(共61张PPT)
第2章 平面解析几何初步
2.7 用坐标方法解决几何问题
学习目标
1. 理解直线与圆的位置关系的几何性质.
2. 利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系.
3. 会用“数形结合”数学思想解决问题.
4. 培养数学建模和数学运算的核心素养.
应用一 用坐标法证明几何问题
典例1
用坐标法证明：若四边形的一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，则该四边形的对角线互相垂直.
证明：如图所示，以AC所在的直线为x轴，过点B
垂直于AC的直线为y轴建立直角坐标系，设顶点坐
标分别为A(a，0)，B(0，b)，C(c，0)，D(x，y).
因为｜AB｜2＋｜CD｜2＝｜BC｜2＋｜AD｜2，
所以a2＋b2＋(x－c)2＋y2＝b2＋c2＋(x－a)2＋y2，
化简得(a－c)x＝0，因为a－c≠0，所以x＝0，所以D点在y轴上，所以AC⊥BD，
所以若四边形的一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，则该四边形的对角线互相垂直.
规律方法
坐标法建立平面直角坐标系应坚持的原则
1.若有两条相互垂直的直线，一般以它们分别为x轴和y轴；
2.充分利用图形的对称性；
3.让尽可能多的点落在坐标轴上，或关于坐标轴对称；
4.关键点的坐标易于求得.
对点练1.如图所示，Rt△ABC的斜边长为定值2m，以
斜边的中点O为圆心作半径为n的圆，直线BC交圆于
P，Q两点，求证：｜AP｜2＋｜AQ｜2＋｜PQ｜2为
定值.
证明：如图所示，以O为坐标原点，以直线BC为x轴，建立平面直角坐标系，于是有B(－m，0)，C(m，0)，P(－n，0)，Q(n，0).
设A(x，y)，
由已知，点A在圆x2＋y2＝m2上，
故｜AP｜2＋｜AQ｜2＋｜PQ｜2
＝(x＋n)2＋y2＋(x－n)2＋y2＋4n2
＝2x2＋2y2＋6n2＝2m2＋6n2(定值).
返回
应用二 与圆有关的轨迹问题
典例2
点A(2，0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点.
(1)求线段AP的中点M的轨迹方程；
解：设线段AP的中点为M(x，y)，
由中点公式，得点P的坐标为(2x－2，2y).
因为点P在圆x2＋y2＝4上，
所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，
故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程.
解：设线段PQ的中点为N(x，y)，
在Rt△PBQ中，｜PN｜＝｜BN｜.
设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，
所以｜OP｜2＝｜ON｜2＋｜PN｜2＝｜ON｜2＋｜BN｜2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，
故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
规律方法
求与圆有关的轨迹问题的方程
1.直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.
2.定义法：根据圆、直线等定义列方程.
3.代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.
综上，点C的轨迹是以(－6，0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12，0)和(0，0)两点.
轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0).
返回
应用三 利用坐标法解决实际问题
典例3
角度一 圆的方程的实际应用
如图为一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为__________m.
所以这座圆拱桥的拱圆的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4).
把点D的横坐标x＝－5代入上式，得y≈3.1.
由于船在水面以上高3 m，3＜3.1，
所以该船可以从桥下通过.
对点练3.一辆卡车宽1.6 m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过
A.1.4 m B.3.5 m
C.3.6 m D.2.0 m
√
典例4
规律方法
解决直线与圆的实际应用题的步骤
1.审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知.
2.建系：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素.
3.求解：利用直线与圆的有关知识求出未知.
4.还原：将运算结果还原到实际问题中去.
√
返回
随堂评价
√
2.已知动点M到点(8，0)的距离等于点M到点(2，0)的距离的2倍，那么点M的轨迹方程是
A.x2＋y2＝32 B.x2＋y2＝16
C.(x－1)2＋y2＝16 D.x2＋(y－1)2＝16
√
3.设某村庄外围成圆形，其所在曲线的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路方程可用x－y＋2＝0表示，则从村庄外围到小路的最短距离是__________.
4.一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径长为30 km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它_____(填“会”“不会”)受到台风的影响.
不会
如图，以台风中心为原点O，以东西方向为x轴，建立平面直角坐标系，其中，取10 km为单位长度.则台风影响的圆形区域所对应的圆心为O，圆的方程为x2＋y2＝9；轮船航线所在的直线l的方程为4x＋7y－28＝0.可知直线与圆相离，故轮船不会受到台风的影响.
