第25练 对数函数的概念、图象与性质
考查要点：对数函数的概念，对数函数的图象和性质
建议用时：40＋2分钟
一、 单项选择题
1. 函数y＝log3x，其中≤x≤81，则函数的值域为( )
A. (0，＋∞) B. C. [－1，4] D. (1，4)
2. 若函数f(x)＝loga(x－n)＋m(a>0且a≠1)的图象恒过定点(3，－1)，则mn的值为( )
A. －2 B. －3 C. 1 D. 2
3. (2024深圳龙岗期末)当a>1时，在同一直角坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象是( )
A B C D
4. (2024镇江期末)函数f(x)＝lg x＋x的定义域为，则值域为( )
A. B. C. D. [－9，11]
5. (2024海安实验中学期中)已知a＝，b＝，c＝0.9，则a，b，c的大小关系是( )
A. b>c>a B. c>a>b C. b>a>c D. a>c>b
6. (2024连云港期末)已知函数f(x)＝若f(2＋a2)
A. (1，5) B. (－∞，1)∪(5，＋∞)
C. (2，3) D. (－∞，2)∪(3，＋∞)
7. (2024溧阳期末)已知函数f(x)＝ln (x－1)2，e是自然对数的底数，记a＝f()，b＝f()，c＝f()，则a，b，c的大小关系是( )
A. c二、 多项选择题
8. (2024苏州学业质量阳光指标调研)已知a＝log83，b＝log275，c＝log499，则a，b，c的大小关系是( )
A. 9ab＝log25 B. a9. (2024宿迁青华中学统测)已知函数f(x)＝logax的图象经过点(27，3)，则下列结论中正确的有( )
A. f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增
B. f(x)为偶函数
C. 若x>1，则f(x)>0
D. 若x1>x2>0，则f>
三、 填空题
10. (2024海安实验中学期中)函数f(x)＝的定义域是________．
11. (2024灌云高级中学、灌南惠泽高级中学期中)定义在R上的奇函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝log2(x＋1)＋m，则f(－2)＝________．
12. 已知函数f(x)满足以下三个条件①f(2)＝－1；②在定义域(0，＋∞)上是减函数；③f(x·y)＝f(x)＋f(y)，请写出一个同时符合上述三个条件的函数f(x)的解析式________．
四、 解答题
13. (2024涟水一中月考)已知函数f(x)＝loga(x－1)，g(x)＝loga(6－2x)(a>0，且a≠1).
(1) 求函数φ(x)＝f(x)＋g(x)的定义域；
(2) 试确定不等式f(x)≤g(x)中x的取值范围．
第25练 对数函数的概念、图象与性质
1. C 因为log3＝－1，log381＝4，y＝log3x在区间上单调递增，所以y∈[－1，4].
2. A 因为函数f(x)＝loga(x－n)＋m的图象过定点(n＋1，m)，所以n＋1＝3，m＝－1，解得n＝2，所以mn＝－2.
3. A 由题意可将指数函数y＝a－x化为y＝，由a>1可知0<<1；由指数函数图象性质可得y＝在R上单调递减，且过定点(0，1)，故可排除B，D；由对数函数图象性质可得y＝logax在区间(0，＋∞)上单调递增，且过定点(1，0)，排除C，故选A.
4. A 因为函数f(x)＝lg x＋x的定义域为，且y＝lg x，y＝x在区间上单调递增，所以f(x)在区间上单调递增．又f＝－，f(10)＝11，所以值域为.
5. C 因为a＝＝∈(0，1)，b＝＝log34>1，c＝∈(0，1)，且y＝在定义域上是减函数，则>，即a>c，所以b>a>c.
6. B 当x<1时，f(x)＝2－x＝，所以f(x)在区间(－∞，1)上单调递减；当x≥1时，f(x)＝－log2x，所以f(x)在区间[1，＋∞)上单调递减．因为2-1>－log21，所以f(x)在R上单调递减．因为f(2＋a2)6a－3，即a2－6a＋5>0，解得a>5或a<1，所以实数a的取值范围是(－∞，1)∪(5，＋∞).
7. A 因为函数f(x)＝ln (x－1)2的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，f(2－x)＝ln (1－x)2＝f(x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．当x>1时，f(x)＝2ln (x－1)，函数f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，又f＝f＝f，显然1<<<，则f8. AD 9ab＝9log83·log275＝9×·＝9×·＝log25，故A正确；a＝log83＝log23，b＝log275＝log35.因为32>23，所以log23>；因为52<33，所以log35<，故a>b.因为c＝log499＝log73>log83＝a，所以c>a，故b9. ACD 因为f(x)＝logax的图象经过点(27，3)，所以loga27＝3，则a＝3，所以f(x)＝log3x.由对数函数的图象和性质知，A，C正确，B错误；对于D，f－＝log3－(log3x1＋log3x2)＝log3－log3，根据基本不等式，得≥，由题意知，等号取不到，所以log3－log3>0，即f>，故D正确．故选ACD.
