(共55张PPT)
3.4 曲线与方程
第3章 圆锥曲线与方程
学习目标
1.理解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本
方法.
2.理解曲线与方程的概念，了解求曲线方程的几种常用方法，通过求曲线的方程，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的核心
素养.
任务一 曲线的方程、方程的曲线
1.曲线与方程的概念
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程 f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：
(1)曲线上的点的坐标都是______________；
(2)以______________为坐标的点都是曲线上的点.
此时，这个方程叫作曲线的方程；这条曲线叫作方程的曲线.
2.坐标法
确定曲线的方程后，通过研究方程的性质而得到曲线的几何性质，我们称这种研究几何的方法为坐标法.基于坐标法，我们将几何问题转化为代数问题来解决，这也是解析几何的核心思想.
新知构建
这个方程的解
这个方程的解
(1)已知“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是真命题，下列命题中正确的是
A.方程f(x，y)＝0的曲线是C
B.方程f(x，y)＝0的曲线不一定是C
C.f(x，y)＝0是曲线C的方程
D.以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上
典例1
√
“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，但“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点”不一定在曲线C上，故A，C，D都不正确，B正确.
√
规律方法
判定曲线和方程的对应关系的两个关注点
1.曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”，称为纯粹性；
2.以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性.
注意：只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线.
对点练1．分析下列曲线上的点与相应方程的关系.
(1)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；
解：与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.
(2)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系.
解：第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0；反之，以方程x＋y＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上.因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0.
返回
任务二 定义法求轨迹方程
一动圆过定点A(2，0)，且与定圆x2＋4x＋y2－32＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方程.
解：将定圆的方程化为标准形式为(x＋2)2＋y2＝62，
这时，已知圆的圆心坐标为B(－2，0)，半径为6，如图，
设动圆圆心M的坐标为(x，y)，
由于动圆与已知圆相内切，设切点为C.
所以已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离，
即｜BC｜－｜MC｜＝｜BM｜，而｜BC｜＝6，
所以｜BM｜＋｜CM｜＝6，
典例2
规律方法
观察几何图形，根据几何图形的直观性质得到动点轨迹的几何属性，由曲线的定义直接得到动点轨迹的方程.注意要检验是否有要删除的点.
返回
任务三 相关点代入法求轨迹方程
典例3
规律方法
相关点代入法求轨迹方程的一般步骤
1.建立平面直角坐标系，设所求动点的坐标为(x，y)，其相关动点的坐标为(x0，y0).
2.找出(x，y)与(x0，y0)之间的等量关系，用x，y表示x0，y0.
3.将x0，y0代入其所在的曲线方程.
4.化简方程得所求方程.
√
返回
任务四 直接法求轨迹方程
典例4
规律方法
求轨迹方程时，没有坐标系时要先建立平面直角坐标系，设轨迹上任一点的坐标为(x，y)，轨迹方程就是x，y之间的等式，关键是找到等量关系，然后用x，y表示.
返回
随堂评价
√
3.到A(2，－3)和B(4，－1)的距离相等的点的轨迹方程是___________.
x＋y－1＝0
椭圆
返回
课时测评
√
√
√
√
√
√
设动圆的圆心为M(x，y)，半径为R，
动圆与圆M1：(x＋1)2＋y2＝1外切，与圆M2：(x－1)2＋y2＝25内切，
所以｜MM1｜＋｜MM2｜＝1＋R＋5－R＝6，
√
√
√
15.(5分)如图，AB是平面α的斜线段，A为斜足，若点P在平面α内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是
A.圆
B.一条直线
C.椭圆
D.两条平行直线
因为三角形的面积为定值，以AB为底，则底边长一定，从而可得P到直线AB的距离为定值，分析可得，点P在以AB为轴线的圆柱面与平面α的交线上，且α与圆柱的轴线斜交，由平面与圆柱面的截面的性质判断，可得P的轨迹为椭圆.
√
16.(17分)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.证明｜EA｜＋｜EB｜为定值，并写出点E的轨迹方程.
解：圆A的方程整理可得(x＋1)2＋y2＝16，点A的坐标为(－1，0)，如图
所示，
因为｜AD｜＝｜AC｜，
所以∠ACD＝∠ADC.
因为EB∥AC，
所以∠EBD＝∠ACD，
故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC.
