山东省青岛市2025届中考数学真题
1．（2025·青岛）-6的相反数为（ ）
A．-6 B．6 C． D．
2．（2025·青岛）围棋是中华民族发明的博弈活动．下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·青岛） 2025年5月，我国在西昌卫星发射中心成功将行星探测工程天问二号探测器发射升空，天问二号探测器将对小行星2016HO3和主带彗星311P开启科学探测，其中一个目标所在轨道与太阳间距将达到亿公里．亿，将374000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·青岛）如图①，榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式．图②的左视图是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·青岛）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，将关于y轴的对称图形绕原点O旋转，得到，则点A的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·青岛）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·青岛）如图，四边形是的内接四边形，，，直线与相切于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·青岛）如图，在三角形纸片中，，，将纸片沿着过点A的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点；再将纸片沿着过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点．下列结论成立的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·青岛）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（ ）
A．图象与轴的交点坐标是
B．当时，函数取得最大值
C．图象与轴两个交点之间的距离为
D．当时，的值随值的增大而增大
10．（2025·青岛）因式分解 ．
11．（2025·青岛）为弘扬传统文化，培养学生的劳动意识，某校在端午节期间举行了包粽子活动，每个粽子的标准质量为．甲、乙两名同学各包了个粽子，每个粽子的质量（单位：）如下：
甲：，，，，；
乙：，，，，．
甲、乙两名同学包的粽子的质量比较稳定的是 （填“甲”或“乙”）．
12．（2025·青岛）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则 （填“”，“”或“”）．
13．（2025·青岛）如图，正八边形的顶点，，，在坐标轴上，顶点，，，在第一象限．点在反比例函数的图象上，若，则的值为 ．
14．（2025·青岛）如图，在扇形中，，，点在上，且．延长到，使．以，为邻边作平行四边形，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）．
15．（2025·青岛）如图，在正方形中，，分别为，的中点．连接并延长交于点，交的延长线于点，为的中点，连接，，．下列结论：①；②；③；④．正确的是 （填写序号）．
16．（2025·青岛）已知：如图，是内部一点．求作：等腰，使点，分别在射线，上，且底边经过点．
17．（2025·青岛）
（1）计算：；
（2）解不等式组：并写出它的整数解．
18．（2025·青岛）京剧以其独特的艺术魅力和深厚的文化底蕴闻名于世，京剧的角色有生、旦、净、丑等．现有4张不透明卡片，正面分别印有“生”、“旦”、“净”、“丑”四种角色的卡通人物，卡片除正面图案外其余都相同．将这4张卡片背面朝上洗匀，先随机抽取一张，再从剩下的3张中随机抽取一张．利用画树状图或列表的方法表示所有可能出现的结果，并求抽取到的两张卡片中有“生”的概率．
19．（2025·青岛）某校举行科技节，科技小组为了解学生使用智能软件的情况开展了统计活动．
【收集数据】
科技小组设计了如下调查问卷，在全校随机抽取部分学生进行调查，收集得到“问题1”和“问题2”的数据．（被调查学生两个问题全部按要求作答并提交）
调查问卷
问题1：你使用智能软件的主要目的是（ ）．（单选） A．学习管理 B．健康 C．时间管理 D．其他 问题2：你每周使用智能软件的时间是____分钟．
【整理和表示数据】
第一步：将“问题1”的数据进行整理后，绘制成如下的人数统计表；
第二步：将“问题2”中每周使用智能软件的时间（分钟）整理分成4组：①，②，③，④，并绘制成如下的频数直方图．
学生使用智能软件主要目的的人数统计表
目的 人数累计 人数
A 正正正正正正 30
B 正正丅 12
C 正正正 15
D 3
学生每周使用智能软件时间的频数直方图
（1）若将“问题1”的数据绘制成扇形统计图，则目的“B”对应的扇形圆心角的度数为 °；
（2）补全频数直方图；
（3）【分析数据，解答问题】
已知“”这组的数据是：60，60，62，62，63，65，65，65，70，70，75，75，75，75，75，80，80，80，80，85．被调查的全部学生每周使用智能软件时间的中位数为 分钟；
（4）全校共有1200名学生，请你估计使用智能软件主要用于“学习管理”的人数．
20．（2025·青岛）学校综合实践小组测量博学楼的高度．如图，点，，，，在同一平面内，点，，在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部测得博学楼的顶部的俯角为，另一组成员沿方向从厚德楼底部点向博学楼走15米到达点，在点测得博学楼顶部的仰角为，求博学楼的高度．（参考数据：，，，，，）
21．（2025·青岛）某公司成功研发了一款新型产品，接到了首批订单，产品数量为2100件．公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的1.5倍．先由甲、乙两个车间共同完成1500件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单．
（1）求甲、乙两个车间每天分别能生产多少件产品；
（2）首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？
22．（2025·青岛）如图，在中，为的中点，为延长线上一点，连接，，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：；
（2）已知 ▲ （从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论．
条件①：；
条件②：．
23．（2025·青岛）【定义新运算】
对正实数，，定义运算“”，满足．
例如：当时，．
（1）当时，请计算： ；
【探究运算律】
对正实数，，运算“”是否满足交换律？
，
，
．
运算“”满足交换律．
（2）对正实数，，，运算“”是否满足结合律？请说明理由；
（3）【应用新运算】
如图，正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，，，且．若正方形与正方形的面积分别为26和16，则的值为 ．
24．（2025·青岛）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米的点将球击出．
信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，．
信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下：
（秒） 0 0.4 0.6 …
（米） 0 4 6 …
（1）求与的函数关系式；
（2）网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？
（3）当为秒时，小明将球击回、球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为，纵坐标大于等于时，的取值范围为 （直接写出结果）．
25．（2025·青岛）如图①，在中，，，，将沿方向平移，得到，过点作，交的延长线于点，为的中点．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．连接，，．设运动时间为（）．
解答下列问题：
（1）当时，求的值；
（2）如图②，当时，设的面积为（），求与之间的函数关系式；
（3）当时，是否存在某一时刻，使是直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：-6的相反数是6.
