3.1 椭圆
3.1.1 椭圆的标准方程
学习目标 1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，培养数学抽象的核心素养. 2.掌握椭圆的定义和标准方程，提升逻辑推理的核心素养. 3.会求椭圆的标准方程，提升数学运算的核心素养.
任务一 椭圆的定义及标准方程
问题1.取一条定长的细线，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？ 在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？
提示：椭圆，笔尖到两个定点的距离的和等于常数.
问题2.观察椭圆的形状，你认为怎样建立平面直角坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？
提示：观察可以发现椭圆具有对称性，而且过两焦点的直线是它的对称轴，所以我们以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，如图所示，此时，椭圆的焦点分别为F1(－c，0)和F2(c，0).
根据椭圆的定义，设M与焦点F1，F2的距离的和等于2a.由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集P＝{M｜｜MF1｜＋｜MF2｜＝2a}.因为｜MF1｜＝，｜MF2｜＝，
所以＋＝2a.①
为了化简方程①，我们将其左边一个根式移到右边，得＝2a－.②
对方程②两边平方，得
(x＋c)2＋y2＝4a2 －4a＋(x－c)2＋y2，
整理，得a2－cx＝a，③
对方程③两边平方，得
a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2，
整理，得(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)，④
将方程④两边同除以a2(a2－c2)，
得＋＝1，⑤
由椭圆的定义可知2a＞2c＞0 ，即a＞c＞0，
所以a2－c2＞0.
令b＝，那么方程⑤就是＋＝1(a＞b＞0).⑥
我们将方程⑥称为焦点在x轴上的椭圆方程.
问题3.如图，如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分别是(0，－c)，(0，c)，a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？
提示：＋＝1(a＞b＞0).
1.椭圆的定义
平面上到与两个定点F1，F2的距离之和为常数(大于｜F1F2｜)的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点之间的距离｜F1F2｜叫作焦距.
2.椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准 方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0)
图形
焦点 坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c 的关系 c2＝a2－b2
(多选)平面上，动点M满足以下条件，其中M的轨迹为椭圆的是( )
A.M到两定点，的距离之和为4
B.M到两定点，的距离之和为6
C.M到两定点，的距离之和为6
D.M到两定点，的距离之和为8
答案：BD
解析：因为两定点，的距离为4＜6，所以选项A不符合椭圆定义，选项B符合椭圆定义；因为两定点，的距离为6＜8，所以选项C不符合椭圆定义，选项D符合.故选BD.
在椭圆定义中，要求常数必须大于两定点F1，F2之间的距离，这是椭圆定义中非常重要的一个条件，可以验证：如果这个常数等于两定点F1，F2之间的距离，动点的轨迹将是一条线段；如果这个常数小于两定点F1，F2之间的距离，动点的轨迹将不存在.因此在根据椭圆定义判断动点的轨迹时，务必注意这一隐含的条件.
对点练1.(1)设P(x，y)满足＋＝10，则P点的轨迹为( )
A.圆 B.椭圆
C.线段 D.不存在
(2)平面内一点M到两定点F1，F2 的距离之和等于12，则点M的轨迹是 .
答案：(1)B (2)线段F1F2
解析：(1)因为＋＝10表示P(x，y)到定点F1，F2的距离之和为10，即＋＝10＞＝8，所以P点的轨迹为椭圆.故选B.
(2)由题意知＋＝12，且＝12，故＋＝＝12， 所以点M的轨迹是线段F1F2.
求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)；
(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭圆经过点；
(3)经过点P，Q.
解：(1)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0).
又椭圆经过点(0，2)和(1，0)，
所以
所以所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.
(2)因为椭圆的焦点在y轴上，
所以设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，
由椭圆的定义知，
2a＝＋＝2，
即a＝，
又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(3)法一：①当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0).
依题意，有
由a＞b＞0，知不合题意，故舍去；
②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为
＋＝1(a＞b＞0).
依题意，有
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二：设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n).
则
所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1，
故椭圆的标准方程为＋＝1.
确定椭圆标准方程的方法 1.“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式. 2.“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程(组)求解.
对点练2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过两点(2，－)，；
(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点.
解：(1)法一：(分类讨论法)若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0).
由已知条件得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0).
由已知条件得
则a2＜b2，与题设中a＞b＞0矛盾，舍去.
综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二：(待定系数法)设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B).
将两点(2，－)，代入，
得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0).
