4.2 排列
第1课时 排列与排列数
学习目标 1.通过实例，理解并掌握排列的概念，培养数学抽象的核心素养. 2.理解排列数的意义，能用计数原理推导排列数公式，能应用排列数公式解决简单具体问题的排列数，提升逻辑推理、数学运算的核心素养. 3.能应用排列知识解决简单的实际问题，培养数学运算、数学建模的核心素养.
任务一 排列的概念
1.定义
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
2.排列相同的条件
两个排列相同，当且仅当这个排列的元素及其排列顺序完全相同.
下列问题是排列问题的为 .
①选2个小组分别去植树和种菜；
②选2个小组分别去种菜；
③某班40名同学在假期互发短信；
④从1，2，3，4，5中任取两个数字相除；
⑤10个车站，站与站间的车票.
答案：①③④⑤
解析：①植树和种菜是不同的，存在顺序问题，是排列问题；
②不存在顺序问题，不是排列问题；
③存在顺序问题，是排列问题；
④两个数相除与这两个数的顺序有关，是排列问题；
⑤车票使用时有起点和终点之分，故车票的使用是有顺序的，是排列问题.
判断一个具体问题是否为排列问题的思路
对点练1.判断下列问题是否为排列问题：
(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；
(2)选10人组成一个学习小组；
(3)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员.
解：(1)票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题.
(2)不存在顺序问题，不属于排列问题.
(3)每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题.
所以在上述各题中(3)是排列问题，(1)(2)不是排列问题.
任务二 排列数及排列数公式
排列数 定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，所有不同排列的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数
符号表示
全排列 从n个不同的元素取出n个不同的元素(即全部取出)排成一列，叫作n个元素的一个全排列.此时， ＝n(n－1)(n－2)×…×3×2×1
阶乘 正整数1到n的连乘积，叫作n的阶乘，用n！表示.于是，n个元素的全排列数公式可以写成＝n！.规定0！＝1
乘积式 ＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m，n∈N＋，且m≤n)
阶乘式 ＝(m，n∈N＋，且m≤n)
(1)计算；
(2)求证：＋2＋3＋…＋n＝(n＋1)！－1.
解：(1)法一：
＝
＝
＝.
法二：＝＝＝.
(2)证明：法一：因为＝2－＝－，
2＝3－＝－，
3＝4－＝－，
…
n＝(n＋1)－＝－，
所以左边＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)
＝－
＝(n＋1)！－1
＝右边，
所以原式成立.
法二：因为(n＋1)！＝(n＋1)·n！＝n＋＝n＋n＝n＋(n－1)＋＝n＋(n－1)＋(n－2)＋＝…＝n＋(n－1)＋…＋2＋＋，
所以(n＋1)！－＝＋2＋3＋…＋n，
所以原式成立.
排列数公式的选择 1.排列数公式的乘积形式适用于计算排列数. 2.排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算.
对点练2.解不等式：3＞4.
解：由3＞4，得＞，
所以＞，
化简得x2－19x＋78＞0，解得x＜6或x＞13.
又1≤x≤8且1≤x－1≤9，x∈N＋，
所以2≤x＜6，x∈N＋，所以x＝2，3，4，5，
即不等式的解集为{2，3，4，5}.
任务三 排列数公式的简单应用
(1)有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
(2)有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
解：(1)从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7个元素中任取3个元素的一个排列，所以共有＝7×6×5＝210(种)不同的送法.
(2)从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同，根据分步乘法计数原理，共有不同的送法7×7×7＝343(种).
解简单排列应用题的思路 1.认真分析题意，看能否把问题归结为排列问题，即是否有顺序. 2.如果是的话，再进一步分析，这里n个不同的元素指的是什么，以及从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素的每一种排列对应的是什么事件. 3.运用排列数公式求解.
对点练3.(1)一天有6节课，安排6门学科，一天的课程表有几种排法？
(2)将4名体育生，4名美术生分配到4个不同的班，每个班要分配一名体育生和一名美术生，共有多少种分配方案？
解：(1)这是6个元素的全排列问题，其排列数，即为一天的课程的排法种数.
(2)解决这类问题可以分为两步：
第1步：把4名体育生分配到4个不同的班有种方法，第2步：把4名美术生分配到4个不同的班，有种方法，由分步乘法计数原理得共有N＝＝576(种)分配方案.
1.从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为( )
A.甲乙、乙甲、甲丙、丙甲
B.甲乙丙、乙丙甲
C.甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙
D.甲乙、甲丙、乙丙
答案：C
解析：从三人中选出两人，而且要考虑这两人的顺序，所以有如下6种站法：甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙.