10. (0，1)∪(1，2] 因为函数f(x)＝，所以解得所以f(x)的定义域为(0，1)∪(1，2].
11. －log23 因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝log2(0＋1)＋m＝0，则m＝0，所以f(－2)＝－f(2)＝－log2(2＋1)＝－log23.
12. f(x)＝logx(答案不唯一) 由f(x·y)＝f(x)＋f(y)可考虑对数函数f(x)＝logax.又因为f(x)在定义域(0，＋∞)上是减函数，所以f(x)＝logax的底数a∈(0，1).又因为f(2)＝－1，所以a＝，所以f(x)＝logx.
13. (1) 由题意，得解得1所以φ(x)＝f(x)＋g(x)的定义域为(1，3).
(2) f(x)≤g(x)，即loga(x－1)≤loga(6－2x)，1当0所以x的取值范围为；
当a>1时，x－1≤6－2x，解得x≤，
所以x的取值范围为.
综上，当01时，x的取值范围为.
对数函数图象特征：
1. 底真同对数正，底真异对数负！
2. 第一象限内图象越靠近x轴，底数越大．第22练 幂 函 数
考查要点：幂函数的概念，幂函数的图象和性质
建议用时：40＋2分钟
一、 单项选择题
1. (2024荆州八县市区期末联考)已知幂函数f(x)＝xα，且f(2)＝8f(1)，则α的值为( )
A. －2 B. 2 C. 3 D. 4
2. (2024涟水一中月考)若f(x)＝(log2m＋1)xm+1为幂函数，则f(2)的值为( )
A. B. C. 4 D.
3. (2024南京师大附中期中)已知幂函数f(x)＝x－m2＋2m的定义域为R，且m∈Z，则m的值为( )
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
4. (沧州运东七县期中联考)已知幂函数f(x)的图象经过点，则函数g(x)＝(x－1)f(x)在区间[1，3]上的最大值是( )
A. 2 B. 1 C. D. 0
5. (2024苏州学业质量阳光指标调研)已知幂函数y＝f(x)的图象过点(3，)，则函数y＝f(x)＋f(2－x)的定义域为( )
A. (－2，2) B. (0，2) C. (0，2] D. [0，2]
6. (2024苏州中学期中)已知一个幂函数的图象经过点P，则该幂函数的大致图象是( )
A B C D
7. (2024南京金陵中学期中)已知幂函数f(x)＝(－2m2＋m＋2)xm+1为偶函数，若函数y＝f(x)－4(a－1)x在区间(2，4)上单调，则实数a的取值范围是( )
A. (－∞，2] B. (－∞，2]∪[3，＋∞)
C. [2，3] D. (－1，2]∪[3，＋∞)
二、 多项选择题
8. (2024石家庄十五中期中)已知幂函数f(x)的图象经过A(0，0)，B(1，1)，C(－1，－1)，D(4，2)中的三个点，则f(3)的值可能为( )
A. B. C. 3 D. 9
9. (2024海安实验中学期中)下列关于幂函数f(x)＝xα的描述中，正确的是( )
A. 幂函数的图象都经过点(0，0)和(1，1)
B. 幂函数的图象不经过第四象限
C. 当指数α取1，3，时，幂函数y＝xα是其定义域上的增函数
D. 幂函数的图象过点，则f(9)＝
三、 填空题
10. (2024溧阳期末)写出一个在区间(0，＋∞)上单调递增且为奇函数的幂函数：f(x)＝________．
11. (邢台质检联盟月考)若幂函数f(x)＝(t－3)xa的图象过点，则α＝________．
12. (2024镇江期末)幂函数f(x)满足下列性质：①对定义域中任意的x，有f(x)＝f(－x)；②对区间(0，＋∞)中任意的x1，x2(x1≠x2)，都有(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]<0，请写出满足这两个性质的一个幂函数的表达式f(x)＝________．
四、 解答题
13. (2024常熟期中)已知定义在R上的幂函数f(x)＝(m2－m－1)xm.
(1) 求函数f(x)的解析式；
(2) 解关于x的不等式f(x)>(k＋2)x－2k(k∈R).
