(共26张PPT)
第 3 课时 建立平面直角坐标系
确定点的坐标
3.2 平面直角坐标系
1. 能结合所给图形的特点，建立适当的坐标系，写出点的坐标；能根据一些特殊点的坐标复原坐标系。(重点、难点)
2. 经历建立坐标系描述图形的过程，进一步发展数形结合意识.通过多角度的探索，灵活选取简便易懂的方法解决问题，拓宽的思维，提高解决问题的能力。
3. 通过学习建立直角坐标系的多种方法，体验数学活动充满着探索与创造，激发学习兴趣，感受数学在生活中的应用，增强数学应用意识。
本节第一节课时，让同学们尝试介绍该市的几个风景点的位置，为什么景点不变，描述位置的坐标却不同呢？
建立直角坐标系的方式不同。
例1 如图，长方形 ABCD 的长与宽分别是 6，4，建立适当的直角坐标系，写出各个顶点的坐标。
4
6
A
B
C
D
讨论：有哪些方法建立平面直角坐标系？
探究点一： 建立坐标系求图形中点的坐标
解：以点 C 为坐标原点，分别以 CD，CB 所在直线为 x轴、 y 轴，建立直角坐标系，如图：
4
6
y
x
O
此时点 C 的坐标是 (0，0)。
A
B
C
D
由 CD = 6，CB = 4，
可得 D，B，A 的坐标分别为 D (6，0)，B (0，4)，A (6，4)。
探究点一： 建立坐标系求图形中点的坐标
在上述例题中，你还可以怎样建立直角坐标系？与同伴进行交流。
2
3
y
x
O
A
B
C
D
A (3，2)， B (-3，2)，C (-3，-2)，D (3，-2)。
你觉得哪种方式更简便呢？请说明你的理由。
探究点一： 建立坐标系求图形中点的坐标
A
B
C
D
x
y
A
B
C
D
x
y
A
B
C
D
x
y
A
B
C
D
x
y
A
B
C
D
x
y
①
②
③
④
⑤
(6,0)
(6,－4)
(0,－4)
(－6,0)
(－6,－4)
(0,－4)
(6, 4)
(6,0)
(0,4)
(3,4)
(3,0)
(－3,0)
(－3,4)
(－6,4)
(0,4)
(－6,0)
① 选原点；② 作两轴(画 x ，y 坐标轴)；
③ 定坐标系(x 轴和 y 轴的正方向和单位长度)。
建立平面直角坐标系的步骤：
思考：怎样建立平面直角坐标系比较适当？
① 以特殊线段所在直线为坐标轴，充分利用图形的特点，如垂直关系、对称关系、平行关系、中点等；
② 图形上的点尽可能地在坐标轴上；
③ 所得坐标简单，运算简便。
探究点一： 建立坐标系求图形中点的坐标
A
B
C
1
2
3
4
1
O
3
2
–2
–1
–1
–2
–3
–4
y
x
例2 对于边长为 4 的正三角形△ABC，建立适当的直角坐标系，写出各个顶点的坐标.
顶点A，B，C 的坐标分别为
A (0，2 )， B (-2，0)，C (2，0)。
4
解：如图，以边 BC 所在直线为 x 轴，以边 BC 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系。
由等边三角形的性质可知
A
B
C
1
2
3
4
1
O
3
2
–2
–1
–1
–2
–3
–4
y
x
4
【针对训练】向右平移这个边长为 4 的正三角形△ABC 至如图所示的位置，直接写出各个顶点的坐标.
