第2课时 抛物线的标准方程及其性质的应用
学习目标 1.掌握直线与抛物线的位置关系. 2.会解决与抛物线有关的焦点弦、中点弦问题. 3.通过直线与抛物线的位置关系、焦点弦和中点弦等问题的学习，提升逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养.
应用一 直线与抛物线的位置关系
已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点.
解：联立消去y，
得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)
当k＝0时，(*)式只有一个解x＝，
所以直线l与C只有一个公共点，
此时直线l平行于x轴.
当k≠0时，(*)式是一个一元二次方程，
Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k).
①当Δ＞0，即k＜1，且k≠0时，
l与C有两个公共点，此时直线l与C相交；
②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；
③当Δ＜0，即k＞1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离.
综上所述，当k＝1或0时，l与C有一个公共点；
当k＜1，且k≠0时，l与C有两个公共点；
当k＞1时，l与C没有公共点.
直线与抛物线的位置关系的判断方法 设直线l：y＝kx＋b，抛物线：y2＝2px(p＞0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得：k2x2＋(2kb－2p)x＋b2＝0. 1.若k2＝0，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. 2.若k2≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ＜0时，直线与抛物线相离，无交点.
对点练1.已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－2，0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是 .
答案：[－1，1]
解析：由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y并整理，得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，显然满足题意；
当k≠0时，Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k＜0或0＜k≤1.因此直线l的斜率的取值范围是[－1，1].
应用二 弦长问题
已知抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且｜AB｜＝p，求AB所在的直线方程.
解：由题意知焦点F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
若AB⊥x轴，则｜AB｜＝2p≠p，不满足题意.
所以直线AB的斜率存在，设为k，
则直线AB的方程为y＝k，k≠0.
由消去x，整理得ky2－2py－kp2＝0.
由根与系数的关系得y1＋y2＝，y1y2＝－p2.
所以｜AB｜＝
＝·＝2p＝p，解得k＝±2.
所以AB所在的直线方程为2x－y－p＝0或2x＋y－p＝0.
[变式探究]
若本例条件不变，求弦AB的中点M到y轴的距离.
解：如图，过A，B，M分别作准线x＝－的垂线交准线于点C，D，E.
由定义知｜AC｜＋｜BD｜＝p，
则梯形ABDC的中位线｜ME｜＝p，
所以点M到y轴的距离为p－＝p.
求弦长问题的方法 1.一般弦长：｜AB｜＝｜x1－x2｜，或｜AB｜＝｜y1－y2｜. 2.焦点弦长：设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则｜AB｜＝x1＋x2＋p.注意点：(1)x1·x2＝.(2)y1·y2＝－p2.(3)｜AB｜＝x1＋x2＋p＝ (α是直线AB的倾斜角).(4)＋＝为定值(F是抛物线的焦点).
对点练2.已知y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A，B两点.
(1)若｜AB｜＝10，求实数m的值；
(2)若OA⊥OB，求实数m的值.
解：由
得x2＋(2m－8)x＋m2＝0.
由Δ＝(2m－8)2－4m2＝64－32m＞0，得m＜2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝8－2m，x1x2＝m2，
y1y2＝m(x1＋x2)＋x1x2＋m2＝8m.
(1)因为｜AB｜＝·
＝·＝10，
所以m＝，经检验符合题意.
(2)因为OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝m2＋8m＝0，
解得m＝－8或m＝0(舍去).
所以m＝－8，经检验符合题意.
应用三 抛物线焦点弦的常用结论的应用
抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦的常用结论
如图所示，AB是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，点F是焦点，直线AB的倾斜角为θ，准线l交x轴于点N，过A，B分别作准线l的垂线AC，BD，垂足分别为C，D.连接AN，BN，CF，DF，AO，BO.
则有：(1)｜AF｜＝x1＋＝，｜BF｜＝x2＋＝，｜AB｜＝x1＋x2＋p＝.
(2)＋＝.
(3)S△AOB＝.
(4)以AB为直径的圆与准线l相切，以AF、BF为直径的圆与y轴相切.
(5)∠CFD＝90°.
(6)y1y2＝－p2，x1x2＝.
(1)(一题多解)已知抛物线y2＝8x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，若｜AF｜＝6，则｜BF｜＝( )
A.1 B.2
C.3 D.4
(2)已知抛物线C的方程为y2＝2px，若倾斜角为锐角的直线l过抛物线的焦点F，与抛物线交于A，B两点，且＝3，则直线l的倾斜角为 .
答案：(1)C (2)60°
解析：(1)法一：由题意知p＝4.因为抛物线过焦点的弦满足＋＝，又｜AF｜＝6，所以｜BF｜＝3.故选C.
