第19练 函数的单调性
考查要点：函数单调性的定义、图象体现、证明，函数的单调区间
建议用时：40＋2分钟
一、 单项选择题
1. 函数y＝的减区间为( )
A. (－∞，＋∞) B. (－∞，0)∪(0，＋∞)
C. (－∞，0)∩(0，＋∞) D. (－∞，0)，(0，＋∞)
2. (2024淮安期中)下列函数中，与函数y＝|x|在区间(0，＋∞)上单调性不一致的是( )
A. y＝2x－1 B. y＝ C. y＝ D. y＝x2
3. (2024苏州学业质量阳光指标调研)“a＝－1”是“函数f(x)＝x2＋2ax－3在区间(1，＋∞)上具有单调性”的( )
A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
4. (2024常州一中期中)若函数f(x)＝在R上为减函数，则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
5. (2024常熟期中)若函数f(x)＝在区间(0，a)上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A. (－∞，2) B. (－∞，2]
C. (0，2) D. (0，2]
6. (2024扬州中学期中)已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(π)，则a，b，c的大小关系为( )
A. b>a>c B. c>b>a
C. a>c>b D. c>a>b
7. (2024苏州十中月考)若定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足＜0，且f(2)＝4，则不等式f(x)－>0的解集为( )
A. (2，＋∞) B. (0，2)
C. (0，4) D. (4，＋∞)
二、 多项选择题
8. (2024惠州大亚湾区一中期中)下列函数中，满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1>x2时，都有f(x1)>f(x2)的是( )
A. f(x)＝－2x＋1 B. f(x)＝－
C. f(x)＝(x－1)2 D. f(x)＝|x＋2|
9. (2024合肥六中月考)下列关于单调性的表述中，错误的是( )
A. x∈[a，b]，若f(a)－f(b)<0，则函数f(x)在区间[a，b]上单调递增
B. x∈D且x＋1∈D，若f(x)－f(x＋1)<0，则函数f(x)在区间D上单调递增
C. x1，x2∈D且x1
D. x1，x2∈D，若[f(x1)－f(x2)](x1－x2)>0，则函数f(x)在区间D上单调递增
三、 填空题
10. 若函数f(x)＝x2＋px＋3在区间(－∞，1]上单调递减，则实数p的取值范围是________．
11. (2024无锡天一中学期中)函数f(x)＝的增区间为________．
12. (2024苏州一中月考)若函数f(x)＝在区间[－1，1]上单调递减，则实数a的取值范围是________．
四、 解答题
13. (2024连云港新海高级中学月考)已知函数f(x)＝，x∈(0，＋∞).
(1) 判断函数f(x)的单调性，并利用定义证明；
(2) 若f(2m－1)>f(1－m)，求实数m的取值范围．
第19练 函数的单调性
1. D
2. B 由y＝|x|，得y＝所以函数y＝|x|在区间(0，＋∞)上单调递增．y＝2x－1在区间(0，＋∞)上单调递增，故A不合题意；y＝在区间(0，＋∞)上单调递减，故B符合题意；y＝在区间(0，＋∞)上单调递增，故C不合题意；y＝x2在区间(0，＋∞)上单调递增，故D不合题意．
3. A 当a＝－1时，f(x)＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，则f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，即其在区间(1，＋∞)上具有单调性，则充分性成立；若函数f(x)＝x2＋2ax－3在区间(1，＋∞)上具有单调性，则对称轴直线x＝－a≤1，解得a≥－1，则必要性不成立．故“a＝－1”是“函数f(x)＝x2＋2ax－3在区间(1，＋∞)上具有单调性”的充分且不必要条件．
4. A 由题意，得解得25. D 画出函数f(x)＝的图象．因为f(x)在区间(0，a)上单调递增，由图可知f(x)在区间[0，2]上单调递增，故实数a的取值范围是(0，2].
6. A 因为当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，所以f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减．又f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f＝f.因为1<2<<π，所以f(2)>f>f(π)，即b>a>c.
7. B 因为定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足＜0，所以g(x)＝xf(x)在区间(0，＋∞)上单调递减．因为f(2)＝4，所以g(2)＝8.因为不等式f(x)－>0，所以>0，所以xf(x)－8>0，所以xf(x)>8，即g(x)>g(2)，所以08. BD 由题意，得f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．对于A，f(x)＝－2x＋1在区间(0，＋∞)上单调递减，故A错误；对于B，f(x)＝－，在区间(0，＋∞)上单调递增，故B正确；对于C，f(x)＝(x－1)2，根据二次函数的性质知，f(x)在区间(0，1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，故C错误；对于D，f(x)＝|x＋2|，当x>0时，f(x)＝x＋2，则其在区间(0，＋∞)上单调递增，故D正确．故选BD.
9. AB 对于A，仅有两个特殊函数值的大小关系，不满足两个自变量的任意性，故A错误；对于B，不满足两个自变量的任意性，故B错误；对于C，与单调递增的定义吻合，故C正确；对于D，[f(x1)－f(x2)](x1－x2)>0，得或则函数f(x)在区间D上单调递增，故D正确．故选AB.
10. (－∞，－2] 函数f(x)＝x2＋px＋3的图象开口向上，对称轴为直线x＝－.又函数f(x)在区间上单调递减，所以－≥1，解得p≤－2.
