第8章 函数应用 综合检测 综合检测（含解析）高中数学 必修1（苏教版）

第8章　函数应用 综合检测
考查要点：函数的零点、零点存在定理，函数在实际问题中的应用
建议用时：40＋2分钟　
一、 单项选择题
1. (2024三明一中期中)函数f(x)＝3x－1的零点为(　　)
A. (0，0) B. (1，1) C. 0 D. 1
2. (2024江苏青桐鸣大联考)函数f(x)＝2x＋3x－7的一个零点所在区间为(　　)
A. (－2，－1) B. (－1，0) C. (0，1) D. (1，2)
3. (2024保定爱和城高级中学期末)利用二分法求方程log2x＝5－x的近似解，可以取的一个区间是(　　)
A. (1，2) B. (2，3) C. (3，4) D. (5，6)
4. (2024饶平二中期中)甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法中正确的是(　　)
A. 甲比乙先出发 B. 乙比甲跑的路程多
C. 甲比乙先到达终点 D. 甲、乙两人的速度相同
5. (2024株洲二中期末)已知函数f(x)＝3x＋2x，g(x)＝log3x＋2x，h(x)＝x3＋2x的零点分别为p，q，r，则p，q，r的大小关系为(　　)
A. p>q>r B. q>r>p C. r>p>q D. q>p>r
6. (2024荆州八县区期末联考)已知国内某人工智能机器人制造厂在2024年机器人的产量为400万台，根据市场调研和发展前景得知各行各业对人工智能机器人的需求日益增加，为满足市场需求，该工厂决定以后每一年的生产量都比上一年提高20%，则该工厂人工智能机器人的年产量达到1 200万台至少要到(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48) (　　)
A. 2028 年 B. 2029年 C. 2030年 D. 2031年
7. 若函数f(x)满足f(x)＋1＝，当x∈[0，1]时，f(x)＝x，若在区间(－1，1]上，方程f(x)＝k(x＋3)有两个实数解，则实数k的取值范围是(　　)
A. (－∞，－3－2) B. (－∞，－3＋2)
C. D.
二、 多项选择题
8. (2024邢台临西翰林中学期中)某打车平台欲对收费标准进行改革，现制定了甲、乙两种方案供乘客选择，其支付费用y(单位：元)与打车里程x(单位：km)的函数关系大致如图所示，则下列说法中正确的是(　　)
A. 当打车距离为8 km时，乘客选择乙方案省钱
B. 当打车距离为10 km时，乘客选择甲、乙方案均可
C. 打车3 km以上时，每千米增加的费用甲方案比乙方案多
D. 甲方案3 km内(含3 km)付费5元，行程大于3 km每增加1 km费用增加0.7元
9. (2024广州天河期末)已知函数f(x)＝(m∈R，e为自然对数的底数)，则下列说法中正确的是(　　)
A. 函数f(x)至少有1个零点
B. 函数f(x)至多有1个零点
C. 当m<－3时，若x1≠x2，则>0
D. 当m＝0时，方程f(f(x))＝0恰有4个不同实数根
三、 填空题
10. (2024唐山期末)在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量v(单位：cm3/s)与管道半径r(单位：cm)的四次方成正比．已知气体在半径为3 cm的管道中，流量为400 cm3/s，则气体在半径为 cm的管道中，流量为________ cm3/s.
11. (2024常熟期中)写出一个同时满足下列两个条件的函数f(x)＝________．
①f(x＋1)是R上的偶函数；②f(x)在R上有三个零点．
12. (2024泉州期末)函数f(x)＝－(k>0)的零点个数为________．
四、 解答题
13. 某厂生产某种产品的年固定成本为300万元，每生产x(x∈N)千件，需另投入成本C(x).当年产量不足90千件时，C(x)＝x2＋10x(单位：万元)；当年产量不小于90千件时，C(x)＝51x＋－1 300(单位：万元).通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂年内生产的商品能全部售完．(利润＝销售收入－总成本)
