第39练 用二分法求方程的近似解
考查要点：二分法的概念、步骤和应用，零点的综合应用
建议用时：40＋2分钟
一、 单项选择题
1. (2024南航苏州附中月考)用二分法研究函数f(x)＝x5＋8x3－1的零点时，第一次经过计算得f(0)<0，f(0.5)>0，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为( )
A. (0，0.5)，f(0.125) B. (0，0.5)，f(0.375)
C. (0.5，1)，f(0.75) D. (0，0.5)，f(0.25)
2. 在用“二分法”求函数f(x)零点的近似值时，若第一次所取区间为[－2，6]，则第三次所取区间可能是( )
A. [－2，－1] B. [－1，1] C. [2，4] D. [5，6]
3. 若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下表：
f(1)＝－2 f(1.5)＝0.625 f(1.25)＝－0.984
f(1.375)＝－0.260 f(1.437 5)＝0.162 f(1.406 25)＝－0.054
则方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确到0.1)为( )
A. 1.2 B. 1.4 C. 1.3 D. 1.5
4. (2024丽水三校联考)方程＝x的根所在区间是( )
A. B. C. D.
5. 在用二分法求方程3x＋3x－8＝0在区间(1，2)内近似根的过程中，计算得到f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根所在区间为( )
A. (1，1.25) B. (1.25，1.5) C. (1.5，2) D. 不能确定
6. 已知函数f(x)＝当a>1时，方程[f(x)]2－(a2＋a)f(x)＋a3＝0的根的个数是( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
7. 已知函数f(x)＝(a>0，a≠1)在R上单调递减，且关于x的方程|f(x)|＝2－x恰有两个不相等的实数解，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. ∪ D. ∪
二、 多项选择题
8. (2024东莞高级中学、东莞第六高级中学联合教学质量检测)下列方程中能用二分法求近似解的为( )
A. ln x＋x＝0 B. ex－3x＝0
C. x3－3x＋1＝0 D. 4x2－4x＋5＝0
9. 已知函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点，且都可以用二分法求得，其图象是连续不断的，若f(0)>0，f(1)f(2)f(3)<0，则下列命题中正确的是( )
A. 函数f(x)的两个零点可以分别在区间(0，1)和(1，2)内
B. 函数f(x)的两个零点可以分别在区间(1，2)和(2，3)内
C. 函数f(x)的两个零点可以分别在区间(0，1)和(2，3)内
D. 函数f(x)的两个零点不可能同时在区间(1，2)内
三、 填空题
10. (2024惠州期末)若用二分法求方程2x3＋3x－3＝0在初始区间(0，1)内的近似解，则第二次取区间的中点x2＝________．
11. 设f(x)是定义在R上周期为2的函数，且f(x)＝记g(x)＝f(x)－a，若＜a＜1，则函数g(x)在区间[－2，3]上的零点个数是________．
12. 关于x的方程g(x)＝t(t∈R)的实根个数记为f(t).若g(x)＝x＋1，则f(t)＝________；若g(x)＝(a∈R)，存在t使得f(t＋2)＞f(t)成立，则实数a的取值范围是________．
四、 解答题
13. (2024武汉外国语学校期末)函数f(x)＝sin x＋2|sin x|.
(1) 请用五点作图法画出函数f(x)在区间[0，2π]上的图象(先列表，再画图)；
(2) 设F(x)＝f(x)－2m，x∈[0，2π]，当m>0时，试研究函数F(x)的零点的情况．
第39练 用二分法求方程的近似解
1. D 因为f(0)f(0.5)<0，所以零点x0∈(0，0.5)，根据二分法，第二次应计算f，即f(0.25).
2. C 若第一次所取区间为[－2，6]，则第二次所取区间可能是[－2，2]，[2，6]，第三次所取区间可能是[－2，0]，[0，2]，[2，4]，[4，6].
3. B 因为f(1.437 5)f(1.375)<0，所以函数在区间(1.375，1.437 5)内有零点．因为1.375，1.437 5精确到0.1的近似值都为1.4，所以所求方程的一个近似根(精确到0.1)为1.4.
4. C 构造函数f(x)＝－x，因为y＝和y＝－x均是R上的减函数，所以函数f(x)是R上的减函数，且函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线．因为f(0)＝1>0，f＝－>0，f＝－<0，由f(x)的单调性可知f<0，f(1)<0，所以ff<0，故函数f(x)的零点所在区间为，即方程＝x的根所在区间是.
