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第1课时 二项式定理
第4章 4.4 二项式定理
学习目标
1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，培养数学抽象、逻辑推理的核心素养.
2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.
3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题，提升数学运算的核心素养.
任务一 二项式定理
新知构建
二项式定理
二项展开式 公式右边的多项式，共有n＋1项
二项式系数
二项展开式的通项
典例1
规律方法
1.正用：(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n；②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.
2.逆用：逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想.注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢.
对点练1．已知S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4x－3，则S可化简为
A.x4 B.x4＋1
C.(x－2)4 D.x4＋4
√
返回
任务二 二项展开式的通项的应用
典例2
规律方法
规律方法
2.常用方法
(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次幂).
(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解.
(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致.
2
17
(3)若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，则a3＝____.
10
返回
任务三 三项式及多项式积的展开
典例3
－160
(2)(x2－x－2)5的展开式中，含x3项的系数为_____.
120
3
规律方法
1.两个二项展开式乘积的展开式中的特定项问题
(1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点.
(2)找到构成展开式中特定项的组成部分.
(3)分别求解再相乘，求和即得.
2.三项或三项以上的展开问题
应根据式子的特点，转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决)，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合，项与项结合时要注意合理性和简捷性.
对点练5．(1)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为
A.10 B.20
C.30 D.60
√
(2)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为
A.12 B.16
C.20 D.24
√
√
返回
任务四 二项式定理的应用
(1)试求2 01910除以8的余数；
解：2 01910＝(8×252＋3)10.
因为其展开式中除末项为310外，其余的各项均含有8这个因数，
所以2 01910除以8的余数与310除以8的余数相同.
又因为310＝95＝(8＋1)5，其展开式中除末项为1外，其余的各项均含有8这个因数，
所以310除以8的余数为1，即2 01910除以8的余数也为1.
典例4
规律方法
利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的
关系.
返回
随堂评价
√
√
逆用二项式定理，把2看作公式中的a，1看作公式中的b，可得原式＝(1＋2)n＝3n.
9
返回
课时测评
1.二项式(a＋b)2n的展开式的项数是
A.2n B.2n＋1
C.2n－1 D.2(n＋1)
根据二项式定理可知，展开式共有2n＋1项.
√
√
√
√
5.(多选)已知(a＋b)n的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为
A.7 B.8
C.9 D.10
√
√
√
6.若(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝___.(用数字填写答案)
7.(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为______.(用数字填写答案)
－20
－1
3
√
√
√
2
√
√
返回4.4 二项式定理
第1课时 二项式定理
学习目标 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，培养数学抽象、逻辑推理的核心素养. 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题，提升数学运算的核心素养.
任务一 二项式定理
二项式定理 (a＋b)n＝an＋an－1b1＋…＋an－rbr＋…＋bn(n∈N＋，0≤r≤n，r∈N)
二项展开式 公式右边的多项式，共有n＋1项
二项式系数 (r＝0，1，2，…，n)
二项展开 式的通项 Tr＋1＝an－rbr
(1)求的展开式；
(2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1).
解：(1)法一：(3＋)4＝(3)4＋(3)3·＋(3)2·＋(3)·＋＝81x2＋108x＋54＋＋.
法二：(3＋)4＝＝(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)＝81x2＋108x＋54＋＋.
(2)原式＝(x－1)5＋(x－1)4＋(x－1)3＋(x－1)2＋(x－1)＋－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.
1.正用：(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n；②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n. 2.逆用：逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想.注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢.
对点练1.已知S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4x－3，则S可化简为( )
A.x4 B.x4＋1
C.(x－2)4 D.x4＋4
答案：A
解析：S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1＝(x－1)4＋(x－1)3＋(x－1)2＋(x－1)＋＝[(x－1)＋1]4＝x4.
对点练2.求二项式(2x－)5的展开式.
解：法一：(2x－)5＝(2x)5(－)0＋(2x)4(－)1＋(2x)3(－)2＋(2x)2(－)3＋(2x)1(－)4＋(2x)0(－)5＝32x5－120x2＋－＋－.
法二：(2x－)5＝()5＝(4x3－3)5＝[(4x3)5(－3)0＋(4x3)4(－3)1＋(4x3)3(－3)2＋(4x3)2(－3)3＋(4x3)1(－3)4＋(4x3)0(－3)5]＝32x5－120x2＋－＋－.
任务二 二项展开式的通项的应用
在二项式(x－)12的展开式中，求：
(1)第4项；
(2)求展开式中第4项的二项式系数和第4项的系数；
(3)求展开式中二项式系数最大的项；
(4)求含x－4的项的系数；
(5)常数项；
(6)有理项.
解：二项展开式的通项公式为Tr＋1＝x12－r·＝(－1)r.
(1)令r＝3，则T4＝(－1)3＝－220x8.
