2024-2025人教版（2019）高中数学选择性必修一2.5直线与圆的位置关系 题型总结（含解析）

2.5直线与圆的位置关系题型总结
【题型1 判断直线与圆的位置关系】
【例1】直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．与有关
【变式1.1】直线与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．都有可能
【变式1.2】如果，那么直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切
【变式1.3】已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A．点在圆上，直线与圆相切 B．点在圆内，直线与圆相交
C．点在圆外，直线与圆相切 D．点在圆上，直线与圆相交
【题型2 根据直线与圆的位置关系求参数】
【例2】若直线与圆相切，则实数的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【变式2.1】若直线与圆只有一个公共点，则（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【变式2.2】已知直线关于对称的直线与圆相离，则（ ）
A． B． C． D．或
【变式2.3】“”是直线与圆相交的（ ）条件
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分也非必要
【题型3 圆的切线长问题】
【例3】过点的直线与圆相切于点，则切线段长为（ ）
A．3 B．4 C． D．5
【变式3.1】已知圆，过点作圆的一条切线，切点为，则（ ）
A．6 B． C． D．3
【变式3.2】由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为( )
A． B． C． D．
【变式3.3】若圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【题型4 圆的切线方程的求解】
【例4】过点且与圆相切的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4.1】过点作圆的切线，则切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式4.2】直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．或
【变式4.3】已知圆，则过点的圆C的切线方程为（ ）
A． B．或
C． D．或
【题型5 求圆的弦长与中点弦】
【例5】已知直线与圆相交于两点，则（ ）
A． B． C． D．2
【变式5.1】求直线被圆截得的弦的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式5.2】已知圆被直线所截，则截得的弦长为（ ）
A．2 B． C． D．4
【变式5.3】已知直线，与圆交于，两点，则长的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【题型6 已知圆的弦长求方程或参数】
【例6】已知直线被圆截得的弦长为，则（ ）
A．或3 B．2 C．或5 D．4
【变式6.1】直线与以点为圆心的圆相交于A，B两点，且，则圆C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式6.2】已知直线与圆交于两点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式6.3】已知直线经过点，且与圆：相交于，两点，若，则直线的方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【题型7 直线与部分圆的相交问题】
【例7】若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式7.1】直线与曲线恰有1个交点，则实数b的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
【变式7.2】已知直线与曲线有公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式7.3】若直线与曲线至少有一个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【题型8 直线与圆有关的最值问题】
【例8】 已知点、在圆上，点在直线上，点为中点，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式8.1】圆上的动点到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式8.2】已知圆，直线，点在直线上运动，直线分别与圆相切于点，则四边形的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式8.3】已知，直线，P为l上的一动点，A，B为上任意不重合的两点，则的最小值为（ ）
B． C． D．
2.5直线与圆的位置关系题型总结答案
【题型1 判断直线与圆的位置关系】
【例1】直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．与有关
【解题思路】根据圆心在直线上，判断得解.
【解答过程】由题可得，圆心为，又点满足直线方程，
即直线经过圆心，
所以直线与圆相交.
故选：A.
【变式1.1】直线与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．都有可能
【解题思路】确定直线过定点，而定点在圆内，从而可得结论．
【解答过程】将圆的方程化为标准方程，所以圆心坐标为，圆的半径为5，
直线恒过定点，
，点在圆内，所以直线与圆相交，
故选：C.
【变式1.2】如果，那么直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切
【解题思路】由点到直线的距离公式代入计算，即可判断.
【解答过程】因为圆的圆心，半径，
则圆心到直线的距离为，
即直线与圆相离.
故选：C.
【变式1.3】已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A．点在圆上，直线与圆相切 B．点在圆内，直线与圆相交
C．点在圆外，直线与圆相切 D．点在圆上，直线与圆相交
【解题思路】首先得到圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，即可判断.
【解答过程】圆的圆心，半径，
又，所以点在圆上，
圆心到直线的距离，
所以直线与圆相切.
故选：A.
【题型2 根据直线与圆的位置关系求参数】
【例2】若直线与圆相切，则实数的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【解题思路】根据点到直线的距离等于半径，列出方程即可得答案；
【解答过程】圆的标准方程为，有，解得或3．
故选：C.
【变式2.1】若直线与圆只有一个公共点，则（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【解题思路】分析直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式可求的值.
【解答过程】因为直线与圆只有一个公共点，所以直线与圆相切.
又 ，所以圆心为，半径为1.
由 .
故选：C.
【变式2.2】已知直线关于对称的直线与圆相离，则（ ）
A． B． C． D．或
【解题思路】由条件求出直线，然后根据直线与圆的位置关系及表示圆的条件列出不等式求解.
【解答过程】设直线上任一点为，则其关于的对称点在直线上，
∴，且，
∴，即，
∴直线，
∵圆，即，
∴圆心，半径，且，
∴圆心到直线的距离，
∵直线与圆相离，
∴，即，又，解得.
故选：C.
【变式2.3】“”是直线与圆相交的（ ）条件
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分也非必要
【解题思路】根据直线与圆相交的判定方法，以及充分条件和必要条件的定义分别判断即可.