所以｜EB｜＝｜ED｜，
返回3.4 曲线与方程
学习目标 1.理解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法. 2.理解曲线与方程的概念，了解求曲线方程的几种常用方法，通过求曲线的方程，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的核心素养.
任务一 曲线的方程、方程的曲线
1.曲线与方程的概念
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程 f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
此时，这个方程叫作曲线的方程；这条曲线叫作方程的曲线.
2.坐标法
确定曲线的方程后，通过研究方程的性质而得到曲线的几何性质，我们称这种研究几何的方法为坐标法.基于坐标法，我们将几何问题转化为代数问题来解决，这也是解析几何的核心思想.
(1)已知“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是真命题，下列命题中正确的是( )
A.方程f(x，y)＝0的曲线是C
B.方程f(x，y)＝0的曲线不一定是C
C.f(x，y)＝0是曲线C的方程
D.以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上
(2)“点M在曲线y2＝4x上”是“点M的坐标满足方程y＝－2”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案：(1)B (2)B
解析：(1)“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，但“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点”不一定在曲线C上，故A，C，D都不正确，B正确.
(2)因为y＝－2≤0，而y2＝4x中y可正可负，所以点M在曲线y2＝4x上，但M不一定在y＝－2上.反之点M在y＝－2上时，一定在y2＝4x上.
判定曲线和方程的对应关系的两个关注点 1.曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”，称为纯粹性； 2.以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性. 注意：只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线.
对点练1.分析下列曲线上的点与相应方程的关系.
(1)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；
(2)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系.
解：(1)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.
(2)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0；反之，以方程x＋y＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上.因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0.
任务二 定义法求轨迹方程
一动圆过定点A(2，0)，且与定圆x2＋4x＋y2－32＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方程.
解：将定圆的方程化为标准形式为(x＋2)2＋y2＝62，这时，已知圆的圆心坐标为B(－2，0)，半径为6，如图，
设动圆圆心M的坐标为(x，y)，
由于动圆与已知圆相内切，设切点为C.
所以已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离，
即｜BC｜－｜MC｜＝｜BM｜，而｜BC｜＝6，
所以｜BM｜＋｜CM｜＝6，
又｜CM｜＝｜AM｜，所以｜BM｜＋｜AM｜＝6，
根据椭圆的定义知M的轨迹是以点B(－2，0)和点A(2，0)为焦点，线段AB的中点O(0，0)为中心的椭圆.
所以a＝3，c＝2，b＝＝，
所以所求圆心的轨迹方程为＋＝1.
观察几何图形，根据几何图形的直观性质得到动点轨迹的几何属性，由曲线的定义直接得到动点轨迹的方程.注意要检验是否有要删除的点.
对点练2.已知△ABC的顶点A，B的坐标分别为(－4，0)，(4，0)，C 为动点，且满足sin B＋sin A＝sin C，求点C的轨迹.
解：由sin B＋sin A＝sin C，
可知b＋a＝c＝10(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，
即｜AC｜＋｜BC｜＝10，满足椭圆的定义.
令椭圆方程为＋＝1，
则a'＝5，c'＝4 b'＝3，
则轨迹方程为＋＝1(x≠±5)，图形为椭圆(不含左、右顶点).
任务三 相关点代入法求轨迹方程
点B是椭圆＋＝1上的动点，A(2a，0)为定点，求线段AB的中点M的轨迹方程.
解：设动点M的坐标为(x，y)，B点坐标为(x0，y0)，则由M为线段AB的中点，可得
即点B的坐标可表示为(2x－2a，2y).
又点B(x0，y0)在椭圆＋＝1上，
所以＋＝1，从而有＋＝1.
整理得动点M的轨迹方程为＋＝1.
相关点代入法求轨迹方程的一般步骤 1.建立平面直角坐标系，设所求动点的坐标为(x，y)，其相关动点的坐标为(x0，y0). 2.找出(x，y)与(x0，y0)之间的等量关系，用x，y表示x0，y0. 3.将x0，y0代入其所在的曲线方程. 4.化简方程得所求方程.