因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①
又点(，－)在椭圆上，所以＋＝1，即＋＝1.②
由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
任务二 椭圆定义的应用
已知P为椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积.
解：由已知得a＝2，b＝，
所以c＝＝＝3，
从而｜F1F2｜＝2c＝6，
在△F1PF2中，
｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜·｜PF2｜cos 60°，
即36＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－｜PF1｜·｜PF2｜.①
由椭圆的定义得｜PF1｜＋｜PF2｜＝4，
即48＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2＋2｜PF1｜·｜PF2｜.②
由①②得｜PF1｜·｜PF2｜＝4.
所以＝｜PF1｜·｜PF2｜·sin 60°＝.
[变式探究]
若将本例中“∠F1PF2＝60°”变为“∠PF1F2＝90°”，求△F1PF2的面积.
解：由已知得a＝2，b＝，所以c＝＝＝3.
从而｜F1F2｜＝2c＝6.
在△F1PF2中，由勾股定理可得｜PF2｜2＝｜PF1｜2＋｜F1F2｜2，即｜PF2｜2＝｜PF1｜2＋36，
又由椭圆定义知｜PF1｜＋｜PF2｜＝2×2＝4，
所以｜PF2｜＝4－｜PF1｜.
从而有(4－｜PF1｜)2＝｜PF1｜2＋36，解得｜PF1｜＝.
所以△F1PF2的面积S＝·｜PF1｜·｜F1F2｜＝×6＝，
即△F1PF2的面积是.
椭圆定义的应用技巧 1.椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化. 2.椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形，可以利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解.
对点练3.设P为椭圆C：＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，若｜PF1｜∶｜PF2｜＝3∶4，那么△GPF1的面积为( )
A.24 B.12
C.8 D.6
答案：C
解析：因为P为椭圆C：＋＝1上一点，｜PF1｜∶｜PF2｜＝3∶4，｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝14，
所以｜PF1｜＝6，｜PF2｜＝8.
又｜F1F2｜＝2c＝2＝10，
所以易知△PF1F2是直角三角形，＝｜PF1｜·｜PF2｜＝24.
因为△PF1F2的重心为点G， 所以＝3，
所以△GPF1的面积为8.
任务三 与椭圆有关的轨迹问题
(1)已知B，C是两个定点，｜BC｜＝8，且△ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程；
(2)已知P是椭圆＋＝1上一动点，O为坐标原点，求线段OP的中点Q的轨迹方程.
解：(1)以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，如图所示.
由｜BC｜＝8，可知点B(－4，0)，C(4，0)，
由｜AB｜＋｜AC｜＋｜BC｜＝18，｜BC｜＝8，得｜AB｜＋｜AC｜＝10，
因此，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和为2a＝10，c＝4，但点A不在x轴上.
由a＝5，c＝4，得b2＝a2－c2＝25－16＝9，
所以点A的轨迹方程为＋＝1(y≠0).
(2)设Q(x，y)，P(x0，y0)，由Q是线段OP的中点知，x0＝2x，y0＝2y.
又＋＝1，所以＋＝1，即x2＋＝1，所以点Q的轨迹方程为x2＋＝1.
解决与椭圆有关的轨迹问题的两种方法 1.定义法：用定义法求椭圆方程的思路是先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可. 2.相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法. 注意：相关点法求轨迹问题的四步曲为：设点、求关系式、代换、得方程.
对点练4.已知x轴上一定点A(1，0)，Q为椭圆＋y2＝1上任一点，求线段AQ的中点M的轨迹方程.
解：设中点M的坐标为(x，y)，点Q的坐标为(x0，y0)，
利用中点坐标公式，得
所以
因为点Q(x0，y0)在椭圆＋y2＝1上，
所以＋＝1.
将x0＝2x－1，y0＝2y代入上式，得＋(2y)2＝1.
故线段AQ的中点M的轨迹方程是(x－)2＋4y2＝1.
1.设F1，F2为定点，｜F1F2｜＝6，动点M满足｜MF1｜＋｜MF2｜＝6，则动点M的轨迹是( )
A.椭圆 B.直线
C.圆 D.线段
答案：D
解析：因为｜MF1｜＋｜MF2｜＝6＝｜F1F2｜，
所以动点M的轨迹是线段.
