第7章 三角函数 综合检测（含解析）高中数学 必修1（苏教版）

第7章　　三角函数 综合检测
考查要点：角与弧度、三角函数的概念、三角函数的图象和性质，正弦函数、余弦函数的图象变换，三角函数的应用
建议用时：40＋2分钟　
一、 单项选择题
1. (2024溧阳期末)“θ＝”是“sin θ＝”的(　　)
A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
2. (2024南京师大附中期末)已知角α的终边过点P(3a，－4a)，其中a>0，则sin α＋cos α的值为(　　)
A. B. C. － D. －
3. (2024涟水一中月考)函数f(x)＝则f(f(－3))的值为(　　)
A. 1 B. 2 C. 0 D. 8
4. (2024泰州期末)可以用尺规作图画出正五角星，作法如下：以任意一点为圆心，1为半径画圆O，在圆O内作互相垂直的直径AB和CD.取线段OB的中点E，以E为圆心，EC为半径作弧，交OA于点F.以C为圆心，以CF为半径在圆O上依次截取相等的圆弧，连接CM，CH，GN，GM，NH，得到如图所示的正五角星，则图中扇形OAN的面积为(　　)
A. B. C. D.
5. (2024武汉二中期末)要得到函数f(x)＝sin 的图象，可以将函数g(x)＝cos (2x＋)的图象(　　)
A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度
6. (2024衡阳期末)函数f(x)＝sin x＋cos x＋sin x cos x(x∈R)的最大值为(　　)
A. － B. ＋ C. 1＋ D.
7. (2024南京师大附中期末)已知常数ω≥0，函数f(x)＝sin ωx在区间上单调，则ω不可能等于(　　)
A. B. 2 C. D.
二、 多项选择题
8. (2024宿迁期末)已知函数f(x)＝tan ，则下列说法中正确的是(　　)
A. 函数f(x)的定义域为
B. 函数f(x)的最小正周期为
C. 函数f(x)在定义域上是增函数
D. 函数f(x)的一个对称中心为
9. (2024镇江期末)下列不等关系中，成立的是(　　)
A. tan 1>sin 1>cos 1 B. sin 2>cos 2>tan 2
C. tan 3>sin 3>cos 3 D. tan 4>cos 4>sin 4
三、 填空题
10. (2024连云港期末)已知cos α<0，且tan α>0，则角α是第________象限角．
11. (2024盐城五校联盟期末)已知＝2，则tanθ＝________．
12. (2024厦门期末)水星是离太阳最近的行星，在地球上较难观测到．当地球和水星连线与地球和太阳连线的夹角达到最大时，称水星东(西)大距，这是观测水星的最佳时机(如图1).将行星的公转视为匀速圆周运动，则研究水星大距类似如下问题：在平面直角坐标系中，点A，B分别在以坐标原点O为圆心，半径分别为1，3的圆上沿逆时针方向做匀速圆周运动，角速度分别为ωA＝ rad/s，ωB＝ rad/s.当∠OBA达到最大时，称点A位于点B的“大距点”．如图2，初始时刻点A位于(1，0)，点B位于以Ox为始边的角φ(0≤φ<2π)的终边上．
图1 图2
(1) 若φ＝0，当点A第一次位于点B的“大距点”时，点A的坐标为________；
(2) 在30 s内，点A位于点B的“大距点”最多有________次．
四、 解答题
13. (2024南通期末)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<π)的部分图象如图所示.
(1) 求f(x)的解析式及单调减区间；
(2) 将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象．若对任意x1，x2∈，|g(x1)－g(x2)|≤a，求实数a的最小值．