对点练3.已知P(－4，－4)，Q是椭圆x2＋2y2＝16上的动点，M是线段PQ上的点，且满足＝，则动点M的轨迹方程是( )
A.(x－3)2＋2(y－3)2＝1
B.(x＋3)2＋2(y＋3)2＝1
C.(x＋1)2＋2(y＋1)2＝9
D.(x－1)2＋2(y－1)2＝9
答案：B
解析：设动点M(x，y)，Q(m，n)，
因为＝，
所以
又Q(m，n)在椭圆x2＋2y2＝16上，
故16(x＋3)2＋32(y＋3)2＝16，
即(x＋3)2＋2(y＋3)2＝1.
任务四 直接法求轨迹方程
已知在平面直角坐标系中，动点M到定点(－，0)的距离与它到定直线l：x＝－的距离之比为常数.
(1)求动点M的轨迹Γ的方程；
(2)设点A，若P是(1)中轨迹Γ上的动点，求线段PA的中点B的轨迹方程.
解：(1)设动点M(x，y)，
由已知可得＝，
即x2＋2x＋3＋y2＝，
化简得＋y2＝1，
即所求动点M的轨迹Γ的方程为＋y2＝1.
(2)设点B(x，y)，点P(x0，y0)，
由
由点P在轨迹Γ上，得＋＝1，
整理得＋4＝1，
所以线段PA的中点B的轨迹方程是＋4＝1.
求轨迹方程时，没有坐标系时要先建立平面直角坐标系，设轨迹上任一点的坐标为(x，y)，轨迹方程就是x，y之间的等式，关键是找到等量关系，然后用x，y表示.
对点练4.已知平面上两定点M(0，－2)，N(0，2)，P为一动点，满足·＝｜｜·｜｜.求动点P的轨迹C的方程.
解：设P(x，y).
由已知＝(x，y＋2)，＝(0，4)，＝(－x，2－y)，
得·＝4y＋8，｜｜·｜｜＝4，
因为·＝｜｜·｜｜，
所以4y＋8＝4，整理得 x2＝8y.
即动点P的轨迹C的方程为x2＝8y.
1.在△ABC中，B(－2，0)，C(2，0)，｜AB｜＋｜AC｜＝6，则顶点A的轨迹方程是( )
A.＋＝1(x≠±3) B.＋＝1(x≠±2)
C.＋＝1(x≠±3) D.＋＝1(x≠±2)
答案：A
解析：在△ABC中，B(－2，0)，C(2，0)，｜AB｜＋｜AC｜＝6＞｜BC｜＝4，
则顶点A的轨迹满足椭圆的定义，a＝3，c＝2，b＝，
所以顶点A的轨迹方程是＋＝1(x≠±3).
2.在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，＝.当点P在圆上运动时，点M的轨迹方程是 .
答案：＋＝1
解析：设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，
则点D的坐标为(x0，0)，
因为＝，所以
因为点P在x2＋y2＝4上，所以＋＝4，所以x2＋＝4，
所以点M的轨迹方程是＋＝1.
3.到A(2，－3)和B(4，－1)的距离相等的点的轨迹方程是 .
答案：x＋y－1＝0
解析：由点P满足｜PA｜＝｜PB｜，可知点P的轨迹为点A(2，－3)和B(4，－1)的垂直平分线.
所以由中点坐标公式得AB的中点为(3，－2)，kAB＝＝1，
所以其垂直平分线的斜率为－1.
所以点P的轨迹方程是y＋2＝－(x－3)，即x＋y－1＝0.
4.已知点A(－1，0)，B(1，0).曲线C上任意一点P满足－＝4(｜｜－｜｜)≠0.则曲线C的轨迹是 .
答案：椭圆
解析：由－＝4(｜｜－｜｜)≠0，
得｜｜＋｜｜＝4，且4＞｜AB｜.
故曲线C的轨迹是椭圆.
课时测评36 曲线与方程
(时间：60分钟 满分：110分)
(1—8小题，每小题5分，共40分)
1.平面内一点M到两定点F1(0，－3)，F2(0，3)的距离之和为10，则M的轨迹方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案：B
解析：平面内一点M到两定点F1(0，－3)，F2(0，3)的距离之和为10＞6，
所以M的轨迹满足椭圆的定义，是椭圆，且a＝5，c＝3，则b＝4，
椭圆的焦点在y轴上，所以椭圆的方程为＋＝1.