解：顶点A，B，C 的坐标分别为
A (2，2 )， B (0，0)，C (4，0)。
在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到了 A (3，2) 和 B (3， -2) 两个标志点，并且知道藏宝地点的坐标为 (4，4)，除此之外不知道其他信
息。如何确定直角坐标系找到
“宝藏”？与同伴进行交流。
A (3，2)
B (3，-2)
探究点二：根据已知点的坐标确定平面直角坐标系
连接 AB，作线段 AB 的中垂线，并以这条直线为横轴；
将线段 AB 分成四等份，以其中的一份为单位长度，
以线段 AB 的中点为起点，向左找到距起点 3 个单位长度的点，过这个点作横轴的垂线，并以此作为纵轴，建立直角坐标系。
再在新建的直角坐标系内找到坐标为 (4，4) 的点，即是藏宝地点。
A (3 , 2)
B (3 , -2)
x
y
O
宝藏 (4 , 4)
探究点二：根据已知点的坐标确定平面直角坐标系
【归纳总结】要求根据已知点的坐标来确定平面直角坐标系的原点、单位长度、坐标轴的位置.
已知两点在水平线上
已知两点在竖直线上
已知两点在倾斜线上
(x1 , y)
(x2 , y)
线段可分为：
(x2 - x1) 份
(x , y2)
(x , y1)
(x1 , y1)
线段可分为：
(y2 - y1) 份
(x2 , y2)
竖线可分为：(y2 - y1) 份
横线可分为：(x2 - x1) 份
探究点二：根据已知点的坐标确定平面直角坐标系
【练一练】1. 右图是一个围棋棋盘 (局部)，把这个围棋棋盘放置在一个平面直角坐标系中，白棋①的坐标是 (-2，-1)，白棋③的坐标是(-1，-3)，则黑棋 的坐标是________。
解析：由已知白棋①的坐标是 (-2，-1)，白棋③的坐标是 (-1，-3)，可知 y 轴应在从左往右数的第四条格线上，且向上为正方向，x 轴在从上往下数第二条格线上，且向右为正方向，这两条直线的交点为坐标原点，由此可得黑棋②的坐标是 (1，-2)。
(1，-2)
x
y
O
探究点二：根据已知点的坐标确定平面直角坐标系
2. 如图为某中学新校区分布图的一部分，方格纸中每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形. 若教学楼的坐标为 A (2，1)，
图书馆的坐标为 B (-1，-2).
解答以下问题：
(1) 在图中找到坐标系中的原点，并画出平面直角坐标系；
解：如图所示.
x
y
O
探究点二：根据已知点的坐标确定平面直角坐标系
(2) 若体育馆的坐标为 C (3，-2)，食堂坐标为 D (-2，1)，请在图中标出体育馆和食堂的位置；
(3) 顺次连接点 A、D、B、C 得到四边形 ADBC，则四边形 ADBC 的面积为 ，
猜想线段 AD 与 BC 之间的关系：
。
x
y
O
C (3 , -2)
D (-2 , 1)
S平行四边形ADBC = 4×3 = 12。
12
平行且相等
探究点二：根据已知点的坐标确定平面直角坐标系
建立平面直角坐标系确定点的坐标
建立坐标系求图形中点的坐标
根据已知点的坐标确定平面直角坐标系
1. 如图是在方格纸上画出的小旗图案，如果用(0，0)
表示点C，(－3，2)表示点B，那么点A的位置可
表示为( C )
A. (0，－3)
B. (2，－3)
C. (－3，－2)
D. (－3，0)
第1题图
C
2. 在一次“寻宝”游戏中，“寻宝”人找到了如图
所示的标志点A(3，3)，B(5，1)，则“宝藏”所在
地点C可表示为( A )
A. (6，4)
B. (3，3)
C. (6，5)
D. (3，4)
第2题图
A
3. 如图，建立平面直角坐标系，使点E，G的坐标
分别为(－5，2)和(1，－1)，则坐标为(2，2)的点是
( B )
A. 点A
B. 点B
C. 点C
D. 点D
第3题图
B
4. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，
BC＝4，则应以点 为原点，建立平面直角坐
标系较简明，此时A，B，C三点的坐标依次为
.