故答案为：B.
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数解答即可.
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B不符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形； 轴对称图形的定义平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；逐一判断即可解答.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 374000000 =
故答案为：B.
【分析】根据科学记数法，将一个大于10数据表示成形式为ax10n的形式，其中1≤a<10，n为正整数，n比原位数少1，计算即可解答.
4．【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】
解：
的左视图为
故答案为：A.
【分析】 根据定义：左视图是指由物体左边向右做正投影得到的视图，由此选出答案即可解答.
5．【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称；关于原点对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】
解：A（-1，2） 关于y轴对称后的坐标为（1，2）， 绕原点O旋转的对应点的.
故答案为：A
【分析】根据图形的对称和旋转就是图形上每一个点的对称和旋转，根据任意一个点（x，y）关于y轴对称后的点为（-x，y）再次绕原点O旋转的对应点为（x，-y），由此解答即可.
6．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】
解：A、不是同类项不可以合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、 ，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据同类项合并的法则可判断A；根据同底数幂的乘法法则计算可得，可判断B；根据积的乘方计算，可判断C；根据同底数幂的除法法则得，可判断D；逐一判断即可解答.
7．【答案】C
【知识点】角的运算；圆周角定理；圆内接四边形的性质；等圆、等弧的概念
【解析】【解答】
解：连接AC，
∵∠ADC=90° ，
∴AC是圆的直径，
∵直线EA与 相切于点A，
∴EAAC，
∴∠CAE=90°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠BCD=128° ，
∴∠BAD=52° ，
∵CD=BC，
∴
∴∠CAD=∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD=26°，
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=64°，
故答案为：C.
【分析】连接AC，根据圆周角定理可得到AC是圆的直径，根据切线得性质得到∠CAE=90°，再由圆内接四边形得性质计算得到∠BAD=52° ，再根据等弧所对圆周角相等，再利用角度的和差运算计算即可求解.
8．【答案】A
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】
解： C、在△ABC中，∠B=57° ，∠C=38°，
∴∠BAC=180°-57°-38°=85°，
∵△ADE是由△ABD翻折得到，
∴∠DAE= ∠DAB == 42.5°，故C错误；
A、∵△ADE是由△ABD翻折得到，∠DAE=∠DAB=42.5°，
∴∠AED=∠B=57°，
∴∠ADE= ∠ADB=180°-57°-42.5°=80.5°，
∴∠EDG=180°- ∠ADE-∠ADB=180°-80.5°X2=19°，
∵△EFG是由△EFC翻折得到，
∴∠EGF=∠C=38°，
∴ ∠EGD=180°-∠EGF=180°-38°=142° ，
在△EGD中， ∠DEG=180°-142°-19°=19° ，
∵∠EDG=∠DEG=19° ，
∴DG=EG，故A选项正确；
B、 ∵∠AED+∠DEG=57°+19°=76°，
即∠AEG=76°，
∴GE与AE不垂直，故B错误；
D、过点G作GM⊥DE交DE于点M，如图，
假设DE=2GF，
∵△EFG是由△EFC翻折得到，
∴∠EFC=∠EFG=90° ，
∵DG=EG，
∴△DGE为等腰三角形，
∵GM⊥DE，∴DM=EM，即DE=2EM，
∴GF=EM，
在Rt△EMG中，sin∠DEG = sin19°=
在Rt△EFG中，sin∠ EGF= sin38°=
∵sin19°≠sin38° ，
∴ MG≠EF，
∵EM =≠GF=，与已知不符，故D选项错误.
故答案为：A.
【分析】根据△ADE是由△ABD翻折得到可求解∠DAE的度数，由此判断C选项；根据翻折前后角度的求解，可求解∠EDG与∠DEG的度数，由“等角对等边”可判断A选项；利用角度的和差运算可求解∠AEG的度数可判断B选项；先假设结论成立，根据直角三角形中的正弦值求解边长即可判断D选项；逐一判断即可解答.
9．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】
解：A、由题意，∵二次函数为y=x2-2x-3，
∴当x=0时，y=-3.
∴其图象与y轴交于(0， -3).
又∵图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴.上方，
∴新函数图象与y轴的交点为(0， 3)，故A错误.
B、∵结合函数图象可以发现，函数没有最大值，
∴B选项错误.
C、令y=x2-2x-3=0，则x=3或x=-1，
∴函数图象与x轴交点为(-1， 0)，(3， 0)
∴图象与x轴两个交点之间的距离为： 3- (-1)=4，故C正确.
D、由题意，∵原函数为y=x2-2x-3= (x-1)2-4，
∴新函数为y=- (x-1)2+4 (-1≤x≤3)
∴函数的对称轴是直线x=1.
∴结合函数图象可得，当1 3时，y随x的增大而增大，故D错误.
故答案为：C.
【分析】观察图像：由二次函数为y=x2-2x-3， 可得其图象与y轴交于(0， -3)，对称轴是直线x=1，进而可得新函数图象与y轴的交点为(0， 3)，再结合函数的图象逐个判断即可解答.
10．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：．
【分析】观察多项式可知，每一项都含有公因式3，于是先提公因式3，再利用平方差公式分解即可求解．
11．【答案】甲
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】
解：甲的平均数为：（103+99+101+100+101+97）5=100
甲的方差为：
乙的平均数为：（99+103+105+95+98）5=100
乙的方差为：
∵412.8
∴ 比较稳定的是甲；
故答案为：甲.
【分析】先分别计算甲，乙的平均数，再利用公式计算甲乙的方差，根据方差越小越稳定，即可解答.
12．【答案】
【知识点】绝对值的概念与意义；判断数轴上未知数的数量关系；数形结合
【解析】【解答】
解：观察数轴可知：
∴|a||b|，
故答案为：；
【分析】根据绝对值的定义：|a|绝对值表示的是数a到原点的距离，即可观察数轴得出答案，解答即可.
