4.1 两个计数原理
第1课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
学习目标 1.通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义，培养学生直觉观察、分类讨论的逻辑推理能力. 2.通过简单实际问题的解决提升逻辑推理、数学运算、直观想象的核心素养.
任务一 分类加法计数原理
如果完成一件事有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，…，在第 n类办法中有mn种不同的方法，每种方法都能独立完成这件事，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法.我们把分类加法计数原理简称为分类计数原理，或加法原理.
某校高三共有三个班，其各班人数如下表：
班级 男生数 女生数 总数
高三(1) 30 20 50
高三(2) 30 30 60
高三(3) 35 20 55
(1)从三个班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？
(2)从(1)班、(2)班男生中或从(3)班女生中选一名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？
解：(1)从三个班中任选一名学生，可分三类：
第1类，从高三(1)班任选一名学生，有50种不同选法；
第2类，从高三(2)班任选一名学生，有60种不同选法；
第3类，从高三(3)班任选一名学生，有55种不同选法.
由分类加法计数原理知，不同的选法共有N＝50＋60＋55＝165(种).
(2)由题设知共有三类：
第1类，从(1)班男生中任选一名学生，有30种不同选法；
第2类，从(2)班男生中任选一名学生，有30种不同选法；
第3类，从(3)班女生中任选一名学生，有20种不同选法.
由分类加法计数原理知，不同的选法共有N＝30＋30＋20＝80(种).
分类加法计数原理解题的一般思路
对点练1.连接正八边形的三个顶点而成的三角形中与正八边形有公共边的三角形的个数为( )
A.40 B.30
C.20 D.10
答案：A
解析：由题意知满足条件的三角形分为两类：
第一类，与正八边形有两条公共边的三角形有8个；
第二类，与正八边形有一条公共边的三角形有8×4＝32(个).
由分类加法计数原理，知满足条件的三角形有8＋32＝40(个).
对点练2.已知集合P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，其中x，y∈{1，2，3，…，9}，且P Q.把满足上述条件的一个有序数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数为( )
A.9 B.14
C.15 D.21
答案：B
解析：因为集合P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，且P Q，所以x＝y≠1，2或x＝2，y≠1，2.分两类：①当x＝y≠1，2时，x可取3，4，5，6，7，8，9，则有序数对(x，y)共有7种情况；②当x＝2，y≠1，2时，y可取3，4，5，6，7，8，9，则有序数对(x，y)共有7种情况.由分类加法计数原理，知这样的点的个数为7＋7＝14.
任务二 分步乘法计数原理
如果完成一件事需要分成n个步骤，第一步有m1种不同的方法，第二步有m2种不同的方法，…，第n步有mn种不同的方法，每个步骤都完成才算做完这件事，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法.我们把分步乘法计数原理简称为分步计数原理，或乘法原理.
有6名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法(不一定6名同学都参加)？
(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；
(2)每项只允许报一人，且每人至多参加一项；
(3)每项只允许报一人，但每人参加的项目不限.
解：(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法.
根据分步乘法计数原理，
可得不同的报名方法种数为36＝729.
(2)每项只允许报一人，且每人至多参加一项，
因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，
第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法.
根据分步乘法计数原理，
可得不同的报名方法种数为6×5×4＝120.
(3)每人参加的项目不限，
因此每一个项目都可以从这6人中选出1人参赛.
根据分步乘法计数原理，
可得不同的报名方法种数为63＝216.
分步乘法计数原理解题的一般思路
对点练3.回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3 443，94 249等.显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99，3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999，则
(1)4位回文数有 个；
(2)2n＋1(n∈N＋)位回文数有 个.
答案：(1)90 (2)9×10n
解析：(1)4位回文数相当于填4个方格，首尾相同，且不为0，共9种填法，中间两位相同，有10种填法，共计9×10＝90(种)填法，即4位回文数有90个.
(2)根据回文数的定义，此问题也可以转化成填方格.由分步乘法计数原理，知2n＋1(n∈N＋)位回文数有9×10n个.
任务三 两个原理的综合应用
有一项活动，需从3位教师、8名男同学和5名女同学中选人参加.
(1)若只需1人参加，则有多少种不同的选法？
(2)若需教师、男同学、女同学各1人参加，则有多少种不同的选法？
解：(1)选1人，可分三类：
第1类，从教师中选1人，有3种不同的选法；
第2类，从男同学中选1人，有8种不同的选法；
第3类，从女同学中选1人，有5种不同的选法.
