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第2课时 排列数的综合应用
第4章 4.2 排列
学习目标
1.进一步理解排列的概念，通过各种不同类型的实例，掌握几种有限制条件的排列问题的解法，提升数学运算的核心素养.
2.会应用排列知识解决简单的实际问题，提升数学建模、数学运算的核心素养.
应用一 数字排列问题
典例1
规律方法
数字排列问题是排列问题的重要题型，解题时要着重注意从附加受限制条件入手分析，找出解题的思路.常见附加条件有：(1)首位不能为0；(2)有无重复数字；(3)奇偶数；(4)某数的倍数；(5)大于(或小于)某数.
对点练1．用数字1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20 000大的五位偶数共有____个.
36
对点练2．我们把各位数字之和为7的四位数称为“北斗数”(如2 014是“北斗数”)，则“北斗数”中千位为3的共有____个.
15
由已知得千位为3的“北斗数”的后三位之和为4，有以下四种可能：0，0，4；0，1，3；0，2，2；1，1，2.各种组合对应的排列个数分别为3，6，3，3，合计15个.
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应用二 元素“相邻”与“不相邻”问题
(1)某地媒体为了宣传援鄂医护人员A，B，C，D，E，F共6人(其中A是队长)的优秀事迹，让这6名医护人员与接见他们的一位领导共7人站成一排进行拍照，则领导和队长站两端且B，C两人相邻，而B，D两人不相邻的站法种数为
A.36 B.48
C.56 D.72
典例2
√
√
规律方法
处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则.元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列.元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素.
对点练3．某班上午有五节课，分别安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课.要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，则不同排课法的种数是
A.24 B.16
C.8 D.12
√
对点练4．两对夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的不同的入园顺序有____种.
24
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应用三 定序问题
典例3
规律方法
模型 解题方法
整体法 将m＋n个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变.
规律方法
模型 解题方法
插空法 将m＋n个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变. 先排先后顺序确定不变的m个元素，只有一种排法，然后把剩下的n个对象中的1个插入由以上m个元素形成的空隙中，再将剩下的n－1个元素中的1个插入由以上m＋1个元素形成的空隙中，……，直至将n个元素全部插入.
对点练5．书架上某一层有5本不同的书，新买了3本不同的书插进去，要保持原来5本书的顺序不变，则不同的插法种数为
A.60 B.120
C.336 D.504
√
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应用四 元素的“在”与“不在”问题
典例4
规律方法
“在”与“不在”问题是排列问题中的常见类型，解题原则是谁“特殊”谁优先.常用的解题方法有“元素分析法”“位置分析法”和“间接法”.
1.元素分析法：以元素为主考虑，即先安排特殊元素，再安排其他元素；
规律方法
2.位置分析法：以位置为主考虑，即先安排特殊位置，再安排其他位置；
3.间接法：用间接法解题，即先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数.
对点练6．即将高三毕业的6名同学排成一排照相留念，个子较高的明明同学既不能站在最左边，也不能站在最右边，则不同的站法种数为_____.
480
对点练7．某台小型晚会由7个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，则该台晚会节目演出顺序的不同编排方案的种数为____.
96
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随堂评价
1.要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有
A.1 440种 B.960种
C.720种 D.480种
√
2.用0，1，2，3，4，5这6个数字，可以组成没有重复数字的四位数的个数是
A.360 B.300
C.240 D.180
√
3.高三(一)班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则共有______种不同的排法.
3 600
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课时测评
√
2.数列{an}共有6项，其中4项为2，其余两项各不相同，则满足上述条件的数列{an}共有
A.30个 B.31个
C.60个 D.61个
√
3.在制作飞机的某一零件时，要先后实施6个工序，其中工序A只能出现在第一步或最后一步，工序B和C在实施时必须相邻，则实施顺序的编排方法共有
A.34种 B.48种
C.96种 D.144种
√
4.在“弘扬中华文化”的演讲比赛中，参赛者甲、乙、丙、丁、戊进入了前5名的决赛(获奖名次不重复).甲、乙、丙三人一起去询问成绩，回答者说：“第一名和第五名恰好都在你们三人之中，甲的成绩比丙好.”从这个回答分析，5人的名次排列的所有可能情况有
A.18种
B.24种
C.36种
D.48种
√
5.某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是
A.72 B.120
C.144 D.168
√
6.某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了______条毕业留言.(用数字作答)
1 560
7.把1，2，3，…，9这九个数填写在如图所示的九宫格中，要求每一行从左到右依次增大，每一列从上到下也依次增大.若数4固定在中心位置，则所有填写空格的方法共有____种.
