(共43张PPT)
第3课时 二项式定理的综合应用
第4章 4.4 二项式定理
学习目标
1.能够利用二项式定理解决两个多项式乘积的特定项与三项式问题，提升逻辑推理、数学运算的核心素养.
2.能利用二项式定理解决整除(余数)、近似计算的问题，提升数学建模、数学运算的核心素养.
应用一 两个二项式乘积问题
典例1
√
3
规律方法
20
(2)若(1＋ax2)(1＋x)6的展开式中x4的系数为－45，则实数a的值为_____.
－4
返回
应用二 三项式问题
(双空题)(x－2y＋z)8的展开式共有_____项，其中含x3y3z2的项的系数是__________.(用数字作答)
典例2
45
－4 480
变式探究
1.(变设问)本例展开式中含x6y2的项的系数是____.
112
2.(变设问)本例展开式中的各项系数和为____.
只需令x＝1，y＝1，z＝1，则所有项的系数和是(1－2＋1)8＝0.
0
规律方法
三项或三项以上的式子的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合.项与项结合时，要注意合理性和简捷性.
对点练2．(1)(x＋2y－3z)5的展开式中所有不含x的项的系数之和为
A.－32 B.－1
C.1 D.243
√
70
返回
应用三 近似计算问题
1.0120最接近下列哪个数字
A.1.20 B.1.21
C.1.22 D.1.23
典例3
√
规律方法
求近似值的基本方法
利用二项式定理进行近似计算：当n不是很大，且｜x｜比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.
对点练3． 0.995的计算结果精确到0.001的近似值是______.
0.951
返回
应用四 整除(余数)问题
典例4
规律方法
整除问题的解题思路
用二项式定理解决整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切相关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，但要注意两点：一是余数的范围，a＝cr＋b，其中余数b∈[0，r)，r是除数，切记余数不能为负；二是二项式定理的逆用.
对点练4．已知今天是星期四，则67－1天后是
A.星期一 B.星期二
C.星期三 D.星期五
√
返回
随堂评价
1.89被6除所得的余数为
A.1 B.2
C.3 D.4
√
2.(x＋3y－1)6的展开式中x2y的系数为______.
－180
3.实数1.9965精确到0.001的近似值为_______.
31.681
返回
课时测评
1.(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为
A.20 B.－20
C.28 D.－28
√
2.(x＋y＋z)4的展开式共
A.10项 B.15项
C.20项 D.21项
√
3.在(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)的展开式中，x的系数为
A.－50 B.－35
C.－24 D.－10
√
(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)的展开式中，含x的项是4个因式中任取1个因式选择x，另外3个因式中选择常数项相乘积的和，则(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)的展开式中，含x的项为(－1)×(－2)×(－3)x＋(－1)×(－2)×(－4)x＋(－1)×(－3)×(－4)x＋(－2)×(－3)×(－4)x＝－50x，所以x的系数为－50.故选A.
4.某银行大额存款的年利率为3％，小张于2024年初存入大额存款10万元，按照复利计算8年后他能得到的本利和约为__________.(单位：万元，结果保留一位小数)
A.12.6 B.12.7
C.12.8 D.12.9
√
√
6.(多选)已知(x＋1)(x－2)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则
A.a1＝－16
B.a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝2
C.a1＋a3＋a5＝1
D.｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋｜a4｜＋｜a5｜＝64
√
√
√
7.(x2＋2x＋3)(2x＋1)6的展开式中，x2的系数是_____.
205
8.若m≠0，且(x2－x＋m)6＝a1＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a12x12，则m的值为____.
－6
9.10210除以1000的余数是____.
24
10.(15分)已知(m＋x)x5＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a6(x－1)6，其中m∈R，且a1＋a3＋a5＝64.
(1)求m的值；
解：当x＝0时，(m＋0)·0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6，①
当x＝2时，(m＋2)·25＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6，②
②－①得(m＋2)·25＝2(a1＋a3＋a5)，
因为a1＋a3＋a5＝64，所以(m＋2)·25＝2(a1＋a3＋a5)＝128，解得m＝2.
