3.5 圆锥曲线的应用
学习目标 1.了解圆锥曲线在自然界客观存在，了解圆锥曲线独特的几何性质、物理性质. 2.理解圆锥曲线的几何性质、物理性质在实际生活、生产实践中的应用，提升数学建模、逻辑推理、数学运算的核心素养.
应用一 实际生活中的椭圆问题
(多选)中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.2019年9月25日，中国科研人员利用嫦娥四号数据精确定位了嫦娥四号的着陆位置，并再现了嫦娥四号的落月过程，该成果由国际科学期刊《自然·通讯》在线发表.如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是( )
A.a1＋c1＝a2＋c2 B.a1－c1＝a2－c2
C.＜ D.＞
答案：BD
解析：由图可知，a1＞a2，c1＞c2，所以a1＋c1＞a2＋c2，所以A不正确；
在椭圆轨道Ⅰ中可得，a1－c1＝｜PF｜，
在椭圆轨道Ⅱ中可得，｜PF｜＝a2－c2，
所以a1－c1＝a2－c2，所以B正确；
a1＋c2＝a2＋c1，两边同时平方得，＋＋2a1c2＝＋＋2a2c1，
所以－＋2a1c2＝－＋2a2c1，
即＋2a1c2＝＋2a2c1，由图可得，＞，
所以2a1c2＜2a2c1，＜，所以C错误，D正确.
解决和椭圆有关的实际问题的思路(数学抽象) 1.通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题. 2.确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解. 3.用解得的结果说明原来的实际问题.
对点练1.某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高h为6米(如图所示)，路面设计是双向车道，车道总宽为8 米，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽d至少应是 米.
答案：32
解析：设椭圆方程为＋＝1，
当点(4，4.5)在椭圆上时，＋＝1，解得a＝16，
因为车辆高度不超过4.5米，所以a≥16，d＝2a≥32，
故拱宽至少为32米.
应用二 双曲线的实际生活应用
“神舟九号”飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记A，B，C)，A在B的正东方向，相距6千米，C在B的北偏西30°方向，相距4千米，P为航天员着陆点.某一时刻，A接收到P的求救信号，由于B，C两地比A距P远，在此4秒后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为1千米/秒，求在A处发现P的方位角.
解：如图所示，
以直线AB为x 轴，线段AB的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，
则A(3，0)，B(－3，0)，
C(－5，2).
因为｜PB｜＝｜PC｜，
所以点P在线段BC的垂直平分线上，
又易知kBC＝－，线段BC的中点D(－4，)，
所以直线PD的方程为y－＝(x＋4)，①
又｜PB｜－｜PA｜＝4＜6＝｜AB｜，
所以点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，且a＝2，c＝3，
所以双曲线方程为－＝1(x≥2)，②
联立①②，得P点坐标为(8，5)，
所以kPA＝＝，因此在A处发现P的方位角为北偏东30°.
利用双曲线解决实际问题的基本步骤 1.建立适当的坐标系. 2.求出双曲线的标准方程. 3.根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义).
对点练2.如图，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点D到A的距离比到B的距离远2 km，则曲线PQ的轨迹方程是 ；现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货物，那么这两条公路MB，MC的路程之和最短是 km.
答案：x2－＝1(x＞0) 2－2
解析：如图所示，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系.
则｜DA｜－｜DB｜＝2，根据双曲线定义知，轨迹为双曲线的右支.
故2c＝4，c＝2，2a＝2，a＝1，b2＝c2－a2＝4－1＝3，
故轨迹方程为x2－＝1(x＞0).
根据题意知C(3，)，｜MB｜＋｜MC｜＝｜MA｜＋｜MC｜－2≥｜AC｜－2＝2－2.
当A，M，C共线时等号成立.
