(共20张PPT)
2.2 平方根与立方根
第 3 课时 立方根
1. 通过类比推理，了解立方根的概念，区分平方根与立方根的不同，会用根号表示立方根。(重点)
2. 会用立方运算求千以内的完全立方数的立方根。
(难点)
如图，一个三阶魔方由形状和大小都相同的小正方体组成。假如要制作一个体积 216 cm3 的三阶魔方，每个小正方体的棱长是多少？
正方体体积公式：V = a3
216 = 6×6×6
小正方形的棱长为 6 cm.
思考： 想一想这个计算过程有何特点？
23＝ ；
(－2)3＝ ；
0.53＝ ；
(－0.5)3＝ ；
＝ ；
＝ ；
03＝ ；
8
－8
0.125
－0.125
0
思考 1：通过计算，你能发现正数、0、负数的立方与
平方有什么不同之处吗
思考 2：你能类比平方根的定义说出立方根的定义吗
活动1：算一算
探究点一：立方根的概念及性质
立方根的概念
一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即 x3 = a，那么这个数 x 就叫作 a 的立方根(也叫作三次方根)。
如 2 是 8 的立方根， 是 的立方根，
0 是 0 的立方根 .
探究点一：立方根的概念及性质
(3) 正数有几个立方根 0 有几个立方根 负数呢
【思考】(1) 一个数的平方根可能有两个，一个数的立方根可能有几个呢
(2) 求 8 ，0 ，-27 的立方根。
一个数的立方根只有一个。
8 的立方根是 2； 0 的立方根是 0；
-27 的立方根是-3。
正数有一个立方根；0 有一个立方根；
负数有一个立方根。
探究点一：立方根的概念及性质
根指数
被开方数
其中 a 是被开方数，3 是根指数，3 不能省略.
读作：三次根号 a，
立方根的表示
x3 ＝7
x =
每个数 a 都有一个立方根，记作 ，
x 是 7 的立方根
探究点一：立方根的概念及性质
【练一练】根据立方根的意义填空：
因为 13 = 1，所以 1 的立方根是（ ）；
因为( )3 = 0.125，所以 0.125 的立方根是（ ）；
因为( )3 ＝ 0，所以 0 的立方根是（ ）；
因为( )3 ＝ －1，所以 －1 的立方根是（ ）；
因为( )3 ＝ ，所以 的立方根是（ ）.
0
1
-1
0
-1
0.5
0.5
你能发现正数的立方根有什么特点吗 负数呢
0 的立方根是多少
探究点一：立方根的概念及性质
正数的立方根是正数，0 的立方根是 0，负数的立方根是负数。
【知识要点】
求一个数 a 的立方根的运算叫作开立方，a 叫作被开方数。
x =
x3 = a
开立方
立方运算
探究点一：立方根的概念及性质
平方根 立方根
性 质 正数
0
负数
表示方法
被开方数的范围
两个，互为相反数
一个，为正数
0
0
没有平方根
一个，为负数
平方根与立方根的区别和联系
可以为任何数
非负数
探究点一：立方根的概念及性质
例1 求下列各数的立方根：
(1) －27；
(2)
解：因为(-3)3 ＝-27，
所以 -27 的立方根是 -3，
即 .
解：因为 ，
所以 的立方根是 ，
即 .
探究点二： 开立方根运算
解：-5 的立方根是
(3) 0.216；
(4) -5.
解：因为 (0.6)3＝0.216，
所以 0.216 的立方根是 0.6，
即 .
探究点二： 开立方根运算
思考：(1) 各题中被开方数有什么关系
(2) 这些数的立方根有什么关系
(3) 根据计算结果，可以得到什么初步结论
(2)因为 =___， =___，所以 ___ ；
(1)因为 =____， =____，所以 ___ ；
–1
1
=
–3
3
=
活动2：计算：
(3)因为 =___， =____，所以 __ 。
–4
4
=
互为相反数
互为相反数
互为相反数的两个数的立方根也互为相反数
探究点二： 开立方根运算
讨论：(1) 表示 a 的立方根，那么 () 等于什么
等于什么
(2) 与 有什么关系
(1) () ＝a，＝a.