第22练 幂 函 数
1. C 因为f(x)＝xα，且f(2)＝8f(1)，即2α＝8×1α，解得α＝3.
2. C 因为f(x)＝(log2m＋1)xm+1为幂函数，所以log2m＋1＝1，所以m＝1，所以f(x)＝x2，所以f(2)＝22＝4.
3. C 因为幂函数的定义域为R，所以－m2＋2m>0，解得04. C 设f(x)＝xα，所以3α＝，所以α＝－2，所以f(x)＝x-2，所以g(x)＝(x－1)·x-2＝－＋.令t＝∈，由于y＝－t2＋t在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以(－t2＋t)max＝－＋＝，所以g(x)在区间[1，3]上的最大值是.
5. D 设f(x)＝xα.因为函数的图象过点(3，)，所以f(3)＝3α＝，解得α＝，所以f(x)＝x＝，所以y＝f(x)＋f(2－x)＝＋，所以x≥0且2－x≥0，即0≤x≤2，故函数y＝f(x)＋f(2－x)的定义域为[0，2].
6. D 设幂函数为f(x)＝xα，由幂函数的图象经过点P(2，)，得＝2α，解得α＝－4，所以f(x)＝x-4，则其定义域为{x|x≠0}．因为f(－x)＝(－x)-4＝x-4＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数．又因为f(x)＝x-4，－4<0，所以当x>0时，f(x)单调递减，故A，B，C错误，D正确．
7. B 因为函数f(x)＝(－2m2＋m＋2)xm+1为幂函数，所以－2m2＋m＋2＝1，解得m＝1或m＝－.当m＝1时，f(x)＝x2是偶函数，符合题意；当m＝－时，f(x)＝x＝既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意，所以f(x)＝x2，所以y＝x2－4(a－1)x，其对称轴为直线x＝2(a－1).若函数y＝x2－4(a－1)x在区间(2，4)上单调递增，则2(a－1)≤2，解得a≤2；若函数y＝x2－4(a－1)x在区间(2，4)上单调递减，则2(a－1)≥4，解得a≥3.综上，实数a的取值范围是(－∞，2]∪[3，＋∞).
8. BC 设f(x)＝xa，因为A(0，0)，B(1，1)，C(－1，－1)，D(4，2)，由幂函数的性质可知f(x)的图象必定经过点B，若f(x)的图象经过A，B，C三点，由f(－1)＝(－1)a＝－1，得a为正奇数，结合选项，f(x)的解析式可能为f(x)＝x，有f(0)＝0，此时f(3)＝3；若f(x)的图象经过A，B，D三点，由f(4)＝4a＝2，得a＝，则f(x)＝，有f(0)＝0，此时f(3)＝；若f(x)的图象经过B，C，D三点，由f(4)＝4a＝2，得到a＝，f(x)＝，此时点C不在图象上，即f(x)的图象不同时经过B，C，D三点．故选BC.
9. BC 对于A，当α<0时，幂函数f(x)＝xα在x＝0处无定义，故A错误；对于B，当x>0时，幂函数f(x)＝xα都有意义，且xα>0，故幂函数的图象不经过第四象限，故B正确；对于C，当α＝1时，f(x)＝x，在R上单调递增；当α＝3时，f(x)＝x3在R上单调递增；当α＝时，f(x)＝x＝，定义域为[0，＋∞)，且在区间[0，＋∞)上单调递增，故C正确；对于D，因为幂函数的图象过点，即f＝＝8，所以α＝－，即f(x)＝x－，所以f(9)＝9－＝3-3＝，故D错误．故选BC.
10. x3(答案不唯一) 因为幂函数在区间(0，＋∞)上单调递增，且为奇函数，所以幂函数可以为f(x)＝x3.
11. 2 由题意，得t－3＝1，则t＝4，由f()＝()α＝＝2，得α＝2.
12. x-2(答案不唯一) 由①知，函数为偶函数，由②知，函数在区间(0，＋∞)上单调递减，故f(x)＝x-2满足题意．
13. (1) 由题意，得m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2.
当m＝－1时，f(x)＝(x≠0)，不符合定义域为R，舍去；
当m＝2时，f(x)＝x2，定义域为R，符合题意，
所以f(x)＝x2.
(2) 不等式可化为x2－(k＋2)x＋2k>0，即(x－k)(x－2)>0，
当k>2时，解集为(－∞，2)∪(k，＋∞)；
当k＝2时，解集为(－∞，2)∪(2，＋∞)；
当k<2时，解集为(－∞，k)∪(2，＋∞).