共有3＋8＋5＝16(种)不同的选法.
(2)选教师、男同学、女同学各1人，分三步进行：
第1步，选教师，有3种不同的选法；
第2步，选男同学，有8种不同的选法；
第3步，选女同学，有5种不同的选法.
共有3×8×5＝120(种)不同的选法.
使用两个原理的原则 使用两个原理解题时，一定要从“分类”“分步”的角度入手，“分类”是对于较复杂应用问题的元素分成互相排斥的几类，逐类解决，用分类加法计数原理；“分步”就是把问题分化为几个互相关联的步骤，然后逐步解决，这时可用分步乘法计数原理.
对点练4.某校高中三年级一班有优秀团员8人，二班有优秀团员10人，三班有优秀团员6人，学校组织他们去参观某爱国主义教育基地.
(1)推选1人为总负责人，有多少种不同的选法？
(2)每班选1人为组长，有多少种不同的选法？
(3)从他们中选出2个人管理生活，要求这2个人不同班，有多少种不同的选法？
解：(1)分三类，第一类是从一班的8名优秀团员中产生，共有8种不同的选法；第二类是从二班的10名优秀团员中产生，共有10种不同的选法；第三类是从三班的6名优秀团员中产生，共有6种不同的选法，由分类加法计数原理可得，共有N＝8＋10＋6＝24(种)不同的选法.
(2)分三步，第一步从一班的8名优秀团员中选1名组长，共有8种不同的选法；第二步从二班的10名优秀团员中选1名组长，共10种不同的选法；第三步是从三班的6名优秀团员中选1名组长，共6种不同的选法，由分步乘法计数原理可得，共有N＝8×10×6＝480(种)不同的选法.
(3)分三类：每一类又分两步，第一类是从一班、二班的优秀团员中各选1人，有8×10种不同的选法；第二类是从二班、三班的优秀团员中各选1人，有10×6种不同的选法；第三类是从一班、三班的优秀团员中各选1人，有8×6种不同的选法.因此，共有N＝8×10＋10×6＋8×6＝188(种)不同的选法.
1.某小组有8名男生，4名女生，要从中选取一名当组长，不同的选法有( )
A.32种 B.9种
C.12种 D.20种
答案：C
解析：由分类加法计数原理知，不同的选法有N＝8＋4＝12(种).
2. 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数的个数为( )
A.144 B.120
C.96 D.72
答案：B
解析：这里大于40 000的数可以分两类：
①当5在万位上时，个位上的数字可以是0，2，4三个数中的一个，有3种选法；十位、百位、千位上的数字没有限制，故分别有4种、3种、2种选法.根据分步乘法计数原理，共有3×4×3×2＝72种选法，即有72个符合要求的数.
②当4在万位上时，个位上的数字可以是0，2两个数中的一个，有2种选法；十位、百位、千位上的数字没有限制，故分别有4种、3种、2种选法.根据分步乘法计数原理，共有2×4×3×2＝48种选法，即有48个符合要求的数.
综上，总共有72＋48＝120个.故选B.
3.用0，1，2，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 .
答案：252
解析：用0，1，2，…，9十个数字组成三位数时，0不能在百位上，故百位上的数字有9种选法；十位、个位上的数字可以任意选，都有10种选法.由分步乘法计数原理得，由0，1，2，…，9组成的所有三位数的个数为9×10×10＝900.同理，用0，1，2，…，9组成无重复数字的三位数时，百位上的数字有9种选法，十位上的数字有9种选法，个位上的数字有8种选法.由分步乘法计数原理得，由0，1，2，…，9组成的无重复数字的三位数的个数为9×9×8＝648.故有重复数字的三位数的个数为900－648＝252.
4.书架上放有6本语文书、5本数学书和3本英语书.
(1)从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？
(2)从书架上任取语文书、数学书、英语书各1本，有多少种不同的取法？
解：(1)任取1本，可分三类：
第1类：从语文书中取1本，有6种不同的选法；
第2类：从数学书中取1本，有5种不同的选法；
第3类：从英语书中取1本，有3种不同的选法.
共有6＋5＋3＝14(种)不同的选法.