√
√
√
13.(双空题)已知二项式(x＋0.01)n的二项式系数的和为1 024，则n＝____.试估算x＝1时，(x＋0.01)n的值为______.(精确到0.001)
10
1.105
√
返回第3课时 二项式定理的综合应用
学习目标 1.能够利用二项式定理解决两个多项式乘积的特定项与三项式问题，提升逻辑推理、数学运算的核心素养. 2.能利用二项式定理解决整除(余数)、近似计算的问题，提升数学建模、数学运算的核心素养.
应用一 两个二项式乘积问题
(1)在关于x的展开式(1＋x)(1－)6中，x2的系数是( )
A.30 B.25
C.20 D.15
(2)已知(ax－2)(x＋)5的展开式中的常数项为240，则a＝ .
答案：(1)A (2)3
解析：(1)依题意，得(1－)6展开式的通项为Tk＋1＝(－)k＝(－1)k，k＝0，1，2，…，6，令k＝4，得到x2的系数为(－1)4＝15；令k＝2，得到x的系数为(－1)2＝15，所以(1＋x)(1－)6展开式中x2的系数是15＋15＝30，故A正确.故选A.
(2)(x＋)5的展开式的通项为Tk＋1＝x5－k()k＝2kx5－2k(k＝0，1，2，3，4，5)，令5－2k＝－1，得k＝3，令5－2k＝0，无解，所以(ax－2)(x＋)5的展开式中的常数项为a·23＝80a＝240，所以a＝3.
求多项式积的特定项的方法——“双通法” 所谓的“双通法”是根据多项式与多项式的乘法法则得到，(a＋bx)n(s＋tx)m的展开式中一般项为Tk＋1·＝an－k(bx)k·(tx)r，再依据题目中对指数的特殊要求，确定r与k所满足的条件，进而求出r，k的取值情况.
对点练1.(1)(＋)(x＋y)5的展开式中x2y2的系数是 .
(2)若(1＋ax2)(1＋x)6的展开式中x4的系数为－45，则实数a的值为 .
答案：(1)20 (2)－4
解析：(1)(x＋y)5的展开式的通项为Tk＋1＝x5－kyk，k＝0，1，2，3，4，5，则(＋)(x＋y)5的展开式中，当k＝2时，x3y2＝10x2y2；当k＝3时，x2y3＝10x2y2，故展开式中x2y2的系数是10＋10＝20.
(2)(1＋ax2)(1＋x)6＝(1＋x)6＋ax2(1＋x)6，(1＋x)6的通项为Tk＋1＝xk，令k＝4时，＝15；令k＝2时，＝15，因为(1＋ax2)(1＋x)6的展开式中x4的系数为－45，所以15＋15a＝－45，解得a＝－4.
应用二 三项式问题
(双空题)(x－2y＋z)8的展开式共有 项，其中含x3y3z2的项的系数是 .(用数字作答)
答案：45 －4 480
解析：因为(x－2y＋z)8＝＋z)8＝(x－2y)8＋(x－2y)7z＋…＋(x－2y)z7＋z8，由二项式定理可知，(x＋y)n展开式中共有n＋1项，所以(x－2y＋z)8的展开式共有9＋8＋…＋2＋1＝45项.(x－2y＋z)8是8个(x－2y＋z)连乘，欲求x3y3z2的系数，只需要在8个(x－2y＋z)中选定3个(x－2y＋z)提供x，在剩下的5个(x－2y＋z)中选定3个(x－2y＋z)提供y，剩下的最后两个(x－2y＋z)提供z，则x3y3z2的系数是·(－2)3·＝－4 480.
[变式探究]
1.(变设问)本例展开式中含x6y2的项的系数是 .
答案：112
解析：由本例分析可得含x6y2的项的系数为·(－2)2＝112.
2.(变设问)本例展开式中的各项系数和为 .
答案：0
解析：只需令x＝1，y＝1，z＝1，则所有项的系数和是(1－2＋1)8＝0.
三项或三项以上的式子的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合.项与项结合时，要注意合理性和简捷性.
对点练2.(1)(x＋2y－3z)5的展开式中所有不含x的项的系数之和为( )
A.－32 B.－1
C.1 D.243
(2)展开式中的的常数项为 .
答案：(1)B (2)70
解析：(1)(x＋2y－3z)5＝[(2y－3z)＋x]5展开式的通项为Tr＋1＝(2y－3z)5－rxr，r∈N，r≤5，若展开式中的项不含x，则r＝0，此时符合条件的项为(2y－3z)5展开式中的所有项，令y＝z＝1，得这些项的系数之和为(－1)5＝－1.故选B.