5. B 因为f(1)<0，f(1.5)>0，所以函数f(x)＝3x＋3x－8的零点落在区间(1，1.5)内．又因为f(1.5)>0，f(1.25)<0，所以函数f(x)＝3x＋3x－8的零点落在区间(1.25，1.5)内，故方程3x＋3x－8＝0的根落在区间(1.25，1.5)内．
6. A 因为[f(x)]2－(a2＋a)f(x)＋a3＝0，所以[f(x)－a][f(x)－a2]＝0, 所以f(x)＝a或f(x)＝a2.因为a>1，所以a2>a.当f(x)＝a时，若x>0，则x＋＝a，所以4x2－4ax＋1＝0，则Δ＝16a2－16>0，所以方程的根为x＝>0或x＝>0；若x<0，则ln (－x)＝a，所以x＝－ea，所以方程f(x)＝a有3个根．同理可得f(x)＝a2有3个根，故方程[f(x)]2－(a2＋a)f(x)＋a3＝0有6个根．
7. C 由题意，得0
2，即a>时，|x2＋4a|＝2－x，即x2＋4a＝2－x，则Δ＝12－4(4a－2)＝0，解得a＝；当1≤4a≤2，即≤a≤时，由图象可知，符合条件．综上，实数a的取值范围为∪.
8. ABC 对于A，设f(x)＝ln x＋x，则f＝－2＋<0，f(1)＝1>0，所以ff(1)<0，且f(x)的图象是一条连续不断的曲线．根据零点存在定理可知， x1∈，使得f(x1)＝0，故A正确；对于B，设g(x)＝ex－3x，则g(0)＝1>0，g(1)＝e－3<0，所以g(0)g(1)<0，且g(x)的图象是一条连续不断的曲线．根据零点存在定理可知， x2∈(0，1)，使得g(x2)＝0，故B正确；对于C，设h(x)＝x3－3x＋1，则h(0)＝1>0，h(1)＝－1<0，所以h(0)h(1)<0，且h(x)的图象是一条连续不断的曲线．根据零点存在定理可知， x3∈(0，1)，使得h(x3)＝0，故C正确；对于D，设k(x)＝4x2－4x＋5，因为k(x)＝(2x－)2≥0恒成立，不存在函数值异号区间，所以不满足二分法的条件，故D错误．故选ABC.
9. ABD 因为函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点，且都可以用二分法求得，其图象是连续不断的，所以零点两侧函数值异号．又f(0)>0, f(1)f(2)f(3)<0，所以f(3)>0，f(1)f(2)<0.若f(1)>0, f(2)<0，则f(2)f(3)<0, f(1)f(2)<0，即此时函数f(x)的两个零点分别在区间(1，2)和(2，3)内，故B正确；若f(1)<0，f(2)>0，则f(0)f(1)<0, f(1) f(2)<0，即此时函数f(x)的两个零点分别在区间(0，1)和(1，2)内，故A正确．综上两种情况，可知选项C错误，D正确．故选ABD.
10. 令f(x)＝2x3＋3x－3，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，则x1＝＝，f＝－<0，故x2＝＝.
11. 8 作出函数f(x)在区间[－2，3]上的图象如图，函数g(x)在区间[－2，3]上的零点个数即为函数y＝f(x)，x∈[－2，3]与直线 y＝a，12. 1 (1，＋∞) 若g(x)＝x＋1，则函数的值域为R，且函数为单调函数，故方程g(x)＝t有且只有一个根，故f(t)＝1.g(x)＝(a∈R)，当a≤0时，如图1，此时f(t＋2)≤f(t)，不满足题意；当a>0时，若要满足f(t＋2)>f(t)，如图2，只需满足a>0，g(a)>2，所以a2＋a>2，解得a>1或a<－2(舍去).综上，实数a的取值范围是(1，＋∞).
图1 图2
13. (1) 由题意，得f(x)＝按五个关键点列表：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
f(x) 0 3 0 1 0
描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图：
(2) 因为F(x)＝f(x)－2m，
所以F(x)的零点个数等价于函数y＝f(x)与y＝2m的图象的交点个数．
设t＝2m，m>0，则t>1.