13．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；等腰直角三角形；线段的和、差、倍、分的简单计算；多边形的内角和公式
【解析】【解答】
解：过点F作FM⊥y轴交y轴于点M，如图，
正八边形ABCDEFGH的内角和为(8-2)x 360° = 1080°，
∴每个内角为
∴∠OAH=∠OHA=45° ，
则AOH为等腰直角三角形，
又∵正八边形的边长为，
∴OA2 +OH2=AH2，即2OH2=2，
可得OH=1，
同理可得GMF为等腰直角三角形，
即MG=MF=1，
∴可得OM =OH+ HG+GM=1++1=2+.
∴点F(1，2+)，
又点F在反比例函数y=-(x>0)的图象上，
∴2+=，解得k=2+；
故答案为：2+.
【分析】先根据正八边形的内角和可求解每个内角度数，可得AOH为等腰直角三角形，根据正八边形的边长可求解OH的长度，同理可求MG与MF的长度，即可得到点F的坐标，再代入反比例函数解析式即可解答.
14．【答案】
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；勾股定理；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】
解：如图，过点A作AH⊥OD于点H，
∵∠AOB=30°， 0A=2
∴AH=OA=，
∵OC=AC， .
∴∠OAC=∠AOB=30°，
∴∠ACB=30°+30°=60° ，
∴∠CAH=30° ，
∴AC=2CH，
设CH=x，则AC=2x，
在△ACH中，由勾股定理得，
x2+ ()2= (2x)2，
解得x=1 (取正值) ，
即CH=1，AC=2，
∴CD=CA=OC=2，
∴S阴影部分=，
，
故答案为：.
【分析】过点A作AH⊥OD于点H，先根据30 直角三角形的性质得到AH的值，推导出AC=2CH，设CH=x，则AC=2x，利用勾股定理计算出x的值，再根据S阴影部分=， 计算即可解答.
15．【答案】①④
【知识点】三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线；正切的概念；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】
解： ①、∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC， ∠ADE=∠BCE=90° ，
∵点E为CD的中点，
∴DE=CE，
∴△ADE≌△BCE (SAS)，
∴∠AED=∠BEC，
∵点H为BE的中点，
∴HC= HE =BE，
∴∠HCE=∠BEC，
∴∠HCE=∠AED，
∴CH//AE，故①正确；
②、∵四边形ABCD是正方形，
∴AB// CD，即AB // DM，
∴∠M=∠ABF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB， ∠BAF=90°
∵点F为AD的中点，
∴AF=AD=AB，
∴tanM = tan∠ABF=
∴∠M≠30°，故②错误；
③、∵CH// AE，
∴S CGH=S CEH
设正方形ABCD的边长为2a，
∴S正方形ABCD= (2a)2=4a2，
S CEH=S BCE=
∴S CGH=S正方形ABCDS正方形ABCD，故③错误；
④、∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠ADE=∠BAF=90°，
∵点E，F分别为CD，AD的中点，
∴DE=AF，
∴ADEBAF (SAS) ，
∴∠EAD=∠FBA，
∵∠M=∠FBA，
∴∠M=∠EAD，
∵AB// DM，
∴△ABF△DMF，
∴
∵点F为AD的中点，
∴ DM=AB=CD，
∵∠AFG=∠MFD，∠M=∠EAD，
∴△AFGMFD，
∴
∵DM=CD，
∴
AGMF=CDAF，故④正确；
故答案为：①④
【分析】先根据正方形的性质和中点的定义利用SAS证明△ADE≌△BCE ， 从而推出∠AED=∠BEC，再由直角三角形斜边中线的性质求得∠HCE=∠BEC，推出∠HCE=∠AED，可得到CH//AE，故①正确；先根据平行线的性质证明∠M=∠ABF，结合正方形的性质和中点的定义由正切函数的定义可判断②错误；由平行线的性质求得S CGH=S CEH，即可求得S CEH=S BCE=，即可判断S CGH=S正方形ABCDS正方形ABCD，故③错误；先结合已知条件证明△ABF△DMF，△AFGMFD，利用相似三角形的性质可推出，再等量代换即可证明④正确；逐一判断即可解答.
16．【答案】解：如图，等腰即为所作：
【知识点】尺规作图-垂线；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-等腰（等边）三角形
【解析】【分析】先作利用基本作图，作 的角平分线OF，再过点D作OF的垂线，交OA，OB，于点C，E连接CE即可得到满足条件的等腰，由此即可解答.
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：不等式组为，
则有，解得，
则有，解得，
∴不等式组的解集为，
则整数解为．
【知识点】零指数幂；二次根式的加减法；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】(1)先化简二次根式，在计算零指数幂，最后计算加减即可解答；
（2）先解各个不等式，再求出解集，再得到其中的整数解解答即可.
18．【答案】解：画树状图如下：
由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中抽取到的两张卡片中有“生”的结果数有6种，
∴抽取到的两张卡片中有“生”的概率是．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】先画出树状图由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中抽取到的两张卡片中有“生”的结果数有6种，再由概率公式计算即可解答.
19．【答案】（1）72
（2）补全频数分布直方图为：
（3）61
（4）（人），
答：估计使用智能软件主要用于“学习管理”的人数为人．
【知识点】频数（率）分布直方图；统计表；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由题意得“B”对应的扇形圆心角的度数为
故答案为：72；
（3）将整组的数据从小到大排列后可得这组数据的中位数是第30，31人，他们使用智能软件的时间为60，62分钟，因此中位数为：
故答案为：61；
【分析】(1)由目的“B”的人数除以总数求出占比，再乘以360°计算即可解答；
(2) 用总人数减去其余三组的人数求出使用智能软件的时间在30≤1< 60这组的人数， 即可补全频数分布直方图；
(3)由中位数的定义：将一组数据由大到小的排列后，偶数取中间两个数的平均数；奇数为最中间的一个数；由此解答即可求解；
(4)用样本估计总体的方法找到样本的百分比乘以总数1200，计算即可解答.
20．【答案】解：过点作于点，由题意得，，，，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，∵，
∴，
∴设，
则，，
在中，∵，
∴，
解得：，
∴，
答：博学楼的高度为9米．
【知识点】矩形的判定；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；正切的概念；线段的比
【解析】【分析】过点作于点，根据已知条件先判定出四边形是矩形，根据正切的定义比表示出，设，利用线段的和差运算表示，，再根据正切的定义列方程，计算得出x的值，即可得到DE的长，即可解答.