2.已知△ABC的周长为12，B(0，－2)，C(0，2)，则顶点A的轨迹方程为( )
A.＋＝1(x≠0) B.＋＝1(y≠0)
C.＋＝1(x≠0) D.＋＝1(y≠0)
答案：A
解析：因为△ABC的周长为12，顶点B(0，－2)，C(0，2)，
所以｜BC｜＝4，｜AB｜＋｜AC｜＝12－4＝8，
所以点A到两个定点的距离之和等于定值，
又8＞4，
所以点A的轨迹是椭圆，且a＝4，c＝2，
所以b2＝12，
所以椭圆的方程为＋＝1(x≠0).
3.已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点A到F1的距离是2，线段AF2的垂直平分线交AF1于点P，则点P的轨迹方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案：C
解析：依题意有｜AP｜＝｜PF2｜，｜AF1｜＝｜AP｜＋｜PF1｜＝｜PF1｜＋｜PF2｜＝2＞｜F1F2｜＝2，
所以点P的轨迹是以F1(－1，0)，F2(1，0)为焦点的椭圆.
因为2a＝2，2c＝2，
所以a＝，b＝，
故所求点P的轨迹方程是＋＝1.
4.已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是( )
A.圆 B.椭圆
C.线段 D.直线
答案：B
解析：设椭圆的右焦点为F2，
由题意，知｜PO｜＝｜MF2｜，｜PF1｜＝｜MF1｜，
又｜MF1｜＋｜MF2｜＝2a，
所以｜PO｜＋｜PF1｜＝a＞｜F1O｜＝c，
故由椭圆的定义，可知点P的轨迹是椭圆.
5.设A1，A2是椭圆＋＝1的长轴的两个端点，P1，P2是椭圆上垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案：C
解析：设交点为P(x，y)，A1(－3，0)，A2(3，0)，P1(x0，y0)，P2(x0，－y0)，
因为A1，P1，P共线，
所以＝，①
因为A2，P2，P共线，
所以＝.②
①×②得＝，③
因为P1(x0，y0)在椭圆＋＝1上，
所以＋＝1，
所以＝4，
将代入③得＝－＝，
所以P的轨迹方程为－＝1.
6.动圆M与圆M1：(x＋1)2＋y2＝1外切，与圆M2：(x－1)2＋y2＝25内切，则动圆圆心M的轨迹方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋y2＝1 D.x2＋＝1
答案：B
解析：设动圆的圆心为M(x，y)，半径为R，
动圆与圆M1：(x＋1)2＋y2＝1外切，与圆M2：(x－1)2＋y2＝25内切，
所以｜MM1｜＋｜MM2｜＝1＋R＋5－R＝6，
因为｜MM1｜＋｜MM2｜＞｜M1M2｜＝2，
所以该动圆圆心M的轨迹是以原点为中心，焦点在x轴上的椭圆，且2a＝6，c＝1，
解得a＝3，根据a，b，c的关系求得b2＝8，
所以椭圆的方程为＋＝1.
7.在平面直角坐标系中，已知点A(2，0)，B(－2，0)，P是平面内一动点，直线PA，PB的斜率之积为－.则动点P的轨迹C的方程为 .
答案：＋＝1(x≠±2)
解析：设点P的坐标为(x，y)(x≠±2)，
依题意，有×＝－，
化简并整理，得＋＝1(x≠±2).
所以动点P的轨迹C的方程是＋＝1(x≠±2).
8.若动点P(x，y)到点(1，0)的距离与到定直线x＝3的距离之比是，则动点P的轨迹方程是 .
答案：＋＝1
解析：设点P的坐标为(x，y)，
则由题意得＝，
整理得2x2＋3y2＝6，即＋＝1，
所以动点P的轨迹方程是＋＝1.
9.(13分)如图所示，Rt△ABC的顶点坐标A(－2，0)，直角顶点B(0，－2)，顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点.
(1)求边BC所在直线的方程；
(2)M为Rt△ABC外接圆的圆心，求圆M的方程；
(3)若动圆N过点P且与圆M内切，求动圆N的圆心N的轨迹方程.
解：(1)因为kAB＝－，AB⊥BC，
所以kCB＝.
所以边BC所在直线的方程为y＝x－2，
即x－y－4＝0.
(2)因为边BC所在直线的方程为x－y－4＝0，
令y＝0，得C(4，0).