(1) 写出年利润L(单位：万元)关于年产量x(单位：千件)的函数解析式；
(2) 年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
第8章　函 数 应 用
第8章综合检测
1. C　令f(x)＝3x－1＝0，解得x＝0.
2. D　因为y＝2x和y＝3x在R上都是增函数，所以f(x)＝2x＋3x－7是R上的增函数．因为f(1)＝－2<0，f(2)＝3>0，所以f(1)·f(2)<0，由零点存在定理可得，f(x)在区间(1，2)上有唯一零点．
3. C　由log2x＝5－x，得log2x＋x－5＝0，构造函数f(x)＝log2x＋x－5，则f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．因为f(3)＝log23＋3－5＝log23－2<0，f(4)＝log24＋4－5＝2－1>0，所以f(x)的零点位于区间(3，4)内，即方程log2x＝5－x的近似解在区间(3，4)内．
4. C　结合已知条件可知，甲、乙同时出发且跑的路程都为s0，故A，B错误；当甲、乙两人跑的路程为s0时，甲所用时间比乙少，故甲先到达终点且甲的速度较大，故C正确，D错误．
5. B　由题意，得函数y＝3x，y＝log3x，y＝x3与y＝－2x图象交点的横坐标分别为p，q，r，如图，在同一平面直角坐标系中作出四个函数的图象，由图可知，p<0，q>0，r＝0，所以p6. B　设该工厂经过x年，人工智能机器人的产量才能达到1 200万台．由题意，得400×(1＋20%)x＝1 200，解得x＝log1.23＝＝≈＝6，所以经过6年，即至少到2029年，人工智能机器人的产量才能达到1 200万台．
7. C　由题意，得当x∈(－1，0)时，f(x)＝－1＝－1＝－，作出函数f(x)在区间(－1，1]上的图象，直线l1：y＝k1(x＋3)的图象如图．由图象可得，若在区间(－1，1]上，方程f(x)＝k(x＋3)有两个实数解，则08. BC　对于A，由图可知，当39. ACD　如图，作出函数y＝ex－1和函数y＝－x2－4x－4的图象．当m>0时，函数f(x)只有1个零点；当－2－32＋12－4＝－1，由图可知，函数f(x)为增函数，故C正确；当m＝0时，f(t)＝0，t1＝－2，t2＝0，当f(x)＝t1＝－2时，该方程有两个解，当f(x)＝t2＝0时，该方程有两个解，所以方程f(f(x))＝0有4个不同的解，故D正确．故选ACD.
10. 25　设比例系数为k，由题意，得＝k，将v＝400，r＝3代入，得k＝.当r＝时，v＝k·r4＝·＝25.
11. (x－1)2－|x－1|(答案不唯一)　函数y＝x(x－1)的零点为0和1，由翻折变换可知，y＝|x|(|x|－1)在R上有三个零点，且为偶函数，故记f(x＋1)＝|x|(|x|－1)＝x2－|x|.令x＋1＝t，则x＝t－1，所以f(t)＝(t－1)2－|t－1|，即f(x)＝(x－1)2－|x－1|.
12. 1　易知f(x)＝－(k>0)在区间(0，＋∞)上单调递减．当k＝1时，f(1)＝0，此时函数有1个零点；当00，则f(1)f(k)<0，此时函数在区间(k，1)上有唯一零点；当k>1时，f(1)＝k－1>0，f(k)＝1－<0，则f(1)f(k)<0，此时函数在区间(1，k)上有唯一零点．综上，函数f(x)＝－(k>0)的零点个数为1.
13. (1) 当0≤x<90，x∈N时，
L(x)＝－x2－10x－300＝－x2＋40x－300，
当x≥90，x∈N时，
L(x)＝－51x－＋1 300－300＝1 000－，
所以L(x)＝
(2) 当0≤x<90，x∈N时，L(x)＝－(x－60)2＋900，
所以当x＝60时，L(x)取得最大值L(60)＝900；
当x≥90，x∈N时，
L(x)＝1 000－≤1 000－2＝800，
当且仅当x＝，即x＝100时，等号成立，
即当x＝100时，L(x)取得最大值800.
综上，当年产量为60千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大，最大为900万元．