21．【答案】（1）解：设乙车间每天能生产件产品，则甲车间每天能生产件产品，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
则（件），
答：乙车间每天能生产件产品，则甲车间每天能生产件产品；
（2）解：设安排甲车间生产天，则乙车间生产天，
由题意得：，
解得：，
设生产总量为，由题意得：
，
∵，
∴随着的增大而增大，
∴当时，最大，即这30天的生产总量最大，
∴，
∴安排甲车间生产天，则乙车间生产天．
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式；一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】（1）设乙车间每天能生产件产品，则甲车间每天能生产件产品，列出方程，计算并检验即可解答；
（2）设安排甲车间生产天，则乙车间生产天，由题意表示出m的范围，再列出生产总量为的函数关系式，再利用一次函数的性质当时，可求得 最大值；解答即可.
22．【答案】（1）证明：∵，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∴
（2）解：选择条件①；四边形为矩形，理由如下：∵∴，∵，∴四边形为平行四边形，∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴四边形为矩形；
选择条件②，四边形为菱形，理由如下：∵∴，∵，∴四边形为平行四边形，∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴，∴四边形为菱形．
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；线段的中点；三角形全等的判定-AAS；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】(1)根据平行线的性质和中点的定义利用AAS证明即可解答；
（2）选择条件①，四边形为矩形，根据全等的性质可推导出四边形为平行四边形，再利用平行四边形的性质和已知条件可得到，即可判定得到结论，解答即可；选择条件②，四边形为菱形，根据全等的性质可推导出四边形为平行四边形，再利用平行四边形的性质和已知条件可得到，即可判定得到结论，解答即可.
23．【答案】（1）a
（2）解：对正实数，，，运算“”满足结合律，理由如下：
左边：，
右边：，
∴左边右边，
∴对正实数，，，运算“”满足结合律；
（3）
【知识点】完全平方公式的几何背景；三角形全等及其性质；勾股定理；单项式除以单项式；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】
解：(1)
故答案为：a；
（3）由题意得，∠AFB=90°，
∴AF2+BF2=AB2，
∵AF=a，BF=b，且a> b，正方形ABCD的面积为26，
∴a2+b2=26，
∵四个直角三角形全等，
∴AE=BF=b，
∴EF=AF-AE=a-b，
∵正方形EFGH的面积为16，
∴ (a-b)2=16a2+b2-2ab=16，
∴26-2ab=16，
∴ab=5，
∴ (a+b)2= (a-b)2+4ab=16+4X 5=36，
∴a+b=6 (舍负) ，
∴(2a)b(2a) = (2a)(2a)b=ab =
故答案为：；
【分析】(1)根据 定义的运算为，代入计算，再化简即可解答；
(2)根据 定义得运算为，先计算 的左边，再计算右边，观察是否相等，即可判定得到答案，解答即可；
（3）根据题意利用 正方形与正方形的面积分别为26和16 表示出ab=5，a+b=6；然后再根据 定义的运算计算出(2a)b(2a) =，再整体代值计算即可解答.
24．【答案】（1）解：∵图象经过点，，
，
解得：，
∴与的函数关系式为；
（2）解：由表格可知，
∴设球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为：，
代入得：，
解得：，
∴，
对于，，
∴开口向下，
∵对称轴为：直线
∴当时，，
此时，
解得：，
∴网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米；
（3）
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】
解：（3）由题意，当t=1.6秒时，x=101.6=16，
代入原抛物线得y=-0.05162+0.816+1.8=1.8， 即此时球的坐标为（16，1.8）
又∵新抛物线y=-0.02x2+px+m过点(16，1.8)， 得m=1.8+0.02 162-16p=6.92-16p，
∴抛物线为y=-0.02x2+px+6.92-16p.
又∵当x=2时，y≥1.8，
∴-0.0222+2p+6.92-16p≥ 1.8.
∴
故答案为： p≤0.36.
【分析】(1)根据待定系数法求函数解析式：把点，带入解析式计算即可解答；
（2）观察表格可知，设球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为：，代入点的坐标即可得到，对于根据函数的性质得到当时，y的最小值为5，此时，计算即可解答；
（3）先求出球得坐标为（16，1.8），再代入新抛物线解析式得到m=6.92-16p，再根据题意网球所在点的横坐标为，纵坐标大于等于；列式计算即可解答.
25．【答案】（1）解：由题意得，，
∵在中，，，，
∴，
由平移的性质得，，，，，
∵为的中点，
∴，
∵，，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得；
（2）解：当时，∴点在线段上，作于点，作于点，
∵，，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
同理，即，
∴，
∵，
∴，
∵
；
∴；
（3）解：存在，理由如下，
由题意，
当时，作于点，交延长线于点，
同理，，，
∴，，
在中，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
整理得，
解得，
∵，
∴；
当时， 作于点，
∵，
∴，
∴，即，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
整理得，
解得，
∵，
∴；
综上，的值为或．
【知识点】公式法解一元二次方程；相似三角形的判定；线段的和、差、倍、分的简单计算；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由勾股定理得到AB=10，由平移的性质和中点的定义得到EH的值，根据平行线的性质得到，，即可利用余弦的定义建立方程计算得到t的值，解答即可.
(2)当时，点在线段上，作于点，作于点，表示出PD，AQ，VQ，CP，再根据正弦的定义建立方程表示出QM，同理表示出，即可得到，再根据三角形面积的和差关系即可解答；
（3）当时，作于点，交延长线于点，同（2）的方法可得到，，即可表示出PG，CG，再由，根据正弦，余弦的定义建立等式即可表示出，，再根据线段的和差运算可得，再利用AA判定，即可根据相似三角形的性质建立方程计算得出t的值，再选出符合条件的的值；当时， 作于点， 再由，利用相似三角形的性质得到，，再利用AA判定，即可根据相似三角形的性质建立方程计算得出t的值，再选出符合条件的的值；由此解答即可.
