(共22张PPT)
3.3 轴对称与坐标变化
1. 经历探索坐标系中点的轴对称问题，掌握关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标特征。(重点)
2. 探究坐标系中点的规律问题，进一步提升归纳和总结的能力。(难点)
3. 在找点、描点的过程中体会数形结合的思想。
沿着某一直线对折，直线两旁的部分能够完全重合的图形就是轴对称图形；这条直线称为对称轴。
1. 什么叫轴对称图形？
2. 如何在平面直角坐标系中确定点 P 的位置？
a 称为点 P 的横坐标，
b 称为点 P 的纵坐标。
a
b
探究1 如下图所示的平面直角坐标系中，第一、二象限内各有一面小旗。
(1) 两面小旗之间有怎样的位置关系？
关于 y 轴成轴对称
A
A1
B
C
C1
B1
D
D1
探究点一： 两个关于坐标轴对称的图形的坐标关系
(2，6)
(-2，6)
（3）如果点 P (m，n) 在△ABC 内，那么它在 △A1B1C1内的对应点 P1 的坐标是 。
对应点的纵坐标相等
对应点的横坐标互为相反数
（2）请在下表中填入点 A 与 A1、点 B 与 B1、点 C 与 C1、点 D 与 D1的坐标，并思考：这些对应点的坐标之间有什么关系？
D1：
C1：
B1：
A1：
D：
C：
B：
A：
△ABC 与△A1B1C1 关于 x 轴对称
探究2 △ABC 与△A1B1C1 在如图所示的直角坐标系中，仔细观察，完成下列各题：
A
A1
B
C
C1
B1
(1) △ABC 与△A1B1C1 有怎样
的位置关系？
探究点一： 两个关于坐标轴对称的图形的坐标关系
A
A1
B
C
C1
B1
（3）如果点 P(m，n) 在△ABC 内，
那么它在△A1B1C1内的对应点 P1 的坐标是 。
对应点的纵坐标互为相反数
对应点的横坐标相同
(2) 请在下表中填入点 A 与 A1、点 B 与 B1、点 C 与 C1
的坐标，并思考：这些对应点的坐标之间有什么关系？
C1：
B1：
A1：
C：
B：
A：
P (m，n)
P1
探究点一： 两个关于坐标轴对称的图形的坐标关系
2. 关于 y 轴对称的两个图形上点的坐标特征：
(x ，y)
(-x ，y)
1. 关于 x 轴对称的两个图形上点的坐标特征：
(x ，y)
(x ，-y)
横坐标相同，纵坐标互为相反数
横坐标互为相反数，纵坐标相同
探究点一：两个关于坐标轴对称的图形的坐标关系
想一想：关于 x 轴对称的两个点的坐标之间有什么关系？关于 y 轴呢？
2. 已知点 A (a，1) 与点 A1 (5，b) 关于 y 轴对称，则
a = ，b = 。
1. 平面直角坐标系中，点 P( 2，3)关于 x 轴对称的点的坐标为 。
【练一练】
( 2 ，-3)
探究点一：两个关于坐标轴对称的图形的坐标关系
例 在平面直角坐标系中依次连接下列各点：
探究点二： 坐标变化引起的图形变化
你得到了一个怎样的图案？
(0 ， 0)，(5，4) ，(3， 0)，(5，1) ，(5，-1)，(3，0)， (4，-2)，(0，0)。
解: 如图所示，它像一条小鱼.
(2) 将各坐标的纵坐标保持不变，横坐标都乘以 -1，则图形怎么变化？
(0 ， 0)，(-5，4) ，(-3， 0)，(-5，1) ，
(-5，-1)，(-3，0)， (-4，-2)，( 0，0)。
横坐标都乘以 -1
两个图形关于 y 轴对称
两个图形关于 x 轴对称
【思考】将各坐标的横坐标保持不变，纵坐标都乘以 -1，则图形怎么变化？
你能总结出什么规律吗？
(0，0)，(5，-4)，(3，0)，(5，-1)，
(5，1)，(3，0)，
(4，2)，( 0，0)。
纵坐标都乘以 -1
想一想：图形的点的坐标变化与图形的变化有怎样的关系？
1. 横坐标保持不变，纵坐标互为相反数，所得图形与原图形关于 ________成轴对称.