11. (5，＋∞) 令x2－4x－5≥0，解得x≤－1或x≥5，即函数f(x)＝的定义域为(－∞，－1]∪[5，＋∞).设t＝x2－4x－5，x∈(－∞，－1]∪[5，＋∞)，则y＝f(x)＝为增函数．由复合函数的单调性，可得要求f(x)的增区间，即求t＝x2－4x－5在(－∞，－1]∪[5，＋∞)上的增区间，即(5，＋∞)，所以函数f(x)的增区间为(5，＋∞).
12. [－1，0) 由题意，得解得－1≤a<0.
13. (1) 函数f(x)单调递增，证明如下：
f(x)＝＝2－，x∈(0，＋∞)，
任取0因为0所以x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)故f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．
(2) 由(1) 知，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，
所以由f(2m－1)>f(1－m)，得
解得故实数m的取值范围是.
1. 单调区间不能用集合或不等式表示，且图象不连续的单调区间要用“和”或“，”连接，如本练的T2.
2. 函数y＝f[g(x)]的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则．第20练 函数的最值
考查要点：函数最值的概念、求法
建议用时：40＋2分钟
一、 单项选择题
1. 函数y＝－在区间[1，2]上的最大值为( )
A. － B. － C. －1 D. 不存在
2. 已知f(x)是定义在区间[a，b]上的函数，则“函数f(x)在区间[a，b]上单调递增”是“函数f(x)在区间[a，b]上的最小值为f(a)”的( )
A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
3. (2024响水中学学情分析考试)中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦——秦九韶公式．现有一个三角形的边长满足a＋b＝8，c＝6，则此三角形面积的最大值为( )
A. 3 B. 8 C. 4 D. 9
4. (2024滨海东元高级中学、大丰新丰中学期中联考)据市场分析某个车间产出的总利润y(单位：千万元)与运行年数x(x∈N*)满足二次函数关系，其函数图象如图所示，设这个车间运行x0年时，其产出的年平均利润最大，则x0的值为( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
5. (2024宿迁青华中学统测)已知函数f(x)＝－，则下列说法中正确的是( )
A. f(x)的最大值为 B. f(x)的最大值为1
C. f(x)的最小值为1 D. f(x)的最小值为0
6. (2024连云港新海高级中学月考)已知f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，若对任意的x1∈[－1，2]，存在x0∈[－1，2]，使g(x1)＝f(x0)，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. [3，＋∞) D. (0，3]
7. (2024无锡天一中学期中)已知函数f(x)＝的最小值是－1，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、 多项选择题
8. (2024泗阳中学期中)下列命题中，是真命题的有( )
A. 函数f(x)＝－2x－3在区间[1，3]上单调递减，最小值是－9
B. 函数f(x)＝－在区间[1，2]上单调递增，最大值为－1
C. 函数f(x)＝x2－2x在区间[0，2]上先增后减，最小值为0
D. 函数f(x)＝的定义域是R，值域是[0，＋∞)
9. (2024灌云高级中学、灌南惠泽高级中学期中)定义max{a，b，c}为a，b，c中最大值，设h(x)＝max，则h(x)的函数值可以取( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
三、 填空题
10. (2024苏州一中月考)函数f(x)＝|x－3|－|x＋1|的最大值与最小值之和为________．
11. (2024灌云高级中学、灌南惠泽高级中学期中)函数f(x)＝x2－4x＋8，x∈[1，a](a>1)，且f(x)的最大值是f(a)，则实数a的取值范围是________．
12. (2024常熟期中)已知函数y＝[x] 称为高斯函数，表示不超过x的最大整数，如[π]＝3，[－2.5]＝－3，则不等式<0的解集为________；当x>0时，的最大值为________．
四、 解答题
13. (2024苏州一中月考)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，满足f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝2x－1.
(1) 求函数f(x)的解析式；
(2) 若函数f(x)在区间[t，t＋1]上的最小值为5，求实数t的值．
第20练 函数的最值
1. A 因为函数y＝－在区间(0，＋∞)上单调递增，y＝－的图象是由y＝－的图象向左平移1个单位长度后得到的，所以y＝－在区间(－1，＋∞)上单调递增，所以当x∈[1，2]时，函数的最大值为ymax＝－.
2. A 若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增，则函数f(x)在区间[a，b]上的最小值为 f(a)，充分性成立；若函数f(x)在区间[a，b]上的最小值为f(a)，则不一定有函数f(x)在区间[a，b]上单调递增，如f(x)＝－x2在[－2，1]上不单调，最小值为f(－2)，必要性不成立．故“函数f(x)在区间[a，b]上单调递增”是“函数f(x)在区间[a，b]上的最小值为f(a)”的充分且不必要条件．
3. A 由题意，得p＝×(a＋b＋c)＝×(8＋6)＝7，所以S＝＝＝＝.因为即所以14. C 由题意可知，函数图象对称轴的方程为x＝＝10.设y＝a(x－2)(x－18)，将代入上式，得64＝a×8×(－8)，解得a＝－1，所以y＝－(x－2)(x－18)＝－x2＋20x－36(x∈N*)，则＝－＋20≤－2＋20＝8，当且仅当x＝，即x＝6时，等号成立．故x0的值为6.