1. 幂函数的系数必须是1，如本练的T2，T7，T13等．
2. 幂函数的图象是由α决定的：
(1) 在第一象限内x＝1的右侧：α越大，图象相对位置越高(指大图高).
(2) 单调性：当α>0时，在区间(0，＋∞)上单调递增；当α＝0时无单调性；当α<0时，在区间(0，＋∞)上单调递减．如本练的T4，T6.
(3) 过定点：当α>0时，过(0，0)，(1，1)两点；当α<0时，过点(1，1).如本练的T9.第24练 指数函数的应用
考查要点：指数函数的图象和性质的综合应用，与指数函数有关的简单的实际应用题
建议用时：40＋2分钟
一、 单项选择题
1. (2024灌云高级中学、灌南惠泽高级中学期中)某电子产品的价格不断降低，每隔一年其价格降低，若该电子产品现在价格为3 750元，则三年后其价格可降为( )
A. 2 250元 B. 2 080元 C. 1 920元 D. 1 620元
2. f(x)＝2x＋在定义域R上是( )
A. 增函数 B. 减函数 C. 奇函数 D. 偶函数
3. 函数f(x)＝的值域为( )
A. (0，1) B. (0，1] C. (0，2) D. (1，2)
4. (2024南京六校联合体联合调研)神舟十二号载人飞船搭载3名宇航员进入太空，在中国空间站完成了为期三个月的太空驻留任务，期间进行了很多空间实验，目前已经顺利返回地球．在太空中水资源有限，要通过回收水的方法制造可用水，回收水是将宇航员的尿液、汗液和太空中的水收集起来经过特殊的净水器处理成饮用水，循环使用．净化水的过程中，每过滤一次可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的1%以下，则至少需要过滤的次数为(参考数据：lg 2≈0.301 0)( )
A. 19 B. 20 C. 21 D. 22
5. (2024连云港海滨中学学情检测)设a＝，b＝1.5-0.2，c＝0.80.2，则a，b，c的大小关系是( )
A. a6. (2024海安实验中学期中)函数f(x)＝的部分图象大致为( )
A B C D
7. (2024盐城五校联盟期末)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如：[－3.6]＝－4，[3.6]＝3.已知函数f(x)＝－，则函数y＝[f(x)]＋[f(－x)]的值域是( )
A. {－1，0} B. {0} C. {0，1} D. {－1，0，1}
二、 多项选择题
8. 已知函数f(x)＝ax－，其中a>0且a≠1，则下列结论中正确的是( )
A. f(x)是奇函数
B. 函数f(x)＝0在其定义域上有解
C. 函数f(x)的图象过定点(0，1)
D. 当a>1时，函数f(x)在其定义域上单调递增
9. 如图，某池塘里浮萍的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系为y＝at，则下列说法中正确的是( )
A. 浮萍每月的增长率为2
B. 浮萍每月增加的面积都相等
C. 第4个月时，浮萍的面积超过80 m2
D. 若浮萍增加到2 m2，4 m2，8 m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则2t2＝t1＋t3
三、 填空题
10. 函数f(x)＝－9－x＋＋在区间[－1，＋∞)上的值域为________．
11. (2024常州联盟学校学情调研)牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体初始温度是θ0(单位：℃)，环境温度是θ1(单位：℃)，其中θ0>θ1，则经过t min后物体的温度θ将满足θ＝f(t)＝θ1＋(θ0－θ1)·e－kt(k∈R且k>0).现有一杯100 ℃的热红茶置于10 ℃的房间里，若经过3 min后物体的温度为40 ℃，则经过6 min后物体的温度为________℃.
12. (2024盐城五校联盟期末)设函数f(x)＝则满足f(x)＋f>3的x的取值范围是________．
四、 解答题
13. (2024南京鼓楼期中)随着中国经济高速增长，旅游成了众多家庭的重要生活方式，A，B两地景区自2010年开始，采取了不同的政策：A地提高景区门票价格到120元/人，B地取消了景区门票．政策实施后，A地的游客人次近似于直线上升(线性增长)，B地的游客人次近似于指数增长，如图所示．
A地 B地
已知①2011年度，A地的游客人次为600万，B地的游客人次为300万；②从2011年度开始，A地游客人次的年增加量近似为10万人次，B地游客人次的年增长率近似为20%；③平均每位游客出游一次可给当地带来500元收入(不含门票).