2. 纵坐标保持不变，横坐标互为相反数，所得图形与原图形关于 ______成轴对称.
x 轴
y 轴
探究3 点 P (3，4) 到 x 轴、y 轴和坐标原点的距离分别多少？
探究点三：点到坐标轴的距离
P
A
B
(1) P 到 x 轴距离为 ______ .
(2) P 到 x 轴距离为 ______ .
(3) P 到原点距离为 ______ .
PA
PB
PO
在直角△ABC中：
PO =
= = 5
3
4
5
横坐标的绝对值
纵坐标的绝对值
①点 P(a，b)到 x 轴的距离是 | b |
②点 P(a，b)到 y 轴的距离是 | a |
③点 P(a，b)与坐标原点的距离是 .
x
y
o
P(a，b)
M
N
3. 点M（-5，12）到 x 轴的距离是____；到 y 轴的距离是____；到原点的距离是____.
4. 已知点 M（m，-5）.①点 M 到 x 轴的距离是____；
②若点 M 到 y 轴的距离是 4；那么 m 为____.
12
5
13
5
±4
【练一练】
轴对称与坐标变换
关于坐标轴对称
作图 —— 关于轴对称变化
点到坐标轴的距离
1. 点P(－8，2)关于y轴对称的点的坐标为( C )
A. (8，－2) B. (－8，－2)
C. (8，2) D. (－8，2)
2. 在直角坐标系中，点A(1，2)的纵坐标乘－1，横
坐标不变，得到点B，则点A与B的关系是( A )
A. 关于x轴对称 B. 关于y轴对称
C. 关于原点对称 D. 不确定
C
A
3. 如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，
Rt△ABC的顶点都在格点上.将Rt△ABC沿y轴翻折
到第二象限，则点A的对应点的坐标是 .
(－1， 2)
4. 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(－1，
4)，B(－3，1)，C(0，0)，△ABC关于x轴对称的
图形为△A'B'C'，则点B'的坐标为 .
(－3，－1)
5. 已知点A(2a－3，b)与点A'(4，a＋2)关于x轴对称，
则a，b的值分别
为 .
，－
第4题
6. 在如图所示的网格(每个小正方形的边长为1)中，
△ABC的顶点A的坐标为(－2，1)，顶点B的坐标
为(－1，2)。
(1)在网格图中画出两条坐标轴，并标出坐标原点；
解：(1)如图所示。
(2)作△A'B'C'关于x轴对称的△A″B″C″。
解：(2)如图所示。第3章 位置与坐标
3.3 轴对称与坐标变化
【素养目标】
1. 经历探索坐标系中点的轴对称问题,掌握关于 轴、 轴对称的点的坐标特征。(重点)
2. 探究坐标系中点的规律问题,进一步提升归纳和总结的能力。(难点)
3. 在找点、描点的过程中体会数形结合的思想。
【情境导入】
1. 什么叫轴对称图形
2. 如何在平面直角坐标系中确定点的位置
【合作探究】
探究点一、关于坐标轴对称的两个图形的坐标关系
探究1 如下图所示的平面直角坐标系中, 第一、二象限内各有一面小旗。
(1) 两面小旗之间有怎样的位置关系？
(2) 请在下表中填入点 与 、 点 与 、点 与 、点 与 的坐标,并思考: 这些对应点的坐标之间有什么关系
A : B: C: D:
A1: B1: C1: D1:
(3)如果点 在 内,那么它在内的对应点 的坐标是_______。
探究 与 在如图所示的直角坐标系中, 仔细观察,完成下列各题:
(1) 与 有怎样的位置关系
(2) 请在下表中填入点 与 、点 与 、点 与 的坐标,并思考: 这些对应点的坐标之间有什么关系
A : B: C:
A1: B1: C1:
(3)如果点 在 内,那么它在 内的对应点 的坐标是________。
想一想: 关于 轴对称的两个点的坐标之间有什么关系 关于 轴呢
1. 关于 轴对称的两个图形上点的坐标特征:
横坐标相同, 纵坐标互为相反数
2. 关于 轴对称的两个图形上点的坐标特征:
横坐标互为相反数, 纵坐标相同
【练一练】
1. 平面直角坐标系中,点 关于 轴对称的点的坐标为。
2. 已知点 与点 关于 轴对称,则 _____ ______。
探究点二: 坐标变化引起的图形变化
例 在平面直角坐标系中依次连接下列各点:
(0，0)，(5，4) ，(3，0)，(5，1) ，(5，-1)，(3，0)， (4，-2)，(0，0)。
(2) 将各坐标的纵坐标保持不变,横坐标都乘以-1 ,则图形怎么变化
【思考】将各坐标的横坐标保持不变,纵坐标都乘以-1 , 则图形怎么变化
想一想: 图形的点的坐标变化与图形的变化有怎样的关系
1. 横坐标保持不变,纵坐标互为相反数,所得图形与原图形关于_____成轴对称.