法二：由题意知抛物线的焦点为F(2，0)，准线方程为x＝－2.因为｜AF｜＝6，所以xA＝4.不妨设点A在第一象限，则yA＝4，所以kAF＝＝2，故直线AB的方程为y＝2x－4.联立整理得x2－5x＋4＝0，所以xA＋xB＝5，所以xB＝1，所以｜BF｜＝xB＋2＝3.故选C.
(2)如图所示，直线m为抛物线的准线，过点A，B分别作AM，BN垂直于m，作BE⊥AM.因为＝，＝，且＝3，所以＝3，则＝4，＝－＝3｜BF｜－｜BF｜＝2.在△ABE中，所以cos∠BAE＝＝＝，则∠BAE＝60°，即直线l的倾斜角为60°.
对点练3.(多选)已知抛物线y2＝2px经过点M，其焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于点A，B，设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，则下列结论正确的是( )
A.p＝2 B.≥4
C.·＝－4 D.k1k2＝－4
答案：ABD
解析：因为抛物线y2＝2px经过点M，所以22＝2p，解得p＝2，故A正确；所以抛物线方程为y2＝4x，则焦点F，设直线l：x＝my＋1，联立消去x整理得y2－4my－4＝0，则Δ＝16m2＋16＞0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，则x1＋x2＝m＋2＝4m2＋2，x1x2＝＝m2y1y2＋m＋1＝1.所以＝x1＋x2＋2＝4m2＋4≥4，故B正确；对于C，所以＝，＝，所以·＝x1x2＋y1y2＝－3，故C错误；对于D，k1k2＝·＝－4，故D正确.故选ABD.
1.动点P(x，y)到点F(3，0)的距离比它到直线x＋4＝0的距离小1，则动点的轨迹是( )
A.椭圆 B.双曲线
C.双曲线的一支 D.抛物线
答案：D
解析：依题意可知动点P(x，y)在直线x＋4＝0的右侧，
设P到直线x＋4＝0的距离为d，则｜PF｜＝d－1，
所以动点P到F(3，0)的距离与到x＋3＝0的距离相等，其轨迹为抛物线.
2.已知直线l与抛物线x2＝2py(p＞0)只有一个交点，则直线l与抛物线的位置关系是( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.相交或相切
答案：D
解析：当直线l与y轴平行或重合时，直线l与抛物线x2＝2py(p＞0)有一个交点，此时直线l与抛物线是相交的.当直线l的斜率存在，直线l与抛物线x2＝2py(p＞0)只有一个交点时，直线l与抛物线相切.
3.若直线x－y＝2与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是 .
答案：(4，2)
解析：由
得x2－8x＋4＝0，Δ＞0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝8，y1＋y2＝x1＋x2－4＝4，
故线段AB的中点坐标为(4，2).
4.直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝ .
答案：0或1
解析：当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点，
当k≠0时，联立方程消去y，得k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，
由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，
所以k＝1.
综上，k＝0或1.
课时测评35 抛物线的标准方程及其性质的应用
(时间：60分钟 满分：110分)
(1—8小题，每小题5分，共40分)
1.顶点在原点，焦点为F的抛物线的标准方程是( )
A.y2＝x B.y2＝3x
C.y2＝6x D.y2＝－6x
答案：C
解析：顶点在原点，焦点为F的抛物线的标准方程可设为y2＝2px(p＞0)，由题意知＝，故p＝3.因此，所求抛物线的标准方程为y2＝6x.
2.过抛物线x2＝4y的焦点F作直线l交抛物线于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若y1＋y2＝6，则｜P1P2｜＝( )
A.5 B.6
C.8 D.10
答案：C
解析：抛物线x2＝4y的准线为y＝－1，因为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点是过抛物线焦点的直线l与抛物线的交点，所以P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点到准线的距离分别是y1＋1，y2＋1，所以｜P1P2｜＝y1＋y2＋2＝8.故选C.
3.与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程为( )
A.2x－y＋3＝0 B.2x－y－3＝0
C.2x－y＋1＝0 D.2x－y－1＝0
答案：D
解析：设切线方程为2x－y＋m＝0，联立得x2－2x－m＝0.由Δ＝4＋4m＝0，得m＝－1，所以切线方程为2x－y－1＝0.故选D.
4.在同一平面直角坐标系中，方程9x2＋4y2＝1与3x＋2y2＝0的曲线大致为( )
答案：D
解析：将方程9x2＋4y2＝1与3x＋2y2＝0转化为＋＝1与y2＝－x，所以椭圆的焦点在y轴上，抛物线的焦点在x轴上，且开口向左.故选D.
5.若直线y＝2x＋与抛物线x2＝2py(p＞0)相交于A，B两点，则｜AB｜＝( )
A.5p B.10p
C.11p D.12p
答案：B
解析：将直线方程代入抛物线方程，
可得x2－4px－p2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝4p，所以y1＋y2＝9p.
