(共24张PPT)
2.3 二次根式
第1课时 二次根式及其乘除
1. 能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念及性质，发展迁移思想，掌握由 “数” 到 “式”，由 “特殊”到 “一般” 的学习方法。 (重点)
2. 了解并掌握二次根式的性质，培养推理意识与推理能力，初步养成讲道理、有条理的思维品质。(重点)
3. 会运用二次根式进行乘除运算，形成数学的表达与交流能力，发展应用意识和实践能力。 (难点)
问题1：什么叫作平方根？
一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫作 a 的平方根。
问题2：什么叫作算术平方根？怎么表示它？
如果 x2 = a (x≥0)，那么 x 称为 a 的算术平方根，用 表示。
问题3：什么数有平方根？
我们知道，负数没有平方根。因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是非负数。
可以发现，这些式子我们在前面都已学习过，它们的共同特征是：
观察下列代数式：
1. 都含有开平方运算，
2. 并且被开方数都是非负数。
探究点一： 二次根式的概念
(其中 b = 24，c = 25)。
一般地，形如 (a≥0) 的式子叫作二次根式， a 叫作被开方数。
注意：a 可以是数，也可以是式子.
两个必备特征
① 外形特征：含有“ ”
② 内在特征：被开方数 a≥0
二次根式的概念
探究点一： 二次根式的概念
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
解：
(1)(4)(6)均是二次根式，其中 a2 + 1 属于“非负数+正数”的形式，一定大于零. (2)(3)(5)(7)均不是二次根式.
是否为二次根号
被开方数是不是非负数
二次根式
不是二次根式
是
是
否
否
分析：
探究点一： 二次根式的概念
例2 当 x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义
解：由 x - 2≥0，得
x≥2。
当 x≥2 时， 在实数范围内有意义。
【变式训练】当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
解：由题意得 x - 1＞0，
所以 x＞1。
探究点一： 二次根式的概念
(1) ；
解：因为 被开方数需大于或等于零，
所以 3 + x≥0，所以 x≥-3.
因为 分母不能等于零，
所以 x - 1 ≠ 0，所以 x ≠ 1.
所以 x≥-3 且 x ≠ 1.
探究点一： 二次根式的概念
(1) 单个二次根式如 有意义的条件：
(2) 多个二次根式相加如 有意义的
条件：
(3) 二次根式作为分母如 有意义的条件：
(4) 形如 或 的式子有意义的条件：
A≥0，B≥0，… ，N≥0.
A≥0 且 B ≠ 0.
A＞0.
A≥0.
【知识要点】
探究点一： 二次根式的概念
1.下列各式： .
一定是二次根式的有 （ ）
A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个
B
2.(1)若式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值
范围是_______；
(2)若式子 在实数范围内有意义，则 x 的
取值范围是____________.
x≥1
x≥0且 x ≠ 2
【练一练】
探究点一： 二次根式的概念
活动1：(1) 计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？
探究点二： 二次根式的乘除运算
③ 左边是两个二次根式的乘积 (或商) ，右边是两个二次根式被开方数乘积 (或商) 开平方.
① 被开方数都是正数；
② 左右两边式子的值相等；
6
6
20
20
(2) 根据上面的猜想，估计下面每组两个式子是否相等，借助计算器验证，并与同伴进行交流。
(3) 你能用字母表示你发现的规律吗？
探究点二： 二次根式的乘除运算
＝ ，
6.480
＝ ；
＝ ，
＝ 。
6.480
0.9255
0.9255
二次根式的乘法法则和除法法则
(a≥0，b≥0)
(a≥0，b＞0)
探究点二： 二次根式的乘除运算
商的算术平方根，等于
积的算术平方根，等于
算术平方根的积。
算术平方根的商。
例3 计算：
探究点二： 二次根式的乘除运算
解：
【针对训练】计算：
解：
当二次根式根号外的因数不为 1 时，可类比单项式乘单项式的法则计算，即 .