(1) 2014年度，B地的年度游客人次近似为________万；
(2) 从2011年度开始，分别估计多少年后，A地、B地的年度旅游收入开始超过50亿元？
(3) 结合(2)，谈谈你的看法．
(参考数据：1.23≈1.73，1.24≈2.07，1.25≈2.49，1.26≈2.99，1.27≈3.58，1.28≈4.30)
第24练 指数函数的应用
1. C 电子产品的价格不断降低，每隔一年其价格降低，现在价格为3 750元，则三年后其价格可降为3 750×＝1 920(元).
2. D 因为f(－x)＝2－x＋＝＋2x＝f(x)，所以f(x)是偶函数．
3. C f(x)＝＝＝2－.因为2x>0，所以2x＋1>1，所以－2<－<0，所以0<2－<2，所以函数f(x)＝的值域为(0，2).
4. C 设经过n次过滤达到要求，原来水中杂质为1.由题意，得1×(1－20%)n<1×1%，即0.8n<，所以lg 0.8n＝≈≈20.619.因为n∈N*，所以n的最小值为21，故至少要过滤21次．
5. D 由题意，得b＝1.5-0.2＝＝.因为y＝在R上单调递减，0.2<，所以>，所以b>a.因为y＝x0.2在区间(0，＋∞)上单调递增，由0.8>，得0.80.2>，所以c>b，故a6. A 因为f(x)＝，x∈R，f(－x)＝＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故排除B，C.又因为f(1)＝<1，故排除D，故选A.
7. A 因为f(x)＝－＝－＝－＝－＋，定义域为R.因为y＝1＋ex在定义域上单调递增，所以y＝在定义域上单调递减，所以f(x)＝－＋在定义域R上单调递减．当x<0时，ex∈(0，1)，∈，f(x)∈，则[f(x)]＝0；当x＝0时，[f(0)]＝0；当x>0时，ex∈(1，＋∞)，∈，f(x)∈，[f(x)]＝－1，故当x>0时，[f(x)]＋[f(－x)]＝－1＋0＝－1，当x<0时，[f(x)]＋[f(－x)]＝0＋(－1)＝－1，当x＝0时，[f(x)]＋[f(－x)]＝0＋0＝0，故选A.
8. ABD f(x)＝ax－＝ax－a－x，定义域为R，f(－x)＝a－x－ax＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，且f(0)＝0，故A，B正确，C错误；当a>1时，0<<1.因为y＝ax，y＝－在R上均为增函数，所以f(x)在其定义域上单调递增，故D正确．故选ABD.
9. CD 由图可知，y＝at的图象过点(1，3)，所以a＝3，即y＝3t.对于A，因为y＝3t为指数函数，为爆炸式增长，取前三个月浮萍的面积为3 m2，9 m2，27 m2，故增长率逐月增大，故A错误；对于B，第一个月浮萍的面积为 3 m2，第二个月浮萍的面积为9 m2，第三个月浮萍的面积为27 m2，浮萍每月增加的面积不相等，故B错误；对于C，当t＝4时，y＝34＝81(m2)，故C正确；对于D，因为3t1＝2，3t2＝4，3t3＝8，且(3t2)2＝3t1·3t3＝16，所以2t2＝t1＋t3，故D正确．故选CD.
10. f(x)＝－9－x＋＋＝－＋3×＋，令t＝，则当x∈[－1，＋∞)时，t∈(0，3]，则原函数的值域等价于函数g(t)＝－t2＋3t＋＝－＋3(0＜t≤3)的值域，所以 f(x)的值域为.
11. 20 由题意，得θ＝f(t)＝10＋90e－kt，3 min后物体的温度是40 ℃，即10＋90·e-3k＝40，则e-3k＝，得－3k＝ln ＝－ln 3，所以k＝ln 3，所以θ＝f(t)＝10＋90.将t＝6代入，得10＋90·＝10＋90×＝20，故所求温度为20 ℃.
12. (1，＋∞) 当x≤0时，f(x)＋f＝2x＋1＋2(x－)＋1＝4x－1≤－1，则f(x)＋f>3无解；当03的解集为；当x>时，f(x)＋f＝3x＋3x－>3＋30>3，则f(x)＋f>3恒成立．综上，f(x)＋f>3的解集为(1，＋∞).
13. (1) 519 2014年度，B地的年度游客人次为300×1.23≈300×1.73＝519(万).
(2) 设从2011年度开始，估计x年后，A地的年度旅游收入为g(x)(单位：万元)，
则g(x)＝(500＋120)(10x＋600)＝620(10x＋600).
令620(10x＋600)>500 000，即62(x＋60)>5 000，则x>20.6，
故估计21年后，A地的年度旅游收入开始超过50亿元.