第4题图
C
(3，0)，(0，4)，(0，0)
5. 如图，在由 16 个边长为 1 的小正方形组成的网格
中，标有A，B，C三点，请以点A为原点建立平
面直角坐标系，并写出B，C两点的坐标。
解：如图所示。
B(3，3)，C(4，1)。
6. 如图，在长方形ABCD中，已知AB＝6，AD＝4，在长方形ABCD外画△ABE，使AE＝BE＝5，请建立适当的平面直角坐标系，
并求出各顶点的坐标。
解：建立平面直角坐标系不唯一，
如：如图，以D为坐标原点，
CD和AD所在直线分别为x轴和y轴建立直角坐标系，
A的坐标是(0，4)，B的坐标是(6，4)，
C的坐标是(6，0)，D的坐标是(0，0)。
作EG⊥AB于点F，交CD于点G。
易得EG⊥CD。
∵AE＝BE，
∴AF＝ AB＝ ×6＝3。
在Rt△AEF中，EF＝ ＝ ＝4，
则EG＝4＋4＝8，则E的坐标是(3，8)。
7. 如图，四边形ABCD所在的网格图中，每个小正
方形的边长均为1个单位长度.
(1)建立以点B为原点，AB边所在直线为x轴的直角
坐标系(x轴正方向向右，y轴正方向向上)，并写出
点A，B，C，D的坐标；
解：(1)如图所示，A(－4，0)，
B(0，0)，
C(2，2)，
D(0，3).
(2)求出四边形ABCD的面积。
解：(2) 四边形ABCD的面积＝S△ABD＋S△BCD
×4×3＋ ×3×2＝9。第3章 位置与坐标
3.2 平面直角坐标系
第3课时 建立平面直角坐标系确定点的坐标
【素养目标】
1. 能结合所给图形的特点,建立适当的坐标系,写出点的坐标；能根据一些特殊点的坐标复原坐标系。(重点、难点)
2. 经历建立坐标系描述图形的过程,进一步发展数形结合意识. 通过多角度的探索,灵活选取简便易懂的方法解决问题,拓宽的思维,提高解决问题的能力。
3. 通过学习建立直角坐标系的多种方法,体验数学活动充满着探索与创造,激发学习兴趣,感受数学在生活中的应用, 增强数学应用意识。
【情境导入】
本节第一节课时,让同学们尝试介绍该市的几个风景点的位置,为什么景点不变,描述位置的坐标却不同呢？
【合作探究】
探究点一:建立坐标系求图形中点的坐标
例1如图,长方形 的长与宽分别是 6 , 4 ,建立适当的直角坐标系,写出各个顶点的坐标。
讨论: 有哪些方法建立平面直角坐标系
在上述例题中,你还可以怎样建立直角坐标系 与同伴进行交流。
你觉得哪种方式更简便呢 请说明你的理由。
建立平面直角坐标系的步骤:
① 选原点；② 作两轴(画 , 坐标轴)；
③ 定坐标系( 轴和 轴的正方向和单位长度)。
思考: 怎样建立平面直角坐标系比较适当
例2 对于边长为 4 的正三角形 ,建立适当的直角坐标系,写出各个顶点的坐标.
【针对训练】向右平移这个边长为 4 的正三角形 至如图所示的位置, 直接写出各个顶点的坐标.
探究点二:根据已知点的坐标确定平面直角坐标系
在一次 “寻宝” 游戏中,寻宝人已经找到了 和 两个标志点,并且知道藏宝地点的坐标为 (4,4),除此之外不知道其他信息。如何确定直角坐标系找到 “宝藏”？与同伴进行交流。
【归纳总结】要求根据已知点的坐标来确定平面直角坐标系的原点、单位长度、坐标轴的位置.
【练一练】1. 右图是一个围棋棋盘 (局部),把这个围棋棋盘放置在一个平面直角坐标系中,白棋①的坐标是 (-2, -1), 白棋③的坐标是(-1,-3),则黑棋②的坐标是_________。
2. 如图为某中学新校区分布图的一部分,方格纸中每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形. 若教学楼的坐标为 , 图书馆的坐标为 . 解答以下问题:
( 1 ) 在图中找到坐标系中的原点, 并画出平面直角坐标系;
(2) 若体育馆的坐标为 ,食堂坐标为 , 请在图中标出体育馆和食堂的位置；
(3) 顺次连接点 、 、 、 得到四边形 ,则四边形 的面积为_____,猜想线段 与 之间的关系: ____________.