2.若＝10，则n＝( )
A.6 B.7
C.8 D.9
答案：C
解析：因为＝10，所以n≥3，n∈N＋，
所以有2n·(2n－1)·(2n－2)＝10n·(n－1)·(n－2)，
即2(2n－1)＝5(n－2)，解得n＝8.故选C.
3.从a，b，c，d这4个字母中，每次取出2个字母的所有排列有 个.
答案：12
解析：画出树形图如图所示：
因此，共计有12个不同的排列，它们是ab，ac，ad，ba，bc，bd，ca，cb，cd，da，db，dc.
4.求证：＝＝(n＋1).
证明：＝(n＋1)×n×(n－1)×…×3×2×1，
＝(n＋1)×n×(n－1)×…×3×2，
(n＋1)＝(n＋1)×n！＝(n＋1)×n×(n－1)×…×3×2×1，
综上，＝＝(n＋1).
课时测评40 排列与排列数
(时间：60分钟 满分：110分)
(1—8小题，每小题5分，共40分)
1.(多选)下面问题中，不是排列问题的是( )
A.由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数
B.从40人中选5人组成篮球队
C.从100人中选2人抽样调查
D.从1，2，3，4，5中选2个数组成集合
答案：BCD
解析：选项A中组成的三位数与数字的排列顺序有关，选项B，C，D只需取出元素即可，与元素的排列顺序无关.
2.89×90×91×92×…×100可表示为( )
A. B.
C. D.
答案：C
解析：89×90×91×92×…×100＝＝＝.
3.已知－＝10，则n的值为( )
A.4 B.5
C.6 D.7
答案：B
解析：由－＝10，得(n＋1)n－n(n－1)＝10，解得n＝5.
4.2022北京车展期间，某调研机构准备从5人中选3人去调查E1馆、E3馆、E4馆的参观人数，不同的安排方法种数为( )
A.12 B.24
C.36 D.60
答案：D
解析：由题意可知，问题为从5个元素中选3个元素的排列问题，所以安排方法有5×4×3＝60(种).
5.甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为( )
A.6 B.4
C.8 D.10
答案：B
解析：列树形图如下：
故组成的排列为丙甲乙，丙乙甲，乙甲丙，乙丙甲，共4种.
6.＝ .
答案：36
解析：＝＝36.
7.满足不等式＞12的最小正整数n的值为 .
答案：10
解析：＝＝＞12
得：(n－5)(n－6)＞12.
解得： n＞9或n＜2(应舍去).
8.从a，b，c，d，e五个元素中每次取出三个元素，可组成 个以b为首的不同的排列，它们分别是 .
答案：12 bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed
解析：画出树形图如下：
可知共12个，它们分别是bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed.
9.(10分)(1)用排列数表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N＋且n＜55)；
(2)计算；
(3)求证－＝m.
解：(1)因为55－n，56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有69－n－(55－n)＋1＝15个元素，
所以(55－n)(56－n)…(69－n)＝.
(2)
＝
＝＝1.
(3)证明：法一：因为－＝－
＝·＝·
＝m·＝m，
所以－＝m.
法二：表示从n＋1个元素中取出m个元素的排列个数，其中不含元素a1的有个.
含有a1的可这样进行排列：
先排a1，有m种排法，再从另外n个元素中取出m－1个元素排在剩下的m－1个位置上，有种排法.
故＝m＋，
所以m＝－.
10.(10分)判断下列问题是否为排列问题.
(1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？
(2)从集合M＝{1，2，…，9}中，任取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程＋＝1？可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程－＝1？
(3)平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？
解：(1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题.“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题.
(2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题.若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a＞b，a，b的大小关系一定；在双曲线－＝1中，不管a＞b还是a＜b，方程－＝1均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题.
(3)确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题.
(11—13小题，每小题5分，共15分)
11.已知自然数x满足3＝2＋6，则x＝( )
A.2 B.3
C.4 D.5
答案：C
解析：因为自然数x满足3＝2＋6，
所以3(x＋1)x(x－1)＝2(x＋2)(x＋1)＋6(x＋1)x，由x是正自然数，整理得：3x2－11x－4＝0，解得x＝－(舍)或x＝4，所以x＝4.