1 / 1山东省青岛市2025届中考数学真题
1．（2025·青岛）-6的相反数为（ ）
A．-6 B．6 C． D．
【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：-6的相反数是6.
故答案为：B.
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数解答即可.
2．（2025·青岛）围棋是中华民族发明的博弈活动．下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B不符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形； 轴对称图形的定义平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；逐一判断即可解答.
3．（2025·青岛） 2025年5月，我国在西昌卫星发射中心成功将行星探测工程天问二号探测器发射升空，天问二号探测器将对小行星2016HO3和主带彗星311P开启科学探测，其中一个目标所在轨道与太阳间距将达到亿公里．亿，将374000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 374000000 =
故答案为：B.
【分析】根据科学记数法，将一个大于10数据表示成形式为ax10n的形式，其中1≤a<10，n为正整数，n比原位数少1，计算即可解答.
4．（2025·青岛）如图①，榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式．图②的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】
解：
的左视图为
故答案为：A.
【分析】 根据定义：左视图是指由物体左边向右做正投影得到的视图，由此选出答案即可解答.
5．（2025·青岛）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，将关于y轴的对称图形绕原点O旋转，得到，则点A的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称；关于原点对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】
解：A（-1，2） 关于y轴对称后的坐标为（1，2）， 绕原点O旋转的对应点的.
故答案为：A
【分析】根据图形的对称和旋转就是图形上每一个点的对称和旋转，根据任意一个点（x，y）关于y轴对称后的点为（-x，y）再次绕原点O旋转的对应点为（x，-y），由此解答即可.
6．（2025·青岛）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】
解：A、不是同类项不可以合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、 ，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据同类项合并的法则可判断A；根据同底数幂的乘法法则计算可得，可判断B；根据积的乘方计算，可判断C；根据同底数幂的除法法则得，可判断D；逐一判断即可解答.
7．（2025·青岛）如图，四边形是的内接四边形，，，直线与相切于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；圆周角定理；圆内接四边形的性质；等圆、等弧的概念
【解析】【解答】
解：连接AC，
∵∠ADC=90° ，
∴AC是圆的直径，
∵直线EA与 相切于点A，
∴EAAC，
∴∠CAE=90°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠BCD=128° ，
∴∠BAD=52° ，
∵CD=BC，
∴
∴∠CAD=∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD=26°，
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=64°，
故答案为：C.
【分析】连接AC，根据圆周角定理可得到AC是圆的直径，根据切线得性质得到∠CAE=90°，再由圆内接四边形得性质计算得到∠BAD=52° ，再根据等弧所对圆周角相等，再利用角度的和差运算计算即可求解.
8．（2025·青岛）如图，在三角形纸片中，，，将纸片沿着过点A的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点；再将纸片沿着过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点．下列结论成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】
解： C、在△ABC中，∠B=57° ，∠C=38°，
∴∠BAC=180°-57°-38°=85°，
∵△ADE是由△ABD翻折得到，
∴∠DAE= ∠DAB == 42.5°，故C错误；
A、∵△ADE是由△ABD翻折得到，∠DAE=∠DAB=42.5°，
∴∠AED=∠B=57°，
∴∠ADE= ∠ADB=180°-57°-42.5°=80.5°，
∴∠EDG=180°- ∠ADE-∠ADB=180°-80.5°X2=19°，
∵△EFG是由△EFC翻折得到，
∴∠EGF=∠C=38°，
∴ ∠EGD=180°-∠EGF=180°-38°=142° ，
在△EGD中， ∠DEG=180°-142°-19°=19° ，
∵∠EDG=∠DEG=19° ，
∴DG=EG，故A选项正确；
B、 ∵∠AED+∠DEG=57°+19°=76°，
即∠AEG=76°，
∴GE与AE不垂直，故B错误；
D、过点G作GM⊥DE交DE于点M，如图，
假设DE=2GF，
∵△EFG是由△EFC翻折得到，
∴∠EFC=∠EFG=90° ，
∵DG=EG，
∴△DGE为等腰三角形，
∵GM⊥DE，∴DM=EM，即DE=2EM，
∴GF=EM，
在Rt△EMG中，sin∠DEG = sin19°=
在Rt△EFG中，sin∠ EGF= sin38°=
∵sin19°≠sin38° ，
∴ MG≠EF，
∵EM =≠GF=，与已知不符，故D选项错误.
故答案为：A.
【分析】根据△ADE是由△ABD翻折得到可求解∠DAE的度数，由此判断C选项；根据翻折前后角度的求解，可求解∠EDG与∠DEG的度数，由“等角对等边”可判断A选项；利用角度的和差运算可求解∠AEG的度数可判断B选项；先假设结论成立，根据直角三角形中的正弦值求解边长即可判断D选项；逐一判断即可解答.
9．（2025·青岛）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（ ）
A．图象与轴的交点坐标是
B．当时，函数取得最大值
C．图象与轴两个交点之间的距离为
D．当时，的值随值的增大而增大
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】
解：A、由题意，∵二次函数为y=x2-2x-3，
∴当x=0时，y=-3.
∴其图象与y轴交于(0， -3).
又∵图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴.上方，
∴新函数图象与y轴的交点为(0， 3)，故A错误.
B、∵结合函数图象可以发现，函数没有最大值，
∴B选项错误.
C、令y=x2-2x-3=0，则x=3或x=-1，
∴函数图象与x轴交点为(-1， 0)，(3， 0)
∴图象与x轴两个交点之间的距离为： 3- (-1)=4，故C正确.
D、由题意，∵原函数为y=x2-2x-3= (x-1)2-4，
∴新函数为y=- (x-1)2+4 (-1≤x≤3)
∴函数的对称轴是直线x=1.
∴结合函数图象可得，当1 3时，y随x的增大而增大，故D错误.
故答案为：C.
【分析】观察图像：由二次函数为y=x2-2x-3， 可得其图象与y轴交于(0， -3)，对称轴是直线x=1，进而可得新函数图象与y轴的交点为(0， 3)，再结合函数的图象逐个判断即可解答.