(2)任取语文书、数学书、英语书各1本，分三步进行：
第1步：取语文书，有6种不同的选法；
第2步：取数学书，有5种不同的选法；
第3步：取英语书，有3种不同的选法；
共有6×5×3＝90(种)不同的选法.
课时测评38 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
(时间：60分钟 满分：110分)
(1—8小题，每小题5分，共40分)
1.设集合A＝{1，2，3，4}，m，n∈A，则方程＋＝1表示焦点位于x轴上的椭圆有( )
A.6个 B.8个
C.12个 D.16个
答案：A
解析：因为椭圆的焦点在x轴上，所以m＞n.当m＝4时，n＝1，2，3；当m＝3时，n＝1，2；当m＝2时，n＝1，即所求的椭圆共有3＋2＋1＝6(个).
2.给一些书编号，准备用3个字符，其中首字符从A，B中选，后两个字符(允许重复)从a，b，c中选，则不同的编号共有 ( )
A.8个 B.9个
C.12个 D.18个
答案：D
解析：完成这件事可以分为三步：第一步确定首字符，共有2种方法；第二步确定第二个字符，共有3种方法；第三步确定第三个字符，共有3种方法.所以不同的编号共有2×3×3＝18(个).
3.已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为( )
A.40 B.16
C.13 D.10
答案：C
解析：分两类：第1类，直线a与直线b上8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b与直线a上5个点可以确定5个不同的平面.故可以确定8＋5＝13个不同的平面.
4.满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序实数对(a，b)的个数为( )
A.14 B.13
C.12 D.10
答案：B
解析：由题意得，4－4ab≥0，即ab≤1，
当a＝－1时，b＝－1，0，1，2，有4种可能；
当a＝0时，b＝－1，0，1，2，有4种可能；
当a＝1时，b＝－1，0，1，有3种可能；
当a＝2时，b＝－1，0，有2种可能.
所以共有有序实数对(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13.
5.(多选)现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画，下列说法正确的有( )
A.从中任选一幅画布置房间，有14种不同的选法
B.从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有70种不同的选法
C.从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有59种不同的选法
D.要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有12种不同的挂法
答案：ABC
解析：对于A：分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法，根据分类加法计数原理，共有5＋2＋7＝14(种)不同的选法，A正确；
对于B：分为三步：国画、油画、水彩画分别有5种、2种、7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70(种)不同的选法，B正确；
对于C：分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画.由分步乘法计数原理知，有5×2＝10(种)不同的选法；
第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35(种)不同的选法；
第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14(种)不同的选法，所以共有10＋35＋14＝59(种)不同的选法，C正确；
对于D：从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第1步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法；第2步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法.根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数是N＝3×2＝6.D错误，故选ABC.
6.现有A，B两种类型的车床各一台，甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙两种车床都会操作，丙只会操作A种车床.现在要从这三名工人中选两名分别去操作这两台车床，则不同的选派方法有 种.
答案：4
解析：若选甲、乙两人，则甲操作A种车床，乙操作B种车床，或甲操作B种车床，乙操作A种车床，共有2种选派方法.
若选甲、丙两人，则甲操作B种车床，丙操作A种车床，共有1种选派方法.
若选乙、丙两人，则乙操作B种车床，丙操作A种车床，共有1种选派方法.
故不同的选派方法共有2＋1＋1＝4(种).
7.如图，某系统由甲、乙、丙3个部件组成，其中有6个接点A，B，C，D，E，F，如果任一接点脱落，整个系统就不能正常工作.现发现系统不能正常工作，那么接点脱落的可能情况共有 种.
答案：63
解析：因为每个接点都有脱落与未脱落两种情况，而只要有一个接点脱落，则系统就不能正常工作，所以接点脱落的可能情况共有26－1＝63(种).
8.已知集合A＝{0，3，4}，B＝{1，2，7，8}，集合C＝{x｜x∈A或x∈B}，则当集合C中有且只有一个元素时，C的情况有 种.
答案：7
解析：分两种情况：当集合C中的元素属于集合A时，有3种情况；当集合C中的元素属于集合B时，有4种情况.因为集合A与集合B无公共元素，所以集合C的情况共有3＋4＝7种.
9.(10分)某班有男生28名、女生20名，从该班选出学生代表参加校学代会.