5. B 由得0≤x≤1，所以f(x)＝－的定义域为[0，1].由复合函数单调性可知，y＝在区间[0，1]上单调递增，y＝在区间[0，1]上单调递减，所以f(x)＝－在区间[0，1]上单调递增，所以当x＝0时，f(x) min＝f(0)＝－1；当x＝1时，f(x)max＝f(1)＝1.
6. A 函数f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，因为x∈[－1，2]，所以f(x)在区间[－1，2]上的值域为[－1，3].函数g(x)＝ax＋2(a>0)在区间[－1，2]上的值域为[2－a，2＋2a].因为对任意的x1∈[－1，2]，存在x0∈[－1，2]，使g(x1)＝f(x0)，所以[2－a，2＋2a] [－1，3]，所以解得07. A 当x≤1时，f(x)＝x2－1，显然f(x)在区间(－∞，0]上单调递减，在区间(0，1]上单调递增，所以f(x)在x＝0处取得最小值f(0)＝0－1＝－1.当x>1时，f(x)＝ax2－x＋2的图象开口向上，对称轴为直线x＝.当>1，即08. ABD 对于A，函数f(x)＝－2x－3在区间[1，3]上单调递减，最小值是f(3)＝－9，故A正确；对于B，函数f(x)＝－在区间[1，2]上单调递增，最大值为f(2)＝－1，故B正确；对于C，函数f(x)＝x2－2x在区间[0，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增，最小值为f(1)＝－1，故C错误；对于D，函数f(x)＝的定义域是R，当x>0时，f(x)>0，当 x≤0时，f(x)≥0，所以值域是[0，＋∞)，故D正确．故选ABD.
9. CD 在同一平面直角坐标系中分别作出y＝x2＋1，y＝x，y＝7－x的图象，可得y＝h(x)的图象(图中实线部分)，所以h(x)的值域为[5，＋∞).结合选项可知C，D正确，A，B错误．故选CD.
10. 0 由题意，得f(x)＝当x∈(－1，3)时，f(x)＝2－2x，此时函数f(x)单调递减，且f(x)∈(－4，4).又当x≤－1时，f(x)＝4，当x≥3时，f(x)＝－4，则函数f(x)的最大值为4，最小值为－4，故所求和为4＋(－4)＝0.
11. [3，＋∞) 因为函数f(x)＝x2－4x＋8图象的对称轴为直线x＝2，图象开口向上，所以要使f(x)的最大值是f(a)，只需解得a≥3，故实数a的取值范围是[3，＋∞).
12. [1，4) 因为<0，所以[x]([x]－4)<0，解得0<[x]<4.又因为函数y＝[x]表示不超过x的最大整数，所以1≤x<4，故不等式<0的解集为[1，4).当00时，的最大值为.
13. (1) 由f(0)＝2，得c＝2.
由f(x＋1)－f(x)＝2x－1，得2ax＋a＋b＝2x－1，
所以解得
所以f(x)＝x2－2x＋2.
(2) 由(1)，得f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，则f(x)图象的对称轴方程为x＝1，最小值5≠f(1)，
所以t>1或t＋1<1，即t>1或t<0.
当t>1时，最小值f(t)＝(t－1)2＋1＝5，解得t＝3，
当t<0时，最小值f(t＋1)＝t2＋1＝5，解得t＝－2.
综上，实数t的值为－2或3.
1. 闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到，如本练的T1，T8.
2. 开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值).第5章 函数概念与性质
第16练 函数的概念
考查要点：函数的概念，函数的三要素(定义域、值域和对应法则)，相等函数、抽象函数的定义域，函数定义域、值域的综合应用、逆向应用
建议用时：40＋2分钟
一、 单项选择题
1. (2024如东期中)函数f(x)＝＋(x－1)0的定义域为( )
A. B. ∪(1，＋∞)
C. ∪(1，＋∞) D.
2. (2024常熟期中)已知函数f(x)＝x2－1的定义域为{－1，0，1}，则函数的值域为( )
A. {0，1} B. [－1，＋∞) C. [－1，0] D. {－1，0}
3. (2024徐州期中)下列各组函数中，表示相同函数的是( )
A. y＝x＋1，y＝|x＋1| B. y＝2x(x>0)，y＝2x(x<0)
C. y＝，y＝()2 D. y＝，y＝x
4. (2024海安实验中学期中)中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译作“函数”，沿用至今．为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合M＝{－1，1，2，4}，N＝{1，2，4，16}，给出下列四个对应法则：①y＝；②y＝x＋1；③y＝2|x|；④y＝x2，请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是( )
A. ①③ B. ①② C. ③④ D. ②④
5. (2024连云港新海高级中学月考)已知函数y＝f(2x－1)的定义域是[－2，3]，则y＝的定义域是( )
A. [－2，5] B. (－2，3] C. [－1，3] D. (－2，5]
6. (2024常熟外国语学校月考)若函数f(x)＝x2－8x＋15的定义域为[1，a]，值域为[－1，8]，则实数a的取值范围是( )
A. (1，4) B. (4，7) C. [1，4] D. [4，7]
7. 已知函数f(x)＝的定义域是R，则实数m的取值范围是( )
A. (0，4) B. [0，4] C. [0，4) D. [4，＋∞)
二、 多项选择题
8. 下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( )
A. y＝2x＋1(x>0) B. y＝x2
C. y＝2x(x>0) D. y＝(x>0)
9. (2024无锡天一中学期中)下面各组函数中，是同一函数的是( )
A. y＝与y＝x·
B. y＝与y＝|x|
C. y＝与y＝
D. y＝·与y＝
三、 填空题
10. (2024苏州十中月考)函数f(x)＝2x＋的值域为________．
11. (2024徐州高级中学期中)函数f(x)＝＋＋(x－3)0的定义域为________．
12. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”为y＝[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数．例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函数f(x)＝，则[f(2)]＝________；函数y＝[f(x)]的值域是________．
四、 解答题
13. (2024苏州一中月考)求下列函数的值域：
(1) f(x)＝，x∈(－1，＋∞)；
(2) f(x)＝x＋＋1.