10．（2025·青岛）因式分解 ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：．
【分析】观察多项式可知，每一项都含有公因式3，于是先提公因式3，再利用平方差公式分解即可求解．
11．（2025·青岛）为弘扬传统文化，培养学生的劳动意识，某校在端午节期间举行了包粽子活动，每个粽子的标准质量为．甲、乙两名同学各包了个粽子，每个粽子的质量（单位：）如下：
甲：，，，，；
乙：，，，，．
甲、乙两名同学包的粽子的质量比较稳定的是 （填“甲”或“乙”）．
【答案】甲
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】
解：甲的平均数为：（103+99+101+100+101+97）5=100
甲的方差为：
乙的平均数为：（99+103+105+95+98）5=100
乙的方差为：
∵412.8
∴ 比较稳定的是甲；
故答案为：甲.
【分析】先分别计算甲，乙的平均数，再利用公式计算甲乙的方差，根据方差越小越稳定，即可解答.
12．（2025·青岛）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则 （填“”，“”或“”）．
【答案】
【知识点】绝对值的概念与意义；判断数轴上未知数的数量关系；数形结合
【解析】【解答】
解：观察数轴可知：
∴|a||b|，
故答案为：；
【分析】根据绝对值的定义：|a|绝对值表示的是数a到原点的距离，即可观察数轴得出答案，解答即可.
13．（2025·青岛）如图，正八边形的顶点，，，在坐标轴上，顶点，，，在第一象限．点在反比例函数的图象上，若，则的值为 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；等腰直角三角形；线段的和、差、倍、分的简单计算；多边形的内角和公式
【解析】【解答】
解：过点F作FM⊥y轴交y轴于点M，如图，
正八边形ABCDEFGH的内角和为(8-2)x 360° = 1080°，
∴每个内角为
∴∠OAH=∠OHA=45° ，
则AOH为等腰直角三角形，
又∵正八边形的边长为，
∴OA2 +OH2=AH2，即2OH2=2，
可得OH=1，
同理可得GMF为等腰直角三角形，
即MG=MF=1，
∴可得OM =OH+ HG+GM=1++1=2+.
∴点F(1，2+)，
又点F在反比例函数y=-(x>0)的图象上，
∴2+=，解得k=2+；
故答案为：2+.
【分析】先根据正八边形的内角和可求解每个内角度数，可得AOH为等腰直角三角形，根据正八边形的边长可求解OH的长度，同理可求MG与MF的长度，即可得到点F的坐标，再代入反比例函数解析式即可解答.
14．（2025·青岛）如图，在扇形中，，，点在上，且．延长到，使．以，为邻边作平行四边形，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）．
【答案】
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；勾股定理；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】
解：如图，过点A作AH⊥OD于点H，
∵∠AOB=30°， 0A=2
∴AH=OA=，
∵OC=AC， .
∴∠OAC=∠AOB=30°，
∴∠ACB=30°+30°=60° ，
∴∠CAH=30° ，
∴AC=2CH，
设CH=x，则AC=2x，
在△ACH中，由勾股定理得，
x2+ ()2= (2x)2，
解得x=1 (取正值) ，
即CH=1，AC=2，
∴CD=CA=OC=2，
∴S阴影部分=，
，
故答案为：.
【分析】过点A作AH⊥OD于点H，先根据30 直角三角形的性质得到AH的值，推导出AC=2CH，设CH=x，则AC=2x，利用勾股定理计算出x的值，再根据S阴影部分=， 计算即可解答.
15．（2025·青岛）如图，在正方形中，，分别为，的中点．连接并延长交于点，交的延长线于点，为的中点，连接，，．下列结论：①；②；③；④．正确的是 （填写序号）．
【答案】①④
【知识点】三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线；正切的概念；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】
解： ①、∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC， ∠ADE=∠BCE=90° ，
∵点E为CD的中点，
∴DE=CE，
∴△ADE≌△BCE (SAS)，
∴∠AED=∠BEC，
∵点H为BE的中点，
∴HC= HE =BE，
∴∠HCE=∠BEC，
∴∠HCE=∠AED，
∴CH//AE，故①正确；
②、∵四边形ABCD是正方形，
∴AB// CD，即AB // DM，
∴∠M=∠ABF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB， ∠BAF=90°
∵点F为AD的中点，
∴AF=AD=AB，
∴tanM = tan∠ABF=
∴∠M≠30°，故②错误；
③、∵CH// AE，
∴S CGH=S CEH
设正方形ABCD的边长为2a，
∴S正方形ABCD= (2a)2=4a2，
S CEH=S BCE=
∴S CGH=S正方形ABCDS正方形ABCD，故③错误；
④、∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠ADE=∠BAF=90°，
∵点E，F分别为CD，AD的中点，
∴DE=AF，
∴ADEBAF (SAS) ，
∴∠EAD=∠FBA，
∵∠M=∠FBA，
∴∠M=∠EAD，
∵AB// DM，
∴△ABF△DMF，
∴
∵点F为AD的中点，
∴ DM=AB=CD，
∵∠AFG=∠MFD，∠M=∠EAD，
∴△AFGMFD，
∴
∵DM=CD，
∴
AGMF=CDAF，故④正确；
故答案为：①④
【分析】先根据正方形的性质和中点的定义利用SAS证明△ADE≌△BCE ， 从而推出∠AED=∠BEC，再由直角三角形斜边中线的性质求得∠HCE=∠BEC，推出∠HCE=∠AED，可得到CH//AE，故①正确；先根据平行线的性质证明∠M=∠ABF，结合正方形的性质和中点的定义由正切函数的定义可判断②错误；由平行线的性质求得S CGH=S CEH，即可求得S CEH=S BCE=，即可判断S CGH=S正方形ABCDS正方形ABCD，故③错误；先结合已知条件证明△ABF△DMF，△AFGMFD，利用相似三角形的性质可推出，再等量代换即可证明④正确；逐一判断即可解答.
