(共44张PPT)
3.3.2 抛物线的简单几何性质
第1课时 抛物线的简单几何性质
第3章 3.3 抛物线
学习目标
1.了解抛物线的简单几何性质，培养数学抽象的核心素养.
2.能利用抛物线的几何性质解决相关问题，培养直观想象、数学运算的核心素养.
任务一 抛物线的简单几何性质
问题.类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你认为应研究抛物线y2＝2px(p＞0)的哪些几何性质，如何研究这些性质？
提示：1.范围
当x＞0时，抛物线y2＝2px(p＞0)在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M 的坐标(x，y)的横坐标满足不等式x≥0；当x 的值增大时，｜y｜的值也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.抛物线是无界曲线.
2.对称性
观察图象，不难发现，抛物线 y2 ＝ 2px(p＞0)关于 x 轴对称，
我们把抛物线的对称轴叫作抛物线的轴.抛物线只有一条对称轴.
问题导思
3.顶点
抛物线和它的对称轴的交点叫作抛物线的顶点.抛物线的顶点坐标是坐标原点 (0，0).
4.离心率
抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫作抛物线的离心率.用e表示，e＝1.
新知构建
标准方程 y2＝2px
(p＞0) y2＝－2px
(p＞0) x2＝2py
(p＞0) x2＝－2py
(p＞0)
图形
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
对称轴 ___轴 ___轴 ___轴 ___轴
焦点坐标
准线方程
顶点坐标 O(0，0)
离心率 e＝___
x
x
y
y
1
典例1
规律方法
把握三个要点确定抛物线的简单几何性质
1.开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负.
2.关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴.
3.定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.
√
返回
任务二 抛物线的几何性质的应用
典例2
规律方法
利用抛物线的性质可以解决的问题
1.对称性：解决抛物线的内接三角形问题.
2.焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题.
3.范围：解决与抛物线有关的最值问题.
4.焦点弦：解决焦点弦问题.
√
√
(2)抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，点A是抛物线上一点，且∠AFO＝120°(O为坐标原点)，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是_____.
返回
随堂评价
√
2. (多选)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为
A.y2＝8x B.y2＝－8x
C.x2＝8y D.x2＝－8y
√
设抛物线方程为x2＝2py或x2＝－2py(p＞0)，2p＝8，p＝4.
所以抛物线方程为x2＝8y或x2＝－8y.
√
√
4.已知抛物线y2＝2px(p＞0)，直线x＝m与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y1＋y2＝___.
因为抛物线y2＝2px(p＞0)关于x轴对称，x＝m与x轴垂直，故y1＝－y2，
即y1＋y2＝0.
0
返回
课时测评
√
2.以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x2＋y2－2x＋6y＋9＝0的圆心的抛物线的方程是
A.y＝3x2或y＝－3x2 B.y＝3x2
C.y2＝－9x或y＝3x2 D.y＝－3x2或y2＝9x
√
√
√
√
√
√
7.已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线上，记抛物线C的焦
点为F，则直线AF的斜率为______.
8.已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M是FN的中点，则｜FN｜＝____.
6
√
√
√
6
15.(5分)如图，已知P为抛物线y2＝4x上的动点，过P分别作y轴与直线x－y＋4＝0的垂线，垂足分别为A，B，则｜PA｜＋｜PB｜的最小值为
__________.
抛物线的准线方程是x＝－1，
又根据抛物线的几何性质知，
抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离，
16.(17分)已知抛物线y2＝8x.
(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围；
解：抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0，0)，(2，0)，x＝－2，x轴，x≥0.
返回3.3.2 抛物线的简单几何性质
第1课时 抛物线的简单几何性质
学习目标 1.了解抛物线的简单几何性质，培养数学抽象的核心素养. 2.能利用抛物线的几何性质解决相关问题，培养直观想象、数学运算的核心素养.
任务一 抛物线的简单几何性质
问题.类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你认为应研究抛物线y2＝2px(p＞0)的哪些几何性质，如何研究这些性质？
提示： 1.范围
当x＞0时，抛物线y2＝2px(p＞0)在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M 的坐标(x，y)的横坐标满足不等式x≥0；当x 的值增大时，｜y｜的值也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.抛物线是无界曲线.