12.一个三位数，其十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字(如735，414等)，那么，这样的三位数共有( )
A.240个 B.249个
C.285个 D.330个
答案：C
解析：因为十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字，
所以当十位数字是0时有9×9＝81种结果，
当十位数字是1时有8×8＝64种结果，
当十位数字是2时有7×7＝49种结果，
当十位数字是3时有6×6＝36种结果，
当十位数字是4时有5×5＝25种结果，
当十位数字是5时有4×4＝16种结果，
当十位数字是6时有3×3＝9种结果，
当十位数字是7时有2×2＝4种结果，
当十位数字是8时有1种结果，
所以共有81＋64＋49＋36＋25＋16＋9＋4＋1＝285种结果.
13.已知a∈{3，4，5}，b∈{1，2，7，8}，r∈{8，9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同圆的个数为 个.
答案：24
解析：确定圆的方程可分三步：确定a有3种方法，确定b有4种方法，确定r有2种方法，由分步乘法计数原理知N＝3×4×2＝24(个).
14.(13分)从0，1，2，3这四个数字中，每次取出三个不同的数字排成一个三位数.
(1)能组成多少个不同的三位数，并写出这些三位数.
(2)若组成这些三位数中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在个位，则这样的三位数共有多少个，并写出这些三位数.
解：(1)组成三位数分三个步骤：
第一步：选百位上的数字，0不能排在首位，故有3种不同的排法；
第二步：选十位上的数字，有3种不同的排法；
第三步：选个位上的数字，有2种不同的排法.
由分步乘法计数原理得共有3×3×2＝18(个)不同的三位数.
画出下列树形图：
由树形图知，所有的三位数为102，103，120，123，130，132，201，203，210，213，230，231，301，302，310，312，320，321.
(2)直接画出树形图：
由树形图知，符合条件的三位数有8个：201，210，230，231，301，302，310，312.
15.(5分)(多选)下列各式中与排列数相等的是( )
A. B.n(n－1)(n－2)…(n－m)
C. D.·
答案：AD
解析：因为＝，
而·＝n·＝，
所以＝·.故选AD.
16.(17分)某药品研究所研制了5种消炎药a1，a2，a3，a4，a5，4种退热药b1，b2，b3，b4，现从中取两种消炎药和一种退热药同时进行疗效试验，但a1，a2两种药只能同时用或同时不用，a3，b4两种药不能同时使用，试写出所有不同试验方法.
解：如图，由树形图可写出所有不同试验方法如下：a1a2b1，a1a2b2，a1a2b3，a1a2b4，a3a4b1，a3a4b2，a3a4b3，a3a5b1，a3a5b2，a3a5b3，a4a5b1，a4a5b2，a4a5b3，a4a5b4，共14种.
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第1课时 排列与排列数
第4章 4.2 排列
学习目标
1.通过实例，理解并掌握排列的概念，培养数学抽象的核心素养.
2.理解排列数的意义，能用计数原理推导排列数公式，能应用排列数公式解决简单具体问题的排列数，提升逻辑推理、数学运算的核心素养.
3.能应用排列知识解决简单的实际问题，培养数学运算、数学建模的核心素养.
任务一 排列的概念
1.定义
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，按照____________排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
2.排列相同的条件
两个排列相同，当且仅当这个排列的______及其__________完全相同.
新知构建
一定的顺序
元素
排列顺序
下列问题是排列问题的为__________.
①选2个小组分别去植树和种菜；
②选2个小组分别去种菜；
③某班40名同学在假期互发短信；
④从1，2，3，4，5中任取两个数字相除；
⑤10个车站，站与站间的车票.
典例1
①③④⑤
①植树和种菜是不同的，存在顺序问题，是排列问题；
②不存在顺序问题，不是排列问题；
③存在顺序问题，是排列问题；
④两个数相除与这两个数的顺序有关，是排列问题；
⑤车票使用时有起点和终点之分，故车票的使用是有顺序的，是排列问题.
规律方法
判断一个具体问题是否为排列问题的思路
对点练1．判断下列问题是否为排列问题：
(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；
解：票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题.
(2)选10人组成一个学习小组；
解：不存在顺序问题，不属于排列问题.
(3)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员.
解：每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题.
所以在上述各题中(3)是排列问题，(1)(2)不是排列问题.
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任务二 排列数及排列数公式
新知构建
排列数定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，所有__________的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数
符号表示
全排列
阶乘
乘积式
阶乘式
不同排列
n(n－1)(n－2)×…×3×2×1
n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
典例2
规律方法
排列数公式的选择
1.排列数公式的乘积形式适用于计算排列数.
2.排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算.