(2)由(1)知，T4＝(－1)3x8＝－220x8.
所以第4项的二项式系数是＝220.
第4项的系数是(－1)3＝－220.
(3)展开式中二项式系数最大的项是第7项.
T7＝(－1)6
＝924x4.
(4)由题意得，12－r＝－4，
解得：r＝12，
所以x－4的系数为(－1)12＝1.
(5)令12－r＝0，解得r＝9，
所以常数项为(－1)9＝－220.
(6)当r＝0，3，6，9，12时，Tr＋1是有理项，
分别为T1＝x12，T4＝－x8＝－220x8，
T7＝x4＝924x4，T10＝－＝－220，
T13＝x－4＝.
求二项展开式的特定项的常见题型 1.常见类型 (1)求第k＋1项，Tk＋1＝an－kbk. (2)求含xk的项(或xpyq的项). (3)求常数项. (4)求有理项. 2.常用方法 (1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次幂). (2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解. (3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致.
对点练3.(1)设二项式(a＞0)的展开式中含x3项的系数为A，常数项为B.若B＝4A，则a的值是 .
(2)由(x＋)100展开所得的关于x的多项式中，系数为有理数的共有 项.
(3)若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，则a3＝ .
答案：(1)2 (2)17 (3)10
解析：(1)(a＞0)的展开式的通项为Tr＋1＝x6－r＝(－a)r.
令6－＝3，得r＝2，所以A＝a2＝15a2；令6－＝0，得r＝4，所以B＝a4＝15a4.
因为B＝4A，所以15a4＝4×15a2.因为a＞0，所以a＝2.
(2)Tr＋1＝x100－r··.若Tr＋1的系数为有理数，则，均为整数，即r为6的整数倍.由0≤r≤100，r∈N＋，知r的取值为0，6，12，…，96，共17个，即系数为有理数的共有17项.
(3)法一：因为f(x)＝x5＝[(1＋x)－1]5，
T3＝(1＋x)3(－1)2＝10(1＋x)3，所以a3＝10.
法二：对等式x5＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5的两边连续对x求导三次，得60x2＝6a3＋24a4(1＋x)＋60a5(1＋x)2.令x＝－1，得60＝6a3，解得a3＝10.
对点练4.在的展开式中，求：
(1)第3项的二项式系数；
(2)含x2的项.
解：(1)第3项的二项式系数为＝15，
又T3＝(2)4＝240x，
所以第3项的系数为240.
(2)Tk＋1＝(2)6－k
＝(－1)k26－kx3－k，
令3－k＝2，解得k＝1，
所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2.
任务三 三项式及多项式积的展开
(1)将展开后，常数项是 .
(2)(x2－x－2)5的展开式中，含x3项的系数为 .
(3)(x2＋2)(－1)5的展开式中的常数项是 .
答案：(1)－160 (2)120 (3)3
解析：(1)＝，展开后的通项为Tr＋1＝(－2)rx6－2r，
令6－2r＝0，得r＝3，故常数项为(－2)3＝－160.
(2)因为(x2－x－2)5＝(x＋1)5·(x－2)5，
(x＋1)5＝x5＋x4＋x3＋x2＋x＋1，
(x－2)5＝x5－2x4＋22x3－23x2＋24x－25，
所以含x3项的系数为×(－25)＋×(24×)＋×(－23×)＋1×22×＝120.
(3)二项式的展开式的通项为Tr＋1＝(－1)r·x2r－10.当2r－10＝－2时，r＝4，
此时有x2·(－1)4x－2＝5；当2r－10＝0时，
r＝5，
此时有2·(－1)5x0＝－2.
故(x2＋2)的展开式中的常数项是5－2＝3.
1.两个二项展开式乘积的展开式中的特定项问题 (1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点. (2)找到构成展开式中特定项的组成部分. (3)分别求解再相乘，求和即得. 2.三项或三项以上的展开问题 应根据式子的特点，转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决)，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合，项与项结合时要注意合理性和简捷性.
对点练5.(1)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为( )
A.10 B.20
C.30 D.60
(2)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为( )
A.12 B.16
C.20 D.24
(3)(x4＋＋2x)5的展开式中，x5项的系数为( )
A.160 B.210
C.120 D.252
(4)(＋＋)5的展开式中的常数项为 (用数字作答).
答案：(1)C (2)A (3)D (4)
解析：(1)(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5的展开式中只有(x2＋x)3y2中含x5y2，易知x5y2的系数为＝30，故选C.
(2)(1＋x)4的二项展开式的通项为Tk＋1＝xk(k＝0，1，2，3，4)，故(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为＋2＝12.故选A.
(3)因为(x4＋＋2x)5＝(x2＋)10，
所以通项Tr＋1＝(x2)10－r()r＝x20－3r.