应用三 抛物线的实际应用问题
河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？
解：如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系.设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，由题意可知，点B(4，－5)在抛物线上，故p＝，得x2＝－y.当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA'，则A(2，yA)，由22＝－yA，得yA＝－.又知船面露出水面上的部分高为0.75 m，所以h＝｜yA｜＋0.75＝2(m).所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m时，小船开始不能通航.
涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解.
对点练3.某桥的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为h，跨径为a，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为( )
A. B.
C. D.
答案：A
解析：如图所示，以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为y轴建立平面直角坐标系Oxy.设抛物线为x2＝－2py(p＞0)，结合题意可知，该抛物线经过点，则＝2hp，解得p＝，故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为p＝.
应用四 圆锥曲线的光学性质的实际应用
在天文望远镜的设计中利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点出发的入射光线经双曲线镜面反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图，已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，M是C的右支上一点，直线l与C相切于点M.由点F2出发的入射光线碰到点M后反射光线为MQ，法线(在光线投射点与分界面垂直的直线)交x轴于点N，此时直线l起到了反射镜的作用.若＝，则C的离心率为 .
答案：
解析：如图所示，过点F1作F1A⊥l于点A，延长F1A交MF2的延长线于点B.设l上有一点T，由题意可得∠TMQ＝∠F1MA，∠QMN＝∠F2MN.又NM⊥l，所以∠TMQ＝∠F2MA，所以∠F1MA＝∠F2MA，故＝.由双曲线定义可得－＝2a，故－＝＝2a.因为F1B⊥l，NM⊥l，所以F1B∥MN，故＝ ＝，故离心率为e＝＝＝＝.
对点练4.(多选)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A，B分别是它的左、右焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球(小球的半径不计)，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是( )
A.4a B.2(a－c)
C.2(a＋c) D.4c
答案：ABC
解析：①静放在点A的小球(小球的半径不计)从点A沿直线出发，经椭圆壁左顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2(a－c)；②静放在点A的小球(小球的半径不计)从点A沿直线出发，经椭圆壁右顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2(a＋c)；③静放在点A的小球(小球的半径不计)从点A沿直线出发，经椭圆壁(非左、右顶点)反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是4a.故选ABC.
应用五 圆锥曲线在建筑、工艺中的应用
(新情境)单叶双曲面是最受设计师青睐的结构之一，它可以用直的钢梁建造，既能减少风的阻力，又能用最少的材料来维持结构的完整.如图①，俗称小蛮腰的广州塔位于中国广州市，它的外形就是单叶双曲面，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.某市计划建造类似于广州塔的地标建筑，此地标建筑的平面图形是双曲线，如图②，最细处的直径为100 m，楼底的直径为50 m，楼顶直径为50 m，最细处距楼底300 m，则该地标建筑的高为( )
A.350 m B.375 m
C.400 m D.450 m
答案：C
解析：以地标建筑的最细处所在直线为x 轴，双曲线的虚轴为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，由题意可得A，C(25，－300)，设B，双曲线的方程是－＝1(a＞0，b＞0)，则－＝1，将点B－＝1，解得y0＝100，所以该地标建筑的高为300＋100＝400.故选C.
解决和圆锥曲线有关的实际问题的思路 1.通过数学抽象，找出实际问题中涉及的圆锥曲线的类型，将原实际问题转化为数学问题； 2.确定圆锥曲线的位置及要素，并利用圆锥曲线的方程或几何性质求出数学问题的解； 3.用解得的结果说明原来的实际问题.
对点练5.清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征.如图所示，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为3 cm，碗盖口直径为8 cm，碗体口直径为10 cm，碗体深6.25 cm，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为(碗和碗盖的厚度忽略不计)( )
A.5 cm B.6 cm
C.7 cm D.8.25 cm
答案：C
解析：以碗体的最低点为原点，向上方向为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示.设碗体的抛物线方程为x2＝2py(p＞0)，将点代入，得52＝2p×6.25，解得p＝2，则x2＝4y.设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为h，则两抛物线在第一象限的交点为，代入到x2＝4y，得42＝4，解得h＝7.故选C.