12
4
4
8.用0， 1， 2， 3， 4， 5这六个数字， 可以组成_____个无重复数字的三位数， 也可以组成______个能被5整除且无重复数字的五位数.
100
216
√
11.一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为
A.3×3！ B.3×(3！)3
C.(3！)4 D.9！
√
12.受某疫情影响，一学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭.高三年级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有
A.240种 B.120种
C.188种 D.156种
13.将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻).这样的排列方法有____种(用数字作答).
40
15.(5分)某学校周三要排语文、数学、英语、物理、化学、体育共六节课，有______种不同的排法，若体育课既不能与语文相邻，也不能与数学相邻，有_____种不同的排法.(用具体数字作答)
720
288
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学习目标 1.进一步理解排列的概念，通过各种不同类型的实例，掌握几种有限制条件的排列问题的解法，提升数学运算的核心素养. 2.会应用排列知识解决简单的实际问题，提升数学建模、数学运算的核心素养.
应用一 数字排列问题
用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？
(1)六位奇数；
(2)个位数字不是5的六位数；
(3)不大于4 310的四位偶数.
解：(1)第一步，排个位，有种排法；
第二步，排十万位，有种排法；
第三步，排其他位，有种排法.
故共有＝288(个)六位奇数.
(2)法一：(直接法)：
十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此需分两类.
第一类，当个位排0时，有个；
第二类，当个位不排0时，有个.
故符合题意的六位数共有＋＝504(个).
法二：(排除法)：
0在十万位和5在个位的排列都不对应符合题意的六位数，这两类排列中都含有0在十万位和5在个位的情况.
故符合题意的六位数共有－2＋＝504(个).
(3)分三种情况，具体如下：
①当千位上排1，3时，有个.
②当千位上排2时，有个.
③当千位上排4时，形如4 0××，4 2××的各有个；
形如4 1××的有个；
形如4 3××的只有4 310和4 302这两个数.
故共有＋＋2＋＋2＝110(个).
数字排列问题是排列问题的重要题型，解题时要着重注意从附加受限制条件入手分析，找出解题的思路.常见附加条件有：(1)首位不能为0；(2)有无重复数字；(3)奇偶数；(4)某数的倍数；(5)大于(或小于)某数.
对点练1.用数字1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20 000大的五位偶数共有 个.
答案：36
解析：由题设可知：当首位排5和3时，末位可排2和4，中间三个数全排，两种情况共有4种；当首位排2和4时，末位只能排4和2，中间三个数全排，两种情况共有2，所以由分类加法计数原理可得所有符合条件的五位偶数共有6＝6×6＝36个.
对点练2.我们把各位数字之和为7的四位数称为“北斗数”(如2 014是“北斗数”)，则“北斗数”中千位为3的共有 个.
答案：15
解析：由已知得千位为3的“北斗数”的后三位之和为4，有以下四种可能：0，0，4；0，1，3；0，2，2；1，1，2.各种组合对应的排列个数分别为3，6，3，3，合计15个.
应用二 元素“相邻”与“不相邻”问题
(1)某地媒体为了宣传援鄂医护人员A，B，C，D，E，F共6人(其中A是队长)的优秀事迹，让这6名医护人员与接见他们的一位领导共7人站成一排进行拍照，则领导和队长站两端且B，C两人相邻，而B，D两人不相邻的站法种数为( )
A.36 B.48
C.56 D.72
(2)“仁、义、礼、智、信”为儒家“五常”，孔子提出“仁、义、礼”，孟子延伸为“仁、义、礼、智”，董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”.将“仁、义、礼、智、信”排成一排，“仁”排在第一位，且“智、信”相邻的概率为( )
A. B.
C. D.
答案：(1)D (2)A
解析：(1)根据题意，可分两步进行分析，
第一步，领导和队长站在两端，有＝2种站法；
第二步，安排中间5人，分两种情况讨论：
①若B，C相邻且C，D相邻，有＝12种站法；
②若B，C相邻且均不与D相邻，有＝24种站法.
故中间5人有12＋24＝36种站法.
故领导和队长站两端且B，C两人相邻，而B，D两人不相邻的站法共有2×36＝72(种).故选D.
(2)“仁、义、礼、智、信”排成一排，共有种排法，其中“仁”排在第一位，且“智、信”相邻的排法有种，故所求概率为＝，故选A.
处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则.元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列.元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素.