当0log23，即t>3时，F(x)没有零点．第41练 函数的实际应用
考查要点：函数在简单的实际问题中的应用
建议用时：40＋2分钟
一、 单项选择题
1. (2024汕尾期末)某家庭用水的使用量x(单位：m3)和水费f(x)(单位：元)满足关系f(x)＝已知某家庭2024年前四个月的水费如下表：
月份 用水量(m3) 水费(元)
一月 3.5 4
二月 4 4
三月 15 18
四月 20 25
若五月份该家庭使用了25 m3的水，则五月份的水费为( )
A. 32元 B. 33元 C. 34元 D. 35元
2. (2024海安期末)已知某种放射性元素在一升液体中的放射量c(单位：Bq/L)与时间t(单位：年)近似满足关系式c＝k·a－(a>0且a≠1).已知当t＝12时，c＝100；当t＝36时，c＝25，则据此估计，当这种放射性元素在一升液体中的放射量c为10时，t大约为(参考数据：log25≈2.32)( )
A. 50 B. 52 C. 54 D. 56
3. (2024烟台期中)某地民用燃气执行“阶梯气价”，按照用气量收费，具体计费方法如下表所示．若某户居民去年缴纳的燃气费为868元，则该户居民去年的用气量为( )
每户每年用气量 单价
不超过200 m3的部分 3.2元/m3
超过200 m3但不超过300 m3的部分 3.8元/m3
超过300 m3的部分 4.8元/m3
A. 180 m3 B. 220 m3 C. 260 m3 D. 320 m3
4. (2024徐州沛县四校联考)已知某物种t年后的种群数量y近似满足函数模型：y＝k0·e1.4e-0.125t(k0>0).自2024年年初起，经过n年后(n∈N*)，当该物种的种群数量不足2024年年初的20%时，n的最小值为(参考数据：ln 5≈1.609 4)( )
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
5. (2024株洲二中期末)一段时间内，某养兔基地的兔子快速繁殖，兔子总只数的倍增期为21个月(假设没有捕杀与其他损耗)，那么一万只兔子增长到一亿只兔子大约需要(lg 2≈0.3)( )
A. 23年 B. 22年 C. 21年 D. 20年
6. 某数学兴趣小组为研究指数函数的“爆炸性增长”进行了折纸活动．一张纸每对折一次，纸张变成两层，纸张厚度会翻一倍．现假定对一张足够大的纸张(其厚度等同于0.076 6毫米的胶版纸)进行无限次的对折．借助计算工具进行运算，整理记录了其中的三次数据如下：
折纸次数 纸张厚度 参照物
22 321米 苏州东方之门的高度约为301.8米
27 10 281米 珠穆朗玛峰的高度约为8 848米
38 2.1万千米 地球直径约为1.3万千米
已知地球到月亮的距离约为38万千米，若纸张的厚度超过地球到月亮的距离，则理论上至少对折( )
A. 41次 B. 43次 C. 45次 D. 47次
7. (2024无锡一中月考)如图，假定P，Q两点以相同的初速度(单位：单位/s)分别同时从点A，C出发，点Q沿射线CD做匀速运动，CQ＝x，点P沿线段AB(长度为107单位)运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离(PB＝y)，那么定义x为y的纳皮尔对数，函数表达式为y＝107，则点P从靠近点A的第一个五等分点移动到靠近点B的三等分点经过的时间约为(参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 5≈1.6)( )
A. 0.7 s B. 0.9 s C. 1.1 s D. 1.3 s
二、 多项选择题
8. (2024苏州工业园区第二高级中学月考)几名大学生创业，经过调研，他们选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润p(x)(单位：万元)与每月投入的研发经费x(单位：万元)有关．当每月投入的研发经费不高于16万元时，p(x)＝－x2＋6x－20，研发利润率y＝×100%.他们现在已投入研发经费9万元，则下列说法中正确的是( )
A. 投入9万元研发经费可以获得最大利润率
B. 要再投入6万元研发经费才能获得最大月利润
C. 要想获得最大利润率，还需要再投入研发经费1万元
D. 要想获得最大月利润，还需要再投入研发经费1万元
9. (2024济宁期末)计算机病毒就是一个程序，对计算机的正常使用进行破坏，它有独特的复制能力，可以很快地蔓延，又常常难以根除．现有一种专门占据内存的计算机病毒，该病毒占据内存y(单位：KB)与计算机开机后使用的时间t(单位：min)的关系式为y＝3×2t，则下列说法中正确的是( )
A. 在计算机开机后使用5 min时，该计算机病毒占据内存会超过90 KB
B. 计算机开机后，该计算机病毒每分钟增加的内存都相等
C. 计算机开机后，该计算机病毒每分钟的增长率为1
D. 计算机开机后，该计算机病毒占据内存到6 KB，9 KB，18 KB所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3
三、 填空题
10. (2024无锡期末)酒驾是严重危害交通安全的违法行为，根据国家规定，驾驶人员100 mL血液中酒精含量达到20－79 mg的即为酒后驾车，80 mg及以上的被认定为醉酒驾车．假设某人喝了一定量的酒后，血液中的酒精含量达到1 mg/mL，如果停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时25%的速度减少，那么他至少经过________h才能驾驶．(结果精确到0.1 h，参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
11. (2024丹阳珥陵高级中学教学情况调研)如图，某房地产开发公司要在矩形ABCD上规划出一块矩形地PQCR建造住宅区，为了保护文物，住宅区不能超越文物保护区△AEF的界限EF.由实地测量知，AB＝200 m，AD＝140 m，AE＝60 m，AF＝40 m，则当设计矩形住宅区的长PQ＝________m，才能使其面积最大，最大面积是________m2.