第16练 函数的概念
1. C 要使函数f(x)＝＋(x－1)0有意义，则解得x>且x≠1，故函数f(x)的定义域为∪(1，＋∞).
2. D 因为f(－1)＝f(1)＝0，f(0)＝－1，所以函数f(x)的值域为{－1，0}．
3. D 对于A，取x＝－2，两个函数值分别为－1和1，不是相同函数；对于B，两个函数的定义域不同，不是相同函数；对于C，y＝的定义域为R，y＝()2的定义域为[0，＋∞)，不是相同函数；对于D，y＝的定义域为R，化简，得y＝x，y＝x的定义域为R，是相同函数．
4. C 对于①，当x＝－1时，y＝－1，集合N中不存在；对于②，当x＝－1时，y＝0，集合N中不存在；对于③，当x＝－1时，y＝2；当x＝1时，y＝2；当x＝2时，y＝4；当x＝4时，y＝16，故③符合函数的定义；对于④，当x＝－1时，y＝1；当x＝1时，y＝1；当x＝2时，y＝4；当x＝4时，y＝16，故④符合函数定义．故选C.
5. D 因为函数y＝f(2x－1)的定义域是[－2，3]，所以－2≤x≤3，所以－5≤2x－1≤5，所以函数y＝f(x)的定义域为[－5，5]，要使y＝有意义，则解得－26. D 因为f(x)＝x2－8x＋15＝(x－4)2－1≥－1，所以a≥4.由f(x)＝x2－8x＋15≤8，得1≤x≤7，所以4≤a≤7.
7. A 要使函数f(x)＝的定义域是R，则 x2＋mx＋m＝0无解，故Δ＝m2－4m＜0，解得0＜m＜4.
8. CD y＝2x＋1(x>0)的值域为(1，＋∞)，故A错误；y＝x2的值域为[0，＋∞)，故B错误；y＝2x(x>0)的值域为(0，＋∞)，故C正确；y＝(x>0)的值域为(0，＋∞)，故D正确．故选CD.
9. BC 对于A，y＝的定义域为{x|x≤0}，y＝＝－x·≠x·，所以两个函数不是同一函数，故A错误；对于B，两个函数的定义域为R，且y＝＝|x|，所以两个函数是同一函数，故B正确；对于C，要使y＝有意义，则解得－≤x≤，且x≠－1，与y＝的定义域相同，并且在定义域上去绝对值，得 y＝＝，两个函数解析式相同，所以是同一函数，故C正确；对于D，要使函数y＝·有意义，则解得x≥1，要使函数y＝有意义，则(x＋1)(x－1)≥0，解得 x≥1或x≤－1，所以两个函数的定义域不相同，所以不是同一函数，故D错误．故选BC.
10. 令t＝≥0，则x＝1－t2.令y＝2－2t2＋t＝－2＋，t≥0，当t＝时，函数有最大值，所以函数f(x)＝2x＋的值域为.
11. (2，3)∪(3，＋∞) 要使函数f(x)＝＋＋(x－3)0有意义，则解得x>2且x≠3，所以函数f(x)的定义域为(2，3)∪(3，＋∞).
12. 1 {1，2，3} 因为f(2)＝＝，所以[f(2)]＝1.f(x)＝＝1＋，因为x2＋1≥1，所以0<≤2，所以113. (1) 因为f(x)＝x＋1＋－1(x＋1>0)，
所以f(x)≥2－1＝1，当且仅当x＝0时，等号成立，
故f(x)的值域为[1，＋∞).
(2) 设t＝≥0, 则x＝－.
令g(t)＝－＋t＋1＝－＋t＋＝－(t－1)2＋3，t≥0，
由二次函数的性质可知g(t)≤g(1)＝3，
故f(x)的值域为(－∞，3].