(2)因为(x2＋－2)4＝＝(x－)8，所以展开式通项为Tk＋1＝x8－k(－)k＝(－1)kx8－2k，令8－2k＝0，得k＝4.所以(x2＋－2)4的常数项为第5项，T5＝(－1)4＝70.
应用三 近似计算问题
1.0120最接近下列哪个数字( )
A.1.20 B.1.21
C.1.22 D.1.23
答案：C
解析：依题意，得1.0120＝(1＋0.01)20，由二项式定理得(1＋0.01)20＝1＋×1×0.01＋×(0.01)2＋…，而从第3项以后，后面的项非常小，我们忽略即可，所以我们得到(1＋0.01)20≈1＋×1×0.01＋×(0.01)2＝1.219，则其与1.22更接近，故C正确.故选C.
求近似值的基本方法 利用二项式定理进行近似计算：当n不是很大，且｜x｜比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.
对点练3. 0.995的计算结果精确到0.001的近似值是 .
答案：0.951
解析：由0.995＝(1－0.01)5＝×1－×0.01＋×(0.01)2－×(0.01)3＋…－×(0.01)5＝1－0.05＋0.001－0.000 01＋…－×(0.01)5≈0.951.
应用四 整除(余数)问题
判断5555＋9是否能被8整除？并推理证明.
解：能被8整除，证明如下：
因为5555＋9＝(56－1)55＋9＝5655＋5654(－1)1＋5653(－1)2＋…＋561(－1)54＋(－1)55＋9
＝5655＋5654(－1)1＋5653(－1)2＋…＋561(－1)54＋8，
注意到最终所得的式子中每一项都能被8整除，
所以5555＋9能被8整除.
整除问题的解题思路 用二项式定理解决整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切相关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，但要注意两点：一是余数的范围，a＝cr＋b，其中余数b∈[0，r)，r是除数，切记余数不能为负；二是二项式定理的逆用.
对点练4.已知今天是星期四，则67－1天后是( )
A.星期一 B.星期二
C.星期三 D.星期五
答案：B
解析：67－1＝(7－1)7－1，故(7－1)7－1＝·77·(－1)0＋·76·(－1)1＋…＋·70·(－1)7－1＝77＋76×(－1)1＋75×(－1)2＋…＋71×(－1)6－2.前面7项均能被7整除，则67－1被7整除余5，故67－1天后是星期二.故选B.
1.89被6除所得的余数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
答案：B
解析：89＝(6＋2)9＝69＋68×2＋67×22＋…＋6×28＋29，展开式的前9项都能被6整除，只有最后一项不能被6整除，所以问题转化为29被6除所得的余数，而29＝512，被6除所得的余数为2，所以89被6除所得的余数为2.故选B.
2.(x＋3y－1)6的展开式中x2y的系数为 .
答案：－180
解析：在(x＋3y－1)6的展开式中，由x2·(3y)·(－1)3＝－180x2y，得x2y的系数为－180.
3.实数1.9965精确到0.001的近似值为 .
答案：31.681
解析：因为1.9965＝(2－0.004)5＝×25－×24×0.0041＋×23×0.0042－×22×0.0043＋×2×0.0044－×0.0045≈32－0.32＋0.001 28＝31.681 28，将1.9965精确到0.001，故近似值为31.681.
课时测评46 二项式定理的综合应用
(时间：60分钟 满分：100分)
(1—9小题，每小题5分，共45分)
1.(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为( )
A.20 B.－20
C.28 D.－28
答案：B
解析：依题意，x2y7的系数为1×－＝－＝－＝8－28＝－20.故选B.
2.(x＋y＋z)4的展开式共( )
A.10项 B.15项
C.20项 D.21项
答案：B
解析：因为(x＋y＋z)4＝＝(x＋y)4＋(x＋y)3z＋(x＋y)2z2＋(x＋y)z3＋z4，由二项式定理可知，(x＋y)n展开式中共有n＋1项，所以(x＋y＋z)4的展开式共有5＋4＋3＋2＋1＝15项.故选B.