5.已知△ABC的顶点A(0，0)，B(4，0)，且AC边上的中线BD的长为3，则顶点C的轨迹方程是______________________.
(x－8)2＋y2＝36(y≠0)
课时测评
1.如图，圆弧形拱桥的跨度｜AB｜＝12米，拱高｜CD｜＝4米，则拱桥的直径为
A.15米 B.13米
C.9米 D.6.5米
√
√
3.已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足｜PA｜＝2｜PB｜，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于
A.π B.4π
C.8π D.9π
√
√
√
√
√
√
7.设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线且｜PA｜＝1，则P点的轨迹方程是_______________.
设P(x，y)是轨迹上任一点，圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为B(1，0)，
则｜PA｜2＋1＝｜PB｜2，所以(x－1)2＋y2＝2.
(x－1)2＋y2＝2
8.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区的时间为____h.
如图，以A地为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立
平面直角坐标系，
则台风中心经过以B(40，0)为圆心，30为半径的圆
内时城市B处于危险区，
即B处于危险区时，台风中心在线段MN上，可求得｜MN｜＝20，所以时间为1 h.
1
10.(10分)已知正方形ABCD，E为对角线BD上任意一点，EF⊥BC，EG⊥CD，F、G为垂足，求证：AE⊥FG.
解：以B为原点，BC、BA分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，
设A点坐标为(0，a)，则C点坐标为(a，0)，D点坐标为(a，a)，
直线BD的方程为y＝x，则设E点坐标为(b，b)(b＜a)，
√
√
√
3.97
建立如图所示的平面直角坐标系xOy，
设弧APD所在圆的圆心坐标为O1(0，b)，半径为r，则其
方程为x2＋(y－b)2＝r2.
将P(0，2)，D(4，0)的坐标代入以上方程，
解得b＝－3，r＝5，
故圆O1的方程为x2＋(y＋3)2＝25.
过点E作AD的垂线交AD于点M，延长交弧AD于点N，
将N(－3.5，h)代入圆O1的方程，
解得h≈0.571，即｜MN｜≈0.571，
则｜EN｜≈4＋0.571＝4.571，
从而车辆的限高为4.571－0.6≈3.97 (m).
14.自圆外一点P作圆O：x2＋y2＝1的两条切线PM，PN(M，N为切点)，若∠MPN＝90°，则动点P的轨迹方程是____________.
x2＋y2＝2
15.(13分)如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25 km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)
17.(17分)设有半径长为3 km的圆形村落，甲、乙两人同时从村落中心出发，甲向东前进而乙向北前进，甲离开村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落边界的方向前进，后来恰好与乙相遇.设甲、乙两人的速度都一定，且其速度比为3∶1，问：甲、乙两人在何处相遇？
解：如图所示，以村落中心为坐标原点，以东西方向为x轴，南北方向为y轴建立平面直角坐标系.
返回2.7 用坐标方法解决几何问题
学习目标 1.理解直线与圆的位置关系的几何性质. 2.利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系. 3.会用“数形结合”数学思想解决问题. 4.培养数学建模和数学运算的核心素养.
应用一 用坐标法证明几何问题
用坐标法证明：若四边形的一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，则该四边形的对角线互相垂直.
证明： 如图所示，以AC所在的直线为x轴，过点B垂直于AC的直线为y轴建立直角坐标系，设顶点坐标分别为A(a，0)，B(0，b)，C(c，0)，D(x，y).
因为｜AB｜2＋｜CD｜2＝｜BC｜2＋｜AD｜2，
所以a2＋b2＋(x－c)2＋y2＝b2＋c2＋(x－a)2＋y2，
化简得(a－c)x＝0，因为a－c≠0，所以x＝0，所以D点在y轴上，所以AC⊥BD，
所以若四边形的一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，则该四边形的对角线互相垂直.
坐标法建立平面直角坐标系应坚持的原则 1.若有两条相互垂直的直线，一般以它们分别为x轴和y轴； 2.充分利用图形的对称性； 3.让尽可能多的点落在坐标轴上，或关于坐标轴对称； 4.关键点的坐标易于求得.
对点练1.如图所示，Rt△ABC的斜边长为定值2m，以斜边的中点O为圆心作半径为n的圆，直线BC交圆于P，Q两点，求证：｜AP｜2＋｜AQ｜2＋｜PQ｜2为定值.