【解答过程】当时，直线为，即，显然此时直线和圆相交，
当直线与圆相交时，
圆心到直线的距离，
化简得，显然恒成立，故不能推出.
所以“”是直线与圆相交的充分非必要条件.
故选：A.
【题型3 圆的切线长问题】
【例3】过点的直线与圆相切于点，则切线段长为（ ）
A．3 B．4 C． D．5
【解题思路】求出圆的圆心坐标和半径，求出，根据勾股定理求出.
【解答过程】圆心，半径，
，
由勾股定理得.
故选：B.
【变式3.1】已知圆，过点作圆的一条切线，切点为，则（ ）
A．6 B． C． D．3
【解题思路】根据圆的方程，结合圆的切线的性质进行求解即可.
【解答过程】，圆的半径为，
所以，
故选：B.
【变式3.2】由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为( )
A． B． C． D．
【解题思路】由勾股定理可知当直线的点到圆的圆心距离最小时，此时切线长最小，然后计算即可.
【解答过程】由题可知圆的圆心，半径 ，
设直线的动点为，切点为
则切线长
所以要使切线长最小，则最小；
显然的最小值为到直线的距离为
所以此时切线长.
故选：A.
【变式3.3】若圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【解题思路】先求出圆心到直线的距离，根据勾股定理，切线长、圆的半径和圆心到点的距离构成直角三角形，圆的半径固定，当圆心到点的距离最小时，切线长最小，而圆心到直线上点的最小距离就是圆心到直线的距离.
【解答过程】对于圆，其圆心坐标为，半径.
根据点到直线的距离公式，
则.
根据切线长、圆半径和圆心到点距离构成直角三角形，设切线长为，圆心到点的距离为，圆半径.
由勾股定理，当取最小值时，最小，
此时.
故选：B.
【题型4 圆的切线方程的求解】
【例4】过点且与圆相切的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】经分析知点在圆上，根据过圆上点的切线与圆心和切点所在直线垂直，得到切线斜率为，结合直线点斜式方程即可求解.
【解答过程】圆的标准方程为：，故圆心，
点在圆上，
过点P的切线与CP垂直，且 ，
过点的切线斜率为，
故所求直线方程为： ，
整理，得：
故选：A.
【变式4.1】过点作圆的切线，则切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由圆E的方程可得圆心E的坐标，将P点的坐标代入圆的方程，可得P点在圆上，求出直线PE的斜率，得到过P点的切线的斜率，再求出过P点的切线方程.
【解答过程】由圆的方程，可得圆心坐标为，
将的坐标代入圆的方程，得，则点在圆上，
又，所以过点与圆相切的直线的斜率为1，
所以过点的切线方程为，即.
故选：D.
【变式4.2】直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．或
【解题思路】根据给定条件，利用圆的切线性质，结合点到直线距离公式列式计算即得.
【解答过程】当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时与圆不相切，
则直线的斜率一定存在，设直线方程为，化简得，
依题意，圆心到直线的距离为1，即，解得或，
所以直线的方程为或.
故选：D.
【变式4.3】已知圆，则过点的圆C的切线方程为（ ）
A． B．或
C． D．或
【解题思路】分切线斜率存在与不存在讨论即可.
【解答过程】，则圆心坐标为，半径为2，
由于，可知点在圆外，
当切线斜率不存在时，此时切线方程为，符合题意，
当切线斜率存在时，设切线方程为，即，
则，解得，此时直线方程为，即.
综上所述，切线方程为：或. 故选：D.
【题型5 求圆的弦长与中点弦】
【例5】已知直线与圆相交于两点，则（ ）
A． B． C． D．2
【解题思路】由圆方程求圆心的坐标，圆的半径，再求圆心到直线的距离，利用弦长公式求结论.
【解答过程】圆的圆心为，半径，
圆心到直线的距离为，
则.
故选：C.
【变式5.1】求直线被圆截得的弦的长为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】求出圆心到直线的距离，结合勾股定理可求得线段的长.
【解答过程】将圆的方程化为标准式，可得，
所以圆心坐标为，半径为，
所以利用点到直线的距离可以求得弦心距为，
所以根据几何法得弦长为．
故选：A.
【变式5.2】已知圆被直线所截，则截得的弦长为（ ）
A．2 B． C． D．4
【解题思路】由已知圆方程求出圆心和半径，求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求出弦长.
【解答过程】根据题意，圆，可变形为，
所以圆心为，半径，
则圆心到直线的距离为，
所以弦长为.
故选：D．
【变式5.3】已知直线，与圆交于，两点，则长的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【解题思路】由圆的方程求得圆心和半径，由直线过定点，易得弦心距的最大值，可得的最小值.
【解答过程】由圆，可得圆心、半径为，
直线过定点，要使弦长最小，只有弦心距最大，
弦心距的最大值为，
所以弦的的最小值为.
故选：C.
