(共51张PPT)
第3章 3.1 椭圆
3.1.2 椭圆的简单几何性质
第1课时 椭圆的简单几何性质
学习目标
1. 掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等简单的几何性质，培养直观想象、数学运算的核心素养.
2. 能利用椭圆的简单几何性质求标准方程，提升数学运算的核心
素养.
任务一 椭圆的几何性质
问题导思
新知构建
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程
___________________
____________________
范围 ________________________ ________________________
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b，0)，B2(b，0)
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
轴长 长轴长＝____，短轴长＝2b
焦点 ________________________ ______________________
焦距 ｜F1F2｜＝____
对称性 对称轴__________，对称中心________
离心率 e＝___________
2a
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
2c
x轴和y轴
(0，0)
(1)椭圆有四个顶点、两个焦点，共六个特殊点，研究椭圆时一定要注意这六个特殊点的位置.
(2)已知椭圆的四个顶点，可以使用几何作图找出其焦点，方法是：以短轴的端点为圆心，a为半径作弧交长轴于两点，这两点就是该椭圆的焦点.
(3)椭圆的离心率e的大小反映椭圆的扁平程度，e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆.
微提醒
典例1
规律方法
用标准方程研究几何性质的步骤
1.将椭圆方程化为标准形式；
2.确定焦点位置；
3.求出a，b，c；
4.写出椭圆的几何性质.
注意：长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c而应是a，b，c的两倍.
√
√
返回
任务二 利用几何性质求椭圆的标准方程
典例2
规律方法
√
√
返回
任务三 椭圆的离心率
典例3
√
(2)已知椭圆的焦距不小于短轴长，则椭圆的离心率的取值范围为_______.
规律方法
返回
随堂评价
√
√
√
返回
课时测评
√
√
√
√
√
√
①
8
√
√
12.如图，底面直径为12 cm的圆柱被与底面成30°的平面所
截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的长轴长为_________，
短轴长为______，离心率为_____.
12 cm
6
返回3.1.2 椭圆的简单几何性质
第1课时 椭圆的简单几何性质
学习目标 1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等简单的几何性质，培养直观想象、数学运算的核心素养. 2.能利用椭圆的简单几何性质求标准方程，提升数学运算的核心素养.
任务一 椭圆的几何性质
问题.观察椭圆＋＝1(a＞b＞0)的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？
提示：范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；对称性：对称轴为x轴，y轴，对称中心为原点；
顶点：A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b).
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0)
范围 －a≤x≤a且 －b≤y≤b －b≤x≤b且 －a≤y≤a
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长 长轴长＝2a，短轴长＝2b
焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 ｜F1F2｜＝2c
对称性 对称轴x轴和y轴，对称中心(0，0)
离心率 e＝(0＜e＜1)
[微提醒] (1)椭圆有四个顶点、两个焦点，共六个特殊点，研究椭圆时一定要注意这六个特殊点的位置.
(2)已知椭圆的四个顶点，可以使用几何作图找出其焦点，方法是：以短轴的端点为圆心，a为半径作弧交长轴于两点，这两点就是该椭圆的焦点.
(3)椭圆的离心率e的大小反映椭圆的扁平程度，e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆.
已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上.
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质.
解：(1)由椭圆C1：＋＝1可得a＝10，b＝8，c＝6，焦点在x轴上，故其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标为(6，0)，(－6，0)，离心率e＝.
(2)椭圆C2：＋＝1，其中a＝10，b＝8，c＝6，焦点在y轴上，
性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；
②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；
③顶点：长轴端点(0，10)，(0，－10)，短轴端点(－8，0)，(8，0)；
④焦点：(0，6)，(0，－6)；
⑤离心率：e＝.
用标准方程研究几何性质的步骤 1.将椭圆方程化为标准形式； 2.确定焦点位置； 3.求出a，b，c； 4.写出椭圆的几何性质. 注意：长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c而应是a，b，c的两倍.
对点练1.椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为( )
A.(±13，0) B.(0，±10)
C.(0，±13) D.(0，±)
答案：D
解析：由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝＝，故焦点坐标为(0，±).
对点练2.椭圆＋＝1与椭圆＋＝1(k＜9)的( )
A.长轴长相等 B.短轴长相等
C.焦距相等 D.离心率相等
答案：C
解析：椭圆＋＝1的长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，离心率为.
椭圆＋＝1(k＜9)的长轴长为2，短轴长为2，
焦距为2＝8，离心率为 .
因此两个椭圆的焦距相等，故选C.
任务二 利用几何性质求椭圆的标准方程
求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)短轴长2，离心率e＝；
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
解：(1)由2b＝2，e＝＝，得b2＝5，＝，a2＝9.
当焦点在x轴上时，所求椭圆的标准方程为＋＝1；
当焦点在y轴上时，所求椭圆的标准方程为＋＝1.
综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(2)依题意可设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0).