函数值域的常用求法有：1. 观察法；2. 配方法；3. 判别式法；4. 换元法；5. 不等式法；6. 数形结合法；7. 分离常数法；8. 单调性法．要根据题意选择．“如本练的T2，T8，T10，T13.”第18练 函数的表示方法
考查要点：函数的三种表示方法(列表法、解析法、图象法)，分段函数
建议用时：40＋2分钟
一、 单项选择题
1. 已知函数f(x)＝4x－3，若f(g(x))＝2x＋3，则函数g(x)的解析式为( )
A. g(x)＝x＋ B. g(x)＝x－ C. g(x)＝x＋ D. g(x)＝x－
2. (2024东台期末)函数f(x)＝x2(x＋a)，若f(1)·f(2)<0，则f(－1)，f(1)，f(2)的大小关系是( )
A. f(－1)C. f(－1)3. (2024灌云高级中学、灌南惠泽高级中学期中)若f(2－x)＝(x≠0)，则f(1)的值为( )
A. 0 B. 3 C. 15 D. 30
4. (2024苏州一中月考)函数f(x)＝|x－1|－1的图象的是( )
A B C D
5. (2024苏州十中月考)已知函数f(x)由下表给出，若f(f(x0))＝f(1)＋f(3)·f(4)，则x0的值为( )
x 1 2 3 4
f(x) 1 3 1 2
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. (2024南京鼓楼期中)学校宿舍与办公室相距a m．某同学有重要材料要送交给老师，他从宿舍出发，先匀速跑步3 min来到办公室，停留2 min，然后再匀速步行10 min返回宿含．在这个过程中，这位同学行进的速度v(单位：m/min)和行进的路程S(单位：m)都是时间t(单位：min)的函数，则有关速度的函数和有关路程的函数的示意图分别是下面四个图象中的( )
① ②
③ ④
A. ①② B. ③④ C. ①④ D. ②③
7. (2024徐州期中)已知f(x)＝ax＋b(a>0)，满足f(f(x))＝x＋2，则函数y＝x－的值域为( )
A. [1，＋∞) B. [－1，＋∞) C. D. [0，＋∞)
二、 多项选择题
8. (2024苏州一中月考)已知函数f(x)＝若f(a)＝10，则实数a的值可以是( )
A. 3 B. －3 C. 4 D. －4
9. (2024连云港新海高级中学月考)已知函数f(x)满足f＝，则关于函数f(x)的说法中正确的是( )
A. 不等式f(x)>2的解集为(－1，0) B. f(x)的值域为{y|y≠1，且y≠2}
C. f(2)＝ D. f(x)的定义域为{x|x≠－1}
三、 填空题
10. (2024连云港新海高级中学月考)若函数f(x)＝则f(f(3))＝________．
11. (2024扬州中学期中)已知f(x＋1)＝x2＋x＋1，则f(x)＝________．
12. (2024徐州期中)已知函数f(x)对任意实数x都有f(x)＋2f(－x)＝2x＋1，则f(x)＝________．
四、 解答题
13. (2024无锡天一中学期中)如图，设矩形ABCD(AB>AD)的周长为12 cm，把△ABC沿AC向△ADC折叠，AB折过去后交DC于点P，设AB＝x cm，记△ADP的面积为函数f(x).
(1) 求f(x)的解析式，并写出其定义域；
(2) 求△ADP的最大面积及相应x的值．
第18练 函数的表示方法
1. A 由题意，得f(g(x))＝4g(x)－3＝2x＋3，则g(x)＝x＋.
2. A 因为f(1)·f(2)<0，所以12(1＋a)×22(2＋a)<0，解得－20，所以f(－1)3. A 令2－x＝1，解得x＝1，所以f(1)＝f(2－1)＝＝0.
4. B f(x)＝|x－1|－1＝作出分段函数的图象，故选B.
5. D 由题意，得f(f(x0))＝f(1)＋f(3)·f(4)＝1＋1×2＝3，则f(x0)＝2，故x0＝4.
6. A 由题意，得v＝且S＝由函数的解析式可知，其图象分别为①②.
7. C 由f(x)＝ax＋b(a>0)可得f(f(x))＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝x＋2，故a>0，解得故f(x)＝x＋1，则y＝x－＝x－，定义域为[－1，＋∞).设＝t，t≥0，则 x＝t2－1，y＝t2－1－t＝－，当t＝时，函数有最小值为－，故函数y＝x－的值域为.
8. BC 当a≤0时，由a2＋1＝10，解得a＝－3或a＝3(舍去)；当a>0时，＋8＝10，解得a＝4.故选BC.
9. ABC 令t＝≠0，则x＝，所以f(t)＝＝，即f(x)＝1＋，f(x)的定义域为{x|x≠0，且x≠－1}，故D错误；f(x)＝1＋>2，即－>0，故x(x＋1)<0，解得－110. － 因为f(x)＝所以f(3)＝，所以f(f(3))＝f＝－1＝－.
11. x2－x＋1 因为f(x＋1)＝x2＋x＋1＝(x＋1)2－(x＋1)＋1，所以f(x)＝x2－x＋1.
12. －2x＋ 因为对任意实数x都有f(x)＋2f(－x)＝2x＋1，所以解得f(x)＝－2x＋.
13. (1) 由题意，得AB＝x，AD＝6－x，
则x>6－x>0，解得3所以f(x)的定义域为(3，6).
设DP＝a，CP＝x－a.
由△ADP≌△CEP，得AP＝CP＝x－a.
在Rt△ADP中，(6－x)2＋a2＝(x－a)2，
解得a＝6－，
所以f(x)＝AD·DP＝(6－x)(6－)＝27－3x－，
即f(x)＝27－3x－，x∈(3，6).