【题型6 已知圆的弦长求方程或参数】
【例6】已知直线被圆截得的弦长为，则（ ）
A．或3 B．2 C．或5 D．4
【解题思路】由题可得到圆心距离，由点到直线距离公式可得答案.
【解答过程】，
则圆心坐标为：，半径为4.又因弦长为，
则圆心到弦距离满足.
则由点到直线距离公式可得：或.
故选：C.
【变式6.1】直线与以点为圆心的圆相交于A，B两点，且，则圆C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用点到直线的距离公式及圆的弦长公式的逆运用计算半径即可.
【解答过程】点到直线的距离为，
所以圆C的半径为，
则圆C的方程为.
故选：A.
【变式6.2】已知直线与圆交于两点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用弦长公式得圆心到直线的距离为1，再利用点到直线的距离公式得到方程，解出即可.
【解答过程】圆的圆心，
所以圆心到直线的距离为，则，
而，所以，解得：.
故选：A.
【变式6.3】已知直线经过点，且与圆：相交于，两点，若，则直线的方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【解题思路】根据弦长，利用垂径定理求出圆心到直线的距离.然后分直线斜率存在与不存在两种情况来求直线的方程.
【解答过程】已知弦长，半径.根据垂径定理知圆心到直线的距离为.
把，代入可得.
当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离为，
所以直线斜率不存在时不满足条件.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即.
根据点到直线距离公式，由圆心到直线的距离，
可得.对进行求解.
两边平方得，展开得. 解得或.
当时，直线的方程为，即.
当时，直线的方程为，即.
故选：A.
【题型7 直线与部分圆的相交问题】
【例7】若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据直线过定点，以及直线和圆的位置关系，利用数形结合作出图象进行研究即可.
【解答过程】由知直线过定点，
由曲线，两边平方得，
则曲线是以为圆心，1为半径的上半圆（包含轴上的两点），
当直线过点时，直线与曲线有两个不同的交点，
此时，解得，
当直线与曲线相切时，直线和圆有一个交点，
圆心到直线的距离，解得，
要使直线与曲线恰有两个交点，
则直线夹在两条直线之间，因此，
即实数的取值范围为.
故选：B.
【变式7.1】直线与曲线恰有1个交点，则实数b的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
【解题思路】由曲线，表示一个半圆（单位圆位于轴及轴右侧的部分），然后根据直线与半圆的位置关系，利用数形结合法求解.
【解答过程】曲线，即 ，
表示一个半圆（单位圆位于轴及轴右侧的部分），
如图，
设、、，
当直线经过点A时，，
当直线经过点、点时，，此时有2个公共点，不符合题意；
所以当时，直线与曲线有一个公共点；
当直线和半圆相切时，
则圆心到直线的距离等于半径，
即，求得或（舍去），
即时，只有一个公共点，符合题意，
综上得，实数的取值范围为或，
故选：D．
【变式7.2】已知直线与曲线有公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】将问题化为直线与圆的上半部分有交点求参数范围.
【解答过程】曲线是圆的上半部分，且含端点，
由过点定点，如下图，
由图知，当与半圆左上部相切时，且，可得，
结合图知.
故选：B.
【变式7.3】若直线与曲线至少有一个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】作出曲线的图象，数形结合可得解.
【解答过程】直线恒过定点，
由，得到（），
所以曲线表示以点为圆心，半径为，且位于直线右侧的半圆（包括点，），
如下图所示：

当直线经过点时，与曲线有一个交点，此时，
当与半圆相切时，由，得，
由图可知，当时，与曲线至少有一个公共点，
故选：B.
【题型8 直线与圆有关的最值问题】
【例8】 已知点、在圆上，点在直线上，点为中点，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据垂径定理可得点在以为圆心，为半径的圆上，再利用点到直线的距离公式即可求解.
【解答过程】由题意可得圆的标准方程为，
设圆心为，半径为，则，，
,所以由垂径定理可得，
故点在以为圆心，为半径的圆上，
因为点到直线的距离，
所以的最小值为，
故选：B.
【变式8.1】圆上的动点到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先得到圆的圆心与半径，再利用点到直线的距离公式即可得解.
【解答过程】因为圆，所以其圆心，半径，
所以圆心到直线的距离，
则所求距离的最小值为.
故选：A.
【变式8.2】已知圆，直线，点在直线上运动，直线分别与圆相切于点，则四边形的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由圆的方程可确定圆心和半径，根据切线长与圆心到定点距离和半径之间关系，即切线长可知当时，最小，可确定四边形面积最小值.
【解答过程】由圆的方程知：圆心，半径，
四边形的面积，
则当最小时，四边形的面积最小，
点到直线的距离，
，
此时.
故选：A.
【变式8.3】已知，直线，P为l上的一动点，A，B为上任意不重合的两点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】判定直线与的位置关系，利用圆的切线长定理，结合三角函数求出最小值.
【解答过程】依题意，：的圆心，半径为2，
圆心到直线的距离为，即直线与相离，
则当PA，PB分别为圆的切线，且最小时，最大，
又，则最大，即最大，此时最小，
而，则，
所以的最小值为.
故选：D.