令500×300×1.2m>500 000，得1.2m>，
因为1.26≈2.99<，1.27≈3.58>，结合图象，
故估计7年后，B地的年度旅游收入开始超过50亿元．
(3) 略第26练 对数函数的应用
考查要点：对数函数的图象和性质的综合应用，与对数函数有关的简单的复合函数问题
建议用时：40＋2分钟
一、 单项选择题
1. 已知p：函数f(x)＝|x＋a|在区间(－∞，－1)上是单调函数，q：函数g(x)＝loga(x＋1)(a>0且a≠1)在区间(－1，＋∞)上是增函数，则p成立是q成立的( )
A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
2. 若loga3＜1，则实数a的取值范围是( )
A. (1，3) B. (0，1)∪(3，＋∞)
C. (0，1)∪(1，3) D.
3. (2024南京六校联合体联合调研)函数f(x)＝x2log4的大致图象是( )
A B C D
4. (2024宿迁青华中学统测)设a＝log2π，b＝log0.5π，c＝π-2，则a，b，c的大小关系是( )
A. a>b>c B. b>a>c C. a>c>b D. c>b>a
5. 函数f(x)＝(0A B C D
6. 设函数f(x)＝ln |2x＋1|－ln |2x－1|，则下列说法中正确的是( )
A. f(x)是偶函数，在区间上单调递增
B. f(x)是奇函数，在区间上单调递减
C. f(x)是偶函数，在区间上单调递增
D. f(x)是奇函数，在区间上单调递减
7. (2024湛江期末)已知函数f(x)＝log2|x－1|，则下列结论中正确的是( )
A. f(x)在定义域上是增函数 B. f(4)＋f(7)C. f(x)的图象关于直线x＝1对称 D. f(x)零点的个数为1
二、 多项选择题
8. (2024江苏青桐鸣大联考月考)已知函数f(x)＝ln (x2－x)，则关于f(x)的说法中正确的有( )
A. 定义域为(1，＋∞) B. 在区间(1，＋∞)上单调递减
C. 值域为R D. 零点为x＝
9. (2024连云港期末)已知函数f(x)＝lg x，任意的x1，x2∈(0，＋∞)，下列结论中正确的是( )
A. f(x1)－f(x2)＝f
B. 若x1≠x2，则>f
C. y＝f是奇函数
D. 若|f(x1)|＝|f(x2)|，且x1≠x2，则x1＋x2>2
三、 填空题
10. 函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．
11. 函数f(x)＝loga(x－1)＋8(a>0且a≠1)的图象过定点P，则点P的坐标为________；当幂函数g(x)过点P时，g(x)的解析式为________．
12. 已知函数f(x)＝若f(a)≥2，则实数a的取值范围是________．
四、 解答题
13. (2024南通期末)已知函数f(x)＝lg (1－2x)＋lg (1＋2x).
(1) 求f(x)的定义域；
(2) 判断并证明f(x)的奇偶性；
(3) 讨论f(x)的单调性．
第26练 对数函数的应用
1. D 若p成立，则函数f(x)＝|x＋a|在区间(－∞，－1)上是单调函数．又函数f(x)＝|x＋a|＝所以－a≥－1，即a≤1；若q成立，即g(x)＝loga(x＋1)(a>0且a≠1)在区间(－1，＋∞)上是增函数，则a>1，所以p成立是q成立的既不充分又不必要条件．