2. 纵坐标保持不变, 横坐标互为相反数, 所得图形与原图形关于_____成轴对称.
探究点三:点到坐标轴的距离
探究3 点 到 轴、 轴和坐标原点的距离分别多少
(1) 到 轴距离为_____ . (2) 到 轴距离为_____.
(3) 到原点距离为 _____.
归纳小结
① 点 到 轴的距离是 级坐标的绝对值
② 点 到 轴的距离是 横坐标的绝对值
③ 点 与坐标原点的距离是 .
【练一练】3. 点 到 轴的距离是12；到 轴的距离是________；到原点的距离是________.
4. 已知点 .① 点 到 轴的距离是____；
②若点 到 轴的距离是 4 ；那么 为 _____.
当堂反馈
1. 点 关于 轴对称的点的坐标为( )
A.(8, -2) B.(-8, -2) C.(8,2) D.(-8,2)
2. 在直角坐标系中,点 的纵坐标乘-1,横坐标不变,得到点 ,则点 与 的关系是( )
A. 关于 轴对称 B. 关于 轴对称
C. 关于原点对称 D. 不确定
3. 如图,在方格纸上建立的平面直角坐标系中, 的顶点都在格点上. 将 沿 轴翻折到第二象限,则点 的对应点的坐标是_________.
第3题图 第4题图
4. 如图, 三个顶点的坐标分别为 , 关于 轴对称的图形为 ,则点 的坐标为_________.
5. 已知点 与点 关于 轴对称, 则 的值分别
为 _____________ .
6. 在如图所示的网格(每个小正方形的边长为 1 )中, 的顶点 的坐标为 (-2,1),顶点的坐标为 (-1,2)。
(1) 在网格图中画出两条坐标轴,并标出坐标原点；
(2) 作 关于 轴对称的 。
参考答案
复习导入
1. 沿着某一直线对折,直线两旁的部分能够完全重合的图形就是轴对称图形；这条直线称为对称轴。
2. 过P点往两个坐标轴作垂线垂足分别对应坐标轴上a ，b .
称为点 的横坐标, 称为点 的纵坐标。
探究点一:两个关于坐标轴对称的图形的坐标关系
探究1 (1) 关于 轴成轴对称
(2) 填表如下：
A :（2,6） B:（5,4） C:（2,4） D:（2,0）
A1:（-2,6） B1:（-5,4） C1:（-2,4） D1:（-2,0）
对应点的横坐标互为相反数 对应点的纵坐标相等
(3) (-m, n)
探究 (1) 与 关于 轴对称
(2)
A :（1,2） B:（5,1） C:（3,4）
A1:（1,-2） B1:（5,-1） C1:（3,-4）
对应点的横坐标相同 对应点的纵坐标互为相反数
(3) (m, -n)。
想一想: 1. 2.
【练一练】
1. (2, -3) 2. -5 1。
探究点二、坐标变化引起的图形变化
例 （1）描点连线后如图1
图1 图2 图3
(2) 横坐标都乘以-1
如图2，两个图形关于 轴对称
【思考】纵坐标都乘以 -1 ，, , 。两个图形关于 轴对称
想一想: 1. 轴 2. 轴
探究点三:点到坐标轴的距离
探究3 (1) 到 轴距离为 .
(2) 到 轴距离为 . (3) 到原点距离为 .