(2) 由f(x)＝27－3x－≤27－2＝27－18，
当且仅当3x＝，即x＝3时，等号成立，
所以△ADP的最大面积为(27－18)cm2，此时x＝3.第21练 函数的奇偶性
考查要点：偶函数、奇函数的定义和图象特征，函数奇偶性的判断，函数的奇偶性和单调性的综合应用
建议用时：40＋2分钟
一、 单项选择题
1. (2024连云港高级中学期中)下列函数中，既是奇函数又在其定义域上为增函数的是( )
A. y＝3x B. y＝－ C. y＝ D. y＝|x|
2. (2024如皋教学质量调研)设函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，“f(x)为奇函数”是“y＝为偶函数”的( )
A. 充要条件 B. 充分且不必要条件
C. 必要且不充分条件 D. 既不充分又不必要条件
3. (2024泰州期末)已知f(x)是定义域为R的奇函数，当x<0时，f(x)＝x3＋x2，则f(2)的值为( )
A. －12 B. －4 C. 4 D. 12
4. (2024常熟期中)已知函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是( )
A. f(x－1)－1 B. f(x－1)＋1 C. f(x＋1)－1 D. f(x＋1)＋1
5. (2024徐州高级中学期中)已知函数f(x)是偶函数，对于任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x2>x1时，都有[f(x2)－f(x1)](x2－x1)>0恒成立，设a＝f(－1)，b＝f(－2)，c＝f(4)，则a，b，c的大小关系为( )
A. a6. (2024海安实验中学期中)已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(3)＝0，若 x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2满足>0，则xf(x)>0的解集为( )
A. (－∞，－3)∪(3，＋∞) B. (－3，0)∪(0，3)
C. (－3，0)∪(3，＋∞) D. (－∞，－3)∪(0，3)
7. (扬州邗江中学月考)已知函数f(x)和g(x)的定义域均为R，y＝f(1＋x)为偶函数，y＝g(x＋1)＋1为奇函数， x∈R，f(x)＋g(x)＝x2＋3，则f(4)g(4)的值为( )
A. 66 B. 70 C. 74 D. 78
二、 多项选择题
8. (2024南京六校联合体期中联考)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中一定正确的是( )
A. f(x)＋g(x)是奇函数 B. |f(x)|＋g(x)是偶函数
C. f(x)·|g(x)|是偶函数 D. |f(x)·g(x)|是偶函数
9. (2024泰兴、兴化期中)下列说法中，正确的有( )
A. 若定义在R上的函数f(x)满足f(0)＝0，则f(x)是奇函数
B. 若定义在R上的函数f(x)满足f(0)≠0，则f(x)不是奇函数
C. 若定义在R上的函数f(x)在区间(－∞，0]上单调递减，在区间[0，＋∞)上也是单调递减，则函数f(x)在R上是减函数
D. 若定义在R上的函数f(x)在区间(－∞，0]上单调递减，在区间(0，＋∞)上也是单调递减，则函数f(x)在R上是减函数
三、 填空题
10. (2024南京协同体九校期中联考)已知函数y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x3＋2x＋b，则f(0)＋f(－1)＝________．
11. (2024海安实验中学期中)已知函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)＋g(x)＝ex＋x2＋1，则g(x)＝________．
12. (2024海安实验中学期中)已知定义域为[1－a2，4a－5]的奇函数f(x)＝x3＋b|x|－b，则f(x2＋b)＋f(a－3x)≤0的解集为________．
四、 解答题
13. (2024常州高级中学期中)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x3－3x＋2.
(1) 求函数f(x)的解析式；
(2) ①用定义证明函数f(x)在区间(0，1)上单调递减；
②判断函数f(x)在区间[1，＋∞)上的单调性，请直接写出结果；
(3) 根据你对该函数的理解，在坐标系中直接作出函数f(x)(x∈R)的图象．
第21练 函数的奇偶性
1. A 首先定义域必须关于原点对称，故C错误；y＝|x|不是奇函数，故D错误； y＝－在定义域内不是增函数，故B错误；A符合题意．
2. A 若函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，则＝＝，即函数y＝为偶函数；若函数y＝为偶函数，则＝，则f(－x)＝－f(x)，即函数f(x)为奇函数，故“f(x)为奇函数”是“y＝为偶函数”的充要条件．
3. C 因为f(x)是定义域为R的奇函数，当x<0时，f(x)＝x3＋x2，所以f(2)＝－f(－2)＝－[(－2)3＋(－2)2]＝4.
4. D f(x)＝＝－＝－＝－1－.对于A，因为f(x－1)－1＝－1－－1＝－2－，定义域为{x|x≠2}，所以f(x－1)－1既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；对于B，因为f(x－1)＋1＝－1－＋1＝－，定义域为{x|x≠2}，所以f(x－1)＋1既不是奇函数也不是偶函数，故B错误；对于C，因为f(x＋1)－1＝－1－－1＝－2－，所以f(x＋1)－1既不是奇函数也不是偶函数，故C错误；对于D，因为f(x＋1)＋1＝－1－＋1＝－，所以f(x＋1)＋1为奇函数，故D正确．
5. A 对于任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x2>x1时，都有[f(x2)－f(x1)](x2－x1)>0恒成立，则f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，则f(1)6. A 由题意，得f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)在区间(－∞，0)上单调递增．因为f(3)＝0，所以f(－3)＝0.由xf(x)>0，得或则x>3或x<－3，所以所求不等式的解集为(－∞，－3)∪(3，＋∞).