所以圆心M(1，0).
又因为｜AM｜＝3，
所以圆M的方程为(x－1)2＋y2＝9.
(3)因为P(－1，0)，M(1，0)，
且圆N过点P(－1，0)，
所以PN是该圆的半径.
又因为动圆N与圆M内切，
所以｜MN｜＝3－｜PN｜，
即｜MN｜＋｜PN｜＝3＞2.
所以点N的轨迹是以M，P为焦点，长轴长为3的椭圆.
所以a＝，c＝1，b＝＝＝.
所以圆心N的轨迹方程为x2＋y2＝1.
10.(15分)已知中心在坐标原点的椭圆，经过点A(2，3)，且点F(2，0)为其右焦点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若P是(1)中所求椭圆上的动点，求PF的中点Q的轨迹方程.
解：(1)依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，
若点F(2，0)为其右焦点，
则其左焦点为F'(－2，0)，
从而有
解得
又a2＝b2＋c2，
所以b2＝12，
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设P(x0，y0)，Q(x，y)，
因为Q为PF的中点，
所以
又P是＋＝1上的动点，
所以＋＝1，
即Q点的轨迹方程是＋＝1.
(11—14小题，每小题5分，共20分)
11.已知在△ABC中，点A(－2，0)，点B(2，0)，若tan∠CAB·tan∠CBA＝2，则点C的轨迹方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1(x≠±2)
C.－＝1 D.＋＝1(x≠±2)
答案：B
解析：设C(x，y)，
则kCA＝，kCB＝，
由tan∠CAB·tan∠CBA＝2，
得×＝2，
即＋＝1，
当x＝±2时，C与A或B重合，不符合题意.
所以点C的轨迹方程为＋＝1(x≠±2).
12.设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1，0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为( )
A.－＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1
答案：D
解析：圆心C(－1，0)，半径为5，设点M(x，y)，
因为AQ的垂直平分线交CQ于M，
所以｜MA｜＝｜MQ｜，
又｜MQ｜＋｜MC｜＝5＞｜AC｜＝2，
即｜MA｜＋｜MC｜＞｜AC｜，
由椭圆的定义可得点M的轨迹是以A，C为焦点的椭圆，且2a＝5，c＝1，
所以b＝，
故椭圆方程为＋＝1.
13.设线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，且｜AB｜＝5，＝＋，则点M的轨迹方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案：A
解析：设M(x，y)，A(x0，0)，B(0，y0)，
由＝＋，
可得(x，y)＝(x0，0)＋(0，y0)，
则
因为｜AB｜＝5，
所以＋＝25，
即＋＝1.
14.P是椭圆＋＝1上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，有一动点Q满足＝＋，则动点Q的轨迹方程是 .
答案：＋＝1
解析：设Q(x，y)，
因为＝＋，
所以＝－＝，
因为P是椭圆＋＝1上的任意一点，
所以＋＝1，
所以＋＝1.
15.(5分)如图，AB是平面α的斜线段，A为斜足，若点P在平面α内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是( )
A.圆 B.一条直线
C.椭圆 D.两条平行直线
答案：C
解析：因为三角形的面积为定值，以AB为底，则底边长一定，从而可得P到直线AB的距离为定值，分析可得，点P在以AB为轴线的圆柱面与平面α的交线上，且α与圆柱的轴线斜交，由平面与圆柱面的截面的性质判断，可得P的轨迹为椭圆.
16.(17分)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.证明｜EA｜＋｜EB｜为定值，并写出点E的轨迹方程.
解：圆A的方程整理可得(x＋1)2＋y2＝16，点A的坐标为(－1，0)，如图所示，
因为｜AD｜＝｜AC｜，
所以∠ACD＝∠ADC.
因为EB∥AC，
所以∠EBD＝∠ACD，
故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC.
所以｜EB｜＝｜ED｜，
故｜EA｜＋｜EB｜＝｜EA｜＋｜ED｜＝｜AD｜.
又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而｜AD｜＝4，
所以｜EA｜＋｜EB｜＝4.
由题设得A(－1，0)，B(1，0).｜AB｜＝2，
由椭圆定义可得点E的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，且2a＝4，c＝1，
所以a2＝4，b2＝3，
所以点E的轨迹方程为＋＝1(y≠0).
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