(2) 相等.
要点归纳：结论 1：互为相反数的两个数的立方根互为相反数，即 ＝.
结论2：“先开立方，再立方”与
“先立方，再开立方”的结果相等，都等于原数，
即 () ＝＝a.
探究点二： 开立方根运算
例2 求下列各式的值：
解：
探究点二： 开立方根运算
1. －125的立方根是( C )
A. ±5 B. 5
C. －5 D. ±
C
2. 填空：
(1) 343 的立方根是 ；
(2) － 的立方根是 － ；
(3) 0.125 的立方根是 ；
(4) －6 的立方根是 .
7
－
0.5
3. 求下列各式的值：
(1) ； (2)()3； (3)－ .原式＝6.
解：(1)原式＝－ .
(2)原式＝－8.
(3)原式＝6.
4. 求下列各式中x的值：
(1)－3x3＝0.081； (2)(x－2)3＝729.
解：(1)x＝－0.3.
(2)x＝11.
5. 一个长方体的长为9cm，宽为3cm，高为
4cm，而另一个正方体的体积是它的2倍，求这个
正方体的棱长.
解：设这个正方体的棱长为acm，
则依题意得a3＝9×3×4×2＝216，
解得a＝6.
故这个正方体的棱长为6cm.
解：设这个正方体的棱长为acm，
则依题意得a3＝9×3×4×2＝216，
解得a＝6.
故这个正方体的棱长为6cm.
若 = 2， = 4，求 的值.
解：因为 = 2， = 4，
所以 x = 23，y2 = 16，
所以 x = 8，y = ±4.
所以 x + 2y = 8 + 2×4 = 16，或 x + 2y = 8 – 2×4 = 0.
所以 的值是 4 或 0.
拓展提升
立方根
概念
开立方
性质
表示方法
一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即 x3 = a，那么这个数 x 就叫作 a 的立方根(也叫作三次方根)
a 的立方根记为
正数的立方根是正数，0 的立方根是 0，负数的立方根是负数
求一个数的立方根的运算第2章 实数
2.2 平方根与立方根
第 3 课时 立方根
【素养目标】
1. 通过类比推理,了解立方根的概念,区分平方根与立方根的不同,会用根号表示立方根。(重点)
2. 会用立方运算求千以内的完全立方数的立方根。 (难点)
【情境导入】
如图,一个三阶魔方由形状和大小都相同的小正方体组成。假如要制作一个体积 的三阶魔方,每个小正方体的棱长是多少
正方体体积公式:
思考: 想一想这个计算过程有何特点
【合作探究】
探究点一: 立方根的概念及性质
活动1: 算一算 ____； ____； ____ ; ______； ； _______.
思考1: 通过计算,你能发现正数、0、负数的立方与平方有什么不同之处吗
思考2: 你能类比平方根的定义说出立方根的定义吗
立方根的概念：
一般地,如果一个数 的立方等于 ,即 , 那么这个数 就叫作 的立方根(也叫作三次方根)。如 2 是 8 的立方根, 是 的立方根,
0 是 0 的立方根.
【思考】(1) 一个数的平方根可能有两个,一个数的立方根可能有几个呢
(2) 求 的立方根。
(3) 正数有几个立方根 0 有几个立方根 负数呢
立方根的表示
每个数 都有一个立方根,记作 , 其中3叫作根指数（3不能省略）， 叫作被开方数，读作: 三次根号 .
是 7 的立方根
【练一练】根据立方根的意义填空:
因为 ,所以 1 的立方根是( )；
因为 ,所以 0.125 的立方根是 ( );
因为 ,所以 0 的立方根是( )；
因为 ,所以 -1 的立方根是 ( ) ;
因为 ,所以 的立方根是 .
你能发现正数的立方根有什么特点吗 负数呢 0 的立方根是多少
【知识要点】 正数的立方根是正数, 0 的立方根是 0 , 负数的立方根是负数。
求一个数 的立方根的运算叫作开立方, 叫作被开方数。
平方根与立方根的区别和联系
平方根 立方根
性质 正数
0
负数
表示方法
被开方数的范围
探究点二: 开立方根运算
例1 求下列各数的立方根:
(1) -27 ; (2) ; (3) 0.216； (4) -5.
