重难提优9　函数零点中的参数问题 课时练习（含解析）高中数学 必修1（苏教版）

重难提优9　函数零点中的参数问题
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一、 单项选择题
1. 函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(　　)
A. (1，3) B. (1，2) C. (0，3) D. (0，2)
2. (2024江苏青桐鸣大联考月考)已知函数f(x)＝若方程f(x)＝k恰有3个不同的实数根，则实数k的取值范围为(　　)
A. B. C. (1，＋∞) D.
3. (2024南平期末)若函数f(x)＝|sin ωx|－1在区间[0，5π]上恰好有3个零点，则正实数ω的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
4. (2024无锡一中月考)已知函数f(x)＝若关于x的方程[f(x)]2＋mf(x)＋m＋3＝0有6个根，则m的取值范围为(　　)
A. (－∞，2－2) B. (－2，2－2)
C. D.
5. (2024无锡期末)若关于x的方程＝kx2有四个不同的实数根，则实数k的取值范围是(　　)
A. B. (4，＋∞) C. D. (0，4)
6. (2024邯郸期末)已知函数f(x)＝|2x－1|＋－3k－2有三个不同的零点，则实数k的取值范围为(　　)
A. B.
C. (0，＋∞) D.
7. (2024株洲二中期末)若函数f(x)＝24ax2＋4x－1在区间(－1，1)内恰有一个零点，则实数a的取值范围为(　　)
A. B. C. ∪ D. ∪
二、 多项选择题
8. 已知函数f(x)＝令h(x)＝f(x)－k，则下列说法中正确的是(　　)
A. 函数f(x)的单调增区间为(－1，＋∞)
B. 当k∈(－∞，－4)时，h(x)有1个零点
C. 当k∈(－4，－3]时，h(x)有3个零点
D. 当k＝－2时，h(x)的所有零点之和为－1
9. (2024保定部分高中开学考试)已知函数f(x)＝若m，n，k，t，c(mA. a∈(0，1)
B. m＋n＋k＋t＝－4
C. 若b＝mf(m)＋nf(n)＋kf(k)＋tf(t)＋cf(c)，则b∈(－2，0)
D. 若s＝mf(m)＋tf(t)＋cf(c)，则s∈(0，6－)
三、 填空题
10. 设k为实数，函数f(x)＝2x＋x2－k在区间[0，1]上有零点，则实数k的取值范围为________．
11. 已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－2x恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围是________．
12. (2024连云港期末)已知函数f(x)＝若函数F(x)＝2[f(x)]2－mf(x)，且函数F(x)有6个零点，则非零实数m的取值范围是________．
四、 解答题
13. (2024苏州十中月考)已知函数f(x)＝是定义域上的奇函数，且f(－1)＝－2.
(1) 判断并证明函数f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性；
(2) 令函数g(x)＝f(x)－m，若g(x)在区间(0，＋∞)上有两个零点，求实数m的取值范围．
重难提优9　函数零点中的参数问题
1. C　 易知函数f(x)＝2x－－a在区间(1，2)上单调递增，所以解得02. A　当x≤0时，f(x)单调递减；当x>0时，f(x)＝x－x2的图象开口向下，对称轴为直线x＝，所以函数的最大值为f＝.作出函数f(x)的图象如图，由图可知，若函数f(x)的图象和直线y＝k有3个不同的交点，则实数k的取值范围是.
3. C　令|sin ωx|－1＝0，得sin ωx＝±1.因为函数f(x)＝|sin ωx|－1在区间[0，5π]上恰好有3个零点，所以函数f(x)＝sin ωx在区间[0，5π]上恰有3条对称轴．当0≤x≤5π时，0≤ωx≤5ωπ，则≤5ωπ<，解得ω∈.
4. D　作出函数f(x)图象如图所示，令t＝f(x)，则[f(x)]2＋mf(x)＋m＋3＝0可化为t2＋mt＋m＋3＝0.若[f(x)]2＋mf(x)＋m＋3＝0有6个根，则结合图象可知方程t2＋mt＋m＋3＝0在区间(0，2)上有2个不相等的实根．不妨设05. A　易知x＝0是方程＝kx2的一个根，当x≠0时，方程可化为＝k|x|，则这个方程有三个非零实数根，即函数y＝和y＝k|x|的图象有三个不同的交点．k≤0显然不成立；如图，当k>0时，y＝和y＝kx(x>0)的图象有一个交点，则y＝和y＝－kx(x<0)的图象有两个不同的交点．由得kx2＋4kx＋1＝0，则Δ＝(4k)2－4k>0，解得k>，所以当k>时，y＝和y＝－kx(x<0)的图象有两个不同的交点．综上，实数k的取值范围是.