如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且｜OF｜＝c，｜A1A2｜＝2b.
所以c＝b＝3.所以a2＝b2＋c2＝18.
故所求椭圆的方程为＋＝1.
利用椭圆的几何性质求标准方程的思路 利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： 1.确定焦点位置； 2.设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)； 3.根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等
对点练3.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案：D
解析：因为椭圆C的右焦点为F(1，0)，所以椭圆的焦点在x轴上，c＝1，又离心率e＝＝，故a＝2，所以b2＝a2－c2＝4－1＝3，故椭圆C的方程为＋＝1.
对点练4.已知椭圆G的中心为坐标原点O，F，B分别为椭圆G的右焦点和短轴端点，点O到直线BF的距离为，若过点F且垂直于椭圆长轴的弦长为2，则椭圆G的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案：C
解析：设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，由已知可得＝，＝2，结合a2＝b2＋c2，解得a＝4，b＝2.故选C.
任务三 椭圆的离心率
(1)若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
(2)已知椭圆的焦距不小于短轴长，则椭圆的离心率的取值范围为 .
答案：(1)A (2)
解析：(1)如图，△BF1F2是正三角形，
因为在Rt△OBF2中，｜OF2｜＝c，｜BF2｜＝a，∠OF2B＝60°，
所以cos 60°＝＝，即椭圆的离心率e＝，故选A.
(2)依题意可得2c≥2b，即c≥b.
所以c2≥b2，从而c2≥a2－c2，
即2c2≥a2，e2＝，所以e≥，
又因为0＜e＜1，
所以椭圆离心率的取值范围是.
求椭圆离心率及范围的两种方法 1.直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解，若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解. 2.方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围.
对点练5.设e是椭圆＋＝1的离心率，且e∈(，1)，则实数k的取值范围是 .
答案：(0，3)∪(，＋∞)
解析：当k＞4时，c2＝k－4，由条件知＜＜1，解得k＞；当0＜k＜4时，c2＝4－k，由条件知＜＜1，解得0＜k＜3.综上，实数k的取值范围为(0，3)∪(，＋∞).
1.椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
A.5，3， B.10，6，
C.5，3， D.10，6，
答案：B
解析：椭圆可变形为＋＝1，所以a＝5，b＝3，所以长轴长为10，短轴长为6，e＝＝.
2.已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为( )
A. B.
C. D.
答案：C
解析：因为a2＝4＋22＝8，所以a＝2，所以e＝＝＝.
3.焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程为( )
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.x2＋＝1
答案：A
解析：依题意，得a＝2，a＋c＝3，故c＝1，b＝＝，故所求椭圆的标准方程是＋＝1.
4.在①离心率e＝，②椭圆C过点，③△PF1F2面积的最大值为，这三个条件中任选一个，补充在下面横线处，解答下列问题.
设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，已知椭圆C的短轴长为2， ，求椭圆C的方程.
解：选①，由题意可得
所以所求椭圆C的方程为＋＝1.
选②，由题意可得
所以所求椭圆C的方程为＋＝1.
选③，由题意可得
解得
所以所求椭圆C的方程为＋＝1.
课时测评28 椭圆的简单几何性质
(时间：60分钟 满分：110分)
(1—8小题，每小题5分，共40分)
1.椭圆9x2＋25y2＝225上的点P(x，y)的横、纵坐标的范围分别为( )
A.｜x｜≤3，｜y｜≤5 B.｜x｜≤，｜y｜≤
C.｜x｜≤5，｜y｜≤3 D.｜x｜≤，｜y｜≤
答案：C
解析：椭圆的标准方程为＋＝1，故｜x｜≤5，｜y｜≤3.
2.已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为( )
A.(－3，0) B.(－4，0)
C.(－10，0) D.(－5，0)
答案：D
解析：因为圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝1，所以圆心坐标为(3，0)，所以c＝3.又b＝4，所以a＝＝5.因为椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的左顶点为(－5，0).
3.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)和直线l：＋＝1，若过C的左焦点和下顶点的直线与l平行，则椭圆C的离心率为( )
A. B.
C. D.
答案：A
解析：已知过C的左焦点和下顶点的直线与l平行，且直线l的斜率为－，则＝，又b2＋c2＝a2，所以e＝＝.
4.(多选)已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长为8，离心率为，则此椭圆的标准方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案：AB
解析：因为a＝4，e＝，
所以c＝3，所以b2＝a2－c2＝16－9＝7.
因为焦点的位置不确定，
所以椭圆的标准方程是＋＝1或＋＝1.
5.从椭圆的长轴的一个端点看短轴的两个端点的视角为60°，那么此椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解析：因为椭圆的长轴为A1A2，B为短轴一端点，
所以∠CA2B＝60°，
所以b＝a，
即3b2＝a2，
又a2－c2＝b2，
所以2a2＝3c2，
解得e＝＝.