探究点二： 二次根式的乘除运算
【归纳总结】二次根式的乘法法则的推广：
① 多个二次根式相乘时此法则也适用，即
② 当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单 项式的法则计算，即根号外的因数(式)的积作为根号外的因数(式)，被开方数(式)的积作为被开方数(式)，即
探究点二： 二次根式的乘除运算
活动2：(1) 对比(a＋b)(a－b)＝a2－b2，
想想 该怎么计算
(2) 类似地，参考
计算：
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2；
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2。
探究点二： 二次根式的乘除运算
【变式训练】 计算.
探究点二： 二次根式的乘除运算
解：(1) 原式 =
(2) 原式 =
(3) 原式 =
(4) 原式 =
解：(1)原式 =
例4 计算：
(2)原式 =
(3)原式 =
(4)原式 =
探究点二： 二次根式的乘除运算
解：(5)原式 =
(6)原式 =
探究点二： 二次根式的乘除运算
1. 下列各式中，不是二次根式的是( B )
A. B.
C. D.
B
2. 二次根式 有意义，则x的值可以为( A )
A. 7 B. 6
C. 0 D. －1
A
3. 计算：2 × ＝( D )
A. 12 B. C. D. 2
D
4. 若 ＋ 在实数范围内有意义，则x的取值范
围为 .
x≥0且x≠1
5. 填空：
(1) × ＝ ；(2) ÷ ＝ .
6
6. 计算：
(1) × ；
解：原式＝3.式＝30 .
(3) × ÷ ；
解：原式＝10.
解：原式＝3.
解：原式＝30 .
解：原式＝10.
原式＝3.
(2)5 ×6 ；
解：原式＝30 .
解：原式＝10.
(4)(－2)2.
解：原式＝7－4 .
解：原式＝7－4 .
二次根式
定义
带有二次根号
二次根式的乘除运算
被开方数为非负数
二次根式与乘法公式
二次根式 中,a≥0且 ≥0
(a≥0，b＞0)
(a≥0，b≥0)第2章 实数
2.3 二次根式
第1课时 二次根式及其乘除
【素养目标】
1. 能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念及性质, 发展迁移思想,掌握由 “数” 到 “式”,由 “特殊”到 “一般”的学习方法。(重点)
2. 了解并掌握二次根式的性质,培养推理意识与推理能力,初步养成讲道理、有条理的思维品质。(重点)
3. 会运用二次根式进行乘除运算,形成数学的表达与交流能力,发展应用意识和实践能力。(难点)
【情境导入】
问题1: 什么叫作平方根
问题2: 什么叫作算术平方根 怎么表示它
问题3: 什么数有平方根
【合作探究】
探究点一: 二次根式的概念
观察下列代数式:
(其中 )。
可以发现, 这些式子我们在前面都已学习过, 它们的共同特征是:
1. ___________________________,
2. ___________________________。
二次根式的概念
一般地,形如 的式子叫作二次根式, 叫作被开方数。
注意: 可以是数,也可以是式子.
两个必备特征
例1 下列各式中, 哪些是二次根式 哪些不是
(1) ; (2) 6 ; (3) ; (4) ;
(5) ; (6) ; (7) .
例2 当 是怎样的实数时, 在实数范围内有意义
【变式训练】当 是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义
(1) ; (2) .
【知识要点】
( 1 )单个二次根式如 有意义的条件: .
( 2 )多个二次根式相加如 有意义的
条件: .
( 3 )二次根式作为分母如 有意义的条件: .
(4) 形如 或 的式子有意义的条件: 且 .
【练一练】1. 下列各式: .
一定是二次根式的有 ( )
A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个
2.(1)若式子 在实数范围内有意义,则 的取值范围是________ ;
(2)若式子 在实数范围内有意义,则 的取值范围是 ___________ .
探究点二: 二次根式的乘除运算
活动1: (1) 计算下列各式, 观察计算结果, 你能发现什么规律
(2)根据上面的猜想,估计下面每组两个式子是否相等,借助计算器验证,并与同伴进行交流。
(3) 你能用字母表示你发现的规律吗？
二次根式的乘法法则和除法法则
积的算术平方根,等于算术平方根的积。
商的算术平方根,等于算术平方根的商。
例3 计算:
【针对训练】计算:(1) .
