(共58张PPT)
3.2.2 双曲线的简单几何性质
第2课时 双曲线的标准方程及其性质的应用
第3章 3.2 双曲线
学习目标
1.理解判断直线与双曲线的位置关系的方法.
2.会求解有关弦长问题.
3.会解决直线与双曲线的综合问题.
4.借助双曲线几何性质的应用及直线与双曲线位置关系的应用，提升逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养.
应用一 直线与双曲线的位置关系
典例1
规律方法
1.解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况.
2.双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.
3.注意对直线的斜率是否存在进行讨论.
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应用二 弦长公式及中点弦问题
典例2
√
规律方法
双曲线中有关弦长问题，解决方法与椭圆中类似.解决中点弦问题常用判别式法和点差法，注意所求参数的取值范围.
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应用三 直线与双曲线的综合问题
典例3
规律方法
双曲线的综合问题最终仍体现在直线与双曲线、轨迹、向量的应用及参数范围的探求上.设而不求，消参是解决这类问题常用的方法，在解题时，应有意识地运用这些方法，达到熟练掌握的程度.
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随堂评价
√
2.若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为
A.(－2，2) B.[－2，2)
C.(－2，2] D.[－2，2]
√
易知k≠±2，将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0，
由Δ＞0可得－2＜k＜2.
3.直线y＝x－1被双曲线2x2－y2＝3所截得的弦的中点坐标是
A.(1，2) B.(－2，－1)
C.(－1，－2) D.(2，1)
√
返回
课时测评
1.“直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
直线与双曲线有唯一交点时，直线与双曲线不一定相切(直线与双曲线的渐近线平行时)；直线与双曲线相切时，直线与双曲线一定有唯一
交点.
√
√
√
√
√
√
√
3x＋4y－5＝0
2
√
√
10
√
设△AF1F2的内切圆圆心为I1，
△BF1F2的内切圆圆心为I2，边｜AF1｜，｜AF2｜，
｜F1F2｜上的切点分别为M，N，E，
易知I1，E的横坐标相等，
则｜AM｜＝｜AN｜，｜F1M｜＝｜F1E｜，｜F2N｜＝｜F2E｜，
由｜AF1｜－｜AF2｜＝2a，即｜AM｜＋｜MF1｜－(｜AN｜＋｜NF2｜)＝2a，
得｜MF1｜－｜NF2｜＝2a，即｜F1E｜－｜F2E｜＝2a，
记I1的横坐标为x0，则E(x0，0)，于是x0＋c－(c－x0)＝2a，得x0＝a，
同理圆心I2的横坐标也为a，则有I1I2⊥x轴，
设直线l的倾斜角为θ，
返回第2课时 双曲线的标准方程及其性质的应用
学习目标 1.理解判断直线与双曲线的位置关系的方法. 2.会求解有关弦长问题. 3.会解决直线与双曲线的综合问题. 4.借助双曲线几何性质的应用及直线与双曲线位置关系的应用，提升逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养.
应用一 直线与双曲线的位置关系
已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，直线l与双曲线有两个不同的公共点，确定满足条件的实数k的取值范围.
解：联立
消去y，得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*)
当1－k2≠0，即k≠±1时，
Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2).
由得－＜k＜且k≠±1，
此时方程(*)有两个不同的实数解，即直线l与双曲线有两个不同的公共点.
[变式探究] 若直线l与双曲线有且只有一个公共点，确定满足条件的实数k的取值范围.
解：联立消去y，
得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*)
当1－k2≠0，即k≠±1时，
Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2).
由得k＝±，
此时方程(*)有两个相同的实数解，
即直线l与双曲线有且只有一个公共点；
当1－k2＝0，即k＝±1时，
直线l与双曲线的渐近线平行，方程(*)化为2x＝5，
故方程(*)只有一个实数解，即直线l与双曲线相交，
有且只有一个公共点.
故当k＝±或±1时，
直线l与双曲线有且只有一个公共点.
1.解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况. 2.双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行. 3.注意对直线的斜率是否存在进行讨论.
对点练1.已知双曲线x2－＝1，过点P(1，1)的直线l与双曲线只有一个公共点，求直线l的斜率k.
解：①当直线l的斜率不存在时，
l：x＝1与双曲线相切，符合题意.
②当直线l的斜率存在时，
设l的方程为y＝k(x－1)＋1，
代入双曲线方程，
得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0.
当4－k2＝0时，k＝±2，
l与双曲线的渐近线平行，l与双曲线只有一个公共点；
当4－k2≠0时，令Δ＝0，得k＝.
综上，k＝或k＝±2或k不存在.