2.对称性
观察图象，不难发现，抛物线 y2 ＝ 2px(p＞0)关于 x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫作抛物线的轴.抛物线只有一条对称轴.
3.顶点
抛物线和它的对称轴的交点叫作抛物线的顶点.抛物线的顶点坐标是坐标原点 (0，0).
4.离心率
抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫作抛物线的离心率.用e表示，e＝1.
标准方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0)
图形
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴
焦点坐标 F F F F
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
顶点坐标 O(0，0)
离心率 e＝1
抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程.
解：椭圆的方程可化为＋＝1，其短轴在x轴上，
所以抛物线的对称轴为x轴，
所以设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)或y2＝－2px(p＞0).
因为抛物线的焦点到顶点的距离为3，即＝3，
所以p＝6，
所以抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x，
其准线方程分别为x＝－3和x＝3.
把握三个要点确定抛物线的简单几何性质 1.开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负. 2.关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴. 3.定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.
对点练1.边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是( )
A.y2＝x B.y2＝－x
C.y2＝±x D.y2＝±x
答案：C
解析：设抛物线方程为y2＝ax(a≠0).
又A(取点A在x轴上方)，
则有＝±a，解得a＝±，
所以抛物线方程为y2＝±x.
任务二 抛物线的几何性质的应用
(1)已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y2＝2px(p＞0)上，求这个三角形的边长.
(2)已知A，B是抛物线y2＝2px(p＞0)上两点，O为坐标原点，若｜OA｜＝｜OB｜，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB的方程.
解：如图所示，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＝2px1，＝2px2.
又｜OA｜＝｜OB｜，
所以＋＝＋，
即－＋2px1－2px2＝0，
整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.
因为x1＞0，x2＞0，2p＞0，
所以x1＝x2，由此可得｜y1｜＝｜y2｜，
即线段AB关于x轴对称，
由此得∠AOx＝30°，
所以y1＝x1，与＝2px1联立，
解得y1＝2p.
所以｜AB｜＝2y1＝4p，
即这个三角形的边长为4p.
(2)如图，设点A(x0，y0)，
由题意可知点B(x0，－y0)，
因为F是△AOB的垂心，
所以AF⊥OB，所以kAF·kOB＝－1，
即·＝－1.
所以＝x0，
又因为＝2px0，
所以x0＝2p＋＝.
所以直线AB的方程为x＝.
利用抛物线的性质可以解决的问题 1.对称性：解决抛物线的内接三角形问题. 2.焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题. 3.范围：解决与抛物线有关的最值问题. 4.焦点弦：解决焦点弦问题.
对点练2.(1)(多选)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在抛物线C上，｜MF｜＝5，若y轴上存在点A(0，2)，使得·＝0，则p的值可以为( )
A.2 B.4
C.6 D.8
(2)抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，点A是抛物线上一点，且∠AFO＝120°(O为坐标原点)，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是 .
答案：(1)AD (2)4
解析：(1)由题意可得，以MF为直径的圆过点(0，2)，
设点M(x，y)，由抛物线定义知｜MF｜＝x＋＝5，可得x＝5－.
因为圆心是MF的中点，
所以根据中点坐标公式可得，
圆心横坐标为＝，
由已知可知圆半径也为，
据此可知该圆与y轴相切于点A(0，2)，
故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，
即点M，
代入抛物线方程得p2－10p＋16＝0，
所以p＝2或p＝8.
(2)由抛物线方程可知F(1，0)，准线l的方程为x＝－1.如图，设A(x0，y0)，过A作AH⊥x轴于H，
在Rt△AFH中，｜FH｜＝x0－1，
由∠AFO＝120°得∠AFH＝60°，故y0＝｜AH｜＝(x0－1)，
所以点A的坐标为(x0，(x0－1))，将此代入抛物线方程可得3－10x0＋3＝0，
解得x0＝3或x0＝(舍)，
所以点A的坐标为(3，2)，
故S△AKF＝×(3＋1)×2＝4.