12. 牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体初始温度为T0，则经过一定时间t(单位：min)后的温度T(单位：℃)满足T－Ta＝(T0－Ta)，其中Ta是环境温度，h为常数，现有一杯80 ℃的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55 ℃.经测量室温为25 ℃，茶水降至75 ℃大约用时1 min，那么为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等待________min.(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48，lg 5≈0.70，lg 11≈1.04)
四、 解答题
13. (2024徐州高级中学期中)无人机被视为衡量科技实力、创新能力和高端制造水平的重要标志，2024年我国民用无人机总产值超过300亿元，我国无人机产业呈现出蓬勃发展的态势．现有某企业销售甲、乙两种小型无人机所得的利润分别是P(单位：万元)和Q(单位：万元)，它们与投入资金t(单位：万元)的关系有经验公式P＝t，Q＝.今将3万元资金投入经营甲、乙两种小型无人机，其中对甲种无人机投资x(单位：万元).
(1) 试用x表示总利润y(单位：万元)，并写出x的取值范围；
(2) 求当x为多少时，总利润y取得最大值，并求出最大值．
第41练 函数的实际应用
1. A 由题意，得f(4)＝m＝4，则解得a＝5，n＝，所以f(x)＝所以f(25)＝4＋×(25－5)＝32.
2. B 由题意，得解得k＝200，a＝2，所以c＝200×.由200×＝10，得t＝12log220＝12(2＋log25)≈52.
3. C 设该户居民去年的用气量为x m3，缴纳的燃气费为y元.当0≤x≤200时，y＝3.2x，令3.2x＝868，解得x＝271.25，不符合题意；当200300时，y＝3.2×200＋3.8×(300－200)＋4.8×(x－300)＝4.8x－420，令4.8x－420＝868，解得x＝<300，不符合题意．综上x＝260.
4. D 由题意可知，2023年年初的种群数量为k0·e1.4e，故令y＝k0·e1.4e-0.125t<20%·k0·e1.4e，即e-0.125t<，解得t>＝8ln 5≈12.875 2.因为n∈N*，故n的最小值为13.
5. A 设一万只兔子经过x年后有y只，则y＝104·2.令y＝108，即2＝104，则＝，解得x＝≈23，故大约需要23年．
6. B 设纸张的初始厚度为a万千米，则a·238＝2.1.设至少对折x次，纸张厚度超过38万千米，则a·2x>38，即·2x>38，则2x-38>≈18.1.因为24＝16<18，25＝32>18，函数y＝2x是R上的增函数，所以x－38≥5，即x≥43，所以理论上至少对折43次，纸张的厚度会超过地球到月亮的距离．
7. B P，Q两点的初速度为107单位/s.设点P运动到靠近点A的第一个五等分点时，CQ＝x1，则×107＝107，解得x1＝107ln .设点P运动到靠近点B的三等分点时，CQ＝x2，则×107＝107，解得x2＝107ln 3，故所求的时间为＝＝ln 3＋2ln 2－ln 5≈0.9(s).
8. BC 因为p(x)＝－x2＋6x－20＝－(x－15)2＋25，所以当投入15万元时，月利润最大，所以需再投入6万元研发经费，故B正确，D错误；研发利润率y＝×100%＝－x＋6－＝－＋6，又＋≥2＝4，当且仅当＝，即x＝10时，利润率最大，所以需再投入研发经费1万元，可获得最大利润率，故A错误，C正确．故选BC.
9. ACD 对于A，令t＝5，得y＝3×25＝96>90，故A正确；对于B，因为3×2t+1－3×2t＝3×2t不是定值，所以计算机开机后，该计算机病毒每分钟增加的内存不相等，故B错误；对于C，因为＝1，所以计算机开机后，该计算机病毒每分钟的增长率为1，故C正确；对于D，由题意，得可得(3×2t1)(3×2t2)＝3(3×2t3)，则2t1＋t2＝2t3，即t1＋t2＝t3，故D正确．故选ACD.
10. 5.6 设他经过x h才能驾驶，则100×(1－25%)x<20，解得x>log0.750.2＝＝≈≈5.596，故至少经过5.6 h才能驾驶．
11. 175 如图，设QP，RP分别交AD，AB于点M，N，设MP＝x(0≤x≤60)，则DR＝x，RC＝200－x.因为△FMP∽△FAE，所以＝，即＝，解得FM＝x，所以MA＝40－x，所以S矩形PQCR＝(200－x)[140－]＝－x2＋x＋20 000＝－(x－25)2＋(0≤x≤60)，所以当x＝25 m时，S矩形PQCR取得最大值，最大值为m2，此时PQ＝200－25＝175(m).
12. 6.5 由题意，得75－25＝(80－25)，解得＝，即h＝.又55－25＝(80－25)，所以＝，所以t＝·h＝＝＝＝≈＝6.5，所以大约需要等待6.5 min.
13. (1) 由题意，得y＝x＋(0≤x≤3).