2. B 由loga3＜1，得或解得a>3或03. D 因为>0，所以(x＋2)·(x－2)<0，解得－21，即log4>0，所以f(x)>0，排除A.故选D.
4. C 因为函数y＝log2x在区间(0，＋∞)上单调递增，且π>2，所以log2π>log22＝1，即a>1.因为函数y＝log0.5x在区间(0，＋∞)上单调递减，且π>1，所以log0.5πc>b.
5. C 由题意，得函数f(x)＝(00时，函数f(x)＝logax(06. D 由f(x)＝ln |2x＋1|－ln |2x－1|，得f(x)的定义域为，关于原点对称．又f(－x)＝ln |1－2x|－ln |－2x－1|＝ln |2x－1|－ln |2x＋1|＝－f(x)，所以f(x)为定义域上的奇函数，故A，C错误；当x∈(－，)时，f(x)＝ln (2x＋1)－ln (1－2x).因为y＝ln (2x＋1)在区间上单调递增，y＝ln (1－2x)在区间上单调递减，所以f(x)在区间上单调递增，故B错误；当x∈时，f(x)＝ln (－2x－1)－ln (1－2x)＝ln ＝ln .因为函数μ＝1＋在区间上单调递减，f(μ)＝ln μ在定义域上单调递增，根据复合函数单调性可知f(x)在区间上单调递减，故D正确．
7. C 对于A，当x<1时，易得u＝|x－1|单调递减，而y＝log2u单调递增，根据复合函数的单调性判定规则可知，f(x)＝log2|x－1|在区间(－∞，1)上单调递减，故A错误；对于B，f(4)＋f(7)＝log2|4－1|＋log2|7－1|＝log23＋log26＝log218，而f(11)＝log210，故f(4)＋f(7)>f(11)，故B错误；对于C，因为f(x)＝log2|x|为偶函数，其对称轴为直线x＝0，又f(x)＝log2|x－1|的图象是由f(x)＝log2|x|的图象向右平移1个单位长度得到的，所以f(x)＝log2|x－1|的对称轴为直线x＝1，故C正确；对于D，令f(x)＝log2|x－1|＝0，则|x－1|＝1，所以x＝0或x＝2，所以f(x)有两个零点，故D错误．
8. CD 由x2－x>0，得函数f(x)＝ln (x2－x)的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞)，故A错误；由复合函数的单调性可知f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，故B错误；y＝x2－x能取到所有的正实数，所以函数f(x)的值域为R，故C正确；令f(x)＝0，则x2－x＝1，解得x＝，故D正确．故选CD.
9. ACD 对于A，因为函数f(x)＝lg x，x1，x2∈(0，＋∞)，所以f(x1)－f(x2)＝lg x1－lg x2＝lg ＝f，故A正确；对于B，＝＝lg ≤lg ＝f，又x1≠x2，所以等号取不到，故B错误；对于C，令>0，得－12＝2，故D正确．故选ACD.
10. 因为函数u＝2x＋1，y＝log5u在定义域上是增函数，所以函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间即为该函数的定义域，即2x＋1＞0，解得x＞－，所以函数f(x)的单调增区间是.
11. (2，8) g(x)＝x3 令x－1＝1，得x＝2，f(x)＝8，所以点P的坐标为(2，8).设g(x)＝xa，所以2a＝8，所以a＝3，故g(x)＝x3.
12. (－∞，－1]∪[4，＋∞) 当x≤0时，若≥2，则x≤－1；当x>0时，若log2x≥2，则x≥4，故实数a的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞).
13. (1) 由题意，得解得－所以函数f(x)的定义域为.
(2) 函数f(x)＝lg (1－2x)＋lg (1＋2x)为偶函数，证明如下：
因为函数f(x)的定义域为，定义域关于原点对称，
且f(－x)＝lg (1＋2x)＋lg (1－2x)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数．
(3) f(x)＝lg (1－2x)＋lg (1＋2x)＝lg (1－4x2)，令u＝1－4x2，
因为u＝1－4x2在区间上单调递增，在区间上单调递减，y＝lg u为定义域是(0，＋∞)的增函数，
所以由复合函数的单调性可知，函数f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．第23练 指数函数的概念、图象与性质
考查要点：指数函数的概念，指数函数的图象和性质
建议用时：40＋2分钟
一、 单项选择题
1. (2024淮安期末)设a>0且a≠1，“函数f(x)＝(3－a)x＋1在R上是减函数”是“函数g(x)＝ax在R上是增函数”的( )
A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
2. 已知函数f(x)＝2a·3x和g(x)＝2x－(b+3)都是指数函数，则ab等于( )
A. B. 1 C. 9 D. 8
3. 函数f(x)＝的定义域是( )
A. (2，＋∞) B. [－1，＋∞) C. (1，＋∞) D. (0，2)
4. 设a＝0.81.1，b＝0.80.8，c＝1.10.8，则a，b，c的大小关系为( )
A. b5. 函数f(x)＝(a>1)的大致图象是( )
A B C D
6. (2024连云港期末)设a为实数，已知函数f(x)＝a－的图象关于原点对称，则a的值为( )
A. － B. C. 2 D. －2
7. (2024盐城五校联盟期末)已知函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围是( )
A. (0，1) B. (1，3] C. (1，4) D. [3，4)
二、 多项选择题
8. 若指数函数y＝ax在区间[－1，1]上的最大值和最小值的和为，则实数a的值可能是( )
A. B. C. 3 D. 2
9. (2024泰州期末)已知函数f(x)＝若f(x)的值域为R，则实数a的值可以是( )
A. －1 B. C. D. ln 4
三、 填空题
10. (2024海安实验中学期中)已知常数a>0且a≠1，假设无论a为何值，函数y＝ax+4＋3的图象恒经过一定点，则这个点的坐标为________．
11. (2024溧阳期末)若存在x∈[－2，0]满足x2－2x＋a<0(a∈R)，则实数a的取值范围为________．
12. (2024宿迁青华中学统测)若关于x的方程＝k有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为________．
四、 解答题
13. (2024苏州学业质量阳光指标调研)已知函数y＝ax(a>0且a≠1)在区间[1，2]上的最大值与最小值之积等于8，设函数f(x)＝.