应用二 弦长公式及中点弦问题
已知双曲线C：x2－y2＝2，过右焦点的直线交双曲线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为4，则弦AB的长为( )
A.3 B.4
C.6 D.6
答案：D
解析：双曲线C：－＝1，则c2＝4，
所以右焦点为F(2，0)，
根据题意易得过F的直线斜率存在，
设方程为y＝k(x－2)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，
联立
化简得(1－k2)x2＋4k2x－4k2－2＝0，
所以xA＋xB＝，xAxB＝.
因为线段AB中点的横坐标为4，
所以xA＋xB＝＝8，
解得k2＝2，所以xAxB＝＝10，
则(xA－xB)2＝(xA＋xB)2－4xAxB＝82－4×10＝24，
则｜AB｜＝＝＝6.
双曲线中有关弦长问题，解决方法与椭圆中类似.解决中点弦问题常用判别式法和点差法，注意所求参数的取值范围.
对点练2.已知双曲线的方程为x2－＝1.试问：双曲线上是否存在被点B(1，1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由.
解：设双曲线上存在被点B平分的弦MN，且点M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，且
由①－②得(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
所以kMN＝＝2，
所以直线MN的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
由消去y，得2x2－4x＋3＝0.
又Δ＝－8＜0，所以直线MN与双曲线不相交，
故双曲线上不存在被点B平分的弦.
应用三 直线与双曲线的综合问题
已知双曲线E：－＝1的两条渐近线分别为l1：y＝，l2：y＝－.
(1)求双曲线E的离心率；
(2)O为坐标原点，过双曲线上一点P作直线l分别交直线l1，l2于A，B两点(A，B分别在第一、第四象限)，且＝2，求△AOB的面积.
解：(1)因为双曲线E的渐近线分别为l1：y＝，
l2：y＝－，
所以＝，e＝＝＝＝，
所以双曲线E的离心率为.
(2)由(1)得＝，则可设双曲线E：－y2＝λ，λ＞0.
因为P在双曲线上，
所以λ＝2－1＝1，则双曲线E的方程为－y2＝1.
又点A，B分别在l1：y＝与l2：y＝－上，
设A，B，因为＝2，
所以＝2，
则x1＝，x2＝3－3，
又＝＝x1＝，
同理得＝x2＝，
设OA的倾斜角为θ，且tan θ＝＝，则sin∠AOB＝sin 2θ＝＝＝＝，
所以S△AOB＝sin∠AOB＝×××＝.
双曲线的综合问题最终仍体现在直线与双曲线、轨迹、向量的应用及参数范围的探求上.设而不求，消参是解决这类问题常用的方法，在解题时，应有意识地运用这些方法，达到熟练掌握的程度.
对点练3.设A，B分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝t.求t的值及点D的坐标.
解：(1)由题意知a＝2，
所以一条渐近线方程为y＝ x，
即bx－2y＝0，所以＝，
又c2＝a2＋b2＝12＋b2，
所以b2(12＋b2)＝3(b2＋12)，所以b2＝3，
所以双曲线的方程为－＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)(x0＞0)，
则由＋＝t，得(x1，y1)＋(x2，y2)＝t(x0，y0)，所以x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0.
将直线方程代入双曲线方程，消去y得x2－16x＋84＝0，
则x1＋x2＝16，y1＋y2＝(x1－2)＋(x2－2)＝(x1＋x2)－4＝12，
所以
由＋＝t，
得(16，12)＝(4t，3t)，
所以t＝4，点D的坐标为(4，3).
1.直线y＝x＋3与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的交点个数是( )
A.1 B.2
C.1或2 D.0
答案：A
解析：由双曲线方程－＝1(a＞0，b＞0)，
可得其渐近线方程为y＝±x，
因为直线y＝x＋3与双曲线的一条渐近线y＝x平行，
所以它与双曲线只有1个交点.
2.若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为( )
A.(－2，2) B.[－2，2)
C.(－2，2] D.[－2，2]
答案：A
解析：易知k≠±2，将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0，
由Δ＞0可得－2＜k＜2.
3.直线y＝x－1被双曲线2x2－y2＝3所截得的弦的中点坐标是( )
A.(1，2) B.(－2，－1)
C.(－1，－2) D.(2，1)
答案：C
解析：将y＝x－1代入2x2－y2＝3，
得x2＋2x－4＝0，
由此可得弦的中点的横坐标为＝＝－1，纵坐标为－1－1＝－2.
4.过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则｜AB｜＝ .
答案：4
解析：由双曲线方程可得右焦点为(2，0)，渐近线方程为y＝±x，把x＝2代入渐近线方程，得y＝±2，故｜AB｜＝4.
课时测评32 双曲线的标准方程及其性质的应用
(时间：60分钟 满分：110分)
(1—8小题，每小题5分，共40分)
1.“直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案：B
解析：直线与双曲线有唯一交点时，直线与双曲线不一定相切(直线与双曲线的渐近线平行时)；直线与双曲线相切时，直线与双曲线一定有唯一交点.