(1)若学校分配给该班1名代表，则有多少种不同的选法？
(2)若学校分配给该班2名代表，且男、女生代表各1名，则有多少种不同的选法？
解：(1)选出1名代表，可以选男生，也可以选女生，因此完成“选1名代表”这件事分2类：
第1类，从男生中选出1名代表，有28种不同方法；
第2类，从女生中选出1名代表，有20种不同方法.
根据分类加法计数原理，共有28＋20＝48种不同的选法.
(2)完成“选出男、女生代表各1名”这件事，可以分2步完成：
第1步，选1名男生代表，有28种不同方法；
第2步，选1名女生代表，有20种不同方法.
根据分步乘法计数原理，共有28×20＝560种不同的选法.
10.(10分)若直线方程Ax＋By＝0中的A，B可以从0，1，2，3，5这五个数字中任取两个不同的数字，则方程所表示的不同直线共有多少条？
解：分两类完成：
第1类，当A或B中有一个为0时，表示的直线为x＝0或y＝0，共2条.
第2类，当A，B不为0时，直线Ax＋By＝0被确定需分两步完成：
第1步，确定A的值，有4种不同的方法；
第2步，确定B的值，有3种不同的方法.
由分步乘法计数原理知，共可确定4×3＝12条直线.
由分类加法计数原理知，方程所表示的不同直线的条数共有2＋12＝14.
(11—13小题，每小题5分，共15分)
11. 中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有( )
A.30种 B.50种
C.60种 D.90种
答案：B
解析：①甲同学选择牛，乙有2种，丙有10种，选法有1×2×10＝20种，
②甲同学选择马，乙有3种，丙有10种，选法有1×3×10＝30种，
所以总共有20＋30＝50种.故选B.
12.(多选)已知集合A＝{－1，2，3，4}，m，n∈A，则对于方程＋＝1的说法正确的是( )
A.可表示3个不同的圆
B.可表示6个不同的椭圆
C.可表示3个不同的双曲线
D.表示焦点位于x轴上的椭圆有3个
答案：ABD
解析：当m＝n＞0时，方程＋＝1表示圆，故有3个，选项A正确；当m≠n且m，n＞0时，方程＋＝1表示椭圆，焦点在x，y轴上的椭圆分别有3个，故有3×2＝6(个)，选项B正确；若椭圆的焦点在x轴上，则m＞n＞0，当m＝4时，n＝2，3；当m＝3时，n＝2，即所求的椭圆共有2＋1＝3(个)，选项D正确；当mn＜0时，方程＋＝1表示双曲线，故有3×1＋1×3＝6个，选项C错误.
13.如图所示，在A，B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通.今发现A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有 种.
答案：13
解析：按照焊接点脱落的个数进行分类：
第一类：脱落一个焊接点，只能是脱落1或4，有2种情况；
第二类：脱落两个焊接点，有(1，4)，(2，3)，(1，2)，(1，3)，(4，2)，(4，3)共有6种情况；
第三类：脱落三个焊接点，有(1，2，3)，(1，2，4)，(1，3，4)，(2，3，4)共有4种情况；
第四类：脱落四个焊接点，只有(1，2，3，4)一种情况.
于是脱落焊接点的情况共有2＋6＋4＋1＝13(种).
14.(13分)现有3名医生，5名护士，2名麻醉师.
(1)从中选派1名去参加外出学习，有多少种不同的选法？
(2)从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师组成1个医疗小组，有多少种不同的选法？
解：(1)分三类：第一类：选出的是医生，共有3种选法；
第二类：选出的是护士，共有5种选法；
第三类：选出的是麻醉师，共有2种选法；
根据分类加法计数原理，共有3＋5＋2＝10种选法.
(2)分三步：第一步：选出1名医生，共有3种选法；
第二步：选出1名护士，共有5种选法；
第三步：选出1名麻醉师，共有2种选法；
根据分步乘法计数原理，共有3×5×2＝30种选法.
15.(5分)如图所示，小圆圈表示网络的结点，结点之间的线段表示它们有网线相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为( )
A.26 B.24
C.20 D.19
答案：D
解析：因信息可以分开沿不同的路线同时传递，由分类加法计数原理，完成从A向B传递有四种方法：12→5→3，12→6→4，12→6→7，12→8→6，故单位时间内传递的最大信息量为四条不同网线上传递的最大信息量的和：3＋4＋6＋6＝19.
16. (17分)某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成.
