(共54张PPT)
第2课时 二项式系数的性质
第4章 4.4 二项式定理
学习目标
1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数较小时的各项的二项式系数.
2.理解二项式系数的性质并灵活运用，提升逻辑推理、数学运算的核心素养.
3.掌握“赋值法”并会灵活应用，提升数学运算的核心素养.
任务一 二项式系数的性质
新知构建
2n
2n－1
典例1
(5)a1＋a2＋a3＋a4＋a5；
解：因为a0是(2x－1)5的展开式中x5的系数，
所以a0＝25＝32.
又a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，
所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－31.
(6)5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4.
解：因为(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，
所以两边求导数得
10(2x－1)4＝5a0x4＋4a1x3＋3a2x2＋2a3x＋a4.
令x＝1得5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4＝10.
规律方法
－1
32 022
(2)若(2x－3)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝____.
原等式两边求导，得10(2x－3)4＝a1＋2a2x1＋3a3x2＋4a4x3＋5a5x4.
令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝10.
10
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任务二 二项式系数性质的应用
典例2
规律方法
返回
任务三 与杨辉三角有关的问题
典例3
规律方法
解决与杨辉三角有关的问题的一般思路
对点练3．如图数表满足：①第n行首尾两数均为n；②图中的递推关系类
似杨辉三角，则第n(n≥2)行的第2个数是__________.
对点练4．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的三角数表.从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第________行；第61行中1的个数是____.
2n－1
32
观察可得第1行，第3行，第7行，第15行，全行都为1，故第n次全行的数都为1的是第2n－1行；因为n＝6 26－1＝63，故第63行共有64个1，递推知第62行共有32个1，第61行共有32个1.
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随堂评价
1.如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，
称为杨辉三角形，根据数组中的数构成的规律，其中的a
所表示的数是
A.2 B.4
C.6 D.8
√
从第三行起头尾两个数均为1，中间数等于上一行肩上两数之和，所以a＝3＋3＝6.
故选C.
√
3.设(－3＋2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a1＋a2＋a3的值为_____.
－15
返回
课时测评
结合题意可得λ＝3＋3＝6，μ＝4＋6＝10，故选C.
√
√
3.设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为
A.－2 B.－1
C.1 D.2
√
令x＝－1，则原式化为[(－1)2＋1][2×(－1)＋1]9＝－2＝a0＋a1(2－1)＋a2(2－1)2＋…＋a11(2－1)11，
所以a0＋a1＋a2＋…＋a11＝－2.
√
√
√
√
6.二项式(2x＋1)6的展开式中，第5项的系数等于_____.
60
7.设(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a0＋a2＋a4＋…＋a2n＝______.
8.(4－3x＋2y)n(n∈N＋)展开式中不含y的项的系数和为___.
要求(4－3x＋2y)n(n∈N＋)展开式中不含y的项，
只需令y＝0，所以(4－3x＋2y)n(n∈N＋)展开式中不含y的项的系数和即为(4－3x)n展开式的系数和.
令x＝1，得(4－3x)n展开式的各项系数和为(4－3)n＝1.
1
(2)记(1－2x)2n＋1＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2n＋1x2n＋1，n∈N＋，
①求｜a0｜＋｜a1｜＋…＋｜a2n＋1｜；
解：由题意
(1＋2x)2n＋1＝｜a0｜＋｜a1｜x＋…＋｜a2n＋1｜x2n＋1，
令x＝1，得｜a0｜＋｜a1｜＋…＋｜a2n＋1｜＝32n＋1.
√
11.若(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，且a1＋a2＋…＋a6＝63，则实数m的值为
A.1或3 B.－3
C.1 D.1或－3
令x＝0，得a0＝(1＋0)6＝1.令x＝1，得(1＋m)6＝a0＋a1＋a2＋…＋a6.又a1＋a2＋a3＋…＋a6＝63，
所以(1＋m)6＝64＝26，所以m＝1或m＝－3.
√
√
12.(多选)关于(a－b)11的说法，正确的是
A.展开式中的二项式系数之和为2 048
B.展开式中只有第6项的二项式系数最大
C.展开式中第6项和第7项的二项式系数最大
D.展开式中第6项的系数最大
(a－b)11的展开式中的二项式系数之和为211＝2 048，故A正确；
因为n＝11为奇数，所以展开式中有12项，中间两项(第6项和第7项)的二项式系数相等且最大，故B不正确，C正确；展开式中第6项的系数为负数，不是最大值，故D不正确.故选AC.
