在区间上单调递增，故C正确．故选ACD.
10. 　因为函数f(x)＝sin ωx在区间上单调递增，所以－ω≥－且ω≤，解得ω≤，则ω的最大值为.
11. 　由题意，得函数f(x)＝sin (ωx－)(ω>0)的图象过点，所以sin (－)＝0，所以－＝kπ，k∈Z，故ω＝＋k，k∈Z.又f(x)在区间上单调递增，所以k∈Z，解得k∈Z，又ω>0，ω＝＋k，k∈Z，所以当k＝0时，ω＝.
12. 　由题意，得g(x)＝2sin .当x1∈时，x1＋∈，此时f(x1)＝2sin (x1＋)∈[1，2].令t＝ωx2＋，则y＝g(x2)＝2sin t.因为x2∈，所以t∈[，＋].易得对于f(x1)－2的任意取值，g(x2)＝f(x1)－2在x2∈上有唯一解，即sin t＝在t∈[，＋]上有唯一解，且∈，作出y＝sin t的图象如图所示．由图可知，≤＋<，所以2≤ω<.
13. (1) 由题意，得当ω＝2时，f(x)＝sin .
由x∈，得2x－∈，所以sin ∈，
即f(x)在区间上的值域为.
(2) 由x∈[0，π]，ω>0，得ωx－∈.
因为f(x)在区间[0，π]上单调递增，
所以解得0<ω≤，
故实数ω的取值范围为.