(2) 设＝m，则0≤m≤，且x＝3－m2，所以y＝(3－m2)＋m＝－(m2－3m－3)＝－(m－)2＋，
所以当m＝，即x＝时，y取得最大值.第38练 函数的零点
考查要点：零点的概念，零点存在定理
建议用时：40＋2分钟
一、 单项选择题
1. (2024南通期末)函数f(x)＝2log3x＋2x－5的零点所在区间是( )
A. (0，1) B. C. D. (2，3)
2. (2024保定部分高中开学考试)函数f(x)＝的零点个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 函数f(x)＝lg x－sin x的零点个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 已知函数f(x)＝ex＋x，g(x)＝ln x＋x，h(x)＝x3＋x的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为( )
A. a>b>c B. c>a>b C. b>c>a D. b>a>c
5. (2024睢宁高级中学月考)已知关于x的方程|2x－m|＝2m－1有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是( )
A. (－∞，－1] B. C. [1，＋∞) D. (1，＋∞)
6. (2024湖南师大附中期末)设方程log2x－＝0，x－＝0的根分别为x1，x2，则下列结论中正确的是( )
A. x1x2＝1 B. 07. 设函数f(x)＝若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是( )
A. B. (－∞，－2]∪
C. (－∞，－1) D. [－2，＋∞)
二、 多项选择题
8. (2024海安期末)函数y＝lg x－x＋1的零点所在的区间为( )
A. (0，1) B. (1，2) C. (2，3) D. (3，4)
9. (2024深圳龙岗期末)设f(x)＝则下列说法中正确的有( )
A. 若y＝f(x)与y＝a，a∈R的图象有两个交点，则a∈(1，＋∞)
B. 若方程f(x)－m＝0有三个实数根，则m∈(0，1]
C. f(x)≥1的解集是[2，＋∞)
D. 0≤f(f(x))≤1的解集是(－∞，－1]∪[0，＋1]
三、 填空题
10. (2024淮安期末)函数f(x)＝2x＋2x－7的零点所在的区间为(k，k＋1)，则正整数k的值为________．
11. (2024海安期末)试写出一个实数a＝________，使得函数f(x)＝ax2＋4x－1在区间(－1，1)上恰有一个零点．
12. (2024连云港高级中学月考)已知f(x)＝方程|f(x)|＝a有四个不同的根x1，x2，x3，x4，且满足x1四、 解答题
13. (2024南京师大附中期末)设a为常数，函数f(x)＝2cos2x－a sinx－1.
(1) 当a＝1时，求f(x)的值域；
(2) 讨论f(x)在区间(0，π)上的零点的个数；
(3) 设n为正整数，f(x)在区间(0，nπ)上恰有2 024个零点，求所有可能的正整数n的值．
第38练 函数的零点
1. C 因为函数f(x)＝2log3x＋2x－5为定义域内的增函数，且f(2)＝2log32－1>2log3－1＝0，f＝2log3－2<0，所以由零点存在定理可得零点位于区间内．
2. C 当x≥0时，令x2－3x＋2＝0，解得x＝1或x＝2；当x<0时，令ex＋x＝0，则ex＝－x，画出函数y＝ex与函数y＝－x的图象，可知在区间(－∞，0)上有一个公共点，故f(x)的零点个数为3.
3. C 函数f(x)＝lg x－sin x的零点个数，即函数y＝lg x 的图象和函数y＝sin x图象的交点个数．因为lg 10＝1，sin ＝1，sin ＝1，sin ＝1，在同一坐标系作出函数图象，由图象可知，交点个数为3.
4. C 因为函数y＝ex，y＝ln x，y＝x3，y＝x都是增函数，所以函数f(x)＝ex＋x，g(x)＝ln x＋x，h(x)＝x3＋x都是增函数．又f(－1)＝－1<0，f(0)＝1>0，所以函数f(x)的零点在区间(－1，0)上，即a∈(－1，0).因为g＝－1＋<0，g(1)＝1>0，所以函数g(x)的零点在区间上，即b∈.因为h(0)＝0，所以函数h(x)的零点为0，即c＝0，所以b>c>a.
5. B f(x)＝|2x－m|的大致图象如图所示，因为方程|2x－m|＝2m－1有两个不相等的实数根，所以0<2m－16. B 由log2x－＝0，得log2x＝，由x－＝0，得x＝，分别画出函数f(x)＝log2x，h(x)＝x，g(x)＝的图象，如图所示．由图象可知，x1>1>x2>0，所以log2x1＝<＝x2，得x1<，所以07. B 当x<1时，f(x)在区间(－∞，1)上单调递增，f(x)<2＋a；当x≥1时，令f(x)＝0，得x＝－a或x＝－2a.①当2＋a≤0，即a≤－2时，f(x)在区间(－∞，1)上无零点，此时－2a>－a≥2，所以f(x)在区间[1，＋∞)上有两个零点，符合题意；②当2＋a>0，即a>－2时，f(x)在区间(－∞，1)上有1个零点，所以f(x)在区间[1，＋∞)上只有1个零点．若－2－a，所以－a<1≤－2a，解得－10，则0>－a>－2a，所以f(x)在区间
[1，＋∞)上无零点，不符合题意．综上，实数a的取值范围是(－∞，－2]∪.