1.对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是( )
A.开口向上，焦点为(0，1)
B.开口向上，焦点为
C.开口向右，焦点为(1，0)
D.开口向右，焦点为
答案：B
解析：由抛物线y＝4x2，
得抛物线标准形式为x2＝，2p＝，
故焦点在y轴上，开口向上，焦点坐标为.
2. (多选)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( )
A.y2＝8x B.y2＝－8x
C.x2＝8y D.x2＝－8y
答案：CD
解析：设抛物线方程为x2＝2py或x2＝－2py(p＞0)，2p＝8，p＝4.
所以抛物线方程为x2＝8y或x2＝－8y.
3.若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解析：设抛物线的焦点为F，原点为O，P(x0，y0)，由条件及抛物线的定义知，｜PF｜＝｜PO｜，又F，所以x0＝，所以＝，所以y0＝±.
4.已知抛物线y2＝2px(p＞0)，直线x＝m与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y1＋y2＝ .
答案：0
解析：因为抛物线y2＝2px(p＞0)关于x轴对称，x＝m与x轴垂直，故y1＝－y2，
即y1＋y2＝0.
课时测评34 抛物线的简单几何性质
(时间：60分钟 满分：110分)
(1—8小题，每小题5分，共40分)
1.若抛物线y2＝2x上有两点A，B且AB垂直于x轴，若｜AB｜＝2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为( )
A. B.
C. D.
答案：A
解析：由题意知，线段AB所在的直线方程为x＝1，
抛物线的焦点坐标为，
则焦点到直线AB的距离为1－＝.
2.以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x2＋y2－2x＋6y＋9＝0的圆心的抛物线的方程是( )
A.y＝3x2或y＝－3x2 B.y＝3x2
C.y2＝－9x或y＝3x2 D.y＝－3x2或y2＝9x
答案：D
解析：圆的方程可化为(x－1)2＋(y＋3)2＝1，圆心为(1，－3)，由题意可设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2py(p＞0).把(1，－3)代入得9＝2p或1＝6p，
所以p＝或p＝，所以y2＝9x或x2＝－y.
3.若双曲线－＝1(p＞0)的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p的值为( )
A.2 B.3
C.4 D.4
答案：C
解析：双曲线的方程可化为－＝1，所以双曲线的左焦点为.
又因为抛物线的准线为x＝－，
由题意得－＝－，解得p＝4.
4.若抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为2，则点P到抛物线的焦点F的距离为( )
A.4 B.5
C.6 D.7
答案：A
解析：由题意，知抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，
因为抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为2，
则P(3，±2)，
所以点P到抛物线的准线的距离为3＋1＝4，
所以点P到抛物线的焦点F的距离为4.
5.已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与曲线x2＋y2－4x－5＝0相切，则p的值为( )
A.2 B.1
C. D.
答案：A
解析：曲线的方程可化为(x－2)2＋y2＝9，
其表示圆心为(2，0)，半径为3的圆，
又抛物线的准线方程为x＝－，
所以由抛物线的准线与圆相切得2＋＝3，解得p＝2.
6.(多选)点M(1，1)到抛物线y＝ax2的准线的距离为2，则a的值可以为( )
A. B.－
C. D.－
答案：AB
解析：抛物线y＝ax2的准线方程为y＝－，
因为点M(1，1)到抛物线y＝ax2的准线的距离为2，
所以＝2，解得a＝或a＝－.
7.已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线上，记抛物线C的焦点为F，则直线AF的斜率为 .
答案：－
解析：因为点A(－2，3)在抛物线C的准线上，
所以＝2，所以p＝4.
所以抛物线的方程为y2＝8x，则焦点F的坐标为(2，0).
又A(－2，3)，根据斜率公式得kAF＝＝－.
8.已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M是FN的中点，则｜FN｜＝ .
答案：6
解析：如图，过点M作MM'⊥y轴，垂足为M'，｜OF｜＝2，
因为M为FN的中点，｜MM'｜＝1，
所以M到准线距离d＝｜MM'｜＋＝3，
所以｜MF｜＝3，所以｜FN｜＝6.