【归纳总结】二次根式的乘法法则的推广:
① 多个二次根式相乘时此法则也适用,即
② 当二次根号外有因数(式)时,可以类比单项式乘单项式的法则计算,即根号外的因数(式)的积作为根号外的因数(式), 被开方数(式)的积作为被开方数(式), 即
活动2:(1)对比 ,想想该怎么计算
类似的参考： 和。
计算: (1) (2) .
【变式训练】计算.
(1) ; (2) ;
(3) ; (4) .
例4 计算:
(1) ; (2) ;
(4) ; (5) （） ; (6) .
当堂反馈
1. 下列各式中,不是二次根式的是( )
A. B. C. D.
2. 二次根式 有意义,则 的值可以为( )
A. 7 B. 6 C. 0 D. -1
3. 计算:
A. 12 B. C. D.
4. 若 在实数范围内有意义,则 的取值范围为 __________ .
5. 填空:
(1) _____ ；(2) ________.
6. 计算:
(1) ; (2) ；
(3) ； (4) .
参考答案
复习导入
问题1: 一般地,如果一个数的平方等于 ,那么这个数叫作 的平方根。
问题2: 如果 ,那么 称为 的算术平方根, 用 表示。
问题3: 负数没有平方根。因此,在实数范围内开平方时,被开方数只能是非负数。
探究点一: 二次根式的概念
共同特征:1. 都含有开平方运算, 2. 并且被开方数都是非负数。
例1 解:(1)(4)(6)均是二次根式, (2)(3)(5)(7)均不是二次根式.
例2 解: 由 ,得 。当 时, 在实数范围内有意义。
【变式训练】(1) 解: 由题意得 ,所以 。
(2) 解: 因为被开方数需大于或等于零,所以 ,所以 .
因为分母不能等于零,所以 ,所以 .所以 且 .
【练一练】1. B 2.(1) ; (2) 且 .
探究点二: 二次根式的乘除运算
活动1: (1) ① 被开方数都是正数；② 左右两边式子的值相等； ③ 左边是两个二次根式的乘积 (或商) ,右边是两个二次根式被开方数乘积 (或商) 开平方.
(2)
(3)
例3解: ;
【针对训练】解:(1) .
(2) .
活动2:(1)
计算:(1) .
(2) .
【变式训练】解: (1) 原式 ;
(2) 原式 ;
(3) 原式 ;
(4) 原式 .
例4 解:(1)原式=
(2) 原式 .
(3) 原式 .
(4) 原式 .
(5) 原式 .
(6) 原式 .
当堂反馈
1. B 2. A 3. D. 4. 且 .
5. (1) ；(2) 6 .
6. 计算:
解: (1) 原式 . （2）原式 . (3) 原式 . （4）原式 .2.3 二次根式
第1课时 二次根式及其乘除
1.能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念及性质，发展迁移思想，掌握由“数”到“式”，由“特殊”到“一般”的学习方法.
2.了解并掌握二次根式的性质，培养推理意识与推理能力，初步养成讲道理、有条理的思维品质.
3.会运用二次根式进行乘除运算，形成数学的表达与交流能力，发展应用意识和实践能力.
重点：了解二次根式的相关概念及性质.
难点：灵活运用二次根式进行乘除运算.
知识链接
1.16的平方根是 ±4 ，算术平方根是 4 .
2.0的平方根是 0 ，算术平方根是 0 .
3.－2有没有平方根？有没有算术平方根？
答：－2没有平方根，也没有算术平方根.
4.求下列各数的算术平方根，并作式子表示.
16，，3，121，12.
答：＝4，＝，，＝11，.
创设情境——见配套课件
探究点一：二次根式的概念
阅读教材P41引入的部分，回答下列问题：
观察下列代数式：
，，，，（其中b＝24，c＝25）.