2.已知椭圆的焦点为(－1，0)和(1，0)，点P(2，0)在椭圆上，则椭圆的方程为( )
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋x2＝1
答案：A
解析：c＝1，由点P(2，0)在椭圆上，可得a＝2，b2＝3，
所以椭圆的方程为＋＝1.
3.(多选)已知在平面直角坐标系中，点A，B(3，0)，点P为一动点，且＋＝2a，则下列说法中正确的是( )
A.当a＝2时，点P的轨迹不存在
B.当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3
C.当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6
D.当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆
答案：AC
解析：对于A，2a＝4＜，故点P的轨迹不存在，故A正确；对于B、C，2a＝8＞，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为＝6，故B错误，C正确；对于D，2a＝6＝，故点P的轨迹为线段AB，故D错误.故选AC.
4.已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )
A.2 B.6
C.4 D.12
答案：C
解析：设在BC边上的另一个焦点为F，利用椭圆的定义，｜BA｜＋｜BF｜＝2，｜CA｜＋｜CF｜＝2，便可求得△ABC的周长为4.
课时测评27 椭圆的标准方程
(时间：60分钟 满分：110分)
(1—8小题，每小题5分，共40分)
1.已知A，B，动点C满足＋＝10，则点C的轨迹是( )
A.椭圆 B.直线
C.线段 D.点
答案：C
解析：因为A，B，所以＋＝10＝，知点C的轨迹是线段AB.故选C.
2.已知椭圆过点P和点Q，则此椭圆的标准方程是( )
A.＋x2＝1 B.＋y2＝1或x2＋＝1
C.＋y2＝1 D.以上都不对
答案：A
解析：设椭圆方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)，
由题意得
所以此椭圆的标准方程为＋x2＝1.
3.已知F1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，若｜AB｜＝5，则｜AF1｜＋｜BF1｜等于( )
A.9 B.10
C.11 D.12
答案：C
解析：根据椭圆定义，｜AF1｜＋｜AF2｜＝2a＝8，｜BF1｜＋｜BF2｜＝2a＝8，
所以△AF1B的周长为｜AF1｜＋｜BF1｜＋｜AB｜＝16，
所以｜AF1｜＋｜BF1｜＝16－｜AB｜＝11.
4.“2＜m＜6”是“方程＋＝1为椭圆”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案：B
解析：若方程＋＝1表示椭圆，
则解得2＜m＜6且m≠4，
所以“2＜m＜6”是“方程＋＝1为椭圆”的必要不充分条件.
5.设P为椭圆＋＝1上的任意一点，F1，F2为其上、下焦点，则｜PF1｜·｜PF2｜的最大值是( )
A.4 B.6
C.9 D.12
答案：C
解析：｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝6，｜PF1｜·｜PF2｜≤＝9，
当且仅当｜PF1｜＝｜PF2｜时取等号.
6.P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若｜PF1｜·｜PF2｜＝12，则∠F1PF2的大小为( )
A.60° B.30°
C.120° D.150°
答案：A
解析：由椭圆的定义得
｜PF1｜＋｜PF2｜＝8，｜F1F2｜＝2，
所以(｜PF1｜＋｜PF2｜)2＝64，
因为｜PF1｜·｜PF2｜＝12，所以｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝40，
在△F1PF2中，cos∠F1PF2＝＝，
因为0°＜∠F1PF2＜180°，
所以∠F1PF2＝60°.
7.已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为 .
答案：＋x2＝1
解析：由已知2a＝8，2c＝2，所以a＝4，c＝，
所以b2＝a2－c2＝16－15＝1.
又椭圆的焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为＋x2＝1.
8.已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合.若点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则 ｜AN｜＋｜BN｜＝ .
答案：12
解析：如图，取MN的中点G，G在椭圆C上，
因为点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，
故有｜GF1｜＝｜AN｜，｜GF2｜＝｜BN｜，
所以｜AN｜＋｜BN｜＝2(｜GF1｜＋｜GF2｜)＝4a＝12.
9.(13分)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过点P作焦点所在的坐标轴的垂线，垂足恰好为椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程.
解：设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，
不妨取｜PF1｜＝，｜PF2｜＝，
由椭圆的定义，知2a＝｜PF1｜＋｜PF2｜＝2，
即a＝.
由｜PF1｜＞｜PF2｜知，PF2垂直于焦点所在的坐标轴.
在Rt△PF2F1中，4c2＝｜PF1｜2－｜PF2｜2＝，
所以c2＝，所以b2＝a2－c2＝.