活动2: 计算:
(1) 因为 所以 ;
(2) 因为 所以 ;
(3) 因为 所以 。
思考: (1) 各题中被开方数有什么关系
(2) 这些数的立方根有什么关系？
(3) 根据计算结果,可以得到什么初步结论？
讨论: (1) 表示 的立方根,那么 等于什么 等于什么
(2) 与 有什么关系？
要点归纳:
结论1: ___________________________________________________________.
结论2: ___________________________________________________________.
例2 求下列各式的值:
当堂反馈
1. -125的立方根是( )
A. ±5 B. 5 C. -5 D.
2. 填空:
(1) 343的立方根是______； (2) 的立方根是______；
(3) 0.125 的立方根是______； (4) -6的立方根是______ .
3. 求下列各式的值:
(1) ; (2) ； (3) .
4. 求下列各式中 的值:
(1) ； (2) .
5. 一个长方体的长为 ,宽为 ,高为 ,而另一个正方体的体积是它的 2 倍,求这个正方体的棱长.
拓展提升
若 ,求 的值.
参考答案
情境导入 正方体体积公式: , ,小正方形的棱长为 .
探究点一: 立方根的概念及性质
活动1: 算一算 8 ; ;
； ； 0 ；
【思考】(1) 一个数的立方根只有一个。
(2) 8 的立方根是 2 ； 0 的立方根是 0 ；-27 的立方根是-3。
(3) 正数有一个立方根； 0 有一个立方根；负数有一个立方根。
【练一练】根据立方根的意义填空:
因为 ,所以 1 的立方根是( 1 )；
因为 ,所以 0.125 的立方根是 (0.5);
因为 ,所以 0 的立方根是( 0 )；
因为 ,所以 -1 的立方根是 (-1) ;
因为 ,所以 的立方根是 .
探究点二: 开立方根运算
例1 (1)解: 因为 , 所以 -27 的立方根是 -3,即 .
(2) 因为 , , 所以 的立方根是 , 即 .
(3) 解: 因为 , 所以 0.216 的立方根是 0.6 ,即 .
(4) 解: -5 的立方根是 .
平方根与立方根的区别和联系
平方根 立方根
性质 正数 两个,互为相反数 一个，为正数
0 0 0
负数 没有平方根 一个，为负数
表示方法
被开方数 的范围 非负数 可以为任何数
活动2: 计算: (1) 因为 ,所以 ;
(2) 因为 ,所以 ;
(3) 因为 ,所以 。
思考: (1) 互为相反数 (2) 互为相反数
(3) 互为相反数的两个数的立方根也互为相反数
讨论: (1) 相等.
要点归纳: 结论1: 互为相反数的两个数的立方根互为相反数,即 .
结论2: “先开立方,再立方”与“先立方,再开立方”的结果相等,都等于原数, 即 .
例2 解: (2) ；
当堂反馈
1. C 2. (1) 7； (2) ； (3) 0.5 ； (4) .
3. 解: (1) 原式 . (2) 原式 .(3) 原式 .
4. 解: . (2) .
5. 解: 设这个正方体的棱长为 ,则依题意得 ,
解得 .故这个正方体的棱长为 .
拓展提升
解: 因为 ,所以 ,
所以 .所以 ,或 . 所以 的值是 4 或 0 .2.2 平方根与立方根
第3课时 立方根
1.通过类比推理，了解立方根的概念，区分平方根与立方根的不同，会用根号表示立方根.
2.会用立方运算求千以内的完全立方数的立方根.
重点：会用根号表示立方根，求千以内的完全立方数的立方根.
难点：求千以内的完全立方数的立方根.
知识链接
请问图片中展示的物品是什么？若这个魔方的体积为216cm2，思考如何求此魔方的棱长.
（1）它的形状有什么特点？（魔方是个正方体，各棱长相等）
（2）在这个问题中，涉及什么计算问题？（根据体积求棱长）
（3）你能找出一个数，使它的立方等于216吗？（6）
创设情境——见配套课件
探究点一：立方根的概念及性质
活动1：算一算
23＝ 8 ； （－2）3＝ －8 ； 0.53＝ 0.125 ；
（－0.5）3＝ －0.125 ；
（）3＝ ； （－）3＝ － ； 03＝ 0 .