第7章综合检测
1. A　由θ＝，得sin θ＝成立，即充分性成立；反之，若sin θ＝，则θ＝＋2kπ或θ＝＋2kπ，k∈Z，即必要性不成立，所以“θ＝”是“sin θ＝”的充分且不必要条件．
2. C　角α的终边过点P(3a，－4a)，其中a>0，则点P到原点的距离r＝＝5a，所以sin α＋cos α＝＋＝－.
3. C　因为f(－3)＝＝8，所以f(f(－3))＝f(8)＝tan －1＝tan －1＝0.
4. A　如图，连接OG，OM，OH，则∠CON＝＝72°.又∠AOC＝90°，所以∠AON＝90°－72°＝18°，化为弧度为 rad，所以扇形OAN的面积为××12＝.
5. A　因为f(x)＝sin ，g(x)＝sin (2x＋)＝sin ，－＝，所以g(x)的图象向右平移个单位长度即可得到f(x)的图象．
6. B　令t＝sin x＋cos x＝sin ，则t∈[－，].因为(sin x＋cos x)2＝sin2x＋cos2x＋2sinx cos x＝1＋2sin x cos x，所以sin x cos x＝，所以f(x)＝sin x＋cos x＋sin x cos x＝t＋＝(t＋1)2－1.因为t∈[－，]，故f(x)的最大值为(＋1)2－1＝＋.
7. C　因为ω≥0，x∈，所以ωx∈.由题意，得k∈Z，解得≤ω≤(k∈Z).当k＝2时，≤ω≤，ω＝满足；当k＝3时，≤ω≤，ω＝2满足；当k＝4时，≤ω≤，ω＝满足．由不等式≤≤，解得≤k≤.因为k∈Z，所以k无解，则当ω＝时，函数f(x)＝sin ωx在区间不单调．
8. AB　对于A，由3x＋≠kπ＋(k∈Z)，得x≠＋(k∈Z)，所以函数f(x)的定义域为{x|x≠＋，k∈Z}，故A正确；对于B，函数f(x)的最小正周期为T＝，故B正确；对于C，函数f(x)在定义域上不单调，故C错误；对于D，因为3×＋＝，所以点不是函数f(x)的对称中心，故D错误．故选AB.
9. ABD　对于A，因为<1<，所以tan 1>tan ＝1，1＝sin >sin 1>sin ＝cos >cos 1，所以tan 1>sin 1>cos 1，故A正确；对于B，因为<2<，所以sin 2>0>cos 2>cos ＝－，－＝tan >tan 2，则sin 2>cos 2>tan 2，故B正确；对于C，因为<3<π，所以sin 3>0，－1tan 3>tan >－，所以sin 3>tan 3>cos 3，故C错误；对于D，因为<4<，所以tan 4>0，0>cos 4>cos ＝－，sin 4cos 4>sin 4，故D正确．故选ABD.
10. 三　因为cos α<0，所以α是第二象限角或第三象限角或终边在x轴的非正半轴上的角，当tan α>0时，α是第一象限角或第三象限角，故α是第三象限角．
11. 3　由题意，得＝＝2，即＝2，则tan θ＝3.
12. (1) 　当φ＝0时，经过时间t，A(cos t，sin t)，B(3cos t，3sin t)，当点A位于点B的“大距点”时，AB与小圆相切，此时△ABO为直角三角形，所以cos ∠AOB＝＝.因为ωA>ωB，所以cos ∠AOB＝cos (t－t)＝cos t＝.因为A是第一次位于点B的“大距点”，所以0(2) 6　经过时间t，A(cos t，sin t)，B(3cos ，3sin )，对于任意φ∈[0，2π)，当点A位于点B的“大距点”时，A，B两点坐标满足cos |t－|＝，即cos ＝，当t∈[0，30]时，求“大距点”个数的问题转化为直线y＝与y＝cos (t－φ)的图象在t∈[0，30]上的交点个数问题．若直线y＝与y＝cos 的图象有7个交点，则第1个交点到第7个交点间隔恰好3个周期，总长度等于36.因为30<36，所以30 s内不可能有7个交点．又当φ＝时，y＝cos ＝sin t，如图所示，直线y＝与y＝sin t的图象有6个交点，故点A最多有6次位于点B的“大距点”．
13. (1) 由图可得A＝f(x)max＝2，函数f(x)的最小正周期为T＝4×＝π，
所以ω＝＝＝2，
所以f(x)＝2sin (2x＋φ).
因为f＝2sin ＝2，
所以sin ＝1.
因为－π<φ<π，所以<φ＋<，
所以φ＋＝，所以φ＝－，
所以f(x)＝2sin .
由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调减区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z).
(2) 由题意，得g(x)＝2sin .
当x∈时，－≤x－≤，
则－≤sin ≤1，所以－1≤g(x)≤2.
因为对任意的x1，x2∈，|g(x1)－g(x2)|≤a，
所以a≥g(x)max－g(x) min＝2－(－1)＝3，
故实数a的最小值为3.