(1)选其中1人为学生会主席，有多少种不同的选法？
(2)若每年级选1人为校学生会常委，有多少种不同的选法？
(3)若要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法？
解：(1)选其中1人为学生会主席，各年级均可，分三类：N＝5＋6＋4＝15种；
(2)每年级选1人为校学生会常委，可分步从各年级分别选择，N＝5×6×4＝120种；
(3)要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，首先按年级分三类“一，二年级”，“一，三年级”，“二，三年级”，
再各类分步选择：N＝5×6＋6×4＋4×5＝74种.
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第1课时 分类加法计数原理与分步乘
法计数原理
第4章 4.1 两个计数原理
学习目标
1.通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义，培养学生直觉观察、分类讨论的逻辑推理能力.
2.通过简单实际问题的解决提升逻辑推理、数学运算、直观想象的核心素养.
任务一 分类加法计数原理
如果完成一件事有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，…，在第 n类办法中有mn种不同的方法，每种方法都能独立完成这件事，那么完成这件事共有N＝________________种不同的方法.我们把分类加法计数原理简称为分类计数原理，或加法
原理.
新知构建
m1＋m2＋…＋mn
某校高三共有三个班，其各班人数如下表：
(1)从三个班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？
解：从三个班中任选一名学生，可分三类：
第1类，从高三(1)班任选一名学生，有50种不同选法；
第2类，从高三(2)班任选一名学生，有60种不同选法；
第3类，从高三(3)班任选一名学生，有55种不同选法.
由分类加法计数原理知，不同的选法共有N＝50＋60＋55＝165(种).
典例1
班级 男生数 女生数 总数
高三(1) 30 20 50
高三(2) 30 30 60
高三(3) 35 20 55
(2)从(1)班、(2)班男生中或从(3)班女生中选一名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？
解：由题设知共有三类：
第1类，从(1)班男生中任选一名学生，有30种不同选法；
第2类，从(2)班男生中任选一名学生，有30种不同选法；
第3类，从(3)班女生中任选一名学生，有20种不同选法.
由分类加法计数原理知，不同的选法共有N＝30＋30＋20＝80(种).
班级 男生数 女生数 总数
高三(1) 30 20 50
高三(2) 30 30 60
高三(3) 35 20 55
规律方法
分类加法计数原理解题的一般思路
对点练1．连接正八边形的三个顶点而成的三角形中与正八边形有公共边的三角形的个数为
A.40 B.30
C.20 D.10
由题意知满足条件的三角形分为两类：
第一类，与正八边形有两条公共边的三角形有8个；
第二类，与正八边形有一条公共边的三角形有8×4＝32(个).
由分类加法计数原理，知满足条件的三角形有8＋32＝40(个).
√
对点练2．已知集合P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，其中x，y∈{1，2，3，…，9}，且P Q.把满足上述条件的一个有序数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数为
A.9 B.14
C.15 D.21
因为集合P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，且P Q，所以x＝y≠1，2或x＝2，y≠1，2.分两类：①当x＝y≠1，2时，x可取3，4，5，6，7，8，9，则有序数对(x，y)共有7种情况；②当x＝2，y≠1，2时，y可取3，4，5，6，7，8，9，则有序数对(x，y)共有7种情况.由分类加法计数原理，知这样的点的个数为7＋7＝14.
√
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任务二 分步乘法计数原理
如果完成一件事需要分成n个步骤，第一步有m1种不同的方法，第二步有m2种不同的方法，…，第n步有mn种不同的方法，每个步骤都完成才算做完这件事，那么完成这件事共有N＝________________种不同的方法.我们把分步乘法计数原理简称为分步计数原理，或乘法原理.
新知构建
m1×m2×…×mn
有6名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法(不一定6名同学都参加)？
(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；
解：每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法.
根据分步乘法计数原理，
可得不同的报名方法种数为36＝729.
典例2
(2)每项只允许报一人，且每人至多参加一项；
解：每项只允许报一人，且每人至多参加一项，
因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，
第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法.
根据分步乘法计数原理，
可得不同的报名方法种数为6×5×4＝120.
(3)每项只允许报一人，但每人参加的项目不限.
解：每人参加的项目不限，
因此每一个项目都可以从这6人中选出1人参赛.
根据分步乘法计数原理，
可得不同的报名方法种数为63＝216.