对点练3.某班上午有五节课，分别安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课.要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，则不同排课法的种数是( )
A.24 B.16
C.8 D.12
答案：A
解析：根据题意，分3步进行分析：①要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，有＝2种情况；②将这个整体与英语全排列，有＝2种情况，排好后，有3个空位；③数学与物理不相邻，有3个空位可选，有＝6种情况，则不同排课法的种数是2×2×6＝24(种).
对点练4.两对夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的不同的入园顺序有 种.
答案：24
解析：两位爸爸的排法有种，两个小孩排在一起可看成一体，有种排法，妈妈和孩子共有种排法，所以不同的入园顺序有＝24(种).
应用三 定序问题
7人站成一排.
(1)甲必须在乙的前面(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法？
(2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻)，则有多少不同的排列方法？
解：(1)甲在乙前面的排法种数占全体排列种数的一半，故有＝2 520(种)不同的排法.
(2)甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变，即甲、乙、丙自左向右顺序的排法种数占全排列种数的.
故有＝840(种)不同的排法.
模型 解题方法
整 体 法 将m＋n个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变. 先将这m＋n个元素排成一列，有种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把先后顺序确定不变的m个元素进行全排列，有种排法，其中只有一种排法是我们需要的，因此共有种不同的排法.
插 空 法 先排先后顺序确定不变的m个元素，只有一种排法，然后把剩下的n个对象中的1个插入由以上m个元素形成的空隙中，再将剩下的n－1个元素中的1个插入由以上m＋1个元素形成的空隙中，……，直至将n个元素全部插入.
对点练5.书架上某一层有5本不同的书，新买了3本不同的书插进去，要保持原来5本书的顺序不变，则不同的插法种数为 ( )
A.60 B.120
C.336 D.504
答案：C
解析：新买3本书后，书架上共8本书，这8本书的不同排法有种，而原有的5本书对应的不同排法有种，所以不同的插法种数为＝＝336.
应用四 元素的“在”与“不在”问题
从包括甲、乙2名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列.
(1)甲不在首位的排法有多少种？
(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？
(3)甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种？
(4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？
解：(1)(间接法)先不考虑限制条件，从7人中选出5人进行排列，然后把不满足条件的排列去掉.
不考虑甲在首位的要求，总的可能情况有种，甲在首位的情况有种，所以符合要求的排法有－＝2 160(种).
(2)把位置作为研究对象，先考虑特殊位置.
第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有种方法；
第二步，从剩下的5名同学中选3名排在中间3个位置上，有种方法.
根据分步乘法计数原理，共有·＝1 800(种)方法.
(3)把位置作为研究对象.
第一步，从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置，有种方法；
第二步，从剩下的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有种方法.
根据分步乘法计数原理，共有·＝1 200(种)方法.
(4)(间接法)总的可能情况有种，减去甲在首位的种排法，再减去乙在末位的种排法，注意到甲在首位，同时乙在末位的排法数被减去了两次，所以还需补回一次种排法，所以共有－2＋＝1 860(种)排法.
“在”与“不在”问题是排列问题中的常见类型，解题原则是谁“特殊”谁优先.常用的解题方法有“元素分析法”“位置分析法”和“间接法”. 1.元素分析法：以元素为主考虑，即先安排特殊元素，再安排其他元素； 2.位置分析法：以位置为主考虑，即先安排特殊位置，再安排其他位置； 3.间接法：用间接法解题，即先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数.
对点练6.即将高三毕业的6名同学排成一排照相留念，个子较高的明明同学既不能站在最左边，也不能站在最右边，则不同的站法种数为 .
答案：480
解析：方法一(位置分析法) 先从其他5名同学中安排2名同学分别站在最左边和最右边，再安排余下4名同学(含明明)的位置.分为2步：第1步，从除了明明外的5名同学中选2名同学分别站在最左边和最右边，有种站法；第2步，余下的4名同学(含明明)站在剩下的4个位置上，有种站法.由分步乘法计数原理，知不同的站法共有＝480(种).
方法二(元素分析法) 先安排明明的位置，再安排其他5名同学的位置.分为2步：第1步，将明明安排在除最左边、最右边外的任意位置上，有种站法；第2步，余下的5名同学站在剩下的5个位置上，有种站法.由分步乘法计数原理，知不同的站法共有＝480(种).
方法三(间接法) 6名同学没有限制地排成一排，有种站法，当明明站在最左边或最右边时，有2种站法，因此符合条件的不同站法共有－2＝480(种).