1.相距4k千米的A，B两地，听到炮弹爆炸的时间相差2秒，若声速每秒k千米，则炮弹爆炸点P的轨迹可能是( )
A.双曲线的一支 B.双曲线
C.椭圆 D.抛物线
答案：B
解析：由已知可得｜｜PA｜－｜PB｜｜＝2k＜4k＝｜AB｜，
根据双曲线的定义可知，点P在以A，B为焦点双曲线上，
则炮弹爆炸点P的轨迹可能是双曲线.
2.(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m千米，远地点B(离地面最远的点)距地面n千米，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c，则( )
A.a－c＝m＋R B.a＋c＝n＋R
C.2a＝m＋n D.b＝
答案：ABD
解析：因为地球的中心是椭圆的一个焦点，
并且根据图象可得(*)
所以a－c＝m＋R，故A正确；
a＋c＝n＋R，故B正确；
(*)中两式相加m＋n＝2a－2R，可得2a＝m＋n＋2R，故C不正确；
由(*)可得两式相乘可得(m＋R)(n＋R)＝a2－c2.
因为a2－c2＝b2，
所以b2＝(m＋R)(n＋R) b＝，故D正确.
3.为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个太阳灶，如图所示.集光板由抛物面(抛物线绕对称轴旋转得到)形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为2 m，镜深0.25 m，为达到最佳吸收太阳光的效果，容器灶圈应距离集光板顶点( )
A.0.5 m B.1 m
C.1.5 m D.2 m
答案：B
解析：若使吸收太阳光的效果最好，容器灶圈应在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处，
如图，画出抛物面的轴截面，并建立坐标系，
设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)，集光板端点A(1，0.25) ，
代入抛物线方程可得2×0.25p＝1，p＝2，
所以抛物线方程为x2＝4y，故焦点坐标是F(0，1).
所以容器灶圈应距离集光板顶点1 m.
课时测评37 圆锥曲线的应用
(时间：60分钟 满分：110分)
(1—8小题，每小题5分，共40分)
1.某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e，设地球半径为R，该卫星近地点离地面的距离为r，则该卫星远地点离地面的距离为( )
A.r＋R B.r＋R
C.r＋R D.r＋R
答案：A
解析：椭圆的离心率e＝∈(0，1)(c为半焦距，a为长半轴)，
设卫星近地点，远地点离地面距离分别为r，n，如图所示
则n＝a＋c－R，r＝a－c－R，所以a＝，
c＝，
n＝a＋c－R＝＋－R＝r＋R.
2.德国天文学家开普勒发现天体运行轨道是椭圆，已知地球运行的轨道是一个椭圆，太阳在它的一个焦点上，轨道近日点到太阳中心的距离和远日点到太阳中心的距离之比是29∶30，那么地球运行轨道所在椭圆的离心率是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解析：设椭圆的长半轴长为a，半焦距为c，
由题意可得＝，
整理得a＝59c，即＝.
所以地球运行轨道所在椭圆的离心率是.
3.如图所示，抛物线形拱桥的顶点距水面2 m时，测得拱桥内水面宽为12 m，当水面升高1 m后，拱桥内水面宽度是( )
A.6 m B.6 m
C.3 m D.3 m
答案：A
解析：以抛物线顶点为坐标原点，平行水面的直线x轴建立直角坐标系，如图所示，
可设抛物线方程为x2＝my，
因为过点(6，－2)，
所以62＝－2m，m＝－18，x2＝－18y，
令y＝－1，则｜x｜＝3，所以2｜x｜＝6 m.