证明： 如图所示，以O为坐标原点，以直线BC为x轴，建立平面直角坐标系，于是有B(－m，0)，C(m，0)，P(－n，0)，Q(n，0).
设A(x，y)，
由已知，点A在圆x2＋y2＝m2上，
故｜AP｜2＋｜AQ｜2＋｜PQ｜2
＝(x＋n)2＋y2＋(x－n)2＋y2＋4n2
＝2x2＋2y2＋6n2＝2m2＋6n2(定值).
应用二 与圆有关的轨迹问题
点A(2，0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点.
(1)求线段AP的中点M的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程.
解：(1)设线段AP的中点为M(x，y)，
由中点公式，得点P的坐标为(2x－2，2y).
因为点P在圆x2＋y2＝4上，
所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，
故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设线段PQ的中点为N(x，y)，
在Rt△PBQ中，｜PN｜＝｜BN｜.
设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，
所以｜OP｜2＝｜ON｜2＋｜PN｜2＝｜ON｜2＋｜BN｜2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，
故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
[变式探究]
1.在本例条件不变的情况下，求过点B的弦的中点T的轨迹方程.
解：设T(x，y).
因为点T是弦的中点，所以OT⊥BT.
当斜率存在时，有kOT·kBT＝－1.
即·＝－1，
整理得x2＋y2－x－y＝0.
当x＝0或1时，点(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)也都在圆上.
故所求轨迹方程为x2＋y2－x－y＝0.
2.本例条件不变，求BP的中点E的轨迹方程.
解：设点E(x，y)，P(x0，y0).
因为B(1，1)，所以整理得x0＝2x－1，y0＝2y－1，
因为点P在圆x2＋y2＝4上，
所以(2x－1)2＋(2y－1)2＝4，
整理得点E的轨迹方程为x2＋y2－x－y－＝0.
求与圆有关的轨迹问题的方程 1.直接法：直接根据题目提供的条件列出方程. 2.定义法：根据圆、直线等定义列方程. 3.代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.
对点练2.已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程.
解：以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(如图)，
则A(－2，0)，B(2，0)，设C(x，y)，BC的中点D(x0，y0).
所以①
因为｜AD｜＝3，所以(x0＋2)2＋＝9.②
将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36.
因为点C不能在x轴上，所以y≠0.
综上，点C的轨迹是以(－6，0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12，0)和(0，0)两点.
轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0).
应用三 利用坐标法解决实际问题
角度一 圆的方程的实际应用
如图为一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为 m.
答案：2
解析：如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系.
设圆心为C，圆的方程设为x2＋(y＋r)2＝r2(r＞0)，水面所在弦的端点为A，B，则A(6，－2).将A(6，－2)代入圆的方程，得r＝10，
则圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.当水面下降1 m后，可设点A'(x0，－3)(x0＞0)，
将A'(x0，－3)代入圆的方程，得x0＝，
所以当水面下降1 m后，水面宽为2x0＝2 m.
[变式探究]
某圆拱桥的水面跨度为20 m，拱高为4 m.现有一船，宽10 m，水面以上高3 m，这条船能否从桥下通过？
解：建立如图所示的坐标系，使圆心C在y轴上.依题意，有B(10，0)，P(0，4)，D(－5，0).
设圆心C的坐标为(0，b)，圆的半径为r，
设这座圆拱桥的拱圆的方程是x2＋(y－b)2＝r2，
把P，B两点的坐标代入圆的方程，
得到方程组
所以这座圆拱桥的拱圆的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4).
把点D的横坐标x＝－5代入上式，得y≈3.1.
由于船在水面以上高3 m，3＜3.1，
所以该船可以从桥下通过.
对点练3.一辆卡车宽1.6 m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过( )
A.1.4 m B.3.5 m C.3.6 m D.2.0 m
答案：B
解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设篷顶距地面的高度为h，
则A(0.8，h)，半圆所在圆的方程为x2＋y2＝3.62，
把点A的坐标代入上式可得，0.82＋h2＝3.62，
解得h＝4≈3.5 m.
角度二 直线与圆的方程的实际应用
如图，某海面上有O，A，B三个小岛(面积大小忽略不计)，A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛40千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处.以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系.圆C经过O，A，B三点.
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？
解：(1)由题意，得A(40，40)，B(20，0)，设过O，A，B三点的圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则
所以圆C的方程为x2＋y2－20x－60y＝0.