对点练7.某台小型晚会由7个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，则该台晚会节目演出顺序的不同编排方案的种数为 .
答案：96
解析：首先安排节目甲、丙，都只有1种排法.
其次安排节目乙：节目乙不能排在第一位，所以从第一、四、七位之外的4个位置中任选1个，不同的排法有4种.最后安排其他4个节目，这4个节目的不同的排法有＝24(种).
由分步乘法计数原理，可得不同的编排方案有1×1×4×24＝96(种).
1.要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有( )
A.1 440种 B.960种
C.720种 D.480种
答案：B
解析：从5名志愿者中选2人排在两端有种排法，2位老人的排法有种，其余3人和老人排有种排法，共有＝960种不同的排法.
2.用0，1，2，3，4，5这6个数字，可以组成没有重复数字的四位数的个数是( )
A.360 B.300
C.240 D.180
答案：B
解析：当四个数字中没有0时，没有重复数字的四位数有：＝120种；当四个数字中有0时，没有重复数字的四位数有：＝180种，
两类相加一共有300种，故选B.
3.高三(一)班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则共有 种不同的排法.
答案：3 600
解析：分步：第一步先排4个音乐节目和一个曲艺节目有种排法，形成6个空，第二步将2个舞蹈节目插空，有种排法，所以共有不同排法的种数为＝3 600.
4.3名女生和5名男生排成一排.
(1)如果女生全排在一起，有多少种排法？
(2)如果女生都不相邻，有多少种排法？
(3)如果女生不站两端，有多少种排法？
(4)如果甲必须排在乙左边(可不邻)，有多少种排法？
(5)如果甲不站左端，且乙不站右端，有多少种排法？
解：(1)(捆绑法)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样与5名男生合在一起有6个元素，排成一排有种排法；在每一种排法中，3名女生间又有种排法，因此共有·＝4 320(种)不同排法.
(2)(插空法)先排5名男生，有种排法，这5名男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有种排法，因此共有·＝14 400(种)不同排法.
(3)(位置分析法)因为两端不排女生，所以只能从5名男生中选2人排列，有种排法；剩余的位置没有特殊要求，有种排法，因此共有·＝14 400(种)不同排法.
(4)(整体法)8名学生的全排列有个，其中甲和乙的全排列有个，所以符合要求的排法种数为＝20 160(种)排法.
(5)(间接法)8名全排列，共种排法，其中，不合条件的有甲在左端时，有种排法，乙在右端时，有种排法，这两种排法都包含了甲在左端，同时乙在右端的情形，有种排法.因此共有－2＋＝30 960(种)排法.
课时测评41 排列数的综合应用
(时间：60分钟 满分：110分)
(1—8小题，每小题5分，共40分)
1.有4名司机，4名售票员要分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方法有( )
A.种 B.种
C.种 D.2种
答案：C
解析：4名司机分配到4辆汽车上有种分配方法，4名售票员分配到4辆汽车上也有种分配方法，由分步乘法计数原理知，共有种不同的分配方法.
2.数列{an}共有6项，其中4项为2，其余两项各不相同，则满足上述条件的数列{an}共有( )
A.30个 B.31个
C.60个 D.61个
答案：A
解析：由题意，首先从6个位置中选择2个位置排列两个不是2的不同的项，共有种排法，其次4个2在剩下的位置排列，有一种排法，故其可组成不同的数列×1＝30(个).
3.在制作飞机的某一零件时，要先后实施6个工序，其中工序A只能出现在第一步或最后一步，工序B和C在实施时必须相邻，则实施顺序的编排方法共有( )
A.34种 B.48种
C.96种 D.144种
答案：C
解析：由题意可知，先排工序A，有2种编排方法；再将工序B和C视为一个整体(有2种顺序)与其他3个工序全排列共有2种编排方法.故实施顺序的编排方法共有2×2＝96(种).故选C.
4.在“弘扬中华文化”的演讲比赛中，参赛者甲、乙、丙、丁、戊进入了前5名的决赛(获奖名次不重复).甲、乙、丙三人一起去询问成绩，回答者说：“第一名和第五名恰好都在你们三人之中，甲的成绩比丙好.”从这个回答分析，5人的名次排列的所有可能情况有( )
A.18种 B.24种
C.36种 D.48种
答案：A
解析：①当甲排第1名时，则第5名从乙、丙两个选一个，其它三名任意排列，所以N1＝2＝12；
②当甲排第2，3，4名时，则第5名必排丙，第1名排乙，其它三名任意排列，
所以N2＝＝6；
所以N＝12＋6＝18，
故选A.