思考：
（1）一个数的平方根可能有几个？0或1或2个.
（2）分别求8，0，－27的立方根.8的立方根是2，0的立方根是0，－27的立方根是－3.
（3）正数有几个立方根？0有几个立方根？负数呢？
正数有一个立方根，0有一个立方根，负数有一个立方根.
要点归纳：定义：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x叫作a的立方根或三次方根.
开立方：求一个数的立方根的运算，叫作开立方.
开立方与立方互为逆运算.
活动2：填一填
根据开立方与立方互为逆运算填空.
（1）因为23＝8，所以8的立方根是 2 ；
（2）因为0.43＝0.064，所以0.064的立方根是 0.4 ；
（3）因为03＝0，所以0的立方根是 0 ；
（4）因为（－2）3＝－8，所以－8的立方根是 －2 ；
（5）因为（－）3＝－，所以－的立方根是 － .
根据上述填空，你能发现正数、0、负数的立方根各有什么特点？
要点归纳：性质1：正数的立方根是正数；性质2：0的立方根是0；性质3：负数的立方根是负数.
类比推理：类似于平方根，一个数a的立方根记为“”，读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数.
探究点二：开立方运算
阅读并完成教材P35例5，课件出示，学生独立思考，老师总结.
计算：
（1）因为＝ －2 ，＝ 2 ，所以 ＝ －.
（2）因为＝ －3 ，＝ 3 ，所以 ＝ －.
（3）因为＝ －4 ，＝ 4 ，所以 ＝ －.
思考：（1）各题中被开方数有什么关系？（互为相反数）
（2）这些数的立方根有什么关系？（互为相反数）
（3）根据计算结果，可以得到什么初步结论？
（互为相反数的两个数的立方根互为相反数）
讨论：（1）表示a的立方根，那么（）3等于什么？等于什么？（a，a）
（2）与－有什么关系？（相等）
要点归纳：结论1：互为相反数的两个数的立方根互为相反数，即＝－.结论2：“先开立方，再立方”与“先立方，再开立方”结果相等，都等于原数，即（）3＝＝a.
阅读并完成教材P35例6，课件出示，学生独立思考，老师总结.
已知x－2的平方根是±2，2x＋y＋7的立方根是3，求2x2＋y2的立方根.
解析：根据平方根、立方根的定义和已知条件可知x－2＝4，2x＋y＋7＝27，从而解出x，y，最后代入2x2＋y2求其立方根即可.
解：因为x－2的平方根是±2，所以x－2＝4.所以x＝6.因为2x＋y＋7的立方根是3，所以2x＋y＋7＝27.把x＝6代入解得y＝8.所以2x2＋y2＝2×62＋×82＝216＝63.所以2x2＋y2的立方根为6.
方法总结：本题先根据平方根和立方根的定义，运用方程思想列方程求出x，y的值，再根据立方根的定义求出2x2＋y2的立方根.
1.－125的立方根是（ C ）
A.±5 B.5 C.－5 D.±
2.计算：
（1）＝ － ； （2）（）3＝ －8 ； （3）－＝ 6 .
3.求下列各式中x的值：
（1）－3x3＝0.081； （2）（x－2）3＝729.
解：x＝－0.3. 解：x＝11.
4.一个长方体的长为9 cm，宽为3 cm，高为4 cm，而另一个正方体的体积是它的2倍，求这个正方体的棱长.
解：设正方体的棱长为acm，则依题意得a3＝9×3×4×2＝216.所以a＝＝＝＝6.故这个正方体的棱长为6 cm.
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
立方根
第3课时 立方根
由魔方引入立方根，这样的课程设置能提升学生的探究欲望，激发学习兴趣.授课形式为学生自主探究和教师引导相结合，通过与平方根的类比推理，让学生掌握立方根的概念及性质.立方根的概念在数学领域是个相对抽象的概念，本课时的学习能让学生全身心地参与探究、讨论和总结，加深对概念的理解，掌握课程要求的知识，为以后的学习奠定基础.