9.(13分)若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且｜AM｜＝，｜AF｜＝3，求此抛物线的标准方程.
解：设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p＞0)，
设A(x0，y0)，由题意知M.
因为｜AF｜＝3，所以y0＋＝3，
因为｜AM｜＝，所以＋＝17，
所以＝8，代入方程＝2py0得，
8＝2p，解得p＝2或p＝4.
所以所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.
10.(15分)已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且｜AF｜＋｜BF｜＝8，线段AB的垂直平分线恒经过点Q(6，0)，求抛物线的方程.
解：设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，
则其准线方程为x＝－.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因为｜AF｜＋｜BF｜＝8，
所以x1＋＋x2＋＝8，即x1＋x2＝8－p.
因为Q(6，0)在线段AB的中垂线上，
所以｜QA｜＝｜QB｜，
即＝，
又＝2px1，＝2px2，
所以(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0.
因为AB与x轴不垂直，所以x1≠x2.
故x1＋x2－12＋2p＝8－p－12＋2p＝0，即p＝4.
从而抛物线方程为y2＝8x.
(11—14小题，每小题5分，共20分)
11.设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标为( )
A.(2，±2) B.(1，±2)
C.(1，2) D.(2，2)
答案：B
解析：设A(x，y)，则y2＝4x，① F(1，0)，x＞0，
又＝(x，y)，＝(1－x，－y)，
所以·＝x－x2－y2＝－4.②
由①②可解得x＝1，y＝±2，故A点坐标为(1，±2).
12.已知P是抛物线C：y2＝2px(p＞0)上的一点，F是抛物线C的焦点，O为坐标原点，若｜PF｜＝2，∠PFO＝，则抛物线C的方程为( )
A.y2＝6x B.y2＝2x
C.y2＝x D.y2＝4x
答案：A
解析：过P向x轴作垂线，设垂足为Q，
因为∠PFO＝，｜PF｜＝2，
所以｜PQ｜＝，｜QF｜＝1，P，
将P点的坐标代入y2＝2px，得p＝3，故C的方程为y2＝6x.
13.已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且｜MF｜＝4｜OF｜，△MFO 的面积为4，则抛物线方程为( )
A.y2＝6x B.y2＝8x
C.y2＝16x D.y2＝x
答案：B
解析：设M(x1，y1)，
则由｜MF｜＝4｜OF｜得x1＋＝4×，
即x1＝p，则＝3p2，
则｜y1｜＝p，则S△OMF＝××p＝4，解得p＝4，即抛物线的方程为y2＝8x.
14.抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝ .
答案：6
解析：抛物线的焦点坐标为F，准线方程为y＝－.
将y＝－－＝1得｜x｜＝.要使△ABF为等边三角形，则tan ＝＝＝，解得p2＝36，p＝6.
15.(5分)如图，已知P为抛物线y2＝4x上的动点，过P分别作y轴与直线x－y＋4＝0的垂线，垂足分别为A，B，则｜PA｜＋｜PB｜的最小值为 .
答案：－1
解析：抛物线的准线方程是x＝－1，
又根据抛物线的几何性质知，
抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离，
所以｜PA｜＋｜PB｜＝｜PF｜＋｜PB｜－1，｜PF｜＋｜PB｜的最小值就是点F到直线x－y＋4＝0的距离，
又点F到直线的距离d＝＝，
所以｜PA｜＋｜PB｜的最小值是－1.
16.(17分)已知抛物线y2＝8x.
(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围；
(2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，｜OA｜＝｜OB｜，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长.
解：(1)抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0，0)，(2，0)，x＝－2，x轴，x≥0.
(2)假设A点在x轴上方，如图所示，由｜OA｜＝｜OB｜可知AB⊥x轴，垂足为点M，
又焦点F是△OAB的重心，
则｜OF｜＝｜OM｜.
因为F(2，0)，
所以｜OM｜＝｜OF｜＝3，
所以M(3，0).
故设A(3，m)，
代入y2＝8x得m2＝24，
所以m＝2或m＝－2，
所以A(3，2)，B(3，－2)，
所以｜OA｜＝｜OB｜＝，
所以△OAB的周长为2＋4.
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