2024-2025学年黑龙江省绥化市兰西一中高二（下）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年黑龙江省绥化市兰西一中高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某邮局有4个不同的信箱，现有5封不同的信需要邮寄，则不同的投递方法共有（　　）
A. 45种 B. 54种 C. C种 D. A种
2.有10台不同的电视机，其中甲型3台，乙型3台，丙型4台．现从中任意取出3台，若其中至少含有两种不同的型号，则不同的取法共有（　　）
A. 96种 B. 108种 C. 114种 D. 118种
3.在的二项展开式中，x的系数为（　　）
A. -10 B. 10 C. -40 D. 40
4.如图所示的五个区域中,中心区域是一幅图画,现要求在其余四个区域中涂色,有四种颜色可供选择.要求每个区域只涂一种颜色,相邻区域所涂颜色不同,则不同的涂色方法种数为（ ）
A. 84 B. 72 C. 64 D. 56
5.在正项等比数列{an}中，a3a4a5=512，a7=64，若当x∈N*时，2an-8n-t≥0恒成立，则实数t的取值范围为（　　）
A. （-∞，16] B. （-∞，-16] C. （-∞，-20] D. （-∞，20]
6.若点P是曲线y=x2-lnx上任意一点，则点P到直线y=x-1的最小距离为（　　）
A. 0 B. C. D.
7.已知数列{an}满足a1=1，，，则数列{an}的前2025项的和（　　）
A. 31012-2025 B. 31012-2027 C. 31013-2025 D. 31013-2027
8.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）的图象连续，且f（1）=0，记f（x）的导函数为f′（x），若xlnx f′（x）+f（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，则使（x2-x-6）f（x）＞0成立的x的取值范围是（　　）
A. （-2，-1）∪（-1，0）∪（0，1）∪（1，3）
B. （-∞，-2）∪（3，+∞）
C. （-2，-1）∪（-1，0）∪（3，+∞）
D. （-∞，-2）∪（0，1）∪（1，3）
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）的图象不可能是（　　）
A.
B.
C.
D.
10.设函数f（x）=x2+mln（1+x）有两个极值点，则实数m的取值可以是（　　）
A. B. C. D.
11.设，则（　　）
A. a1=-2026
B.
C. a0，a1，a2， ，a2026中最大的是a1013
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线y=（x2-2）lnx在x=1处的切线方程为______．
13.已知，则a5= ______.
14.已知函数在区间（2，3）上存在极小值点，则实数a的取值范围为______.
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
有5名同学站成一排拍照．
（1）若甲乙必须站一起，则共有多少种不同的排法？
（2）若最左端只能排甲或乙，且最右端不能排甲，则共有多少种不同的排法？
（3）求出现甲必须站正中间，并且乙、丙两位同学不能相邻的排法？
16.(本小题12分)
的展开式一共有16项.
（1）求展开式中二项式系数之和；
（2）求展开式中的常数项.
17.(本小题12分)
已知函数f（x）=xlnx+2x-1.
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若对任意的x＞1，都有f（x）-k（x-1）＞0（k∈Z）恒成立，求k的最大值.
18.(本小题12分)
已知正项数列{an}满足，a1=1．数列{bn}满足各项均不为0，b1=4，其前n项的乘积．
（1）求数列{an}通项公式；
（2）设cn=log2bn，求数列{cn}的通项公式；
（3）记数列{（-1）nan}的前2m项的和S2m，求使得不等式S2m≥c1+c2+ +c10成立的正整数m的最小值．
19.(本小题12分)
已知函数.
（1）求证：对于任意实数a,曲线y=f（x）在x=1处的切线恒过原点；
（2）讨论函数f（x）的零点个数.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】ACD
10.【答案】CD
11.【答案】AB
12.【答案】x+y-1=0
13.【答案】12
14.【答案】
15.【答案】解：（1）根据题意，将甲乙看成一个元素，再与其他3人全排列即可，
有AA=48种排法；
（2）根据题意，分2种情况讨论：
①甲在最左端，有A=24种排法，
②乙在最左端，有CA=18种排法，
则共有24+18=42种排法；
（3）根据题意，甲师必须站正中间，有1种情况，
若乙、丙两位同学不能相邻，即乙丙在甲的两边，有2×2×2×2=16种排法；
故有1×16=16种排法．
16.【答案】215； 96096．
17.【答案】解：（1）已知f（x）=xlnx+2x-1，函数的定义域为（0，+∞），
可得f′（x）=lnx+3，
当0＜x＜e-3时，f′（x）＜0，当x＞e-3时，f′（x）＞0，
则函数f（x）的单调减区间为（0，e-3），单调增区间为（e-3，+∞）；
（2）若对任意的x＞1，都有f（x）-k（x-1）＞0（k∈Z）恒成立，
即在x＞1上恒成立，
不妨设，
可得，
不妨设h（x）=x-2-lnx,函数定义域为（1，+∞），
可得，
所以函数h（x）在（1，+∞）上单调递增，
又h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-ln4＞0，
所以存在唯一的x0∈（3，4），使得h（x0）=0，
此时lnx0=x0-2，
当x∈（1，x0）时，h（x）＜0，g′（x）＜0，g（x）单调递减；
当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
所以，
则k＜x0+1∈（4，5），
又k∈Z，
故实数k的最大值为4．
18.【答案】解：（1）依题意，当n≥2时，
由an-an-1=+，
可得（+）（-）=+，
∵an＞0，n∈N*，
∴+＞0，
∴，
∵=1，
∴数列是以1为首项为1，1为公差的等差数列，
∴，
∴，n∈N*．
（2）由题意，当n=1时，4=b1=T1=20b2，即b2=4，
当n≥2时，由①，
可得②，
，可得，
整理，得2bn+1=，
∵当n=1时，b1=4，b2=4，2b2≠不满足上式，
∴2bn+1=，（n∈N*，n≥2），
当n≥2时，对2bn+1=两边取以2为底的对数，
可得log22bn+1=log2，
化简，得log2bn+1+1=2log2bn，
即cn+1+1=2cn，
则cn+1=2cn-1，
两边同时减1，可得cn+1-1=2cn-1-1=2（cn-1），
∵c2-1=log2b2-1=1，
∴数列{cn-1}从第二项起是以1为首项，2为公比的等比数列，
∴，
∴，
∵c1=log2b1=2，
∴．
（3）∵，
∴，
而，
∴2log2bn=log2bn+1+1 2cn=cn+1+1 2（cn-1）=cn+1-1（n≥2），
而c2-1=log2b2-1=1，
∴n≥2时，{cn-1}成首项为1，公比为2的等比数列，
∴2m2+m≥522 m≥16且m∈N*，
∴正整数m的最小值为16．
19.【答案】由题可得f = e-a，，
则f′ = e-a，
所以曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y-（e-a）=（e-a）（x-1），
即y=（e-a）x，
所以曲线y=f（x）在x=1处的切线恒过原点；
当0≤a＜e时，f（x）没有零点；
当a＜0或a=e时，f（x）有一个零点；
当a＞e时，f（x）有两个零点．
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