在直角 中 :
【练一练】 3. 5；13. 4. . ①5； ② .
当堂反馈
1. C 2. A 3. (-1,2). 4. (-3, -1). 5. .
6. 解: (1)如图所示。 (2) 如图所示。3.3 轴对称与坐标变化
1.经历探索坐标系中点的轴对称问题，掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标特征，发展探索精神.
2.探究坐标系中点的规律问题，进一步提升学生归纳和总结的能力.
3.在找点、描点的过程中让学生体会数形结合的思想，激发学生学习数学的乐趣.
重点：掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标特征.
难点：探究坐标系中点的坐标规律
知识链接
我们学习过轴对称，回忆一下相关知识.
创设情境——见配套课件
探究点一：两个关于坐标轴对称的图形的坐标关系
问题：（教材P68）在图3－18所示的平面直角坐标系中，第一、二象限内各有一面小旗.
（1）两面小旗之间有怎样的位置关系？
关于y轴成轴对称.
（2）请在下表中填入点A与A1、点B与B1、点C与C1、点D与D1的坐标，并思考：这些对应点的坐标之间有什么关系？
A（2，6） B（5，4） C（2，4） D（2，0）
A1（－2，6） B1（－5，4） C1（－2，4） D1（－2，0）
横坐标互为相反数，纵坐标相同.
（3）在这个坐标系里画出小旗ABCD关于x轴的对称图形，它的各个“顶点”的坐标与其对应点的坐标有什么关系？
纵坐标互为相反数，横坐标相同.
思考：关于x轴对称的两个点的坐标之间有什么关系？关于y轴呢？
归纳总结：关于x轴对称的两个点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两个点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数.
【对应训练】平面直角坐标系中，点P（2，3）关于x轴对称的点的坐标为 （2，－3） .
探究点二：坐标变化引起的图形变化
（教材P68例）（1）在平面直角坐标系中依次连接下列各点：
（0，0），（5，4），（3，0），（5，1），（5，－1），（3，0），（4，－2），（0，0），
你得到了一个怎样的图案？
解：依次连接各点得到的图案如图3－19所示，它像一条小鱼；
（2）将所得图案的各个“顶点”的纵坐标保持不变，横坐标分别乘－1，依次连接这些点，你会得到怎样的图案？这个图案与原图案又有怎样的位置关系呢？
解：所得图案如图3－20所示，它与原图案关于y轴对称.
（x，y） （0，0） （5，4） （3，0） （5，1） （5，－1） （3，0） （4，－2） （0，0）
（－x，y） （0，0） （－5，4） （－3，0） （－5，1） （－5，－1） （－3，0） （－4，－2） （0，0）
（3）将图3－19所示图案的各个“顶点”的横坐标保持不变，纵坐标分别乘－1，依次连接这些点，你会得到怎样的图案？这个图案与原图案又有怎样的位置关系呢？
它与原图案关于x轴对称.
思考：坐标具有形如（x，y），（－x，y）这样关系的点，它们的图案有怎样的位置关系？形如（x，y），（x，－y）？
归纳总结：横坐标相同，纵坐标互为相反数的两个点关于x轴对称；纵坐标相同，横坐标互为相反数的两个点关于y轴对称.
【对应训练】教材P70随堂练习
1.点P（－8，2）关于y轴对称的点的坐标为（ C ）
A.（8，－2） B.（－8，－2） C.（8，2） D.（－8，2）
2.在直角坐标系中，点A（1，2）的纵坐标乘－1，横坐标不变，得到点B，则点A与B的关系是（ A ）
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称
C.关于原点对称 D.不确定
3.已知点A（2a－3，b）与点A'（4，a＋2）关于x轴对称，则a，b的值分别为 ，－ .
4.在如图所示的网格（每个小正方形的边长为1）中，△ABC的顶点A的坐标为（－2，1），顶点B的坐标为（－1，2）.
（1）在网格图中画出两条坐标轴，并标出坐标原点；
（2）作△ABC关于y轴对称的△A'B'C'；
（3）作△A'B'C'关于x轴对称的△A″B″C″.
解：（1）（2）（3）如图所示.
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
轴对称与坐标变化