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任务三 排列数公式的简单应用
典例3
规律方法
解简单排列应用题的思路
1.认真分析题意，看能否把问题归结为排列问题，即是否有
顺序.
2.如果是的话，再进一步分析，这里n个不同的元素指的是什么，以及从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素的每一种排列对应的是什么事件.
3.运用排列数公式求解.
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随堂评价
1.从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为
A.甲乙、乙甲、甲丙、丙甲
B.甲乙丙、乙丙甲
C.甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙
D.甲乙、甲丙、乙丙
√
从三人中选出两人，而且要考虑这两人的顺序，所以有如下6种站法：甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙.
√
3.从a，b，c，d这4个字母中，每次取出2个字母的所有排列有____个.
画出树形图如图所示：
因此，共计有12个不同的排列，它们是ab，ac，ad，ba，bc，bd，ca，cb，cd，da，db，dc.
12
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课时测评
1.(多选)下面问题中，不是排列问题的是
A.由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数
B.从40人中选5人组成篮球队
C.从100人中选2人抽样调查
D.从1，2，3，4，5中选2个数组成集合
选项A中组成的三位数与数字的排列顺序有关，选项B，C，D只需取出元素即可，与元素的排列顺序无关.
√
√
√
√
√
4.2022北京车展期间，某调研机构准备从5人中选3人去调查E1馆、E3馆、E4馆的参观人数，不同的安排方法种数为
A.12 B.24
C.36 D.60
由题意可知，问题为从5个元素中选3个元素的排列问题，所以安排方法有5×4×3＝60(种).
√
5.甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为
A.6 B.4
C.8 D.10
√
列树形图如下：
故组成的排列为丙甲乙，丙乙甲，乙甲丙，乙丙甲，共4种.
36
10
8.从a，b，c，d，e五个元素中每次取出三个元素，可组成____个以b为首的不同的排列，它们分别是________________________________________
____________________.
画出树形图如下：
可知共12个，它们分别是bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed.
12
bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed
10.(10分)判断下列问题是否为排列问题.
(1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？
解：第一问不是排列问题，第二问是排列问题.“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题.
√
√
12.一个三位数，其十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字(如735，414等)，那么，这样的三位数共有
A.240个 B.249个
C.285个 D.330个
因为十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字，
所以当十位数字是0时有9×9＝81种结果，
当十位数字是1时有8×8＝64种结果，
当十位数字是2时有7×7＝49种结果，
当十位数字是3时有6×6＝36种结果，
当十位数字是4时有5×5＝25种结果，
当十位数字是5时有4×4＝16种结果，
当十位数字是6时有3×3＝9种结果，
当十位数字是7时有2×2＝4种结果，
当十位数字是8时有1种结果，
所以共有81＋64＋49＋36＋25＋16＋9＋4＋1＝285种结果.
13.已知a∈{3，4，5}，b∈{1，2，7，8}，r∈{8，9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同圆的个数为____个.
24
确定圆的方程可分三步：确定a有3种方法，确定b有4种方法，确定r有2种方法，由分步乘法计数原理知N＝3×4×2＝24(个).
14.(13分)从0，1，2，3这四个数字中，每次取出三个不同的数字排成一个三位数.
(1)能组成多少个不同的三位数，并写出这些三位数.
解：组成三位数分三个步骤：
第一步：选百位上的数字，0不能排在首位，故有3种不同的排法；
第二步：选十位上的数字，有3种不同的排法；
第三步：选个位上的数字，有2种不同的排法.
由分步乘法计数原理得共有3×3×2＝18(个)不同的三位数.
画出下列树形图：
由树形图知，所有的三位数为102，103，120，123，130，132，201，203，210，213，230，231，301，302，310，312，320，321.
(2)若组成这些三位数中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在个位，则这样的三位数共有多少个，并写出这些三位数.
解：直接画出树形图：
由树形图知，符合条件的三位数有8个：201，210，230，231，301，302，310，312.
√
√
16.(17分)某药品研究所研制了5种消炎药a1，a2，a3，a4，a5，4种退热药b1，b2，b3，b4，现从中取两种消炎药和一种退热药同时进行疗效试验，但a1，a2两种药只能同时用或同时不用，a3，b4两种药不能同时使用，试写出所有不同试验方法.
解：如图，由树形图可写出所有不同试验方法如下：a1a2b1，a1a2b2，a1a2b3，a1a2b4，a3a4b1，a3a4b2，a3a4b3，a3a5b1，a3a5b2，a3a5b3，a4a5b1，a4a5b2，a4a5b3，a4a5b4，共14种.
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