(2)该船初始位置为点D，则D(－20，－20)，且该船航线所在直线l的斜率为1，
故该船航行方向为直线l：x－y＋20－20＝0，
由(1)得圆C的圆心为C(10，30)，半径r＝10，
由于圆心C到直线l的距离d＝＝10＜10，
故该船有触礁的危险.
解决直线与圆的实际应用题的步骤 1.审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知. 2.建系：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素. 3.求解：利用直线与圆的有关知识求出未知. 4.还原：将运算结果还原到实际问题中去.
对点练4.如图是某主题公园的部分景观平面示意图，圆形池塘以O为圆心，以45 m为半径，B为公园入口，道路AB为东西方向，道路AC经过点O且向正北方向延伸，OA＝10 m，AB＝100 m，现计划从B处起修一条新路与道路AC相连，且新路在池塘的外围，假设路宽忽略不计，则新路的最小长度为(单位：m)( )
A.100 B.100
C.150 D.150
答案：A
解析：以A为坐标原点建立平面直角坐标系(图略)，设修建的新路所在直线方程为kx－y＋100k＝0(k＞0)，则当该直线与圆O相切时，小路长度最小，此时＝45，
解得k＝1，此时求得小路长度为100 m.
1.y＝｜x｜的图象和圆x2＋y2＝4在x轴上方所围成的图形的面积是( )
A. B.
C. D.π
答案：D
解析：由图知，所求面积是圆x2＋y2＝4面积的，
即×π×22＝π.
2.已知动点M到点(8，0)的距离等于点M到点(2，0)的距离的2倍，那么点M的轨迹方程是( )
A.x2＋y2＝32 B.x2＋y2＝16
C.(x－1)2＋y2＝16 D.x2＋(y－1)2＝16
答案：B
解析：设M(x，y)，则M满足＝2，整理得x2＋y2＝16.
3.设某村庄外围成圆形，其所在曲线的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路方程可用x－y＋2＝0表示，则从村庄外围到小路的最短距离是 .
答案：－2
解析：从村庄外围到小路的最短距离为圆心(2，－3)到直线x－y＋2＝0的距离减去圆的半径2，即－2＝－2.
4.一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径长为30 km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它 (填“会”“不会”)受到台风的影响.
答案：不会
解析：如图，以台风中心为原点O，以东西方向为x轴，建立平面直角坐标系，其中，取10 km为单位长度.则台风影响的圆形区域所对应的圆心为O，圆的方程为x2＋y2＝9；轮船航线所在的直线l的方程为4x＋7y－28＝0.可知直线与圆相离，故轮船不会受到台风的影响.
5.已知△ABC的顶点A(0，0)，B(4，0)，且AC边上的中线BD的长为3，则顶点C的轨迹方程是 .
答案：(x－8)2＋y2＝36(y≠0)
解析：设C(x，y)(y≠0)，则D.
因为B(4，0)，且AC边上的中线BD长为3，
所以＋＝9，即(x－8)2＋y2＝36(y≠0).
课时测评26 用坐标方法解决几何问题
(时间：60分钟 满分：125分)
(1—8小题，每小题5分，共40分)
1.如图，圆弧形拱桥的跨度｜AB｜＝12米，拱高｜CD｜＝4米，则拱桥的直径为( )
A.15米 B.13米
C.9米 D.6.5米
答案：B
解析：如图，设圆心为O，半径为r，
则由勾股定理得｜OB｜2＝｜OD｜2＋｜BD｜2，
即r2＝(r－4)2＋62，解得r＝，
所以拱桥的直径为13米.
2.已知点A(－1，1)和圆C：(x－5)2＋(y－7)2＝4，一束光线从A经x轴反射到圆C上的最短路程是( )
A.6－0 B.8
C.4 D.10
答案：B
解析：因为点A关于x轴的对称点A'(－1，－1)，A'与圆心(5，7)的距离为＝10.所以所求最短路程为10－2＝8.
3.已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足｜PA｜＝2｜PB｜，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )
A.π B.4π
C.8π D.9π
答案：B
解析：设动点P的轨迹坐标为(x，y)，则由｜PA｜＝2｜PB｜，知 ＝2，化简得(x－2)2＋y2＝4，得轨迹曲线为以(2，0)为圆心，以2为半径的圆，该圆面积为4π.