13.已知(1＋x)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10，若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈Z)是一个单调递增数列，则k的最大值是____.
6
(1＋x)n的展开式的各项的系数为其二项式系数，当n＝10时，展开式的第六项的二项式系数最大，故k的最大值为6.
√
设(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B.
则A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋….
由已知可知：B－A＝38.令x＝－1，
得：a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n，
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学习目标 1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数较小时的各项的二项式系数. 2.理解二项式系数的性质并灵活运用，提升逻辑推理、数学运算的核心素养. 3.掌握“赋值法”并会灵活应用，提升数学运算的核心素养.
任务一 二项式系数的性质
1.对称性：二项式系数f(r)关于直线r＝对称，即f(r)＝f(n－r).在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即＝.
2.单调性和最大值：二项式系数f(r)从两端向中间逐渐增大，且当n是偶数时，展开式的项数n＋1是奇数，中间一项的二项式系数取得最大值；当n是奇数时，展开式的项数n＋1是偶数，中间两项的二项式系数，相等，且同时取得最大值.
3.各二项式系数的和：
(1)＋＋＋…＋＝2n；
(2)＋＋＋…＝＋＋＋…＝2n－1.
已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.求下列各式的值：
(1)a0＋a1＋a2＋…＋a5；
(2)｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a5｜；
(3)a1＋a3＋a5；
(4)a0＋a2＋a4；
(5)a1＋a2＋a3＋a4＋a5；
(6)5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4.
解：(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.
(2)令x＝－1，得－35＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5.
由(2x－1)5的通项Tk＋1＝(－1)k·25－k·x5－k，
知a1，a3，a5为负值，
所以｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a5｜＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35＝243.
(3)由a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，
－a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35，
得2(a1＋a3＋a5)＝1－35，
所以a1＋a3＋a5＝＝－121.
(4)因为a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，
－a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35.
所以a0＋a2＋a4＝＝122.
(5)因为a0是(2x－1)5的展开式中x5的系数，
所以a0＝25＝32.
又a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，
所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－31.
(6)因为(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，
所以两边求导数得
10(2x－1)4＝5a0x4＋4a1x3＋3a2x2＋2a3x＋a4.
令x＝1得5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4＝10.
二项展开式中系数和的求法 1.对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N＋)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可，对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N＋)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可. 2.一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)， 奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝， 偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
对点练1.(1)若(1－2x)2 022＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 022x2 022，则＋＋…＋＝ ；｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a2 022｜＝ .
(2)若(2x－3)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝ .
答案：(1)－1 32 022 (2)10
解析：(1)令x＝0，得a0＝1.
令x＝，得a0＋＋＋…＋＝0.所以＋＋…＋＝－a0＝－1.
因为｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a2 022｜＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 022，
令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 022＝32 022，
所以｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a2 022｜＝32 022.
(2)原等式两边求导，得10(2x－3)4＝a1＋2a2x1＋3a3x2＋4a4x3＋5a5x4.
令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝10.
任务二 二项式系数性质的应用
已知f(x)＝展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项.
解：令x＝1，则展开式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n－2n＝992.
所以(2n)2－2n－992＝0，
所以(2n＋31)(2n－32)＝0，
所以2n＝－31(舍去)，或2n＝32，所以n＝5.
(1)由于n＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间的项，它们分别为：T3＝)3·(3x2)2＝90x6，T4＝)2·(3x2)3＝270.
(2)展开式的通项公式为Tr＋1＝·3r·，
假设Tr＋1项系数最大，
则有
所以
即
所以≤r≤，因为r∈N，
所以r＝4，
所以展开式中系数最大的项为T5＝(3x2)4＝405.
展开式中系数的最大项的求法 求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析.如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第k＋1项最大，应用解出k，即得出系数的最大项.
对点练2.(1)求(1＋2x)7的展开式中二项式系数最大项及系数最大项.
(2)求(1－2x)7的展开式中二项式系数最大项及系数最大项.
解：(1)(1＋2x)7的展开式中二项式系数最大项为第4项和第5项，
T4＝(2x)3＝280x3，T5＝(2x)4＝560x4.