6. C　令t＝|2x－1|≠0，即x≠0，则g(t)＝t＋－3k－2.令g(t)＝0，得t2－(3k＋2)t＋2k＋1＝0.函数t＝|2x－1|(x≠0)的图象如图所示．由题意，得方程t2－(3k＋2)t＋1＋2k＝0有两个不等实根t1，t2，不妨设t10，或无解．综上，实数k的取值范围是(0，＋∞).
7. D　因为f(0)＝－1≠0，所以0不是函数的零点，所以当x≠0时，由f(x)＝24ax2＋4x－1＝0，得a＝＝－.令t＝，由x∈(－1，0)∪(0，1)，得t∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，则g(t)＝(t－2)2－，可得g(－1)＝，g(1)＝－，g(2)＝－. 因为函数f(x)＝24ax2＋4x－1在区间(－1，1)内恰有一个零点，所以函数y＝a的图象与函数y＝g(t)，t∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)的图象有且只有一个交点．由图可知，a∈∪.
8. BC　如图，作出函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)在区间(－1，＋∞)上不单调递增，故A错误；当k∈(－∞，－4)时，直线y＝k与函数y＝f(x)的图象有一个交点，即h(x)＝f(x)－k有1个零点，故B正确；当k∈(－4，－3]时，直线y＝k与函数y＝f(x)的图象有3个交点，即h(x)＝f(x)－k有3个零点，故C正确；当k＝－2时，令h(x)＝0，即x2＋2x－3＝－2(x≤0)或－2＋ln x＝－2(x>0)，解得x＝－1－或x＝1，所以h(x)的所有零点之和为－1－＋1＝－，故D错误．故选BC.
9. ABC　如图，作出f(x)的图象．由图可知，a∈(0，1)，故A正确；由对称性可得＝＝－1，所以m＋n＋k＋t＝－4，故B正确；令－1＝1，解得x＝2，令－1＝0，解得x＝4，则210. [1，3]　因为f(x)＝2x＋x2－k在区间[0，1]上单调递增，且有零点，所以解得1≤k≤3.故实数k的取值范围为[1，3].
11. (1，2]　g(x)＝f(x)－2x＝由4－2x＝0，得x＝2；由x2＋2x－3＝0，得x＝－3或x＝1.又函数g(x)恰有三个不同的零点，所以方程g(x)＝0的实根2，－3和1都在相应范围内，即1＜m≤2.
12. [2，16)　如图，作出函数f(x)的图象，易知f(2)＝8.令F(x)＝0，得f(x)＝0或f(x)＝，m≠0.当f(x)＝0时，f(x)＝0有3个不等的实根，又函数F(x)有6个零点，所以f(x)＝有3个不等实根，所以∈[1，8)，解得m∈[2，16).
13. (1) 由题意，得f(1)＝2，
所以解得
所以f(x)＝x＋.
易知函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，且f(x)＋f(－x)＝x＋＋(－x)＋＝0，
所以f(x)是奇函数，满足题意．
函数f(x)在区间(0，1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，证明如下：
任取x1，x2∈(0，1)，且x1则f(x1)－f(x2)＝－＝(x1－x2)，
因为x1－x2<0，x1x2－1<0，x1x2>0，
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)在区间(0，1)上单调递减．
同理可证明函数f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．
(2) 由题意，得方程x＋－m＝0在区间(0，＋∞)上有两个不相等的实数根，
所以x2－mx＋1＝0在区间(0，＋∞)上有两个不相等的实数根，
则解得m>2，
故实数m的取值范围为(2，＋∞).
　 函数零点中的参数问题的求解方法：
1. 运用零点存在定理求参数范围，如第38练的T10，T11等．
2. 运用数形结合思想求参数范围，如本练的T2，T5，T7等．
3. 运用函数单调性求参数范围，如本练的T1，T10 等．