(1) 求实数a的值，并证明：g(x)＝f(x)－为奇函数；
(2) 若不等式f(x)＋f(1－x)－m<1对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．
第23练 指数函数的概念、图象与性质
1. A 若函数f(x)＝(3－a)x＋1在R上是减函数，则 3－a<0，解得a>3.若函数g(x)＝ax在R上是增函数，则a>1.因为集合(3，＋∞)真包含于集合(1，＋∞)，所以“函数f(x)＝(3－a)x＋1在R上是减函数”是“函数g(x)＝ax在R上是增函数”的充分且不必要条件．
2. D 由题意，得2a＝1，即a＝，－(b＋3)＝0，即b＝－3，则ab＝＝8.
3. A 要使f(x)＝有意义，只需2x－4>0，解得x>2.
4. C 因为函数y＝0.8x为减函数，所以0.81.1<0.80.8<1，即a1，所以a5. C 由题意，得y＝因为a>1，所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，0)上单调递减，故选C.
6. A 由题意可知，f(x)＝a－为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即a－＝－a＋，所以2a＝＋＝＋＝＋＝＝－1，解得a＝－.
7. D 由题意，得解得3≤a<4，即实数a的取值范围是[3，4).
8. BC 当a>1时，函数y＝ax在区间[－1，1]上单调递增，所以当x＝1时，ymax＝a，当x＝－1时，y min＝a-1，所以a＋a-1＝，解得a＝3或a＝.因为a>1，所以a＝3；当09. BD 当x≤a时，f(x)＝x＋1单调递增，其值域为(－∞，a＋1].当x>a时，f(x)＝2x单调递增，其值域为(2a，＋∞).由题意，得f(x)的值域为R，所以(－∞，a＋1]∪(2a，＋∞)＝R，所以a＋1≥2a.记g(x)＝x＋1，h(x)＝2x，且t＋1＝2t(t>0)，在同一坐标系内作出函数图象，如图．因为28>35，所以2>3＝×＋1.又因为232＝529>512＝23×82，所以＝×＋1>2，所以＝，所以>>t.因为e3>42，所以e>4，所以ln 4<10. (－4，4) 因为当x＋4＝0，即x＝－4时，y＝a0＋3＝4，所以y＝ax+4＋3的图象恒过点(－4，4).
11. (－∞，1) 若存在x∈[－2，0]满足x2－2x＋a<0(a∈R)，则a<2x－x2.令F(x)＝2x－x2.因为y＝2x，y＝－x2在区间[－2，0]上均单调递增，所以F(x)＝2x－x2在区间[－2，0]上单调递增，所以F(x)≤F(0)＝1，所以a<1，即实数a的取值范围为(－∞，1).
12. (0，1) 由题意知，y＝与y＝k的图象有两个不同的交点，又y＝＝的图象如图所示，所以013. (1) 当a>1时，函数y＝ax在区间[1，2]上单调递增；当0所以函数y＝ax在区间[1，2]上的最大值与最小值之积等于a×a2＝8，解得a＝2，
所以f(x)＝，
所以g(x)＝f(x)－＝－＝，其定义域为R.
又因为g(－x)＝·＝·＝－g(x)，
所以函数g(x)为R上的奇函数．
(2) f(x)＋f(1－x)＝＋＝＋＝＝1＋＝1＋.
因为2x＋≥2＝2，当且仅当2x＝，即x＝时，等号成立，
所以f(x)＋f(1－x)＝1＋≤1＋＝1＋3－2＝4－2.
因为对任意x∈R，f(x)＋f(1－x)－m<1恒成立，
所以m＋1>4－2，解得m>3－2，
故实数m的取值范围为(3－2，＋∞).
1. 指数函数图象特征：在y 轴右边“底大图高”；在y 轴左边“底大图低”．
2. 比较幂值大小的方法(如本练的T4，第24练的T5)：
(1) 底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性判断；
(2) 底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数图象的变化规律判断；
(3) 底数不同，指数不同：通过中间量来比较，一般引入中间量“1”．