4.已知水平地面上有一篮球，球的中心为O'，在斜平行光线的照射下，其阴影为一椭圆(如图所示)，在平面直角坐标系中，椭圆中心O为原点，设椭圆的方程为＋＝1，篮球与地面的接触点为H，则｜OH｜的长为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解析：在照射过程中，椭圆的短半轴长是球的半径，
由图得∠O'AB＋∠O'BA＝(∠A'AB＋∠B'BA)＝×180°＝90°，
所以∠AO'B＝90°，由O是中点，故有球心到椭圆中心的距离是椭圆的长半轴长，
过球心向地面做垂线，垂足是H，
在构成的直角三角形O'HO中，OO'2＝OH2＋O'H2，
所以OH＝＝＝.
5.有一凸透镜其剖面图(如图所示)是由椭圆＋＝1和双曲线－＝1(a＞m＞0)的实线部分组成，已知两曲线有共同焦点M，N，A，B分别在左右两部分实线上运动，则△ANB周长的最小值为( )
A.2(a－m) B.(a－m)
C.2(b－n) D.2(a＋m)
答案：A
解析：由题得，设周长为l，
l＝｜AB｜＋｜BN｜＋
｜AN｜＝｜AB｜＋2a－
｜BM｜＋｜AM｜－2m，
因为｜AB｜＋｜AM｜≥｜BM｜ l≥2a－2m，
当且仅当M，A，B共线时，△ANB的周长最小.
6.一块面积为12公顷的三角形形状的农场，如图所示，在△PEF中，已知tan∠PEF＝，tan∠PFE＝－2，试建立适当的平面直角坐标系，求出分别以E，F为左、右焦点且过点P的双曲线方程为 .
答案：－＝1
解析：以EF所在直线为x轴，EF的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
设以E，F为焦点且过点P的双曲线方程为－＝1，
焦点为E(－c，0)，F(c，0).
由tan∠PEF＝，tan∠EFP＝－2，
设∠PFx＝α，则tan α＝tan(π－∠EFP)＝2，
得直线PE和直线PF的方程分别为y＝(x＋c)①
和y＝2(x－c).②
将①②联立，解得x＝c，y＝c，
即P点坐标为.
在△EFP中，｜EF｜＝2c，EF上的高为点P的纵坐标，
由题设条件S△EFP＝c2＝12，
所以c＝3，即P点坐标为(5，4).
由两点间的距离公式｜PE｜＝＝4，
｜PF｜＝＝2，｜PE｜－｜PF｜＝2a，
所以a＝，
又b2＝c2－a2＝4，
故所求双曲线的方程为－＝1.
7.美学四大构件是：史诗、音乐、造型(绘画、建筑等)和数学.素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步.某同学在画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫作切面圆柱体)的过程中，发现“切面”是一个椭圆(如图所示)，若“切面”所在平面与底面成60°角，则该椭圆的离心率为 .
答案：
解析：椭圆长轴长为2a，短轴长为2b，“切面”是一个椭圆，由“切面”所在平面与底面成60°角，
可得＝cos 60°，即a＝2b，
所以e＝＝＝.
8.万众瞩目的北京冬奥会于2022年2月4日正式开幕，继2008年北京奥运会之后，国家体育场(又名鸟巢)再次承办奥运会开幕式.在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆.已知大椭圆的长轴长为40 cm，短轴长为20 cm，小椭圆的短轴长为10 cm，则小椭圆的长轴长为 cm.
答案：20
解析：因为两个椭圆的扁平程度相同，所以椭圆的离心率相同，所以＝，
即＝.
所以 ＝，解得a小＝10.
所以小椭圆的长轴长为20 cm.
9.(10分)某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C，曾有渔船在距A岛、B岛距离和为8海里处发现过鱼群，以A，B所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示.
(1)求曲线C的标准方程；
(2)某日，研究人员在A，B两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同)，A，B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3，你能否确定P处的位置(即点P的坐标)？
解：(1)由题意知曲线C是以A，B为焦点且2a为8的椭圆，又2c＝4，则c＝2，a＝4，故b＝2，
所以曲线C的方程＋＝1.