故选B.
6.若焦点在y轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为 .
答案：
解析：因为焦点在y轴上，所以0＜m＜2，a＝，c＝.
所以e＝＝，所以m＝.
7.比较椭圆①x2＋9y2＝36与②＋＝1的形状，则 更扁(填序号).
答案：①
解析：x2＋9y2＝36化为标准方程为＋＝1，故离心率e1＝＝；＋＝1的离心率e2＝，因为e1＞e2，故①更扁.
8.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F(－2，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的长轴长为 ，其标准方程是 .
答案：8 ＋＝1
解析：已知椭圆中心在原点，一个焦点为F(－2，0)，且长轴长是短轴长的2倍，
可得
所以可得a＝4，2a＝8.
所以＋＝1为椭圆的标准方程.
9.(10分)(1)求与椭圆＋＝1有相同的焦点，且离心率为的椭圆的标准方程；
(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6，0)，(6，0)，求焦点在x轴上的椭圆的标准方程.
解：(1)因为c＝＝，焦点在x轴上，
所以所求椭圆的焦点为(－，0)，(，0).
设所求椭圆的方程为
＋＝1(a＞b＞0).
因为e＝＝，c＝，
所以a＝5，b2＝a2－c2＝20，
所以所求椭圆的方程为＋＝1.
(2)因椭圆的焦点在x轴上，
设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，
因为2c＝8，所以c＝4，
又a＝6，所以b2＝a2－c2＝20.
所以椭圆的方程为＋＝1.
10.(13分)已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m＞0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标.
解：椭圆方程可化为＋＝1，
由m＞0，易知m＞，
所以a2＝m，b2＝.
所以c＝＝.
由e＝，得 ＝，解得m＝1，
所以椭圆的标准方程为x2＋＝1.
所以a＝1，b＝，c＝.
所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1，
两焦点坐标分别为
F1，F2，
顶点坐标分别为A1(－1，0)，A2(1，0)，
B1，B2.
(11—13小题，每小题5分，共15分)
11.(多选)如图，两个椭圆＋＝1，＋＝1内部重叠区域的边界记为曲线C，P是曲线C上的任意一点，下列四个判断中正确命题为( )
A.P到F1(－4，0)，F2(4，0)，E1(0，－4)，E2(0，4)四点的距离之和为定值
B.曲线C关于直线y＝x，y＝－x均对称
C.曲线C所围区域面积必小于36
D.曲线C总长度不大于6π
答案：BC
解析：逐一考查所给的说法：
考虑点P不是交点的情况，若点P在椭圆＋＝1上，P到F1(－4，0)，F2(4，0)两点的距离之和为定值，到E1(0，－4)，E2(0，4)两点的距离之和不为定值，故A错；两个椭圆关于直线y＝x，y＝－x均对称，曲线C关于直线y＝x，y＝－x的均对称，故B正确；曲线C所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故C正确；曲线C所围区域在半径为3的圆外部，所以曲线的总长度大于圆的周长6π，故D错误.故选BC.
12.如图，底面直径为12 cm的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的长轴长为 ，短轴长为 ，离心率为 .
答案：8 cm 12 cm
解析：由题图知短轴长等于底面直径12 cm，长轴长为＝8(cm)，则c2＝(4)2－62＝12，
所以c＝2，所以离心率e＝＝.
13.若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为 .
答案：6
解析：由题意，F(－1，0)，设点P(x0，y0)，则有＋＝1，解得＝3，因为＝(x0＋1，y0)，＝(x0，y0)，
所以·＝x0(x0＋1)＋
＝x0(x0＋1)＋3＝＋x0＋3.
此二次函数对应的拋物线的对称轴为
x0＝－2.
因为－2≤x0≤2.
所以当x0＝2时，·＋2＋3＝6.
14.(15分)已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，求该椭圆的离心率.
解：根据椭圆的对称性，不妨设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，左、右焦点坐标分别为F1(－c，0)，F2(c，0).
依题意设点A坐标为，则点B坐标为 ，所以｜AB｜＝.
由△ABF2是正三角形得2c＝，即b2＝2ac.
又因为b2＝a2－c2，所以a2－c2－2ac＝0，两边同除以a2，得＋2·－＝0，即e2＋2e－＝0，解得e＝＝.
15.(17分)已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F(－2，0)，且长轴长与短轴长的比是2∶.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点M(m，0)在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点，当｜｜最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围.
解：(1)由题意知
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设P(x0，y0)，且＋＝1，
所以｜｜2＝(x0－m)2＋
＝－2mx0＋m2＋12＝－2mx0＋m2＋12＝(x0－4m)2－3m2＋12.所以｜｜2为关于x0的二次函数，开口向上，对称轴为4m.由题意知，当x0＝4时，最小，所以4m≥4，所以m≥1.
又点M(m，0)在椭圆长轴上，
所以1≤m≤4.
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