5.某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )
A.72 B.120
C.144 D.168
答案：B
解析：先排3个歌舞类节目，有＝6种方法，再用相声分类.
第一类：相声排在歌舞类的两端有＝2种方法，此时歌舞类中必插两个小品有＝2种方法，共有2×2＝4种.
第二类：相声排在歌舞类的中间有＝2种方法，此时余下相邻歌舞类中必插一个小品有＝2，另一个小品有＝4，共有2×2×4＝16(种).
共有排法数为6×(4＋16)＝120(种).
6.某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言.(用数字作答)
答案：1 560
解析：根据题意，得＝1 560，故全班共写了1 560条毕业留言.
7.把1，2，3，…，9这九个数填写在如图所示的九宫格中，要求每一行从左到右依次增大，每一列从上到下也依次增大.若数4固定在中心位置，则所有填写空格的方法共有 种.
4
答案：12
解析：由题意知，1必须在左上格，9必须在右下格.在4的左方或上方只能填2，3，有种填法.5，6，7，8的填法分为两类：①当7在右上格或左下格时，5，6，8的位置就确定了，有种填法.②当7在4的下方或右方时，8的位置就确定了，剩下的两个空格5，6任意填，有种填法.根据分类加法计数原理与分步乘法计数原理可知，不同的填法共有×(＋)＝12(种).
8.用0， 1， 2， 3， 4， 5这六个数字， 可以组成 个无重复数字的三位数， 也可以组成 个能被5整除且无重复数字的五位数.
答案：100 216
解析：第一个空：第一步，先确定三位数的最高数位上的数，有5种方法；
第二步，确定另外二个数位上的数，有＝5×4＝20种方法，
所以可以组成5×20＝100个无重复数字的三位数；
第二个空：被5整除且无重复数字的五位数的个数有2种情况：
当个数上的数字是0时，其他数位上的数有＝5×4×3×2＝120个；
当个数上的数字是5时，先确定最高数位上的数，有4种方法，而后确定其他三个数位上的数有＝4×3×2＝24种方法，所以共有24×4＝96个数，
根据分类计数原理共有120＋96＝216个数.
9.(10分)用1，2，3，4，5，6，7排出无重复数字的七位数，按下列要求各有多少个？
(1)偶数不相邻；
(2)偶数一定在奇数位上；
(3)1和2之间恰夹有一个奇数，没有偶数；
(4)三个偶数从左到右按从小到大的顺序排列.
解：(1)用插空法，先排4个奇数有种排法，形成5个空，将3个偶数插空有(种)插法，所以一共有＝1 440(个).
(2)先把偶数排在奇数位上有种排法，再排奇数有种排法，所以共有＝576(个).
(3)在1和2之间放一个奇数有种方法，把1，2和相应的奇数看成整体和其他4个数进行排列有种排法，所以共有＝720(个).
(4)七个数的全排列为，三个偶数的全排列为，所以满足要求的七位数有＝840(个).
10.(10分)3名男生、4名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法的种数.
(1)全体站成一排，男、女各站在一起；
(2)全体站成一排，男生必须站在一起；
(3)全体站成一排，男生不能站在一起；
(4)全体站成一排，男、女各不相邻.
解：(1)男生必须站在一起是男生的全排列，有种排法；
女生必须站在一起是女生的全排列，有种排法；
全体男生、女生各视为一个元素，有种排法.
由分步乘法计数原理知，共有＝288种排队方法.
(2)三个男生全排列有种方法，把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，有种排法.故有·＝720种排队方法.
(3)先安排女生，共有种排法；男生在4个女生隔成的5个空中安排，共有种排法，故共有＝1 440种排法.
(4)排好男生后让女生插空，共有＝144种排法.
(11—13小题，每小题5分，共15分)
11.一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )
A.3×3！ B.3×(3！)3
C.(3！)4 D.9！
答案：C
解析：利用“捆绑法”求解，满足题意的坐法种数为·()3＝(3！)4.故选C.
12.受某疫情影响，一学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭.高三年级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有( )
A.240种 B.120种
C.188种 D.156种
答案：B
解析：根据题意，按甲班位置分3 种情况讨论：
(1)甲班排在第一位，丙班和丁班排在一起的情况有4＝8种，将剩余的三个班全排列，安排到剩下的3个位置，有＝6种情况，此时有8×6＝48种安排方案；
(2)甲班排在第二位，丙班和丁班排在一起的情况有3＝6种，将剩下的三个班全排列，安排到剩下的三个位置，有＝6种情况，此时有6×6＝36种安排方案；
(3)甲班排在第三位，丙班和丁班排在一起的情况有3＝6种，将剩下的三个班全排列，安排到剩下的三个位置，有＝6种情况，此时有6×6＝36种安排方案；
由分类加法计数原理可知，共有48＋36＋36＝120种方案，故选B.