(2)由于A，B两岛收到鱼群反射信号的时间比为5∶3，因此设鱼群此时距A，B两岛的距离比为5∶3，即鱼群分别距A，B两岛的距离为5海里和3海里，设P(x，y)，B(2，0)，由｜PB｜＝3，得＝3，
所以
所以点P的坐标为(2，3)或(2，－3).
10.(13分)汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线为抛物线，灯口直径为197 mm，反光曲面的顶点到灯口的距离是69 mm.由抛物线的性质可知，当灯泡安装在抛物线的焦点处时，经反光曲面反射后的光线是平行光线.为了获得平行光线，应怎样安装灯泡？(精确到1 mm)
解：如图，在车灯的一个轴截面上建立平面直角坐标系，设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，灯泡应安装在其焦点F处.在x轴上取一点C，使｜OC｜＝69 mm，过点C作x轴的垂线，交抛物线于A，B两点，线段AB就是灯口的直径，
即｜AB｜＝197 mm，则点A的坐标为.
将点A的坐标代入方程y2＝2px(p＞0)，解得p≈70，此时焦点F的坐标约为(35，0).
因此，灯泡应安装在对称轴上距顶点约35 mm处.
(11—13小题，每小题5分，共15分)
11.圆锥曲线与空间几何体具有深刻而广泛的联系，如图所示，底面半径为1，高为3的圆柱内放有一个半径为1的球，球与圆柱下底面相切，作不与圆柱底面平行的平面α与球相切于点F，若平面α与圆柱侧面相交所得曲线为封闭曲线τ，τ是以F为一个焦点的椭圆，则τ的的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解析：当α与底面趋于平行时τ几乎成为一个圆，因此离心率可以充分接近0.当α与底面的夹角最大时，τ的离心率达到最大，下面求解这一最大值.如图，AB为长轴，F为焦点时，e最大，a＋c＝｜BF｜＝｜BG｜＝2，
易知b＝1，所以则e＝＝，则离心率的取值范围是.
12.神舟五号飞船成功完成了第一次载人航天飞行，实现了中国人民的航天梦想.某段时间飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆，地心为椭圆的一个焦点，如图所示.假设航天员到地球的最近距离为d1，最远距离为d2，地球的半径为R，我们想象存在一个镜像地球，其中心在神舟飞船运行轨道的另外一个焦点上，上面住着一个神秘生物发射某种神秘信号，需要飞行中的航天员中转后地球人才能接收到，则传送神秘信号的最短距离为( )
A.d1＋d2＋R B.d2－d1＋2R
C.d2＋d1－2R D.d1＋d2
答案：D
解析：设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，半焦距为c，两焦点分别为F1，F2，飞行中的航天员为点P，由已知可得则2a＝d1＋d2＋2R，故传送神秘信号的最短距离为｜PF1｜＋｜PF2｜－2R＝2a－2R＝d1＋d2.
13.光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射.已知光线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点发出；如图，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)与双曲线C'：－＝1(m＞0，n＞0)有公共焦点，现一光线从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，则光线经过2k(k∈N＋)次反射后回到左焦点所经过的路径长为 .
答案：2k(a－m)
解析：光线从左焦点出发经过椭圆反射要回到另一个焦点，光线从双曲线的左焦点出发被双曲线反射后，反射光线的反向延长线过另一个焦点，如图，
｜BF2｜＝2m＋｜BF1｜，
｜BF1｜＋｜BA｜＋｜AF1｜＝｜BF2｜－2m＋｜BA｜＋｜AF1｜＝｜AF2｜＋｜AF1｜－2m＝2a－2m，
所以光线经过2k(k∈N＋)次反射后回到左焦点所经过的路径长为2k(a－m).
14.(15分)某工程需要开挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的土只能沿道路AP，BP运到P处(如图)，｜AP｜＝100 m，｜BP｜＝150 m，∠APB＝60°，试说明怎样运土才能最省工.