8. AC 令0＝lg x－x＋1，得lg x＝x－1.分别画出函数y1＝lg x(x>0)与函数y2＝x－1的图象，如图．由图象可知，两函数的图象有两个公共点，即f(x)有两个零点，分别在区间(0，1)和区间(2，3)上．区间(0，1)上的零点显而易见．令f(x)＝lg x－x＋1，f(2)＝lg 2>0，所以f(2)>0，f(3)＝lg 3－＝lg －9. ABD 由函数解析式可得函数图象如图所示，要使y＝f(x)与y＝a，a∈R的图象有两个交点，则a∈(1，＋∞)，故A正确；若方程f(x)－m＝0有三个实数根，则m∈(0，1]，故B正确；由图象知，f(x)≥1的解集是[－2，0]∪[2，＋∞)，故C错误；令t＝f(x)，由0≤f(t)≤1，得t∈(－∞，－2]∪[0，2].又t＝f(x)≥0，所以0≤t＝f(x)≤2，则或解得x≤－1或0≤x≤1＋，故解集是(－∞，－1]∪[0，＋1]，故D正确．故选ABD.
10. 1 因为函数f(x)＝2x＋2x－7是R上的增函数，且f(1)＝－3<0，f(2)＝1>0，所以f(x)的零点所在的区间为(1，2)，所以正整数k的值为1.
11. 1(答案不唯一) 不妨取a＝1，则f(x)＝x2＋4x－1，则f(1)＝4，f(－1)＝－4，得f(1)f(－1)<0.又f(x)＝x2＋4x－1图象的对称轴为直线x＝－2，则f(x)在区间(－1，1)上单调递增，所以f(x)＝x2＋4x－1在区间(－1，1)上恰有一个零点．
12. －2 由题意，得|f(x)|＝作出图象如图所示．由图象易知＝－1，013. (1) 由题意，得f(x)＝2cos2x－a sinx－1＝－2sin2x－a sinx＋1.
令t＝sin x，t∈[－1，1]，
则g(t)＝－2t2－at＋1，Δ＝a2＋8>0，
所以g(－1)＝－1＋a，g(0)＝1，g(1)＝－a－1.
当a＝1时，g(t)＝－2t2－t＋1，对称轴为直线t＝－，
所以g(－1)＝0，g(1)＝－2，g＝，
所以g(t)∈，
故f(x)的值域为.
(2) 由(1)知，记g(t)＝－2t2－at＋1的两零点为t1<0，t2>0，
当g(1)>0，即a<－1时，则t2>1，f(x)在区间(0，π)上无零点；
当g(1)＝0，即a＝－1时，则t2＝1，f(x)在区间(0，π)上有1个零点；
当g(1)<0，即a>－1时，则0(3) 由(1)(2)知，g(t)＝－2t2－at＋1有两个零点t1<0，t2>0，
当t1＝－1，即a＝1时，t2＝，则f(x)在区间(0，2kπ)(k为正整数)内的零点个数为3k，在区间(0，(2k＋1)π)内的零点个数为3k＋2.
因为2 024＝3×674＋2，所以n＝674×2＋1＝1 349；
当t2＝1，即a＝－1时，t1＝－，则f(x)在区间(0，2kπ)(k为正整数)内的零点个数为3k，在区间(0，(2k＋1)π)内的零点个数为3k＋1，此时不存在n满足题意；
当a<－1时，－11，则f(x)在区间(0，2kπ)和区间(0，(2k＋1)π)(k为正整数)内的零点个数均为2k.
因为2 024＝2×1 012，所以n＝2 024或n＝2 025；
当－1所以n＝k＝1 012；
当a>1时，t1<－1，0所以n＝2 023或n＝2 024.