13.将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻).这样的排列方法有 种(用数字作答).
答案：40
解析：5个不同元素中部分元素A，B，C的排列顺序已定，这种问题有以下两种常用的解法.
法一(整体法)：5个元素无约束条件的全排列有种排法，由于字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”或“C，B，A”，因此，在上述的全排列中恰好符合“A，B，C”或“C，B，A”的排列方法有×2＝40(种).
法二(插空法)：若字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”，将字母D，E插入这时形成的4个空中，分两类：
第一类，若字母D，E相邻，则有种排法；
第二类，若字母D，E不相邻，则有种排法.
所以不同的排列方法有＋＝20(种).
同理，若字母A，B，C的排列顺序为“C，B，A”，也有20种不同的排列方法.
因此，满足条件的排列方法有20＋20＝40(种).
14.(13分) 由0，1，2，3，4，5这六个数字.
(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？
(2)能组成多少个无重复数字且被25整除的四位数？
(3)组成无重复数字的四位数中比4 032大的数有多少个？
解：(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数，只要末尾是偶数，首位不能为零，对于特殊位置优先安排，当末位为0时，其余三位数字从1，2，3，4，5中取三个有种排法；当末位为2，4时，排末位，排首位，排中间，所以一共可得＋＝156个.
(2)被25整除的数字包括两种情况，一是最后两位是25，需要先从余下的非0数字中选一个做首位，剩下的三个数字选一个放在第二位，则有种结果，二是最后两位数字是50，则有种结果，根据加法原理得到结果＋＝21个.
(3)当首位是5时，其他几个数字在三个位置上排列有种，当首位是4时，第二位从1，2，3，5四个数字中选一个，后两位没有限制共有，当前三位是405时，共有个，当前三位是403时有1个，分别写出结果数，相加得到结果＋＋＋1＝112个.
15.(5分)某学校周三要排语文、数学、英语、物理、化学、体育共六节课，有 种不同的排法，若体育课既不能与语文相邻，也不能与数学相邻，有 种不同的排法.(用具体数字作答)
答案：720 288
解析：某学校周三要排语文、数学、英语、物理、化学、体育共六节课，有＝720种不同的排法.
当体育在第一节时，在第三，四，五，六节中选2节排语文和数学，其余排英语、物理、化学，则共有＝12×6＝72种不同的排法；
当体育在第二节时，在第四，五，六节中选2节排语文和数学，其余排英语、物理、化学，则共有＝6×6＝36种不同的排法；
当体育在第三节时，在第一，五，六节中选2节排语文和数学，其余排英语、物理、化学，则共有＝6×6＝36种不同的排法；
当体育在第四节时，在第一，二，六节中选2节排语文和数学，其余排英语、物理、化学，则共有＝6×6＝36种不同的排法；
当体育在第五节时，在第一，二，三节中选2节排语文和数学，其余排英语、物理、化学，则共有＝6×6＝36种不同的排法；
当体育在第六节时，在第一，二，三，四节中选2节排语文和数学，其余排英语、物理、化学，则共有＝12×6＝72种不同的排法；
则若体育课既不能与语文相邻，也不能与数学相邻，有72×2＋36×4＝288种不同的排法.
16.(17分)一场小型晚会有3个唱歌节目和2个相声节目，要求排出一个节目单.
(1)2个相声节目要排在一起，有多少种排法？
(2)2个相声节目彼此要隔开，有多少种排法？
(3)第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？
(4)前3个节目中要有相声节目，有多少种排法？
(要求：每小题都要有过程，且计算结果都用数字表示)
解：(1)将2个相声节目进行捆绑，与其它3个节目形成4个元素，然后进行全排，
所以，排法种数为＝48种；
(2)将2个相声节目插入其它3个节目所形成的4个空中，则排法种数为＝72种；
(3)第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，则其它3个节目排在中间，进行全排，
由分步乘法计数原理可知，排法种数为＝36种；
(4)在5个节目进行全排的排法种数中减去前3个节目中没有相声节目的排法种数，可得出前3个节目中要有相声节目的排法种数为－＝120－12＝108种.
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