解：如图，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设M是分界线上的点，则｜MA｜＋｜AP｜＝｜MB｜＋｜BP｜，即｜MA｜－｜MB｜＝｜BP｜－｜AP｜＝150－100＝50(m)，在△APB中，｜AB｜2＝｜AP｜2＋｜BP｜2－2｜AP｜·｜BP｜·cos 60°＝17 500，故｜MA｜－｜MB｜＜｜AB｜.这说明分界线是以A，B为焦点的双曲线的右支，且a＝25.
而c2＝＝4 375，b2＝3 750，
故所求分界线的方程为－＝1(x≥25).
即在运土时，将此分界线左侧的土沿道路AP运到P处，右侧的土沿道路BP运到P处最省工.
15.(17分)如图，我区新城公园将在长34米、宽30米的矩形地块内开凿一个“挞圆”形水池，水池边缘由两个半椭圆＋＝1(x≤0)和＋＝1(x≥0)组成，其中a＞b＞9，“挞圆”内切于矩形(即“挞圆”与矩形各边均有且只有一个公共点).
(1)求“挞圆”的方程；
(2)在“挞圆”形水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼，若该矩形网箱的一条边所在直线方程为y＝t(t∈(0，15))，求该网箱所占水面面积的最大值.
解：(1)由题意知b＝15，a＋9＝34，
解得a＝25，b＝15.
所以“挞圆”方程为＋＝1(x≤0)和＋＝1(x≥0).
(2)设P(x0，t)为矩形在第一象限内的顶点，Q(x1，t)为矩形在第二象限内的顶点，
则＋＝1，＋＝1，
可得x1＝－x0.
所以内接矩形的面积S＝2t(x0－x1)＝2t×x0＝15×34×2··≤15×34＝510，
当且仅当＝时，S取最大值510.
所以网箱所占水面面积的最大值为510 m2.
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3.5 圆锥曲线的应用
第1章 圆锥曲线与方程
学习目标
1.了解圆锥曲线在自然界客观存在，了解圆锥曲线独特的几何性质、物理性质.
2.理解圆锥曲线的几何性质、物理性质在实际生活、生产实践中的应用，提升数学建模、逻辑推理、数学运算的核心素养.
应用一 实际生活中的椭圆问题
典例1
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√
规律方法
解决和椭圆有关的实际问题的思路(数学抽象)
1.通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题.
2.确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解.
3.用解得的结果说明原来的实际问题.
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应用二 双曲线的实际生活应用
典例2
规律方法
利用双曲线解决实际问题的基本步骤
1.建立适当的坐标系.
2.求出双曲线的标准方程.
3.根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义).
对点练2．如图，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点D到A的距离比到B的距离远2
km，则曲线PQ的轨迹方程是________________；现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货物，那么这两条公路MB，MC的路程之和最短是________km.
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应用三 抛物线的实际应用问题
典例3
规律方法
涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解.
√
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应用四 圆锥曲线的光学性质的实际应用
典例4
对点练4．(多选)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A，B分别是它的左、右焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球(小球的半径不计)，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是
A.4a B.2(a－c)
C.2(a＋c) D.4c
√
√
√
①静放在点A的小球(小球的半径不计)从点A沿直线出发，经椭圆壁左顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2(a－c)；②静放在点A的小球(小球的半径不计)从点A沿直线出发，经椭圆壁右顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2(a＋c)；③静放在点A的小球(小球的半径不计)从点A沿直线出发，经椭圆壁(非左、右顶点)反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是4a.故选ABC.
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应用五 圆锥曲线在建筑、工艺中的应用
典例5
√
规律方法
解决和圆锥曲线有关的实际问题的思路
1.通过数学抽象，找出实际问题中涉及的圆锥曲线的类型，将原实际问题转化为数学问题；
2.确定圆锥曲线的位置及要素，并利用圆锥曲线的方程或几何性质求出数学问题的解；
3.用解得的结果说明原来的实际问题.