16．（2025·青岛）已知：如图，是内部一点．求作：等腰，使点，分别在射线，上，且底边经过点．
【答案】解：如图，等腰即为所作：
【知识点】尺规作图-垂线；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-等腰（等边）三角形
【解析】【分析】先作利用基本作图，作 的角平分线OF，再过点D作OF的垂线，交OA，OB，于点C，E连接CE即可得到满足条件的等腰，由此即可解答.
17．（2025·青岛）
（1）计算：；
（2）解不等式组：并写出它的整数解．
【答案】（1）解：
；
（2）解：不等式组为，
则有，解得，
则有，解得，
∴不等式组的解集为，
则整数解为．
【知识点】零指数幂；二次根式的加减法；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】(1)先化简二次根式，在计算零指数幂，最后计算加减即可解答；
（2）先解各个不等式，再求出解集，再得到其中的整数解解答即可.
18．（2025·青岛）京剧以其独特的艺术魅力和深厚的文化底蕴闻名于世，京剧的角色有生、旦、净、丑等．现有4张不透明卡片，正面分别印有“生”、“旦”、“净”、“丑”四种角色的卡通人物，卡片除正面图案外其余都相同．将这4张卡片背面朝上洗匀，先随机抽取一张，再从剩下的3张中随机抽取一张．利用画树状图或列表的方法表示所有可能出现的结果，并求抽取到的两张卡片中有“生”的概率．
【答案】解：画树状图如下：
由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中抽取到的两张卡片中有“生”的结果数有6种，
∴抽取到的两张卡片中有“生”的概率是．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】先画出树状图由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中抽取到的两张卡片中有“生”的结果数有6种，再由概率公式计算即可解答.
19．（2025·青岛）某校举行科技节，科技小组为了解学生使用智能软件的情况开展了统计活动．
【收集数据】
科技小组设计了如下调查问卷，在全校随机抽取部分学生进行调查，收集得到“问题1”和“问题2”的数据．（被调查学生两个问题全部按要求作答并提交）
调查问卷
问题1：你使用智能软件的主要目的是（ ）．（单选） A．学习管理 B．健康 C．时间管理 D．其他 问题2：你每周使用智能软件的时间是____分钟．
【整理和表示数据】
第一步：将“问题1”的数据进行整理后，绘制成如下的人数统计表；
第二步：将“问题2”中每周使用智能软件的时间（分钟）整理分成4组：①，②，③，④，并绘制成如下的频数直方图．
学生使用智能软件主要目的的人数统计表
目的 人数累计 人数
A 正正正正正正 30
B 正正丅 12
C 正正正 15
D 3
学生每周使用智能软件时间的频数直方图
（1）若将“问题1”的数据绘制成扇形统计图，则目的“B”对应的扇形圆心角的度数为 °；
（2）补全频数直方图；
（3）【分析数据，解答问题】
已知“”这组的数据是：60，60，62，62，63，65，65，65，70，70，75，75，75，75，75，80，80，80，80，85．被调查的全部学生每周使用智能软件时间的中位数为 分钟；
（4）全校共有1200名学生，请你估计使用智能软件主要用于“学习管理”的人数．
【答案】（1）72
（2）补全频数分布直方图为：
（3）61
（4）（人），
答：估计使用智能软件主要用于“学习管理”的人数为人．
【知识点】频数（率）分布直方图；统计表；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由题意得“B”对应的扇形圆心角的度数为
故答案为：72；
（3）将整组的数据从小到大排列后可得这组数据的中位数是第30，31人，他们使用智能软件的时间为60，62分钟，因此中位数为：
故答案为：61；
【分析】(1)由目的“B”的人数除以总数求出占比，再乘以360°计算即可解答；
(2) 用总人数减去其余三组的人数求出使用智能软件的时间在30≤1< 60这组的人数， 即可补全频数分布直方图；
(3)由中位数的定义：将一组数据由大到小的排列后，偶数取中间两个数的平均数；奇数为最中间的一个数；由此解答即可求解；
(4)用样本估计总体的方法找到样本的百分比乘以总数1200，计算即可解答.
20．（2025·青岛）学校综合实践小组测量博学楼的高度．如图，点，，，，在同一平面内，点，，在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部测得博学楼的顶部的俯角为，另一组成员沿方向从厚德楼底部点向博学楼走15米到达点，在点测得博学楼顶部的仰角为，求博学楼的高度．（参考数据：，，，，，）
【答案】解：过点作于点，由题意得，，，，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，∵，
∴，
∴设，
则，，
在中，∵，
∴，
解得：，
∴，
答：博学楼的高度为9米．
【知识点】矩形的判定；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；正切的概念；线段的比
【解析】【分析】过点作于点，根据已知条件先判定出四边形是矩形，根据正切的定义比表示出，设，利用线段的和差运算表示，，再根据正切的定义列方程，计算得出x的值，即可得到DE的长，即可解答.
21．（2025·青岛）某公司成功研发了一款新型产品，接到了首批订单，产品数量为2100件．公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的1.5倍．先由甲、乙两个车间共同完成1500件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单．
（1）求甲、乙两个车间每天分别能生产多少件产品；
（2）首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？
【答案】（1）解：设乙车间每天能生产件产品，则甲车间每天能生产件产品，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
则（件），
答：乙车间每天能生产件产品，则甲车间每天能生产件产品；
（2）解：设安排甲车间生产天，则乙车间生产天，
由题意得：，
解得：，
设生产总量为，由题意得：
，
∵，
∴随着的增大而增大，
∴当时，最大，即这30天的生产总量最大，
∴，
∴安排甲车间生产天，则乙车间生产天．
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式；一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】（1）设乙车间每天能生产件产品，则甲车间每天能生产件产品，列出方程，计算并检验即可解答；
（2）设安排甲车间生产天，则乙车间生产天，由题意表示出m的范围，再列出生产总量为的函数关系式，再利用一次函数的性质当时，可求得 最大值；解答即可.