7. B 由y＝f(1＋x)为偶函数，得f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称．又y＝g(x＋1)＋1为奇函数，则g(x＋1)＋1＝－g(－x＋1)－1，所以g(x)的图象关于点(1，－1)对称．因为 x∈R，f(x)＋g(x)＝x2＋3，所以f(－2)＋g(－2)＝4＋3＝7.因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(－2)＝f(4).又g(x)的图象关于点(1，－1)对称，所以g(－2)＝－g(4)－2，所以f(4)－g(4)＝f(－2)＋g(－2)＋2＝9.又f(4)＋g(4)＝42＋3＝19，所以f(4)＝14，g(4)＝5，所以f(4)g(4)＝70.
8. BD 因为函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数．对于A，设m(x)＝f(x)＋g(x)，则该函数的定义域为R，m(－x)＝f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)≠－m(x)，所以函数f(x)＋g(x)不是奇函数，故A错误；对于B，令n(x)＝|f(x)|＋g(x)，则该函数的定义域为R，n(－x)＝|f(－x)|＋g(－x)＝|－f(x)|＋g(x)＝|f(x)|＋g(x)＝n(x)，所以函数|f(x)|＋g(x)是偶函数，故B正确；对于C，令p(x)＝f(x)·|g(x)|，则该函数的定义域为R，p(－x)＝f(－x)·|g(－x)|＝－f(x)·|g(x)|＝－p(x)，所以函数f(x)·|g(x)|为奇函数，故C错误；对于D，令q(x)＝|f(x)·g(x)|，则该函数的定义域为R，q(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝q(x)，所以|f(x)·g(x)|是偶函数，故D正确．故选BD.
9. BC 对于A，例如函数f(x)＝x2，满足f(0)＝0，此函数不是奇函数，故A错误；对于B，若函数f(x)是R的奇函数，则必有f(0)＝0，反之，若f(0)≠0，即函数f(x)的图象不过原点，图象不关于原点对称，则函数f(x)一定不是定义域为R的奇函数，故B正确；对于C，若函数f(x)在区间(－∞，0]上单调递减，在区间[0，＋∞)上也单调递减，因为(－∞，0]∪[0，＋∞)＝R，即函数的定义域为R，且x→0＋和x→0－的函数值相等，任取x1，x2∈R，且x10，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)在R上是减函数，故C正确；对于D，给定函数f(x)＝可得函数f(x)在区间(－∞，0]上单调递减，在区间(0，＋∞)上也单调递减，但函数f(x)在R上不是减函数，故D错误．故选BC.
10. －3 根据奇函数的性质，得f(0)＝0，即b＝0，所以当x≥0时，f(x)＝x3＋2x，所以f(1)＝13＋2×1＝3.由奇函数的性质，得f(－1)＝－f(1)＝－3，所以f(0)＋f(－1)＝－3.
11. 因为f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)＋g(x)＝ex＋x2＋1①，所以f(－x)＋g(－x)＝e－x＋(－x)2＋1，即f(x)－g(x)＝e－x＋x2＋1②，由①－②，得2g(x)＝ex－e－x，即g(x)＝.
12. 由题意知，f(－x)＝－x3＋b|x|－b＝－x3－b|x|＋b＝－f(x)恒成立，所以b＝0，此时f(x)＝x3，符合题意．又因为奇函数的定义域关于原点对称，所以1－a2＋4a－5＝－(a－2)2＝0，解得a＝2，所以f(x)＝x3，x∈[－3，3]，函数f(x)单调递增，故f(x2＋b)＋f(a－3x)≤0等价于f(x2)＋f(2－3x)≤0等价于f(x2)≤－f(2－3x)＝f(3x－2)，即解得1≤x≤，即所求不等式的解集为.
13. (1) 因为当x>0时，f(x)＝x3－3x＋2，
所以当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)3－3(－x)＋2＝－x3＋3x＋2.
又f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝x3－3x－2，
且f(0)＝0，
所以f(x)＝
(2) ①设0所以f(x1)－f(x2)＝(x－3x1＋2)－(x－3x2＋2)＝(x1－x2)(x＋x1x2＋x－3).
因为0且0所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
故f(x)在区间(0，1)上单调递减．
②函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增．
(3) 略
1. 判断函数奇偶性时首先要看其定义域是否关于原点对称，如本练的T1，T4.
2. 两个偶函数的和、差、积都是偶函数；两个奇函数的和、差是奇函数，积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数．如本练的T8.
3. 偶函数在对称区间上的单调性是相反的；奇函数在整个定义域上的单调性一致．如本练的T9，T13.第17练 函数的图象
考查要点：函数图象的识别、画法和应用
建议用时：40＋2分钟
一、 单项选择题
1. (2024常熟外国语学校月考)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
A B C D
2. 如图是函数f(x)的图象，则下列说法中不正确的是( )
A. f(0)＝－2 B. f(x)的定义域为[－3，2]
C. f(x)的值域为[－2，2] D. 若f(x)＝0，则x＝或x＝2
(第2题) (第3题)
3. 如图，函数的图象是折线段ABC，点A，B，C的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(6，4)，则f(f(f(2)))等于( )
A. 6 B. 4 C. 2 D. 0
4. (2024扬州中学期中)函数y＝1－的图象是( )
A B C D
5. “a＝－4”是“函数y＝ax2＋4x－1的图象与x轴只有一个公共点”的( )
A. 充要条件 B. 充分且不必要条件
C. 必要且不充分条件 D. 既不充分又不必要条件
6. (2024阜宁期中)函数f(x)＝x2＋x－2(－1≤x≤2)的值域为( )