又所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
10.(15分)已知椭圆M与椭圆N：＋＝1有相同的焦点，且椭圆M过点.
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标.
解：(1)由题意，知椭圆N的焦点为(－2，0)，(2，0)，
设椭圆M的方程为＋＝1(a＞b＞0)，
则化简并整理得5b4＋11b2－16＝0，
故b2＝1或b2＝－(舍去)，a2＝5，
故椭圆M的标准方程为＋y2＝1.
(2)由(1)知F1(－2，0)，F2(2，0)，
设P(x0，y0)，则△PF1F2的面积为×4×｜y0｜＝1，解得y0＝±.
又＋＝1，
所以＝，x0＝±，
所以点P有4个，它们的坐标分别为，，，.
(11—14小题，每小题5分，共20分)
11.椭圆＋＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为( )
A.± B.±
C.± D.±
答案：D
解析：因为线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点(F2为椭圆的另一个焦点)，
所以PF2⊥x轴，所以点P的横坐标是±3，
因为点P在椭圆上，所以＋＝1，即y2＝，所以y＝±.
所以点M的纵坐标为±.
12.设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是圆A：(x＋4)2＋y2＝1和圆B：(x－4)2＋y2＝1上的点，则｜PM｜＋｜PN｜的最小值、最大值分别为( )
A.9，12 B.8，11
C.8，12 D.10，12
答案：C
解析：如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆的定义知｜PA｜＋｜PB｜＝2a＝10，连接PA，PB，分别与左、右两圆相交于M，N两点，此时｜PM｜＋｜PN｜最小，最小值为｜PA｜＋｜PB｜－2r＝8.延长PA，PB，分别与左、右两圆相交于M'，N'两点，此时｜PM｜＋｜PN｜最大，最大值为｜PA｜＋｜PB｜＋2r＝12，即最小值和最大值分别为8，12.
13.若椭圆3x2－ty2＝6的一个焦点为F(0，2)，则实数t＝ .
答案：－1
解析：椭圆3x2－ty2＝6的标准方程为＋＝1，
因为其一个焦点为F(0，2)，所以a2＝－，b2＝2，
所以－－2＝4，解得t＝－1.
14.在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－3，0)和C(3，0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则＝ .
答案：
解析：由椭圆的方程得a＝5，b＝4，c＝3.
因为△ABC的顶点A(－3，0)和C(3，0)，顶点B在椭圆＋＝1上，
所以｜BC｜＋｜AB｜＝2a＝10，
所以由正弦定理可知＝＝＝.
15.(5分)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点.若｜AF2｜＝｜BF2｜，｜BF1｜＝2｜BF2｜，则椭圆C的方程为 .
答案：＋＝1
解析：设｜BF2｜＝2m，则｜AF2｜＝3m，｜BF1｜＝4m，
由椭圆定义知｜BF1｜＋｜BF2｜＝｜AF1｜＋｜AF2｜＝6m，
所以｜AF1｜＝6m－3m＝3m，
所以｜AF1｜＝｜AF2｜，
故点A为椭圆的上(下)顶点，设A(0，±b)，
由＝，得B，又点B在椭圆上，故＋＝1，
解得a2＝5，又由c＝1，可得b＝2，
故椭圆的方程为＋＝1.
16.(17分)设F1，F2分别是椭圆 ＋y2＝1的两焦点，B为椭圆上的点且坐标为(0，－1).
(1)若P是该椭圆上的一个动点，求｜PF1｜·｜PF2｜的最大值；
(2)设M是该椭圆上的一个动点，求△MBF1的周长的最大值.
解：(1)因为椭圆的方程为 ＋y2＝1，所以a＝2，b＝1，c＝，即｜F1F2｜＝2 ，
又因为｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝4，
所以｜PF1｜·｜PF2｜≤ 2 ＝ 2 ＝4.
当且仅当｜PF1｜＝｜PF2｜＝2时取等号，
所以｜PF1｜·｜PF2｜的最大值为4.
(2)因为｜MF1｜＋｜MB｜＝4－｜MF2｜＋｜MB｜≤4＋｜BF2｜，
所以△MBF1的周长≤4＋｜BF2｜＋｜BF1｜＝8，
所以当M点位于直线BF2与椭圆的交点处时，△MBF1的周长最大，最大值为8.
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第3章 3.1 椭圆
3.1.1 椭圆的标准方程
学习目标
1. 了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，培养数学抽象的核心素养.