因为直线过抛物线的焦点，
所以｜AB｜＝y1＋y2＋p＝10p.
6.直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段的中点坐标是 .
答案：(3，2)
解析：将y＝x－1代入y2＝4x，整理，得x2－6x＋1＝0.
由根与系数的关系，得x1＋x2＝6，＝3，
所以＝＝＝2.
所以所求点的坐标为(3，2).
7.已知A，B为抛物线y2＝2x上两点，且A与B的纵坐标之和为4，则直线AB的斜率为 .
答案：
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以y1＋y2＝4.
因为A，B在抛物线上，
所以相减得
－＝2(x1－x2)，
即＝＝＝.
8.设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是 .
答案：[3，＋∞)
解析：因为抛物线的焦点到顶点的距离为3，
所以＝3，即p＝6.
又抛物线上的点到准线距离的最小值为，
所以抛物线上的点到准线距离的取值范围为[3，＋∞).
9.(10分)过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且A，B两点的纵坐标之积为－4，求抛物线C的方程.
解：由于抛物线的焦点F，
故可设直线AB的方程为x＝my＋.
由得y2－2pmy－p2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝－p2，
所以－p2＝－4，由p＞0，可得p＝2，
所以抛物线C的方程为y2＝4x.
10.(13分)已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长为2，求抛物线的方程.
解：设所求抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)或y2＝－2px(p＞0)，抛物线与圆的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1＞0，y2＜0)，则｜y1｜＋｜y2｜＝2，即y1－y2＝2.由对称性，知y2＝－y1，代入上式，得y1＝，把y1＝代入x2＋y2＝4，得x1＝±1，所以点(1，)在抛物线y2＝2px上，点(－1，)在抛物线y2＝－2px上，可得p＝.于是所求抛物线的方程为y2＝3x或y2＝－3x.
(11—13小题，每小题5分，共15分)
11.已知F是抛物线C：y2＝2px的焦点，x＝－3是抛物线C的准线，点N(0，t)(t≠0)，连接FN交抛物线C于M点，＋＝0，则△OFN的面积为( )
A.4 B.9
C.4 D.9
答案：D
解析：由直线x＝－3是抛物线C的准线，可得－＝－3，即p＝6，
所以抛物线的方程为C：y2＝12x，
其焦点为F(3，0)，
因为＋＝0，可得＝－，
故M，N，F三点共线，且M为NF的中点，
又因为F(3，0)，N(0，t)，所以M(，)，
将点M(，)代入抛物线y2＝12x，
可得t＝±6，
所以△OFN的面积为S＝·＝×3×6＝9.
故选D.
12.抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且｜MF｜＝3｜OF｜，△MFO的面积为16，则抛物线的方程为( )
A.y2＝6x B.y2＝8x
C.y2＝16x D.y2＝20x
答案：C
解析：设M(x0，y0)，由｜MF｜＝3｜OF｜可得x0＋＝，解得x0＝p，所以M(p，±p)，所以，S△MFO＝××p＝16，解得p＝±8.因为p＞0，所以p＝8.所以抛物线的方程为y2＝16x.故选C.
13.已知AB是抛物线2x2＝y的焦点弦，若｜AB｜＝4，则AB的中点的纵坐标为 .
答案：
解析：设AB的中点为P(x0，y0)，分别过A，P，B三点作准线的垂线，垂足分别为A'，Q，B'.由题意得｜AA'｜＋｜BB'｜＝｜AB｜＝4，｜PQ｜＝＝2.又｜PQ｜＝y0＋，所以y0＋＝2，解得y0＝.
14.(15分)已知抛物线C：y＝2x2和直线l：y＝kx＋1，O为坐标原点.
(1)求证：l与C必有两交点.
(2)设l与C交于A，B两点，且直线OA和OB斜率之和为1，求k的值.
解：(1)证明：联立抛物线C：y＝2x2和直线l：y＝kx＋1，可得2x2－kx－1＝0，
所以Δ＝k2＋8＞0，所以l与C必有两交点.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＋＝1，①
因为y1＝kx1＋1，y2＝kx2＋1，代入①，
得2k＋＝1，②
由(1)可得x1＋x2＝k，x1x2＝－，
代入②得k＝1.
15.(17分)设抛物线C：y2＝4x，F为C的焦点，过F的直线l与C交于A，B两点.
(1)若l的斜率为2，求｜AB｜；
(2)求证：·是一个定值.
解：(1)依题意得F(1，0)，所以直线l的方程为y＝2(x－1).
设直线l与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2).
由消去y整理得x2－3x＋1＝0，
所以Δ＝9－4＝5＞0，x1＋x2＝3，x1x2＝1.
所以｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝x1＋x2＋p＝3＋2＝5.