规律方法
分步乘法计数原理解题的一般思路
对点练3．回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3 443，94 249等.显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99，3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999，则
(1)4位回文数有_____个；
90
4位回文数相当于填4个方格，首尾相同，且不为0，共9种填法，中间两位相同，有10种填法，共计9×10＝90(种)填法，即4位回文数有90个.
(2)2n＋1(n∈N＋)位回文数有_______个.
9×10n
根据回文数的定义，此问题也可以转化成填方格.由分步乘法计数原理，知2n＋1(n∈N＋)位回文数有9×10n个.
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任务三 两个原理的综合应用
有一项活动，需从3位教师、8名男同学和5名女同学中选人参加.
(1)若只需1人参加，则有多少种不同的选法？
解：选1人，可分三类：
第1类，从教师中选1人，有3种不同的选法；
第2类，从男同学中选1人，有8种不同的选法；
第3类，从女同学中选1人，有5种不同的选法.
共有3＋8＋5＝16(种)不同的选法.
典例3
(2)若需教师、男同学、女同学各1人参加，则有多少种不同的选法？
解：选教师、男同学、女同学各1人，分三步进行：
第1步，选教师，有3种不同的选法；
第2步，选男同学，有8种不同的选法；
第3步，选女同学，有5种不同的选法.
共有3×8×5＝120(种)不同的选法.
规律方法
使用两个原理的原则
使用两个原理解题时，一定要从“分类”“分步”的角度入手，“分类”是对于较复杂应用问题的元素分成互相排斥的几类，逐类解决，用分类加法计数原理；“分步”就是把问题分化为几个互相关联的步骤，然后逐步解决，这时可用分步乘法计数原理.
对点练4．某校高中三年级一班有优秀团员8人，二班有优秀团员10人，三班有优秀团员6人，学校组织他们去参观某爱国主义教育基地.
(1)推选1人为总负责人，有多少种不同的选法？
解：分三类，第一类是从一班的8名优秀团员中产生，共有8种不同的选法；第二类是从二班的10名优秀团员中产生，共有10种不同的选法；第三类是从三班的6名优秀团员中产生，共有6种不同的选法，由分类加法计数原理可得，共有N＝8＋10＋6＝24(种)不同的选法.
(2)每班选1人为组长，有多少种不同的选法？
解：分三步，第一步从一班的8名优秀团员中选1名组长，共有8种不同的选法；第二步从二班的10名优秀团员中选1名组长，共10种不同的选法；第三步是从三班的6名优秀团员中选1名组长，共6种不同的选法，由分步乘法计数原理可得，共有N＝8×10×6＝480(种)不同的选法.
(3)从他们中选出2个人管理生活，要求这2个人不同班，有多少种不同的
选法？
解：分三类：每一类又分两步，第一类是从一班、二班的优秀团员中各选1人，有8×10种不同的选法；第二类是从二班、三班的优秀团员中各选1人，有10×6种不同的选法；第三类是从一班、三班的优秀团员中各选1人，有8×6种不同的选法.因此，共有N＝8×10＋10×6＋8×6＝188(种)不同的选法.
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随堂评价
1.某小组有8名男生，4名女生，要从中选取一名当组长，不同的选法有
A.32种 B.9种
C.12种 D.20种
√
由分类加法计数原理知，不同的选法有N＝8＋4＝12(种).
2. 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数的个数为
A.144 B.120
C.96 D.72
√
这里大于40 000的数可以分两类：
①当5在万位上时，个位上的数字可以是0，2，4三个数中的一个，有3种选法；十位、百位、千位上的数字没有限制，故分别有4种、3种、2种选法.根据分步乘法计数原理，共有3×4×3×2＝72种选法，即有72个符合要求的数.
②当4在万位上时，个位上的数字可以是0，2两个数中的一个，有2种选法；十位、百位、千位上的数字没有限制，故分别有4种、3种、2种选法.根据分步乘法计数原理，共有2×4×3×2＝48种选法，即有48个符合要求的数.
综上，总共有72＋48＝120个.故选B.
3.用0，1，2，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为____.