综上，n的所有可能值为1 012，1 349，2 023，2 024，2 025.第40练 几个函数模型的比较
考查要点：幂函数、指数函数、对数函数模型的比较
建议用时：40＋2分钟
一、 单项选择题
1. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi，yi)(i＝1，2，…，20)得到右面的散点图，由此散点图，在10 ℃至40 ℃之间，则下列四个函数模型中最适宜作为发芽率y和温度x的函数模型的是( )
A. y＝a＋bx B. y＝a＋bx2 C. y＝a＋bex D. y＝a＋b ln x
2. 某同学参加研究性学习活动，得到如下实验数据：
x 1.0 2.0 4.0 8.0
y 0.01 0.99 2.02 3
现从理论上对这些数据进行分析并预测，则下列模拟函数中合适的是( )
A. y＝log2x B. y＝2x C. y＝x2＋2x－3 D. y＝2x－3
3. (2024溧阳期末)在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据：
x 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
y －2.0 －1.0 0 1.00 2.0 3.0
在下列四个函数模型(a，b为待定系数)中，最能反映x，y函数关系的是( )
A. y＝a＋bx B. y＝a＋bx C. y＝a＋logbx D. y＝a＋
4. (2024深圳第二高级中学期末)下列选项分别是四种生意预期的获益y关于时间x的函数模型，从足够长远的角度看，使得公司获益最大的函数模型是( )
A. y＝10×1.05x B. y＝20＋x2 C. y＝30＋lg (x＋1) D. y＝50x
5. 2006年至2018年北京电影放映场次(单位：万次)的情况如图所示，下列函数模型中，无法近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是( )
A. f(x)＝ax2＋bx＋c
B. f(x)＝aex＋b
C. f(x)＝eax＋b
D. f(x)＝a ln x＋b
6. (2024保定期末)有一组实验数据及对应散点图如下所示，则下列能体现这些数据的最佳函数模型是( )
x 0 4 9 16 36
y 3 7 9 11 15
A. y＝bx＋c B. y＝b＋c C. y＝blogax＋c D. y＝ax＋c
7. 某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
时间t 60 100 180
种植成本Q 116 84 116
根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系．Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.利用你选取的函数，求得西红柿种植成本最低时的上市天数是( )
A. 120 B. 100 C. 110 D. 118
二、 多项选择题
8. (2024广东实验中学期中)已知函数y1＝x，y2＝x2，y3＝x3，当x在(0，＋∞)上逐渐增大时，下列说法中正确的是( )
A. y1的增长速度越来越快 B. y2的增长速度越来越快
C. y3的增长速度一直快于y1 D. y3的增长速度有时慢于y2
9. (2024惠州期末)现代研究结果显示，饮茶温度最好不要超过60 ℃，一杯茶泡好后置于室内，1 min，2 min后测得这杯茶的温度分别为80 ℃，65 ℃，给出两个茶温T(单位：℃)关于茶泡好后置于室内时间t(单位：min)的函数模型：①T＝80·＋20；②T＝60·＋20.根据所给的数据，下列结论中正确的是(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)( )
A. 选择函数模型①
B. 该杯茶泡好后到饮用至少需要等待3 min
C. 选择函数模型②
D. 该杯茶泡好后到饮用至少需要等待2.5 min
三、 填空题
10. 某种病毒经30 min繁殖为原来的5倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：h，y表示病毒个数)，则k＝________；经过2 h，1个病毒能繁殖为________个．
11. (2024东莞粤华学校期中)函数y＝x与函数y＝x·ln x在区间(4，＋∞)上增长较快的一个是________．
12. A，B，C三个物体同时从同一点出发同向而行，位移y关于时间x(x>0)的函数关系式分别为yA＝2x－1，yB＝log2x，yC＝x，则下列结论中正确的是________．(填序号)
①当x>1时，A总走在最前面；②当04时，B一定走在C前面．
四、 解答题
13. (2024东台期末)国内某大型机械加工企业在过去的一个月内(共计30天，包括第30天)，其主营产品在第x天的指导价为每件P(x)(元)，且满足P(x)＝(x∈N)，第x天的日交易量Q(x)(万件)的部分数据如下表：
第x天 1 2 5 10
Q(x)(万件) 14.01 12 10.8 10.38
(1) 给出下列两种函数模型：①Q(x)＝a＋2x＋b，②Q(x)＝a＋，其中a，b为常数．请你根据上表中的数据，从①②中选择你认为最合适的一种函数模型来拟合该产品日交易量Q(x)(万件)的函数关系；并且从四组数据中选择你认为最简洁合理的两组数据进行合理的推理和运算，求出Q(x)的函数关系式；
(2) 若该企业在未来一个月(共计30天，包括第30天)的生产经营水平维持上个月的水平基本不变，由(1)预测并求出该企业在未来一个月内第x天的日交易额f(x)的函数关系式，并确定f(x)取得最小值时对应的x.