设第r＋1项的系数最大，由通项Tr＋1＝2rxr及题意知，
Tr＋1的系数不小于Tr和Tr＋2的系数，即
解得≤r≤，r＝0，1，2，…，7，所以r＝5，即第6项的系数最大，T6＝(2x)5＝672x5.
(2)(1－2x)7的展开式中二项式系数最大项为第4项和第5项，T4＝(－2x)3＝－280x3，T5＝＝560x4.
设第r＋1项的系数最大，由通项Tr＋1＝(－2)rxr，易知系数最大时，r必为偶数，即Tr＋1＝2rxr.
因为＜＝＜＜，22×＜26×，所以系数最大项只能是T5或T7.
因为T5＝(－2x)4＝560x4，T7＝(－2x)6＝448x6，所以系数最大项是T5＝560x4.
任务三 与杨辉三角有关的问题
如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，记其前n项和为Sn，求S16的值.
解：由题意及杨辉三角的特点可得
S16＝(1＋2)＋(3＋3)＋(6＋4)＋(10＋5)＋…＋(36＋9)
＝(＋)＋(＋)＋(＋)＋…＋(＋)
＝(＋＋＋…＋)＋(2＋3＋…9)
＝＋
＝164.
解决与杨辉三角有关的问题的一般思路
对点练3.如图数表满足：①第n行首尾两数均为n；②图中的递推关系类似杨辉三角，则第n(n≥2)行的第2个数是 .
答案：
解析：法一：由图中数字规律可知，第n行的第2个数是[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋1＝＋1.
法二：设第n(n≥2)行的第2个数构成数列{}，
则有a3－a2＝2，a4－a3＝3，a5－a4＝4，…，an－an－1＝n－1，
相加得an－a2＝2＋3＋…＋(n－1)
＝×(n－2)＝，
所以an＝2＋＝.
对点练4.将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的三角数表.从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 .
答案：2n－1 32
解析：观察可得第1行，第3行，第7行，第15行，全行都为1，故第n次全行的数都为1的是第2n－1行；因为n＝6 26－1＝63，故第63行共有64个1，递推知第62行共有32个1，第61行共有32个1.
1.如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据数组中的数构成的规律，其中的a所表示的数是( )
A.2 B.4
C.6 D.8
答案：C
解析：从第三行起头尾两个数均为1，中间数等于上一行肩上两数之和，所以a＝3＋3＝6.
故选C.
2.已知二项式的展开式中，二项式系数之和等于64，则展开式中常数项等于( )
A.240 B.120
C.48 D.36
答案：A
解析：由题意2n＝64，解得n＝6，则＝，
则二项式的展开式的通项公式为Tr＋1＝··＝26－r··，
令3－r＝0，即r＝2，则26－r·＝24·＝240.
故选A.
3.设(－3＋2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a1＋a2＋a3的值为 .
答案：－15
解析：令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1.①
又Tk＋1＝(－3)4－k(2x)k，所以当k＝4时，x4的系数a4＝16.②
由①－②得a0＋a1＋a2＋a3＝－15.
4.已知(1＋m)n(m是正实数)的展开式的二项式系数之和为256，展开式中含x的项的系数为112.
(1)求m，n的值；
(2)求展开式中奇数项的二项式系数之和；
(3)求(1＋m)n(1－x)的展开式中含x2的项的系数.
解：(1)由题意可得2n＝256，解得n＝8.Tk＋1＝mk，含x项的系数为m2＝112，解得m＝2或m＝－2(舍去).故m，n的值分别为2，8.
(2)展开式中奇数项的二项式系数之和为＋＋＋＋＝28－1＝128.
(3)(1＋2)8(1－x)＝(1＋2)8－x(1＋2)8，
所以含x2的项的系数为24－22＝1 008.
课时测评45 二项式系数的性质
(时间：60分钟 满分：110分)
(1—8小题，每小题5分，共40分)
1.下面是(a＋b)n，当n＝1，2，3，4，5，6时展开式的二项式系数表示形式.
借助上面的表示形式，判断λ与μ的值分别是( )
A.5，9 B.5，10
C.6，10 D.6，9
答案：C
解析：结合题意可得λ＝3＋3＝6，μ＝4＋6＝10，故选C.