2.若直线x＝a与双曲线－y2＝1有两个交点，则a的值可以是( )
A.4 B.2
C.1 D.－2
答案：A
解析：因为在双曲线－y2＝1中，x≥2或x≤－2，
所以若x＝a与双曲线有两个交点，
则a＞2或a＜－2，故只有A符合题意.
3.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个顶点分别为A，B，点P为双曲线上除A，B外任意一点，且点P与点A，B连线的斜率分别为k1，k2，若k1k2＝3，则双曲线的渐近线方程为( )
A.y＝±x B.y＝±x
C.y＝±x D.y＝±2x
答案：C
解析：设点P(x，y)，由题意知k1·k2＝·＝＝＝＝3，
所以其渐近线方程为y＝±x，故选C.
4.设点F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a＞0)的左、右焦点，过点F1且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点.若△ABF2的面积为2，则该双曲线的渐近线方程为( )
A.y＝±x B.y＝±x
C.y＝±x D.y＝±x
答案：D
解析：设F1(－c，0)，A(－c，y0)，
则－＝1，所以＝－1＝＝＝，
所以＝，所以｜AB｜＝2｜y0｜＝.
又＝2，所以·2c· ｜AB｜＝·2c·＝＝2，所以＝，
所以＝＝.
所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x.
5.(多选)已知双曲线C：－＝1过点(3，)，则下列结论正确的是( )
A.C的焦距为4
B.C的离心率为
C.C的渐近线方程为y＝±x
D.直线2x－y－1＝0与C有两个公共点
答案：AC
解析：由双曲线C：－＝1过点(3，)，可得m＝1，则双曲线C的标准方程为－y2＝1.所以a＝，b＝1，c＝＝2，因为双曲线C的焦距为2c＝4，所以选项A正确；
因为双曲线C的离心率为＝＝，所以选项B不正确；
因为双曲线C的渐近线方程为y＝±x，所以选项C正确；
将直线2x－y－1＝0与双曲线－y2＝1联立，消去y可得3x2－4x＋4＝0，Δ＝－4×3×4＝－32＜0，所以直线2x－y－1＝0与双曲线C没有公共点，所以选项D不正确.
6.已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1，F2，过F1的直线l与双曲线相交于A，B两点，则满足｜AB｜＝3的直线l有( )
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
答案：C
解析：双曲线－＝1，
过F1的直线l垂直于x轴时，
｜AB｜＝＝＝3，
双曲线两个顶点的距离为2，
所以满足｜AB｜＝3的直线l有3条，
一条是通径所在的直线，另两条与右支相交.
7.过点A(3，－1)且被A点平分的双曲线－y2＝1的弦所在的直线方程是 .
答案：3x＋4y－5＝0
解析：易知所求直线的斜率存在，设为k，
则该直线的方程为y＋1＝k(x－3)，
代入－y2＝1，
消去y得关于x的一元二次方程
(1－4k2)x2＋(24k2＋8k)x－36k2－24k－8＝0(1－4k2≠0)，
所以－＝6，
所以k＝－(满足Δ＞0)，
所以所求直线方程为3x＋4y－5＝0.
8.双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝ .
答案：2
解析：设B为双曲线的右焦点，如图所示.因为四边形OABC为正方形且边长为2，
所以c＝｜OB｜＝2.
又∠AOB＝，
所以＝tan ＝1，即a＝b.
又因为a2＋b2＝c2＝8，所以a＝2.
9.(13分)设A，B为双曲线x2－＝1上的两点，线段AB的中点为M(1，2).求：
(1)直线AB的方程；
(2)△OAB的面积(O为坐标原点).
解：(1)显然直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为y－2＝k(x－1)，
即y＝kx＋2－k.
由
消去y，整理得(2－k2)x2－2k(2－k)x－k2＋4k－6＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则1＝＝(2－k2≠0)，解得k＝1.
当k＝1时，满足Δ＞0，
所以直线AB的方程为y＝x＋1.
(2)由(1)得x1＋x2＝2，x1x2＝－3，
所以｜AB｜＝·
＝×＝4.
又点O到直线AB的距离d＝＝，
所以S△AOB＝｜AB｜·d＝×4×＝2.
10.(15分)已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A，B两点，试问A，B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长.
解：双曲线方程可化为x2－＝1，
故a2＝1，b2＝3，c2＝a2＋b2＝4，
所以c＝2.所以F2(2，0)，
又直线l的倾斜角为45°，
所以直线l的斜率k＝tan 45°＝1，
所以直线l的方程为y＝x－2，
代入双曲线方程，得2x2＋4x－7＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因为x1·x2＝－＜0，
所以A，B两点不位于双曲线的同一支上.