2. 掌握椭圆的定义和标准方程，提升逻辑推理的核心素养.
3. 会求椭圆的标准方程，提升数学运算的核心素养.
任务一 椭圆的定义及标准方程
问题1.取一条定长的细线，把它的两端都固定在图板
的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔
尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开
一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2，套上铅
笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？ 在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？
提示：椭圆，笔尖到两个定点的距离的和等于常数.
问题导思
问题2.观察椭圆的形状，你认为怎样建立平面直角坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？
提示：观察可以发现椭圆具有对称性，而且过两焦点
的直线是它的对称轴，所以我们以经过椭圆两焦点F1，
F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立
平面直角坐标系Oxy，如图所示，此时，椭圆的焦点
分别为F1(－c，0)和F2(c，0).
1.椭圆的定义
平面上到与两个定点F1，F2的距离之和为__________________的点的轨迹叫作椭圆，这____________F1，F2叫作椭圆的焦点，__________________
____________叫作焦距.
新知构建
常数(大于｜F1F2｜)
两个定点
两个焦点之间的
距离｜F1F2｜
2.椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程
___________________
____________________
图形
焦点坐标 ________________________ ________________________
a，b，c的关系 c2＝________
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a2－b2
典例1
√
√
规律方法
在椭圆定义中，要求常数必须大于两定点F1，F2之间的距离，这是椭圆定义中非常重要的一个条件，可以验证：如果这个常数等于两定点F1，F2之间的距离，动点的轨迹将是一条线段；如果这个常数小于两定点F1，F2之间的距离，动点的轨迹将不存在.因此在根据椭圆定义判断动点的轨迹时，务必注意这一隐含的条件.
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线段F1F2
典例2
规律方法
确定椭圆标准方程的方法
1.“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式.
2.“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程(组)求解.
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任务二 椭圆定义的应用
典例3
规律方法
椭圆定义的应用技巧
1.椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化.
2.椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形，可以利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解.
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任务三 与椭圆有关的轨迹问题
典例4
规律方法
解决与椭圆有关的轨迹问题的两种方法
1.定义法：用定义法求椭圆方程的思路是先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可.
2.相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法.
注意：相关点法求轨迹问题的四步曲为：设点、求关系式、代换、得方程.
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随堂评价
1.设F1，F2为定点，｜F1F2｜＝6，动点M满足｜MF1｜＋｜MF2｜＝6，则动点M的轨迹是
A.椭圆 B.直线
C.圆 D.线段
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因为｜MF1｜＋｜MF2｜＝6＝｜F1F2｜，
所以动点M的轨迹是线段.
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课时测评
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根据椭圆定义，｜AF1｜＋｜AF2｜＝2a＝8，｜BF1｜＋｜BF2｜＝2a＝8，
所以△AF1B的周长为｜AF1｜＋｜BF1｜＋｜AB｜＝16，
所以｜AF1｜＋｜BF1｜＝16－｜AB｜＝11.
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12
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如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆
的两个焦点，由椭圆的定义知｜PA｜＋｜PB｜＝
2a＝10，连接PA，PB，分别与左、右两圆相交于
M，N两点，此时｜PM｜＋｜PN｜最小，最小值
为｜PA｜＋｜PB｜－2r＝8.延长PA，PB，分别与左、右两圆相交于M'，N'两点，此时｜PM｜＋｜PN｜最大，最大值为｜PA｜＋｜PB｜＋2r＝12，即最小值和最大值分别为8，12.
13.若椭圆3x2－ty2＝6的一个焦点为F(0，2)，则实数t＝______.
－1
设｜BF2｜＝2m，则｜AF2｜＝3m，｜BF1｜＝4m，
由椭圆定义知｜BF1｜＋｜BF2｜＝｜AF1｜＋｜AF2｜＝6m，
所以｜AF1｜＝6m－3m＝3m，
所以｜AF1｜＝｜AF2｜，
故点A为椭圆的上(下)顶点，设A(0，±b)，
(2)设M是该椭圆上的一个动点，求△MBF1的周长的最大值.
解：因为｜MF1｜＋｜MB｜＝4－｜MF2｜＋｜MB｜≤4＋｜BF2｜，
所以△MBF1的周长≤4＋｜BF2｜＋｜BF1｜＝8，
所以当M点位于直线BF2与椭圆的交点处时，△MBF1的周长最大，最大值为8.
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