当堂反馈
1. 如图是在方格纸上画出的小旗图案,如果用(0,0) 表示点 表示点 ,那么点 的位置可表示为( )
A.(0, -3) B.(2, -3) C.(-3,-2) D.(-3,0)
第1题图 第2题图 第3题图
2. 在一次“寻宝”游戏中, “寻宝”人找到了如图所示的标志点
,则“宝藏”所在地点 可表示为( )
A.(6,4) B.(3,3) C.(6,5) D.(3,4)
3. 如图,建立平面直角坐标系,使点 , 的坐标分别为( -5,2 )和( 1, -1),则坐标为 ( 2 , 2 ) 的点是( )
A. 点 B. 点 C. 点 D.点
4. 如图,在Rt 中, , , ,则应以点________为原点,建立平面直角坐标系较简明,此时 三点的坐标依次为 _____________.
第4题图 第5题图
5. 如图,在由 16 个边长为 1 的小正方形组成的网格中,标有 三点,请以点 为原点建立平面直角坐标系,并写出 , 两点的坐标。
6. 如图,在长方形 中,已知 , 在长方形 外画 ,使 ,请建立适当的平面直角坐标系, 并求出各顶点的坐标。
7. 如图,四边形 所在的网格图中,每个小正方形的边长均为1个单位长度.
(1) 建立以点 为原点, 边所在直线为 轴的直角坐标系 轴正方向向右, 轴正方向向上),并写出点 的坐标;
(2) 求出四边形 的面积。
参考答案
复习导入
建立直角坐标系的方式不同。
探究点一:建立坐标系求图形中点的坐标
例1 解: 以点 为坐标原点,分别以 所在直线为 轴、 轴,建立直角坐标系,如图: 此时点 的坐标是(0,0)。由 ,可得 的坐标分别为 。
可以以长方形的正中心为原点建立坐标系，此时长方形顶点的坐标分别为： .
常见的建立坐标系的方法
例2 解: 如图,以边 所在直线为 轴,以边 的中垂线为 轴建立直角坐标系。由等边三角形的性质可知
顶点 的坐标分别为 。
【针对训练】解：顶点A，B，C的坐标分别为 A (2，2)，B (0，0)，C (4，0).
探究点二、根据已知点的坐标确定平面直角坐标系
连接,作线段的中垂线,并以这条直线为横轴; 将线段分成四等份,以其中的一份为单位长度, 以线段的中点为起点,向左找到距起点3个单位长度的点, 过这个点作横轴的垂线, 并以此作为纵轴, 建立直角坐标系。再在新建的直角坐标系内找到坐标为(4,4)的点,即藏宝地点。
【练一练】1. (1, -2)。
2. (1) 解: 如图所示.
(2) 解: 如图所示.
(3) 。平行且相等
当堂反馈
1. C 2.A 3. B 4.
5. 解: 如图所示。 。
6. 解: 建立平面直角坐标系不唯一,如: 如图,以 为坐标原点, 和 所在直线分别为 轴和 轴建立直角坐标系,
的坐标是 的坐标是(6,4),
的坐标是 (6,0), 的坐标是(0,0)。
作 于点 ,交 于点 。
易得 。 ,
。
在 Rt 中, ,
则 ,则 的坐标是(3,8)。
7. 解:(1)如图所示, , , , .
(2) 四边形 的面积 。3.2 平面直角坐标系
第3课时 建立平面直角坐标系描述图形的位置
1.能结合所给图形的特点，建立适当的坐标系，写出点的坐标；能根据一些特殊点的坐标复原坐标系.
2.经历建立坐标系描述图形的过程，进一步发展数形结合意识，体会数学建模思想.通过多角度的探索，灵活选取简便易懂的方法解决问题，拓宽学生的思维，提高学生解决问题的能力.