用0，1，2，…，9十个数字组成三位数时，0不能在百位上，故百位上的数字有9种选法；十位、个位上的数字可以任意选，都有10种选法.由分步乘法计数原理得，由0，1，2，…，9组成的所有三位数的个数为9×10×10＝900.同理，用0，1，2，…，9组成无重复数字的三位数时，百位上的数字有9种选法，十位上的数字有9种选法，个位上的数字有8种选法.由分步乘法计数原理得，由0，1，2，…，9组成的无重复数字的三位数的个数为9×9×8＝648.故有重复数字的三位数的个数为900－648＝252.
252
4.书架上放有6本语文书、5本数学书和3本英语书.
(1)从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？
解：任取1本，可分三类：
第1类：从语文书中取1本，有6种不同的选法；
第2类：从数学书中取1本，有5种不同的选法；
第3类：从英语书中取1本，有3种不同的选法.
共有6＋5＋3＝14(种)不同的选法.
(2)从书架上任取语文书、数学书、英语书各1本，有多少种不同的取法？
解：(任取语文书、数学书、英语书各1本，分三步进行：
第1步：取语文书，有6种不同的选法；
第2步：取数学书，有5种不同的选法；
第3步：取英语书，有3种不同的选法；
共有6×5×3＝90(种)不同的选法.
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课时测评
因为椭圆的焦点在x轴上，所以m＞n.当m＝4时，n＝1，2，3；当m＝3时，n＝1，2；当m＝2时，n＝1，即所求的椭圆共有3＋2＋1＝6(个).
√
2.给一些书编号，准备用3个字符，其中首字符从A，B中选，后两个字符(允许重复)从a，b，c中选，则不同的编号共有
A.8个 B.9个
C.12个 D.18个
√
完成这件事可以分为三步：第一步确定首字符，共有2种方法；第二步确定第二个字符，共有3种方法；第三步确定第三个字符，共有3种方法.所以不同的编号共有2×3×3＝18(个).
3.已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为
A.40 B.16
C.13 D.10
√
分两类：第1类，直线a与直线b上8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b与直线a上5个点可以确定5个不同的平面.故可以确定8＋5＝13个不同的平面.
4.满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序实数对(a，b)的个数为
A.14 B.13
C.12 D.10
由题意得，4－4ab≥0，即ab≤1，
当a＝－1时，b＝－1，0，1，2，有4种可能；
当a＝0时，b＝－1，0，1，2，有4种可能；
当a＝1时，b＝－1，0，1，有3种可能；
当a＝2时，b＝－1，0，有2种可能.
所以共有有序实数对(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13.
√
5.(多选)现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画，下列说法正确的有
A.从中任选一幅画布置房间，有14种不同的选法
B.从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有70种不同的选法
C.从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有59种不同的选法
D.要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有12种不同的挂法
√
√
√
对于A：分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法，根据分类加法计数原理，共有5＋2＋7＝14(种)不同的选法，A正确；
对于B：分为三步：国画、油画、水彩画分别有5种、2种、7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70(种)不同的选法，B
正确；
对于C：分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画.由分步乘法计数原理知，有5×2＝10(种)不同的选法；
第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35(种)不同的
选法；
第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14(种)不同的选法，所以共有10＋35＋14＝59(种)不同的选法，C正确；
对于D：从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第1步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法；第2步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法.根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数是N＝3×2＝6.D错误，故选ABC.
6.现有A，B两种类型的车床各一台，甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙两种车床都会操作，丙只会操作A种车床.现在要从这三名工人中选两名分别去操作这两台车床，则不同的选派方法有____种.
4
若选甲、乙两人，则甲操作A种车床，乙操作B种车床，或甲操作B种车床，乙操作A种车床，共有2种选派方法.
若选甲、丙两人，则甲操作B种车床，丙操作A种车床，共有1种选派
方法.
若选乙、丙两人，则乙操作B种车床，丙操作A种车床，共有1种选派
方法.
故不同的选派方法共有2＋1＋1＝4(种).
7.如图，某系统由甲、乙、丙3个部件组成，其中有6个接点A，B，C，D，E，F，如果任一接点脱落，整个系统就不能正常工作.现发现系统不能正常工作，那么接点脱落的可能情况共有____种.
因为每个接点都有脱落与未脱落两种情况，而只要有一个接点脱落，则系统就不能正常工作，所以接点脱落的可能情况共有26－1＝63(种).
63
8.已知集合A＝{0，3，4}，B＝{1，2，7，8}，集合C＝{x｜x∈A或x∈B}，则当集合C中有且只有一个元素时，C的情况有___种.