2.设二项式的展开式中第5项是常数项，那么这个展开式中系数最大的项是( )
A.第9项 B.第8项
C.第9项和第10项 D.第8项和第9项
答案：A
解析：因为展开式的第5项为T5＝，所以令－4＝0，解得n＝16，所以展开式中系数最大的项是第9项.
3.设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为( )
A.－2 B.－1
C.1 D.2
答案：A
解析：令x＝－1，则原式化为[(－1)2＋1][2×(－1)＋1]9＝－2＝a0＋a1(2－1)＋a2(2－1)2＋…＋a11(2－1)11，
所以a0＋a1＋a2＋…＋a11＝－2.
4.已知的展开式中各项系数的和为32，则该二项展开式中系数最大的项为( )
A.270x－1 B.270x
C.405x3 D.243x5
答案：B
解析：令x＝1，得(a－1)5＝32，解得a＝3.
的展开式的通项为Tr＋1＝·(3x)5－r·＝(－1)r·35－r··x5－2r.
当r＝0时，35＝243；
当r＝2时，33·＝270；
当r＝4时，3·＝15.
所以该二项展开式中第3项的系数最大，故该二项展开式中系数最大的项为270x.
5.(多选)已知(ax2＋)n(a＞0)的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为1 024，则下列说法正确的是( )
A.展开式中奇数项的二项式系数和为256
B.展开式中第6项的系数最大
C.展开式中存在常数项
D.展开式中含x15项的系数为45
答案：BCD
解析：由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，即＝，可知n－4＝6，即n＝10，
又展开式的各项系数之和为1 024，即当x＝1时，＝1 024，所以a＝1，
所以二项式为＝，
则二项式系数和为210＝1 024，则奇数项的二项式系数和为×1 024＝512，故A错误；
由n＝10可知展开式共有11项，中间项的二项式系数最大，即第6项的二项式系数最大，
因为x2与的系数均为1，则该二项式展开式的二项式系数与系数相同，所以第6项的系数最大，故B正确；
若展开式中存在常数项，由通项Tr＋1＝x2(10－r)可得2(10－r)－r＝0，解得r＝8，故C正确；
由通项Tr＋1＝x2(10－r)可得2(10－r)－r＝15，解得r＝2，所以系数为＝45，故D正确，
故选BCD.
6.二项式(2x＋1)6的展开式中，第5项的系数等于 .
答案：60
解析：因为二项式(2x＋1)6展开式的通项公式Tr＋1＝·(2x)6－r·1r，
所以T5＝(2x)2＝60x2.
7.设(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a0＋a2＋a4＋…＋a2n＝ .
答案：
解析：令x＝1，得3n＝a0＋a1＋a2＋…＋a2n－1＋a2n，①
令x＝－1，得1＝a0－a1＋a2－…－a2n－1＋a2n，②
①＋②得3n＋1＝2(a0＋a2＋…＋a2n)，
所以a0＋a2＋…＋a2n＝.
8.(4－3x＋2y)n(n∈N＋)展开式中不含y的项的系数和为 .
答案：1
解析：要求(4－3x＋2y)n(n∈N＋)展开式中不含y的项，
只需令y＝0，所以(4－3x＋2y)n(n∈N＋)展开式中不含y的项的系数和即为(4－3x)n展开式的系数和.
令x＝1，得(4－3x)n展开式的各项系数和为(4－3)n＝1.
9.(10分)已知(n∈N＋)的展开式中第7项是常数项.
(1)求n的值；
(2)求展开式中二项式系数最大的项.
解：(1)展开式的通项为Tr＋1＝xn－r＝，
因为第7项为常数项，所以第7项T7＝
xn－9， 即n＝9.
(2)因为n＝9，所以二项式系数最大的项为T5与T6，
即T5＝x3＝x3，
T6＝＝－.
10.(10分)(1)已知(1－2x)2n＋1的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为1∶4，求n的值.
(2)记(1－2x)2n＋1＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2n＋1x2n＋1，n∈N＋，
①求｜a0｜＋｜a1｜＋…＋｜a2n＋1｜；
②设ak＝(－2)kbk，求和：1·b0＋2·b1＋3·b2＋…＋(k＋1)·bk＋…＋(2n＋2)·b2n＋1.
解：(1)因为(1－2x)2n＋1的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为1∶4，
所以＝，解得n＝4.