令20－3r＝5，得r＝5，所以T6＝x5＝252x5.故选D.
(4)原式＝()5＝·[(x＋)2]5＝ ·(x＋)10.
求原展开式中的常数项，转化为求(x＋)10的展开式中含x5的项的系数，即·()5.
所以原展开式中的常数项为＝.
任务四 二项式定理的应用
(1)试求2 01910除以8的余数；
(2)求证：32n＋2－8n－9(n∈N＋)能被64整除.
解：(1)2 01910＝(8×252＋3)10.
因为其展开式中除末项为310外，其余的各项均含有8这个因数，
所以2 01910除以8的余数与310除以8的余数相同.
又因为310＝95＝(8＋1)5，其展开式中除末项为1外，其余的各项均含有8这个因数，
所以310除以8的余数为1，即2 01910除以8的余数也为1.
(2)证明： 32n＋2－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9
＝8n＋1＋8n＋…＋－8n－9
＝8n＋1＋8n＋…＋82＋(n＋1)×8＋1－8n－9
＝8n＋1＋8n＋…＋82.①
①式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除.
利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系.
对点练6.已知n∈N＋，求证：1＋2＋22＋…＋25n－1能被31整除.
证明： 1＋2＋22＋23＋…＋25n－1＝＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1＝31n＋×31n－1＋…＋×31＋1－1＝31×(31n－1＋×31n－2＋…＋)，
显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除.
1.的展开式中含x3项的系数为( )
A.－10 B.10
C.－5 D.5
答案：C
解析：因为Tr＋1＝x5－r＝(－1)rx5－2r，
令5－2r＝3，则r＝1，
所以x3项的系数为(－1)1＝－5.
2.·2n＋·2n－1＋…＋·2n－k＋…＋等于( )
A.2n B.2n－1
C.3n D.1
答案：C
解析：逆用二项式定理，把2看作公式中的a，1看作公式中的b，可得原式＝(1＋2)n＝3n.
3.在＋1)5的展开式中常数项等于 .
答案：9
解析：二项式(＋1)5的展开式的通项为Tk＋1＝)5－k＝(k＝0，1，2，…，5)，
所以＋1)5展开式中的常数项为＋(－1)×＝10－1＝9.
4.已知在的展开式中，第9项为常数项，求：
(1)n的值；
(2)展开式中x5的系数；
(3)含x的整数次幂的项的个数.
解：已知二项展开式的通项为Tk＋1＝·＝(－1)k.
(1)因为第9项为常数项，即当k＝8时，2n－k＝0，
解得n＝10.
(2)令2n－k＝5，得k＝(2n－5)＝6，
所以x5的系数为(－1)6＝.
(3)要使2n－k，即为整数，只需k为偶数，由于k＝0，1，2，3，…，9，10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1，3，5，7，9，11项.
课时测评44 二项式定理
(时间：60分钟 满分：110分)
(1—8小题，每小题5分，共40分)
1.二项式(a＋b)2n的展开式的项数是( )
A.2n B.2n＋1
C.2n－1 D.2(n＋1)
答案：B
解析：根据二项式定理可知，展开式共有2n＋1项.
2.的展开式中的常数项为( )
A.60 B.－60
C.250 D.－250
答案：A
解析：因为Tr＋1＝)6－r(－1)r
＝(－1)r2r，令3－r＝0，
则r＝2，所以·＝60.
3.二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨度克·牛顿于1664年、1665年间提出，据考证，我国至迟在11世纪，北宋数学家贾宪就已经知道了二项式系数法则，在的二项式展开式中，x的系数为( )
A.10 B.－
C. D.－
答案：D
解析：展开式的通项为Tk＋1＝x2(5－k)x－k＝x10－3k，令10－3k＝1，解得k＝3，所以二项式展开式中，x的系数为＝－.
4.(1＋x)6 展开式中x2的系数为( )
A.15 B.20
C.30 D.35
答案：C
解析：根据二项式定理展开式的通项为Tr＋1＝an－rbr，
(1＋x)6＝(1＋x)6＋·(1＋x)6，
则展开式的通项为Tr＋1＝xr，
则展开式中x2的项为x2＋·x4，
则 展开式中x2的系数为＋＝15＋15＝30，故选C.
5.(多选)已知(a＋b)n的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为( )
A.7 B.8
C.9 D.10
答案：ABC
解析：因为已知(a＋b)n的展开式中第5项的二项式系数最大，则n＝7或n＝8或n＝9.
故选ABC.
6.若(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝ .(用数字填写答案)
答案：
解析：二项展开式的通项为Tk＋1＝x10－kak，当10－k＝7时，k＝3，T4＝a3x7，则a3＝15，故a＝.
7.(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为 .(用数字填写答案)
答案：－20
解析：利用二项展开式的通项公式求解.
x2y7＝x·(xy7)，其系数为，
x2y7＝y·(x2y6)，其系数为－，
所以x2y7的系数为－＝8－28＝－20.