第40练 几个函数模型的比较
1. D 由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此，最适合作为发芽率y和温度x的函数模型的是y＝a＋b ln x.
2. A 由表中的数据看出y随x的增大而增大，且增大的幅度越来越小，而函数y＝2x，y＝x2＋2x－3在区间(0，＋∞)上的增大幅度越来越大，函数y＝2x－3呈线性增大，只有函数y＝log2x与已知数据的增大趋势接近．
3. C 由题，作出散点图如下，由散点图可知，散点图和对数函数图象接近，可选择y＝a＋logbx反映x，y函数关系，故选C.
4. A 因为指数函数y＝1.05x的底数大于1，其增长速度随着时间的推移会越来越快，比幂函数y＝x2，对数函数y＝lg (x＋1)，一次函数y＝50x增长的速度快，所以从足够长远的角度看，使得公司获益最大的函数模型是y＝10×1.05x.
5. D 由图可知，电影放映场次逐年递增，且增速有变快的趋势，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，f(x)＝aex＋b，f(x)＝eax＋b均可以描述变化规律，而f(x)＝a ln x＋b可以描述逐年递增，但增速有变慢的趋势，故不能描述变化规律，故选D.
6. B 观察散点图，图中的那些点显然不在一条直线上，则模型y＝bx＋c不符合，故A错误；若选择y＝b＋c作为y与x的函数模型，将点(0，3)，(4，7)代入，得解得则y＝2＋3，显然当x＝9时，y＝9；当x＝16时，y＝11；当x＝36时，y＝15，与表格中的实际值相同，所以y＝b＋c适合作为y与x的函数模型，故B正确；模型y＝blogax＋c在x＝0处无意义，则模型y＝blogax＋c不符合，故C错误；散点图中的点有单调递增的趋势，且增势逐渐变缓，则模型y＝ax＋c不符合，故D错误．
7. A 因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，所以函数不单调，所以选取Q＝at2＋bt＋c，且图象开口向上，将表格中的三组数据分别代入Q＝at2＋bt＋c，得解得即Q＝0.01t2－2.4t＋224，所以对称轴为直线t＝－＝120，图象开口向上，所以在对称轴处，即t＝120时函数取最小值．故西红柿种植成本最低时的上市天数是120.
8. BD 如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y1＝x，y2＝x2，y3＝x3的图象，由图可知，y1＝x的增长速度没有变，故A错误；在区间(0，＋∞)上y2＝x2的增长速度越来越快，故B正确；由图可知，在区间(0，1)上y3的增长速度最慢，而在区间(1，＋∞)上y3的增长速度最快，故C错误，D正确．故选BD.
9. AD 若选择函数模型①，则当t＝1时，T＝80·＋20＝80，当t＝2时，T＝80·＋20＝65，符合要求；若选择函数模型②，则当t＝1时，T＝60·＋20＝60，不符合要求，所以选择函数模型①，故A正确，C错误；令T＝60，则有60＝80·＋20，即t lg ＝lg ，即t＝＝≈＝2.5，故该杯茶泡好后到饮用至少需要等待2.5 min，故B错误，D正确．故选AD.
10. 2ln 5 625 当t＝0.5时，y＝5，所以5＝，所以k＝2ln 5，所以y＝e2t ln 5.当t＝2时，y＝e4ln 5＝54＝625.
11. y＝x·ln x 当x∈(4，＋∞)时，f(x)＝x·ln x－x＝x(ln x－1)>x(ln 4－1)>0，且单调递增，所以函数 y＝x·ln x在区间(4，＋∞)上增长较快．
12. ①② 如图，在同一坐标系内画出yA＝2x－1，yB＝log2x，yC＝x的函数图象．由图象可知，当x>1时，指数函数yA＝2x－1的增长速度最快，当x＝1时，yA＝yC＝1>yB＝0，故当x>1时，A总走在最前面，故①正确；当016时，B走在C后面，故③错误．
13. (1) 由给出数据可知，Q(x)随着x的增大而减小，又函数模型①是递增的指数型函数，模型②为递减的反比型函数，故选择模型②.
观察表格中的4组数据(1，14.01)，(2，12)，(5，10.8)，(10，10.38)，从数据简洁并且易于计算的角度，理应选择中间两组数据，
即解得a＝10，b＝4，
检验Q(1) ＝14，Q(10)＝10.4相对合理，
故Q(x)＝10＋.
(2) 由(1)可得，f(x)＝P(x)·Q(x)＝ (x∈N)，
当1≤x≤20时，由基本不等式，得f(x)＝10(x＋)＋404≥20＋404＝484，
当且仅当x＝4时，f(x)取到最小值484；
当20易知f(x)在区间(20，30]上单调递减，
故当x＝30时，f(x)有最小值，最小值为.
又484<，故当x＝4时f(x)取得最小值．
1. 选择函数模型时注意审题，熟练掌握几种常见函数模型的增长特点：
①线性函数模型：增长速度不变；
②指数函数模型：增长速度急剧，如本练的T4，T12等．
③对数函数模型：增长速度平缓，如本练的T1，T2，T3等．
④幂函数模型：增长速度介于指数与对数增长之间，如本练的T6，T8等．
2. 函数值的大小不等同于增长速度的快慢，数值大不一定增长速度快，增长速度体现在函数值的变化趋势上．