22．（2025·青岛）如图，在中，为的中点，为延长线上一点，连接，，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：；
（2）已知 ▲ （从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论．
条件①：；
条件②：．
【答案】（1）证明：∵，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∴
（2）解：选择条件①；四边形为矩形，理由如下：∵∴，∵，∴四边形为平行四边形，∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴四边形为矩形；
选择条件②，四边形为菱形，理由如下：∵∴，∵，∴四边形为平行四边形，∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴，∴四边形为菱形．
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；线段的中点；三角形全等的判定-AAS；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】(1)根据平行线的性质和中点的定义利用AAS证明即可解答；
（2）选择条件①，四边形为矩形，根据全等的性质可推导出四边形为平行四边形，再利用平行四边形的性质和已知条件可得到，即可判定得到结论，解答即可；选择条件②，四边形为菱形，根据全等的性质可推导出四边形为平行四边形，再利用平行四边形的性质和已知条件可得到，即可判定得到结论，解答即可.
23．（2025·青岛）【定义新运算】
对正实数，，定义运算“”，满足．
例如：当时，．
（1）当时，请计算： ；
【探究运算律】
对正实数，，运算“”是否满足交换律？
，
，
．
运算“”满足交换律．
（2）对正实数，，，运算“”是否满足结合律？请说明理由；
（3）【应用新运算】
如图，正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，，，且．若正方形与正方形的面积分别为26和16，则的值为 ．
【答案】（1）a
（2）解：对正实数，，，运算“”满足结合律，理由如下：
左边：，
右边：，
∴左边右边，
∴对正实数，，，运算“”满足结合律；
（3）
【知识点】完全平方公式的几何背景；三角形全等及其性质；勾股定理；单项式除以单项式；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】
解：(1)
故答案为：a；
（3）由题意得，∠AFB=90°，
∴AF2+BF2=AB2，
∵AF=a，BF=b，且a> b，正方形ABCD的面积为26，
∴a2+b2=26，
∵四个直角三角形全等，
∴AE=BF=b，
∴EF=AF-AE=a-b，
∵正方形EFGH的面积为16，
∴ (a-b)2=16a2+b2-2ab=16，
∴26-2ab=16，
∴ab=5，
∴ (a+b)2= (a-b)2+4ab=16+4X 5=36，
∴a+b=6 (舍负) ，
∴(2a)b(2a) = (2a)(2a)b=ab =
故答案为：；
【分析】(1)根据 定义的运算为，代入计算，再化简即可解答；
(2)根据 定义得运算为，先计算 的左边，再计算右边，观察是否相等，即可判定得到答案，解答即可；
（3）根据题意利用 正方形与正方形的面积分别为26和16 表示出ab=5，a+b=6；然后再根据 定义的运算计算出(2a)b(2a) =，再整体代值计算即可解答.
24．（2025·青岛）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米的点将球击出．
信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，．
信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下：
（秒） 0 0.4 0.6 …
（米） 0 4 6 …
（1）求与的函数关系式；
（2）网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？
（3）当为秒时，小明将球击回、球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为，纵坐标大于等于时，的取值范围为 （直接写出结果）．
【答案】（1）解：∵图象经过点，，
，
解得：，
∴与的函数关系式为；
（2）解：由表格可知，
∴设球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为：，
代入得：，
解得：，
∴，
对于，，
∴开口向下，
∵对称轴为：直线
∴当时，，
此时，
解得：，
∴网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米；
（3）
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】
解：（3）由题意，当t=1.6秒时，x=101.6=16，
代入原抛物线得y=-0.05162+0.816+1.8=1.8， 即此时球的坐标为（16，1.8）
又∵新抛物线y=-0.02x2+px+m过点(16，1.8)， 得m=1.8+0.02 162-16p=6.92-16p，
∴抛物线为y=-0.02x2+px+6.92-16p.
又∵当x=2时，y≥1.8，
∴-0.0222+2p+6.92-16p≥ 1.8.
∴
故答案为： p≤0.36.
【分析】(1)根据待定系数法求函数解析式：把点，带入解析式计算即可解答；
（2）观察表格可知，设球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为：，代入点的坐标即可得到，对于根据函数的性质得到当时，y的最小值为5，此时，计算即可解答；
（3）先求出球得坐标为（16，1.8），再代入新抛物线解析式得到m=6.92-16p，再根据题意网球所在点的横坐标为，纵坐标大于等于；列式计算即可解答.
25．（2025·青岛）如图①，在中，，，，将沿方向平移，得到，过点作，交的延长线于点，为的中点．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．连接，，．设运动时间为（）．
解答下列问题：
（1）当时，求的值；
（2）如图②，当时，设的面积为（），求与之间的函数关系式；
（3）当时，是否存在某一时刻，使是直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意得，，
∵在中，，，，
∴，
由平移的性质得，，，，，
∵为的中点，
∴，
∵，，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得；
（2）解：当时，∴点在线段上，作于点，作于点，
∵，，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
同理，即，
∴，
∵，
∴，
∵
；
∴；
（3）解：存在，理由如下，
由题意，
当时，作于点，交延长线于点，
同理，，，
∴，，
在中，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
整理得，
解得，
∵，
∴；
当时， 作于点，
∵，
∴，
∴，即，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
整理得，
解得，
∵，
∴；
综上，的值为或．
【知识点】公式法解一元二次方程；相似三角形的判定；线段的和、差、倍、分的简单计算；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由勾股定理得到AB=10，由平移的性质和中点的定义得到EH的值，根据平行线的性质得到，，即可利用余弦的定义建立方程计算得到t的值，解答即可.
(2)当时，点在线段上，作于点，作于点，表示出PD，AQ，VQ，CP，再根据正弦的定义建立方程表示出QM，同理表示出，即可得到，再根据三角形面积的和差关系即可解答；
（3）当时，作于点，交延长线于点，同（2）的方法可得到，，即可表示出PG，CG，再由，根据正弦，余弦的定义建立等式即可表示出，，再根据线段的和差运算可得，再利用AA判定，即可根据相似三角形的性质建立方程计算得出t的值，再选出符合条件的的值；当时， 作于点， 再由，利用相似三角形的性质得到，，再利用AA判定，即可根据相似三角形的性质建立方程计算得出t的值，再选出符合条件的的值；由此解答即可.
1 / 1