8.在的二项展开式中，常数项是8，则实数a的值是 ；其中，第 项的二项式系数最大.
答案：－1 3
解析：的二项展开式中，常数项是8，
由二项展开式通项可知Tr＋1＝＝·24－r··，
所以当r＝3时为常数项，代入可得·24－3·＝8，
解得a＝－1，
由二项式定理展开式可知共有5项，则根据二项式系数可知第3项二项式系数最大.
9.(10分)已知的展开式中第3项的系数比第2项的系数大162.
(1)求n的值；
(2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数.
解：(1)因为T3＝)n－2＝4，
T2＝)n－1＝－2，
依题意得4＋2＝162，所以2＋＝81，
所以n2＝81，又n∈N＋，故n＝9.
(2)设第k＋1项含x3项，则Tk＋1＝)9－k＝(－2)k，所以＝3，k＝1，
所以含x3的项为T2＝－2x3＝－18x3.
二项式系数为＝9.
10.(10分)已知展开式中的第3项的系数为45，求：
(1)含x4的项；
(2)二项式系数最大的项.
解：(1)展开式的通项为Tr＋1＝
·xr＝·x2r－n，
由于展开式中第3项的系数为45，即＝45，即＝45，整理得n2－n－90＝0，
因为n∈N＋，解得n＝10，则展开式通项为Tr＋1＝·x2r－10，
令2r－10＝4，解得r＝7，因此，展开式中含x4的项为T8＝·x4＝120x4；
(2)由二项式系数的对称性可知，二项式系数最大的项为T6＝＝252.
(11—13小题，每小题5分，共15分)
11.(多选)对于二项式(n∈N＋)，下列判断正确的有( )
A.存在n∈N＋，展开式中有常数项
B.对任意n∈N＋，展开式中没有常数项
C.对任意n∈N＋，展开式中没有x的一次项
D.存在n∈N＋，展开式中有一次项
答案：AD
解析：二项式的展开式的通项公式为Tk＋1＝x4k－n，由通项公式可知，当n＝4k(k∈N＋)和n＝4k－1(k∈N＋)时，展开式中分别存在常数项和一次项，故选AD.
12.设(m∈R)的展开式前三项的二项式系数分别为p，q，r满足2q＝pr，且展开式的常数项为810，则实数m的值为( )
A.3 B.±9
C.9 D.±3
答案：D
解析：因为前三项的二项式系数分别为，，，所以2n＝，n＝5，
又因为展开式的通项公式为Tk＋1＝2km5－k，
所以令－＝0，k＝1，
所以21m5－1＝810，m＝±3，
故选D.
13.若(ax2＋)6的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为 .
答案：2
解析：(ax2＋)6展开式的通项为Tr＋1＝)r＝a6－rbrx12－3r，令12－3r＝3，得r＝3，由a6－3b3＝20得ab＝1，从而a2＋b2≥2ab＝2，当且仅当a＝b时，a2＋b2的最小值为2.
14.(13分)在二项式的展开式中，
(1)求展开式中含x3项的系数；
(2)如果第3k项和第k＋2项的二项式系数相等，试求k的值.
解：(1)设第k＋1项为Tk＋1＝(－2)k·，
令6－k＝3，解得k＝2，
故展开式中含x3项的系数为(－2)2＝264.
(2)因为第3k项的二项式系数为，第k＋2项的二项式系数为，
因为＝ ，故3k－1＝k＋1或3k－1＋k＋1＝12，
解得k＝1或k＝3.
15.(5分)(多选)的展开式中( )
A.x3的系数为40 B.x3的系数为32
C.常数项为16 D.常数项为8
答案：AC
解析：＝＋x2，展开式中x3的系数分为两部分，一部分是中含x3的系数·2＝8，另一部分是(2＋x)4中含x项的系数·23＝32，所以含x3的系数是8＋32＝40，故A正确；展开式中常数项只有展开式的常数项24＝16，故C正确.
16.(17分)已知的二项展开式中，第3项的系数为7.
(1)求证：前三项系数成等差数列；
(2)求出展开式中所有有理项(即x的指数为整数的项).
解：(1)证明：T3＝＝，
因为＝7，
所以＝28，
所以＝28所以n＝8，(负值舍去)
所以前三项分别为T1＝＝x4，
T2＝＝4，
T3＝＝7，
所以前三项系数分别为1，4，7，
因为2×4＝1＋7所以前三项系数成等差数列.
(2)Tr＋1＝＝，r＝0，1，2，…，7，8，
所以r＝0，4，8时，展开式中x的指数为整数，
所以展开式中所有有理项为：
T1＝＝x4，T5＝x＝x，
T9＝x－2＝.
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