对点练5．清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征.如图所示，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为3 cm，碗盖口直径为8 cm，碗体口直径为10 cm，碗体深6.25 cm，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为(碗和碗盖的厚度忽略不计)
A.5 cm
B.6 cm
C.7 cm
D.8.25 cm
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随堂评价
1.相距4k千米的A，B两地，听到炮弹爆炸的时间相差2秒，若声速每秒k千米，则炮弹爆炸点P的轨迹可能是
A.双曲线的一支 B.双曲线
C.椭圆 D.抛物线
√
由已知可得｜｜PA｜－｜PB｜｜＝2k＜4k＝｜AB｜，
根据双曲线的定义可知，点P在以A，B为焦点双曲线上，
则炮弹爆炸点P的轨迹可能是双曲线.
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3.为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个太阳灶，如图所示.集光板由抛物面(抛物线绕对称轴旋转得到)形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为2 m，镜深0.25 m，为达到最佳吸收太阳光的效果，容器灶圈应距离集光板顶点
A.0.5 m
B.1 m
C.1.5 m
D.2 m
√
若使吸收太阳光的效果最好，容器灶圈应在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处，
如图，画出抛物面的轴截面，并建立坐标系，
设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)，集光板端点A(1，
0.25) ，
代入抛物线方程可得2×0.25p＝1，p＝2，
所以抛物线方程为x2＝4y，故焦点坐标是F(0，1).
所以容器灶圈应距离集光板顶点1 m.
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课时测评
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7.美学四大构件是：史诗、音乐、造型(绘画、建筑等)和数学.素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步.某同学在画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫作切面圆柱体)的过程中，发现“切面”是一个椭圆(如图所示)，若“切面”所在平面与底面成60°
角，则该椭圆的离心率为___.
8.万众瞩目的北京冬奥会于2022年2月4日正式开幕，继2008年北京奥运会之后，国家体育场(又名鸟巢)再次承办奥运会开幕式.在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆.已知大椭圆的长轴长为40 cm，短轴长为20 cm，小椭圆的短轴长为10 cm，则小椭圆的长轴长为_____cm.
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12.神舟五号飞船成功完成了第一次载人航天飞行，实现了中国人民的航天梦想.某段时间飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆，地心为椭圆的一个焦点，如图所示.假设航天员到地球的最近距离为d1，最远距离为d2，地球的半径为R，我们想象存在一个镜像地球，其中心在神舟飞船运行轨道的另外一个焦点上，上面住着一个神秘生物发射某种神秘信号，需要飞行中的航天员中转后地球人才能接收到，则传送神秘信号的最短距离为
A.d1＋d2＋R
B.d2－d1＋2R
C.d2＋d1－2R
D.d1＋d2
2k(a
－m)
光线从左焦点出发经过椭圆反射要回到另一个焦点，
光线从双曲线的左焦点出发被双曲线反射后，反射光
线的反向延长线过另一个焦点，如图，
｜BF2｜＝2m＋｜BF1｜，
｜BF1｜＋｜BA｜＋｜AF1｜＝｜BF2｜－2m＋｜BA｜＋｜AF1｜＝｜AF2｜＋｜AF1｜－2m＝2a－2m，
所以光线经过2k(k∈N＋)次反射后回到左焦点所经过的路径长为2k(a－m).
14.(15分)某工程需要开挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的土只能沿道路AP，BP运到P处(如图)，｜AP｜＝100 m，｜BP｜＝150 m，∠APB＝60°，试说明怎样运土才能最省工.
解：如图，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设M是分界线上的点，则｜MA｜＋｜AP｜＝｜MB｜＋｜BP｜，即｜MA｜－｜MB｜＝｜BP｜－｜AP｜＝150－100＝50(m)，在△APB中，｜AB｜2＝｜AP｜2＋｜BP｜2－2｜AP｜·｜BP｜·cos 60°＝17 500，故｜MA｜－｜MB｜＜｜AB｜.这说明分界线是以A，B为焦点的双曲线的右支，且a＝25.
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