4.为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，则DE的最短距离( )
A.6 km B.(4－1) km
C.(4＋1) km D.4 km
答案：B
解析：以O为坐标原点，OB，OC所在的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系(图略)，则圆O的方程为x2＋y2＝1，因为点B(8，0)，C(0，8)，所以直线BC的方程为＋＝1，即x＋y＝8.
当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆相切所成切点处时，DE为最短距离.
此时DE的最小值为－1＝(4－1) km.
所以DE的最短距离为(4－1) km.
5.设某公园外围成圆形，其所在曲线的方程可用x2＋y2－2x＝0表示，在公园外两点A(－2，0)，B(0，2)与公园边上任意一点修建一处舞台，则舞台面积的最小值为( )
A.3－ B.3＋
C.3－ D.
答案：A
解析：lAB：x－y＋2＝0，圆心(1，0)到l的距离d＝＝，
所以AB边上的高的最小值为－1.
所以Smin＝×2＝3－.
6.(多选)从点A(－3，3)发出的光线l射到x轴上被x轴反射后，照射到圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0上，则下列结论正确的是( )
A.若反射光线与圆C相切，则切线方程为3x－4y－3＝0
B.若反射光线穿过圆C的圆心，则反射光线方程为x－y＝0
C.若反射光线照射到圆上后被吸收，则光线经过的最短路程是5－1
D.若反射光线反射后被圆C遮挡，则在x轴上被挡住的范围是
答案：BCD
解析：点A(－3，3)关于x轴的对称点为A'(－3，－3).圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝1，求题意知反射光线的斜率存在，设反射光线方程为y＋3＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－3＝0.由相切知＝1，
解得k＝或k＝.
所以反射光线方程为y＋3＝(x＋3)或y＋3＝(x＋3).
即4x－3y＋3＝0或3x－4y－3＝0，故A错误.
又A'(－3，－3)，C(2，2)的方程为y＝x，故B正确；
因为｜A'C｜＝＝5，所以直线的最短路程为5－1，故C正确.
由于两条与圆C相切的反射光线与x轴的交点为(1，0)和，所以被挡住的范围是，故D正确.
7.设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线且｜PA｜＝1，则P点的轨迹方程是 .
答案：(x－1)2＋y2＝2
解析：设P(x，y)是轨迹上任一点，圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为B(1，0)，
则｜PA｜2＋1＝｜PB｜2，所以(x－1)2＋y2＝2.
8.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区的时间为 h.
答案：1
解析：如图，以A地为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，
则台风中心经过以B(40，0)为圆心，30为半径的圆内时城市B处于危险区，
即B处于危险区时，台风中心在线段MN上，可求得｜MN｜＝20，所以时间为1 h.
9.(10分)如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4，3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的端点B的轨迹方程.
解：设B点坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)，由于点C的坐标是(4，3)且点C是线段AB的中点，所以4＝，3＝，
于是有x0＝8－x ，y0＝6－y.①
因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，
所以点A的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝4，
即(x0＋1)2＋＝4，②
把①代入②，得(8－x＋1)2＋(6－y)2＝4，
整理，得(x－9)2＋(y－6)2＝4.
所以点B的轨迹方程为(x－9)2＋(y－6)2＝4.
10.(10分)已知正方形ABCD，E为对角线BD上任意一点，EF⊥BC，EG⊥CD，F、G为垂足，求证：AE⊥FG.
解：以B为原点，BC、BA分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，
设A点坐标为(0，a)，则C点坐标为(a，0)，D点坐标为(a，a)，
直线BD的方程为y＝x，则设E点坐标为(b，b)(b＜a)，
则F点坐标为(b，0)，G点坐标为(a，b)，
所以直线FG的斜率为kFG＝，直线AE的斜率为kAE＝，
因为kFG·kAE＝－1，所以AE⊥FG.
(11—14小题，每小题5分，共20分)
11.(多选)如图所示，已知直线l的方程是y＝x－4，并且与x轴、y轴分别交于A，B两点，一个半径为1.5的圆C，圆心C从点(0，1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动，当圆C与直线l相切时，该圆运动的时间可以为( )
A.6秒 B.8秒
C.10秒 D.16秒
答案：AD
解析：设当圆与直线l相切时，圆心坐标为(0，m)，
则圆心到直线l的距离为＝，
得m＝－或m＝－，
所以该圆运动的时间为＝6(秒)或＝16(秒).