(2)①由题意
(1＋2x)2n＋1＝｜a0｜＋｜a1｜x＋…＋｜a2n＋1｜x2n＋1，
令x＝1，得｜a0｜＋｜a1｜＋…＋｜a2n＋1｜＝32n＋1.
②由题意ak＝(－2)k，又ak＝(－2)kbk，
所以bk＝.
所以(k＋1)bk＝(k＋1)＝k＋＝k＋＝＋
＝(2n＋1)＋，k＞0，
所以1·b0＋2·b1＋3·b2＋…＋(k＋1)·bk＋…＋(2n＋2)·b2n＋1＝1·＋2·＋3·＋…＋(k＋1)·＋…＋(2n＋2)·＝＋(2n＋1)＝22n＋1＋(2n＋1)22n＝(2n＋3)·22n.
(11—13小题，每小题5分，共15分)
11.若(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，且a1＋a2＋…＋a6＝63，则实数m的值为( )
A.1或3 B.－3
C.1 D.1或－3
答案：D
解析：令x＝0，得a0＝(1＋0)6＝1.令x＝1，得(1＋m)6＝a0＋a1＋a2＋…＋a6.又a1＋a2＋a3＋…＋a6＝63，
所以(1＋m)6＝64＝26，所以m＝1或m＝－3.
12.(多选)关于(a－b)11的说法，正确的是( )
A.展开式中的二项式系数之和为2 048
B.展开式中只有第6项的二项式系数最大
C.展开式中第6项和第7项的二项式系数最大
D.展开式中第6项的系数最大
答案：AC
解析：(a－b)11的展开式中的二项式系数之和为211＝2 048，故A正确；
因为n＝11为奇数，所以展开式中有12项，中间两项(第6项和第7项)的二项式系数相等且最大，故B不正确，C正确；展开式中第6项的系数为负数，不是最大值，故D不正确.故选AC.
13.已知(1＋x)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10，若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈Z)是一个单调递增数列，则k的最大值是 .
答案：6
解析：(1＋x)n的展开式的各项的系数为其二项式系数，当n＝10时，展开式的第六项的二项式系数最大，故k的最大值为6.
14.(13分)已知的展开式的二项式系数之和为256.
(1)求n的值；
(2)若展开式中常数项为，求m的值；
(3)若(x＋m)n展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m的取值情况.
解：(1)由二项式系数之和为2n＝256，可得n＝8.
(2)设常数项为第r＋1项，则
Tr＋1＝x8－r＝mrx8－2r.
令8－2r＝0，即r＝4，则m4＝，
解得m＝±.
(3)易知m＞0，设第r＋1项系数最大.
则
化简可得≤r≤.
由于只有第6项和第7项系数最大，
所以
所以m只能等于2.
15.(5分)已知(2x－1)n二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则＋＋＋…＋的值为( )
A.28 B.28－1
C.27 D.27－1
答案：B
解析：设(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B.
则A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋….
由已知可知：B－A＝38.令x＝－1，
得：a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n，
即：(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－(a1＋a3＋a5＋a7＋…)＝(－3)n，
即：B－A＝(－3)n.所以(－3)n＝38＝(－3)8，
所以n＝8.
由二项式系数的性质可得：
＋＋＋…＋＝2n－＝28－1.
16.(17分)已知展开式的第5项的系数与第3项的系数的比值为30.求：
(1)展开式中的所有有理项；
(2)n＋6＋36＋…＋6n－1的值；
(3)系数的绝对值最大的项.
解：展开式的通项Tr＋1＝)n－r·＝·(－2)r(r＝0，1，…，n)，
由于展开式的第5项的系数与第3项的系数的比值为30，则＝30，化简，得n2－5n－84＝0，解得n＝12或n＝－7(舍去).
(1)展开式的通项Tr＋1＝(－2)r·(r＝0，1，2，…，12)，当r＝0，6，12时，为整数，则有理项为T1＝x6，T7＝26x＝59 136x，
T13＝212x－4＝4 096x－4.
(2)n＋6＋36＋…＋6n－1
＝＋6＋36＋…＋611
＝(1＋6＋62＋63＋…＋612)－
＝×(1＋6)12－
＝.
(3)设第r＋1项的系数的绝对值最大，
因为Tr＋1＝(－2)r·(r＝0，1，2，…，12)，
则
即
解得≤r≤，
所以r＝8，
所以系数的绝对值最大的项为T9＝28＝126 720.
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