3.在(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)的展开式中，x的系数为( )
A.－50 B.－35
C.－24 D.－10
答案：A
解析：(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)的展开式中，含x的项是4个因式中任取1个因式选择x，另外3个因式中选择常数项相乘积的和，则(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)的展开式中，含x的项为(－1)×(－2)×(－3)x＋(－1)×(－2)×(－4)x＋(－1)×(－3)×(－4)x＋(－2)×(－3)×(－4)x＝－50x，所以x的系数为－50.故选A.
4.某银行大额存款的年利率为3％，小张于2024年初存入大额存款10万元，按照复利计算8年后他能得到的本利和约为 .(单位：万元，结果保留一位小数)( )
A.12.6 B.12.7
C.12.8 D.12.9
答案：B
解析：存入大额存款10万元，按照复利计算，每年末本利和是以10为首项，1＋3％为公比的等比数列，所以本利和S＝10(1＋3％)8＝10[＋×0.031＋×0.032＋…＋×0.037＋×0.038]≈12.7.故选B.
5.若(x＋)(x－)5的展开式中常数项是20，则m＝( )
A.－2 B.－3
C.2 D.3
答案：D
解析：(x＋)(x－)5＝x(x－)5＋(x－)5，(x－)5的展开式的通项为Tk＋1＝x5－k(－)k＝(－1)kx5－2k，令5－2k＝－1，解得k＝3，则x(x－)5的展开式的常数项为－＝－10；令5－2k＝1，解得k＝2，则(x－)5的展开式的常数项为m＝10m，因为(x＋)(x－)5的展开式中常数项是20，所以10m－10＝20，解得m＝3.故选D.
6.(多选)已知(x＋1)(x－2)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则( )
A.a1＝－16
B.a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝2
C.a1＋a3＋a5＝1
D.｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋｜a4｜＋｜a5｜＝64
答案：ACD
解析：因为(x＋1)(x－2)4＝x(x－2)4＋(x－2)4，又(x－2)4展开式的通项为Tk＋1＝x4－k(－2)k(0≤k≤4且k∈N)，所以a1＝(－2)4＋(－2)3＝－16，a2＝(－2)3＋(－2)2＝－8，a3＝(－2)1＋(－2)2＝16，a4＝(－2)1＋(－2)0＝－7，a5＝(－2)0＝1，a0＝(－2)4＝16，故A正确；所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－14，故B错误；所以a1＋a3＋a5＝－16＋16＋1＝1，故C正确；所以｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋｜a4｜＋｜a5｜＝64，故D正确；故选ACD.
7.(x2＋2x＋3)(2x＋1)6的展开式中，x2的系数是 .
答案：205
解析：(x2＋2x＋3)(2x＋1)6＝(x2＋2x＋3)(1＋2x)6＝(x2＋2x＋3)·2k·xk，所以x2的系数为20＋2××21＋3××22＝205.
8.若m≠0，且(x2－x＋m)6＝a1＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a12x12，则m的值为 .
答案：－6
解析：依题意，得(x2－x＋m)6的展开式中的常数项与一次项系数相等，则m6＝(－1)m5，解得m＝－6或0(舍去).
9.10210除以1000的余数是 .
答案：24
解析：10210＝(100＋2)10＝10010＋2×1009＋22×1008＋…＋29×100＋210＝[10010＋×2×1009＋×22×1008＋…＋29×1 000]＋1 024＝[10010＋×2×1009＋×22×1008＋…＋29×1 000＋1 000]＋24，所以10210除以1 000的余数是24.
10.(15分)已知(m＋x)x5＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a6(x－1)6，其中m∈R，且a1＋a3＋a5＝64.
(1)求m的值；
(2)求a4的值.
解：(1)当x＝0时，(m＋0)·0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6，①
当x＝2时，(m＋2)·25＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6，②
②－①得(m＋2)·25＝2(a1＋a3＋a5)，
因为a1＋a3＋a5＝64，所以(m＋2)·25＝2(a1＋a3＋a5)＝128，解得m＝2.
(2)(2＋x)x5＝[3＋(x－1)][(x－1)＋1]5，
[(x－1)＋1]5展开式的通项为Tk＋1＝(x－1)5－k，
令5－k＝4，则k＝1，令5－k＝3，则k＝2，
所以a4＝3＋＝25.