12.某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB是36 m，拱高OP是6 m，在建造时，每隔3 m需用一个支柱支撑，则支柱A2P2的长为( )
A.(12－24) m B.(12＋24) m
C.(24－12) m D.不确定
答案：A
解析：如图，以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点A，B，P的坐标分别为(－18，0)，(18，0)，(0，6).
设圆拱所在的圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
因为A，B，P在此圆上，故有
故圆拱所在圆的方程是x2＋y2＋48y－324＝0.
将点P2的横坐标x＝6代入上式，
结合图形解得y＝－24＋12.
故支柱A2P2的长为(12－24) m.
13.如图是一公路隧道截面图，下方ABCD是矩形，且AB＝4 m，BC＝8 m，隧道顶APD是一圆弧，拱高OP＝2 m，隧道有两车道EF和FG，每车道宽3.5 m，车道两边留有0.5 m人行道BE和GC，为了行驶安全，车顶与隧道顶端至少有0.6 m的间隙，则此隧道允许通行车辆的限高是 m.(精确到0.01 m，≈7.141)
答案：3.97
解析：建立如图所示的平面直角坐标系xOy，
设弧APD所在圆的圆心坐标为O1(0，b)，半径为r，则其方程为x2＋(y－b)2＝r2.
将P(0，2)，D(4，0)的坐标代入以上方程，
解得b＝－3，r＝5，
故圆O1的方程为x2＋(y＋3)2＝25.
过点E作AD的垂线交AD于点M，延长交弧AD于点N，
将N(－3.5，h)代入圆O1的方程，
解得h≈0.571，即｜MN｜≈0.571，
则｜EN｜≈4＋0.571＝4.571，
从而车辆的限高为4.571－0.6≈3.97 (m).
14.自圆外一点P作圆O：x2＋y2＝1的两条切线PM，PN(M，N为切点)，若∠MPN＝90°，则动点P的轨迹方程是 .
答案：x2＋y2＝2
解析：设点P的坐标为(x，y)，
则｜PO｜＝.
因为∠MPN＝90°，所以四边形OMPN为正方形，
所以｜PO｜＝｜OM｜＝，
所以＝，即x2＋y2＝2.
15.(13分)如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25 km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)
解：如图，以O为坐标原点，东西方向为x轴建立平面直角坐标系，
则A(40，0)，B(0，30)，
圆O的方程为x2＋y2＝252.
直线AB的方程为＋＝1，
即3x＋4y－120＝0.
设点O到直线AB的距离为d，
则d＝＝24＜25，
所以外籍轮船能被海监船监测到.
设监测时间为t，
则t＝＝0.5(h).
16.(15分)如图所示，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区.规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m.经测量，点A位于点O正北方向60 m处，点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸)，tan ∠BCO＝.
(1)求新桥BC的长；
(2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？
解：(1)如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.
由条件知，A(0，60)，C(170，0)，
直线BC的斜率kBC＝－tan ∠BCO＝－.
又因为AB⊥BC，
所以直线AB的斜率kAB＝.
设点B的坐标为(a，b)，
则kBC＝＝－，①
kAB＝＝，②
联立①②解得a＝80，b＝120.
所以｜BC｜＝＝150.
因此新桥BC的长为150 m.
(2)设保护区的边界圆M的半径为r m，｜OM｜＝d m(0≤d≤60).
由条件知，直线BC的方程为y＝－(x－170)，
即4x＋3y－680＝0.
由于圆M与直线BC相切，
故点M(0，d)到直线BC的距离是r，
即r＝＝.
因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，
所以
即
解得10≤d≤35.
故当d＝10时，r＝最大，即圆的面积最大.
所以当｜OM｜＝10 m时，圆形保护区的面积最大.
17.(17分)设有半径长为3 km的圆形村落，甲、乙两人同时从村落中心出发，甲向东前进而乙向北前进，甲离开村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落边界的方向前进，后来恰好与乙相遇.设甲、乙两人的速度都一定，且其速度比为3∶1，问：甲、乙两人在何处相遇？
解：如图所示，以村落中心为坐标原点，以东西方向为x轴，南北方向为y轴建立平面直角坐标系.
设甲向东走到D转向到C恰好与乙相遇，设D点坐标为(a，0)，C点坐标为(0，b)，则CD所在直线的方程为＋＝1(a＞3，b＞3)，乙的速度为v，则甲的速度为3v.依题意，有
所以乙向北前进3.75 km时甲、乙两人相遇.
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