分两种情况：当集合C中的元素属于集合A时，有3种情况；当集合C中的元素属于集合B时，有4种情况.因为集合A与集合B无公共元素，所以集合C的情况共有3＋4＝7种.
7
9.(10分)某班有男生28名、女生20名，从该班选出学生代表参加校学代会.
(1)若学校分配给该班1名代表，则有多少种不同的选法？
解：选出1名代表，可以选男生，也可以选女生，因此完成“选1名代表”这件事分2类：
第1类，从男生中选出1名代表，有28种不同方法；
第2类，从女生中选出1名代表，有20种不同方法.
根据分类加法计数原理，共有28＋20＝48种不同的选法.
(2)若学校分配给该班2名代表，且男、女生代表各1名，则有多少种不同的选法？
解：完成“选出男、女生代表各1名”这件事，可以分2步完成：
第1步，选1名男生代表，有28种不同方法；
第2步，选1名女生代表，有20种不同方法.
根据分步乘法计数原理，共有28×20＝560种不同的选法.
10.(10分)若直线方程Ax＋By＝0中的A，B可以从0，1，2，3，5这五个数字中任取两个不同的数字，则方程所表示的不同直线共有多少条？
解：分两类完成：
第1类，当A或B中有一个为0时，表示的直线为x＝0或y＝0，共2条.
第2类，当A，B不为0时，直线Ax＋By＝0被确定需分两步完成：
第1步，确定A的值，有4种不同的方法；
第2步，确定B的值，有3种不同的方法.
由分步乘法计数原理知，共可确定4×3＝12条直线.
由分类加法计数原理知，方程所表示的不同直线的条数共有2＋12＝14.
√
11. 中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有
A.30种 B.50种
C.60种 D.90种
①甲同学选择牛，乙有2种，丙有10种，选法有1×2×10＝20种，
②甲同学选择马，乙有3种，丙有10种，选法有1×3×10＝30种，
所以总共有20＋30＝50种.故选B.
√
√
√
13.如图所示，在A，B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通.今发现A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有_____种.
13
按照焊接点脱落的个数进行分类：
第一类：脱落一个焊接点，只能是脱落1或4，有2种情况；
第二类：脱落两个焊接点，有(1，4)，(2，3)，(1，2)，(1，3)，(4，2)，(4，3)共有6种情况；
第三类：脱落三个焊接点，有(1，2，3)，(1，2，4)，(1，3，4)，(2，3，4)共有4种情况；
第四类：脱落四个焊接点，只有(1，2，3，4)一种情况.
于是脱落焊接点的情况共有2＋6＋4＋1＝13(种).
14.(13分)现有3名医生，5名护士，2名麻醉师.
(1)从中选派1名去参加外出学习，有多少种不同的选法？
解：分三类：第一类：选出的是医生，共有3种选法；
第二类：选出的是护士，共有5种选法；
第三类：选出的是麻醉师，共有2种选法；
根据分类加法计数原理，共有3＋5＋2＝10种选法.
(2)从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师组成1个医疗小组，有多少种不同的选法？
解：分三步：第一步：选出1名医生，共有3种选法；
第二步：选出1名护士，共有5种选法；
第三步：选出1名麻醉师，共有2种选法；
根据分步乘法计数原理，共有3×5×2＝30种选法.
15.(5分)如图所示，小圆圈表示网络的结点，结点之间的线段表示它们有网线相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为
A.26
B.24
C.20
D.19
√
因信息可以分开沿不同的路线同时传递，由分类加法计数原理，完成从A向B传递有四种方法：12→5→3，12→6→4，12→6→7，12→8→6，故单位时间内传递的最大信息量为四条不同网线上传递的最大信息量的和：3＋4＋6＋6＝19.
16. (17分)某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成.
(1)选其中1人为学生会主席，有多少种不同的选法？
解：选其中1人为学生会主席，各年级均可，分三类：N＝5＋6＋4＝15种；
(2)若每年级选1人为校学生会常委，有多少种不同的选法？
解：每年级选1人为校学生会常委，可分步从各年级分别选择，N＝5×6×4＝120种；
(3)若要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法？
解：要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，首先按年级分三类“一，二年级”，“一，三年级”，“二，三年级”，
再各类分步选择：N＝5×6＋6×4＋4×5＝74种.
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