A. [－2，4] B.
C. D.
7. (2024连云港新海高级中学月考)一次函数y＝ax－b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在同一坐标系中的图象大致是( )
A B C D
二、 多项选择题
8. (2024徐州期中)下列图形不可能是函数y＝f(x)图象的是( )
A B C D
9. 函数y＝与函数y＝kx＋1在同一坐标系中的图象可能是( )
A B C D
三、 填空题
10. 若函数y＝f(x)的图象经过点(1，3)，则函数y＝f(x－1)的图象必定经过的点的坐标是________．
11. 已知a，b异号，一次函数y＝ax＋b和y＝bx＋a在同一坐标系中，两图象同时经过的象限是________．
12. 已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域是________，值域是________．
四、 解答题
13. (2024江都中学、仪征中学联考)已知二次函数y＝ax2＋bx＋2(a，b为实数).
(1) 若函数图象过点(1，1)，对任意x∈R，y>0恒成立，求a的取值范围；
(2) 若函数图象过点(1，1)，对任意a∈[－2，－1]，y>0恒成立，求实数x的取值范围；
(3) 对任意x∈R，当b>0时，y≥0恒成立，求的最小值．
第17练 函数的图象
1. B 对于A，当x∈(0，2]时，没有对应的图象，故A不符合题意；对于B，根据函数的定义知，B符合题意；对于C，出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，故C不符合题意；对于D，值域当中有的元素在集合M中没有对应的实数，故D不符合题意．
2. C 由图象知，f(0)＝－2，故A正确；函数f(x)的定义域为[－3，2]，故B正确；函数f(x)的最小值为－3，最大值为2，即函数的值域为[－3，2]，故C错误；若f(x)＝0，则x＝或x＝2，故D正确．
3. C 由函数图象，得f(2)＝0，f(f(2))＝f(0)＝4，f(f(f(2)))＝f(4)＝2.
4. B 将y＝－的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，即可得到函数y＝1－的图象．
5. B 当a＝0时，函数y＝ax2＋4x－1的图象与x轴只有一个公共点，满足要求；当a≠0时，若函数y＝ax2＋4x－1的图象与x轴只有一个公共点，则Δ＝16＋4a＝0，解得a＝－4.综上，a＝0或a＝－4，故“a＝－4”是“函数y＝ax2＋4x－1的图象与x轴只有一个公共点”的充分且不必要条件．
6. B 由题意，得函数f(x)图象的对称轴为直线x＝－，作出函数f(x)＝x2＋x－2，x∈[－1，2]的图象，观察图象可知f(x)max＝f(2)＝4，f(x) min＝f＝－，所以函数f(x)的值域为.
7．B 对于A，若a>0，则一次函数y＝ax－b(a≠0)的y随x的增大而增大，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象开口向上，故可排除A；若a<0，则一次函数y＝ax－b(a≠0)的y随x的增大而减小，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象开口向下，故可排除D；对于C，由直线可知a<0，b>0，所以－>0，即二次函数图象的对称轴在y轴的右侧，故应排除C，故选B.
8. AD 对于B，C，对于定义域内每一个x都有唯一的y与之相对应，满足函数关系，故B，C正确；对于A，D，存在一个x有两个y与之对应，不满足函数对应的唯一性，故A，D错误．故选AD.
9. AB y＝＝－，函数y＝的图象是由y＝－的图象向上平移个单位长度，再向左或向右平移||个单位长度得到．根据图象知k≠0，当k>0时，A，C满足一次函数图象，C不满足反比例函数图象，A满足；当k<0时，B，D满足一次函数图象，D不满足反比例函数图象，B满足．故选AB.
10. (2，3) 函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度得到函数y＝f(x－1)的图象，又函数y＝f(x)的图象经过点(1，3)，所以函数y＝f(x－1)的图象必定经过点(2，3).
11. 第一、四象限 因为a，b异号，所以一个经过第一、三、四象限，另一个经过第一、二、四象限，则两图象同时经过第一、四象限．
12. [－3，0]∪[2，3] [1，5] 由图象可知，定义域为[－3，0]∪[2，3]，值域为[1，5].
13. (1) 由题意，得a＋b＋2＝1，则b＝－1－a.
由对任意x∈R，y>0恒成立，得
即
整理，得
解得3－2所以a的取值范围是(3－2，3＋2).
(2) 由(1)知，b＝－1－a.
由y>0，得ax2－(1＋a)x＋2>0，即(x2－x)a－x＋2>0，
由题意，得(x2－x)a－x＋2>0对任意a∈[－2，－1]恒成立，令g(a)＝(x2－x)a－x＋2，
则对任意a∈[－2，－1]，g(a)>0恒成立，
所以
解得故实数x的取值范围是(，).
(3) 由对任意x∈R，当b>0时，y≥0恒成立，得
得a≥，
所以≥＝＋，当且仅当Δ＝0时，等号成立，
显然＋≥2＝1，当且仅当＝，即 b＝4时，等号成立．
由a＝且b＝4，得a＝2，
所以当a＝2，b＝4时，取得最小值1.
分段函数是一个函数，而不是几个函数，其定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集，如本练的T12.