(2)证明：根据题意设直线l的方程为x＝ky＋1，直线l与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2).
由消去x整理得y2－4ky－4＝0，
Δ＝16k2＋16＞0，
所以y1＋y2＝4k，y1y2＝－4.
因为·＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2＝(ky1＋1)(ky2＋1)＋y1y2＝k2y1y2＋k(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3，
所以·是一个定值.
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3.3.2 抛物线的简单几何性质
第2课时 抛物线的标准方程及其性质的应用
第1章 3.3 抛物线
学习目标
1.掌握直线与抛物线的位置关系.
2.会解决与抛物线有关的焦点弦、中点弦问题.
3.通过直线与抛物线的位置关系、焦点弦和中点弦等问题的学习，提升逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养.
应用一 直线与抛物线的位置关系
典例1
Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k).
①当Δ＞0，即k＜1，且k≠0时，
l与C有两个公共点，此时直线l与C相交；
②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；
③当Δ＜0，即k＞1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离.
综上所述，当k＝1或0时，l与C有一个公共点；
当k＜1，且k≠0时，l与C有两个公共点；
当k＞1时，l与C没有公共点.
规律方法
直线与抛物线的位置关系的判断方法
设直线l：y＝kx＋b，抛物线：y2＝2px(p＞0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得：k2x2＋(2kb－2p)x＋b2＝0.
1.若k2＝0，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.
2.若k2≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当Δ＜0时，直线与抛物线相离，无交点.
对点练1．已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－2，0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是__________.
[－1，1]
由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y并整理，得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，显然满足题意；
当k≠0时，Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k＜0或0＜k≤1.因此直线l的斜率的取值范围是[－1，1].
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应用二 弦长问题
典例2
规律方法
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应用三 抛物线焦点弦的常用结论的应用
(1)(一题多解)已知抛物线y2＝8x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，若｜AF｜＝6，则｜BF｜＝
A.1 B.2
C.3 D.4
典例3
√
60°
√
√
√
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随堂评价
1.动点P(x，y)到点F(3，0)的距离比它到直线x＋4＝0的距离小1，则动点的轨迹是
A.椭圆 B.双曲线
C.双曲线的一支 D.抛物线
√
依题意可知动点P(x，y)在直线x＋4＝0的右侧，
设P到直线x＋4＝0的距离为d，则｜PF｜＝d－1，
所以动点P到F(3，0)的距离与到x＋3＝0的距离相等，其轨迹为抛物线.
2.已知直线l与抛物线x2＝2py(p＞0)只有一个交点，则直线l与抛物线的位置关系是
A.相交 B.相切
C.相离 D.相交或相切
√
当直线l与y轴平行或重合时，直线l与抛物线x2＝2py(p＞0)有一个交点，此时直线l与抛物线是相交的.当直线l的斜率存在，直线l与抛物线x2＝2py(p＞0)只有一个交点时，直线l与抛物线相切.
3.若直线x－y＝2与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是_______.
(4，2)
4.直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝______.
0或1
当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点，
当k≠0时，联立方程消去y，得k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，
由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，
所以k＝1.
综上，k＝0或1.
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课时测评
√
2.过抛物线x2＝4y的焦点F作直线l交抛物线于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若y1＋y2＝6，则｜P1P2｜＝
A.5 B.6
C.8 D.10
√
抛物线x2＝4y的准线为y＝－1，因为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点是过抛物线焦点的直线l与抛物线的交点，所以P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点到准线的距离分别是y1＋1，y2＋1，所以｜P1P2｜＝y1＋y2＋2＝8.故选C.
3.与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程为
A.2x－y＋3＝0 B.2x－y－3＝0
C.2x－y＋1＝0 D.2x－y－1＝0
√
4.在同一平面直角坐标系中，方程9x2＋4y2＝1与3x＋2y2＝0的曲线大致为
√
√
将直线方程代入抛物线方程，
可得x2－4px－p2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝4p，所以y1＋y2＝9p.
因为直线过抛物线的焦点，
所以｜AB｜＝y1＋y2＋p＝10p.
6.直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段的中点坐标是________.
(3，2)
7.已知A，B为抛物线y2＝2x上两点，且A与B的纵坐标之和为4，则直线AB
的斜率为____.
8.设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是_________.
[3，＋∞)
√
√
13.已知AB是抛物线2x2＝y的焦点弦，若｜AB｜＝4，则AB的中点的纵坐
标为___.
14.(15分)已知抛物线C：y＝2x2和直线l：y＝kx＋1，O为坐标原点.
(1)求证：l与C必有两交点.
解：证明：联立抛物线C：y＝2x2和直线l：y＝kx＋1，可得2x2－kx－1＝0，
所以Δ＝k2＋8＞0，所以l与C必有两交点.
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