1.这些式子都是我们在前面已经学习过的，它们有什么共同特征呢？
答：都含有开方运算，并且被开方数都是非负数.
2.什么样的式子叫作二次根式？
答：形如（a≥0）的式子叫作二次根式.“”称为二次根号.
3.想一想：如果a＜0，那么是否为二次根式？
答：不是.
要点归纳：一般地，形如（a≥0）的式子叫作二次根式，a叫作被开方数.
练习1.判断下列各式是否为二次根式.
（1）（ √ ） （2）（ × ） （3）6（ × ） （4）（ √ ） （5）（ √ ）
（6）（x，y异号）（ × ）（7）（ √ ）
（8）（ × ） （9）（ √ ）
探究点二：二次根式的乘除运算
活动1：做一做
1.计算下列各式，观察计算结果，你能得到什么猜想？
×＝ 6 ，＝ 6 ；×＝ 20 ，＝ 20 ；
＝ ，＝ ；＝ ，＝ .
答：猜想：两个数的算术平方根的积等于这两个数的积的算术平方根，两个数算术平方根的商等于这两个数商的算术平方根.
2.根据上面的猜想，估计下面每组两个式子是否相等，借助计算器验证，并与同伴进行交流.
与×，与.
相等.
3.你能用字母表示你发现的猜想吗？
答：二次根式的乘法法则：·＝（a≥0，b≥0）.
二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0）.
要点归纳：
二次根式的乘法法则和除法法则：·＝（a≥0，b≥0），
＝（a≥0，b＞0）.
即二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.
练习2.计算：
（1）×； （2）×； （3）； （4）÷.
解：（1）×＝.（2）×＝＝＝3.
（3）＝＝＝2.（4）÷＝＝＝＝3.
探究点三：二次根式与乘法公式
活动2：填一填
1.对比（a＋b）（a－b）＝ a2－b2 ，想想该怎么计算（＋）（－）？
答：（＋）（－）＝（）2－（）2＝5－3＝2.
2.类似地，参考（a＋b）2＝ a2＋2ab＋b2 ；
（a－b）2＝ a2－2ab＋b2 ，
计算：
（1）（＋）2； （2）（3－2）2.
解：（1）原式＝（）2＋2××＋（）2＝2＋2＋3＝5＋2.
（2）原式＝（3）2－2×3×2＋（2）2＝63－12＋12＝75－12.
要点归纳：整式的乘法法则及乘法公式也适用于二次根式的乘法运算.
练习3.计算
（1）（＋）（－）； （2）（4＋）（4－）；
（3）（＋2）2； （4）（2－）2.
解：（1）原式＝（）2－（）2＝6－2＝4.
（2）原式＝42－（）2＝16－7＝9.
（3）原式＝（）2＋2××2＋22＝3＋4＋4＝7＋4.
（4）原式＝（2）2－2×2×＋（）2＝20－4＋2＝22－4.
计算：
（1）×； （2）×；
（3）； （4）×÷.
解：（1）×＝.
（2）×＝＝.
（3）＝＝＝7.
（4）×÷＝＝＝15.
阅读并完成教材P42例1、例2，课件出示，学生独立思考，老师总结.
方法总结：几个二次根式相乘，把它们的被开方数相乘，根指数不变，如果积含有能开得尽方的因数或因式，一定要化简.
1.下列各式是二次根式的是（ B ）
A. B. C. D.π
2.下列运算正确的是（ C ）
A.＝2＋3 B.＝
C.（）2＝32 D.4×＝
3.计算：
（1）×；（2）；
（3）×÷；（4）（－）2×（5＋2）.
解：（1）原式＝.（2）原式＝6.（3）原式＝2.（4）原式＝1.
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
二次根式
第1课时 二次根式及其乘除
本节课经历从具体实例到一般规律的探究过程，运用类比的方法，得出二次根式的乘法法则和除法法则，使学生清楚新旧知识的区别和联系，加深学生对运算法则的理解，能否根据问题的特点，选择合理、简便的算法解决问题，在运算过程中巩固知识.