因为x1＋x2＝－2，x1·x2＝－，
所以｜AB｜＝·
＝× ＝6.
(11—14小题，每小题5分，共20分)
11.已知双曲线E的中心在原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案：B
解析：由已知条件易得直线l的斜率k＝＝1，
设双曲线E的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则－＝1，①
－＝1，②
x1＋x2＝－24，y1＋y2＝－30，
由①②得＝，从而＝1，
又因为a2＋b2＝c2＝9，
故a2＝4，b2＝5，所以E的方程为－＝1.
12.设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点.若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线方程为( )
A.y＝±x B.y＝±x
C.y＝±x D.y＝±x
答案：C
解析：设双曲线的半焦距为c，
则F(c，0)，将x＝c代入双曲线－＝1，
得y＝±，不妨取C，B，
又A1(－a，0)，A2(a，0)，
故＝＝－，＝＝.
因为A1B⊥A2C，
故－×＝－1，
即＝1，即＝1，
所以a＝b，故渐近线方程是y＝±x＝±x.
13.设双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F作平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为 .
答案：
解析：双曲线－＝1的右顶点A(3，0)，右焦点F(5，0)，渐近线方程为y＝±x.不妨设直线FB的方程为y＝(x－5)，代入双曲线方程整理，得x2－(x－5)2＝9，
解得x＝，y＝－，所以B.
所以S△AFB＝｜AF｜｜yB｜＝(c－a)·｜yB｜＝×(5－3)×＝.
14.已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝x，过其左焦点F(－，0)作斜率为2的直线l交双曲线C于A，B两点，则截得的弦长｜AB｜＝ .
答案：10
解析：因为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝x，
所以＝，即b＝a，
因为左焦点F(－，0)，所以c＝，
所以c2＝a2＋b2＝3a2＝3，
所以a2＝1，b2＝2，
所以双曲线方程为x2－＝1，直线l的方程为y＝2(x＋)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去y可得x2＋4x＋7＝0，
所以x1＋x2＝－4，x1x2＝7，
所以｜AB｜＝·＝×＝×＝10.
15.(5分)已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点和右焦点，过F2的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，△AF1F2的内切圆半径为r1，△BF1F2的内切圆半径为r2，若r1＝2r2，则直线l的斜率为( )
A.1 B.
C.2 D.2
答案：D
解析：设△AF1F2的内切圆圆心为I1，
△BF1F2的内切圆圆心为I2，边｜AF1｜，｜AF2｜，
｜F1F2｜上的切点分别为M，N，E，
易知I1，E的横坐标相等，
则｜AM｜＝｜AN｜，｜F1M｜＝｜F1E｜，｜F2N｜＝
｜F2E｜，
由｜AF1｜－｜AF2｜＝2a，即｜AM｜＋｜MF1｜－(｜AN｜＋｜NF2｜)＝2a，
得｜MF1｜－｜NF2｜＝2a，即｜F1E｜－｜F2E｜＝2a，
记I1的横坐标为x0，则E(x0，0)，于是x0＋c－(c－x0)＝2a，得x0＝a，
同理圆心I2的横坐标也为a，则有I1I2⊥x轴，
设直线l的倾斜角为θ，
则∠OF2I2＝，∠I1F2O＝90°－，
则tan ＝，tan∠I1F2O＝tan＝＝，
因为r1＝2r2，所以tan2＝，
即tan ＝.所以tan θ＝＝2.
16.(17分)已知双曲线过点A(2，1)，它的渐近线方程是x±2y＝0.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的倾斜角互补，求直线l的斜率.
解：(1)若双曲线焦点在x轴上，设方程为－＝1，
则有
所以双曲线方程为－y2＝1.
若双曲线焦点在y轴上，设方程为－＝1，
则有无解.
综上双曲线方程为－y2＝1.
(2)易知，直线l的斜率一定存在，设方程为y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立消去y可得，(1－4k2)x2－8kmx－4m2－4＝0，
所以
可得k≠±，1＋m2＞4k2.
由韦达定理可得，x1＋x2＝，x1x2＝－，
y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝，
x1y2＋x2y1＝x1＋x2＝2kx1x2＋m(x1＋x2)＝.
因为直线AP，AQ的倾斜角互补，
所以kAP＋kAQ＝0，
即＋
＝＝0，
即＋
＝x1y2＋x2y1－(x1＋x2)－2(y1＋y2)＋4
＝＝0，
整理得(k＋1)(2k＋m－1)＝0，
解得k＝－或m＝1－2k.
当m＝1－2k时，直线y＝kx＋m为y－1＝kx－2k过定点A(2，1)，不满足题意，
所以k＝－.
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