(11—13小题，每小题5分，共15分)
11.设a＞0，已知(x2＋)n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，且展开式中所有项的系数和为256，则(x2＋2＋)2a中x2的系数为( )
A.0 B.2
C.4 D.8
答案：C
解析：因为(x2＋)n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以展开式一共有9项，即n＝8，令x＝1，得展开式中所有项的系数和为(1＋a)8＝256，所以a＝1，(x2＋2＋)2中x2项的取法为1个x2和1个2，所以x2系数为×2＝4.故选C.
12.(多选)对于式子(x2＋)n(＋x)2n(n∈N*)，以下判断正确的有( )
A.存在n∈N*，使得展开式中没有常数项
B.对任意n∈N*，展开式中有常数项
C.存在n∈N*，使得展开式中有x的一次项
D.对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项
答案：BD
解析：(x2＋)n(＋x)2n的展开式通项为(x2)n－k()k·)2n－rxr＝3k·x2n－2k·x－2k·x－2n＋r·xr＝3k·x2(r－2k)，其中k＝0，1，2，…，n，r＝0，1，2，…，2n，对于A、B，当r＝2k时，存在常数项，故A错误，故B正确；对于C、D，2(r－2k)为偶数，不存在一次项，故C错误，D正确.故选BD.
13.(双空题)已知二项式(x＋0.01)n的二项式系数的和为1 024，则n＝ .试估算x＝1时，(x＋0.01)n的值为 .(精确到0.001)
答案：10 1.105
解析：二项式(x＋0.01)n的二项式系数的和为2n＝1 024，解得n＝10，当x＝1时，(1＋0.01)10＝1＋·0.01＋·0.000 1＋…＋·0.0110≈1＋·0.01＋·0.000 1＝1＋0.1＋0.004 5＝1.104 5≈1.105.
14.(15分)已知f(x)＝(1＋x)m，g(x)＝(1＋2x)n(m，n∈N*).
(1)若m＝3，n＝4，求f(x)g(x)的展开式中含x2的项；
(2)令h(x)＝f(x)＋g(x)，如果h(x)的展开式中含x的项的系数为12，那么当m，n为何值时，含x2的项的系数取得最小值？
解：(1)当m＝3，n＝4时，f(x)＝(1＋x)3，g(x)＝(1＋2x)4，
所以f(x)g(x)＝(1＋x)3(1＋2x)4，
其中(1＋x)3展开式的通项为Tr＋1＝xr，r∈{0，1，2，3}；
(1＋2x)4展开式的通项为Tk＋1＝(2x)k，k∈{0，1，2，3，4}；
所以f(x)g(x)的展开式中含x2的项为1×(2x)2＋x·(2x)＋x2×1＝51x2.
(2)h(x)＝f(x)＋g(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n，
因为h(x)的展开式中含x的项的系数为12，
所以x＋2x＝12x，即m＋2n＝12，
此时x2的系数为＋4＝＋2n(n－1)＝＋2n(n－1)
＝4n2－25n＋66＝4(n－)2－＋66，n∈N*，
所以当n＝3，m＝6时，含x2的项的系数取得最小值.
(15、16小题，每小题5分，共10分)
15.(数学文化)中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设a，b，m(m＞0)为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b(modm).若a＝＋×3＋×32＋…＋×320，a≡b(mod5)，则b的值可以是( )
A.2 023 B.2 024
C.2 025 D.2 026
答案：D
解析：a＝＋×3＋×32＋…＋×320＝(1＋3)20＝420＝(5－1)20＝×520＋×519×(－1)＋×518×(－1)2＋…＋×5×(－1)19＋×(－1)20，a被5除得的余数为1，选项中的数被5除得的余数为1的只有2 026.故选D.
16.数学家波利亚说：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系”这就是算两次原理，又称为富比尼原理.由等式(1＋x)n(1＋x)n＝(1＋x)2n利用算两次原理可得＋＋＋…＋＝ .(用组合数表示即可)
答案：
解析：依题意，得(1＋x)n(1＋x)n＝(＋x＋x2＋…＋xn)(＋x＋x2＋…＋xn)，故＋＋＋…＋是展开式中xn的系数，而(1＋x)2n展开式中xn的系数为，所以＋＋＋…＋＝.
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