3.通过学习建立直角坐标系的多种方法，让学生体验数学活动充满着探索与创造，激发学生的学习兴趣，感受数学在生活中的应用，增强学生的数学应用意识.
重点：根据实际问题建立适当的坐标系，并能写出各点的坐标.
难点：根据一些特殊点的坐标复原坐标系.
知识链接
在上节课我们学面直角坐标系中点的特点，回忆一下相关知识点.
创设情境——见配套课件
探究点一：建立坐标系求图形中点的坐标
（教材P63例3）如图3－13，长方形ABCD的长与宽分别是6，4，建立适当的平面直角坐标系，并写出各个顶点的坐标.
解：如图3－14，以点C为坐标原点，分别以CD，CB所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系.此时点C的坐标是（0，0）.由CD＝6，CB＝4，可得D，B，A的坐标分别为D（6，0），B（0，4），A（6，4）.
思考：在例1中，你还有其他建立平面直角坐标系的方法吗？它们分别有什么特点？与同伴交流.
归纳总结：建立平面直角坐标系的步骤：①选原点；②作两轴（x，y轴）；③定坐标系（x轴和y轴的正方向和单位长度）.
思考：怎样建立平面直角坐标系比较适当？
①以特殊线段所在直线为坐标轴，充分利用图形的特点，如垂直关系、对称关系、平行关系、中点等；②图形上的点尽可能地在坐标轴上；③所得坐标简单，运算简便.
（教材P63例4）如图3－15，对于边长为4的等边三角形ABC，建立适当的平面直角坐标系，写出各个顶点的坐标.
解：如图3－16，以边BC所在直线为x轴，以边BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系.由等边三角形的性质可知，△ABO是直角三角形.所以AO＝＝＝2.
所以顶点A，B，C的坐标分别为A（0，2），B（－2，0），C（2，0）.
【对应训练】教材P64随堂练习.
探究点二：根据已知点的坐标确定平面直角坐标系
（教材P64尝试·思考）如图3－17，在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到了A（3，2）和B（3，－2）两个标志点，并且知道藏宝地点的坐标为（4，4），除此之外不知道其他信息.如何确定平面直角坐标系找到“宝藏”？
解：连接AB，作线段AB的中垂线，并以这条直线为横轴；将线段AB分成四等份，以其中的一份为单位长度，以线段AB的中点为起点，向左找到距起点3个单位长度的点，过这个点作横轴的垂线，并以此作为纵轴，建立直角坐标系.再在新建的直角坐标系内找到坐标为（4，4）的点，即是藏宝地点.
【对应训练】教材P66习题3.2第7题.
1.如图是在方格纸上画出的小旗图案，如果用（0，0）表示点C，（－3，2）表示点B，那么点A的位置可表示为（ C ）
A.（0，－3） B.（2，－3） C.（－3，－2） D.（－3，0）
第1题图 第2题图 第3题图
2.如图，点A（3，3），B（5，1），则点C可表示为（ A ）
A.（6，4） B.（3，3） C.（6，5） D.（3，4）
3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则应以点 C 为原点，AC所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，1为单位长度建立直角坐标系较简明.此时A，B，C三点的坐标依次为 （3，0），（0，4），（0，0） .
4.如图，在长方形ABCD中，已知AB＝6，AD＝4，在长方形ABCD外画△ABE，使AE＝BE＝5，请建立适当的平面直角坐标系，并求出各顶点的坐标.
解：建立平面直角坐标系不唯一，如：如图，以D为坐标原点，CD和AD所在直线为x轴和y轴建立直角坐标系，A的坐标是（0，4），B的坐标是（6，4），C的坐标是（6，0），D的坐标是（0，0）.作EG⊥AB于点F，交CD于点G.易得EG⊥CD.因为AE＝BE，所以AF＝AB＝×6＝3.在Rt△AEF中，EF＝＝＝4.则EG＝4＋4＝8.则E的坐标是（3，8）.
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
建立平面直角坐标系
