(共25张PPT)
4.1 函数
1.借助简单实例了解函数的概念，弄清自变量与函数之间的关系，发展数感和量感。(重点)
2.通过函数的定义，能判断两个变量是否具有函数关系，形成对数学知识的理解，学会发现问题、提出问题。
3.掌握函数的定义，能确定函数中自变量的取值范围并解决相关问题，养成有意识的数据运用和数学语言表达习惯。(难点)
水面高度
水量
石子数量
乌鸦能喝到水，是因为什么量发生了改变呢？
水面高度和石子数量。石子数量改变使得水面高度改变，而水量固定不变。
如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？
情景一
探究点一：函数的概念及表示方法
探究点一：函数的概念及表示方法
下图反映了摩天轮上的一点的高度 h (m) 与旋转时间 t (min) 之间的关系.
t/分 0 1 2 3 4 5 …
h/米 …
(1) 根据左图填表：
(2) 对于给定的时间 t ，相应的高度 h 确定吗？
14
36
47
36
3
14
返回
探究点一：函数的概念及表示方法
瓶子或罐头盒等圆柱形的物体，常常如下图那样堆放.随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？
填写下表：
1 2 3 4 5 …
…
1
3
6
10
15
对于给定任一层数 n，相应的物体总数 y 确定吗？有几个 y 值和它对应？
层数 n
物体总数 y
唯一一个 y 值
情景二
返回
探究点一：函数的概念及表示方法
一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到 -273 ℃，则气体的压强为零. 因此，物理学把
-273 ℃ 作为热力学温度的零度. 热力学温度 T (K) 与摄氏温度 t (℃) 之间有如下数量关系：T = t + 273，T≥0.
(1) 当 t 分别等于 -43℃，-27℃，0℃，18℃ 时，相应的热力学温度 T 是多少？
(2) 给定任一个大于 -273 ℃ 的摄氏温度 t 值，相应的热力学温度 T 确定吗？有几个 T 值和它对应？
情景三
探究点一：函数的概念及表示方法
解：当 t＝-43 ℃ 时，T＝ -43＋273＝230 (K)；
数量关系：T＝t + 273，T≥0.
当 t＝-27 ℃ 时，T＝ -27＋273＝246 (K)；
当 t＝0 ℃ 时，T＝0＋273＝273 (K)；
当 t＝18 ℃ 时，T＝18＋273＝291 (K).
(1) 当 t 分别为 -43 ℃，-27 ℃，0 ℃，18 ℃ 时，相应的热力学温度 T 是多少？
(2) 给定一个大于 -273 ℃的 t 值，你都能求出相应的 T 值吗？
解：能. 因为 t＞-273 时，T＞0，满足条件且 T 是唯一确定.
返回
探究点一：函数的概念及表示方法
上面的三个问题中，有什么共同特点？
①时间 t 、相应的高度 h ；
②层数 n、物体总数 y；
③摄氏温度 t 、热力学温度 T.
共同特点：都有两个变量，给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值.
探究点一：函数的概念及表示方法
一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x 和 y，并且对于变量 x 的每一个值，变量 y 都有唯一的值与它对应，那么我们称 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量。
函数
注意： 函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。
探究点一：函数的概念及表示方法
表示函数
的一般方法
列表法
图象法
关系式法(表达式法)
情景一
情景二
情景三
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探究点一：函数的概念及表示方法
例1 下列关系式中哪些是 y 关于 x 的函数，哪些不是
(1) y = x；(2) y = x2 + 2；(3) y2 = x；(4) y = ± .
解析：① 当 x = 1 时， y = 1；当 x = 2 时， y = 2 ......
对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与它对应，则 y 是 x 的函数；同理 ②。
③当 x = 1 时， y2 = 1，y = ±1 .
④当 x = 1 时， y = ±1。
对于 x 的每一个确定的值，y 不唯一，则 y 不是 x 的函数。
探究点一：函数的概念及表示方法
例2 (1) 圆的周长公式 C = 2πR 中，有______个变量，是______和________；
(2) 汽车在公路上匀速行驶，速度为每小时 30 km，则汽车行驶的路程 s (km)与行驶的时间 t ( h ) 之间的关系式为________；
(3) 圆的面积 S 与半径 R 的函数关系式为__________；
(4) 某 30 层的大厦底层高 4 m，以上每层高 3 m，从底层数起，则前 n 层的高度 h (m) 与 n 的函数关系式为___________.
2
C
R
s = 30t
S = πR2
h = 3n + 1
探究点一：函数的概念及表示方法
探究点二： 函数的自变量的取值范围与函数值
问题：上述的三个问题中，要使函数有意义，自变量能取哪些值？
情景一
自变量 t 的取值范围:__________
t≥0
1 2 3 4 5 …
…
1
3
6
10
15
层数 n
物体总数 y
情景二
罐头盒等圆柱形的物体常常如下图那样堆放.随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？
自变量 n 的取值范围：_________.
n 取正整数
探究点二： 函数的自变量的取值范围与函数值
一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到 -273 ℃，则气体的压强为零. 因此，物理学把 -273 ℃作为热力学温度的零度. 热力学温度 T (K) 与摄氏温度 t (℃) 之间有如下数量关系：T = t + 273，T≥0.
情景三
自变量 t 的取值范围：___________.
t≥-273
探究点二： 函数的自变量的取值范围与函数值
对于自变量在可取值范围内的一个确定的值 a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于 a 时的函数值。
即：如果 y 是 x 的函数，
当 x = a 时，y = b，
那么 b 叫作当 x = a 时的函数值。
注意：函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系．而函数值是一个数，它是自变量确定时对应的函数的值。
函数值
探究点二： 函数的自变量的取值范围与函数值
例3 汽车的油箱中有汽油 50 L，如果不再加油，那么油箱中的油量 y (单位：L) 随行驶里程 x (单位：km) 的增加而减少，平均耗油量为 0.1 L/km。
（1）写出表示 y 与 x 的函数关系的式子。
解：(1) 函数关系式为： y = 50－0.1x
油箱中的剩油量、汽车耗油量与油箱中原有油量之间有怎样的数量关系？
0.1x 表示的意义是什么？
探究点二： 函数的自变量的取值范围与函数值
(2) 由 x≥0 及 50－0.1x≥0
得 0≤x≤500，
∴自变量的取值范围是
0≤x≤500。
汽车行驶里程，油箱中的油量均不能为负数！
确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数解析式有意义，而且还要注意各变量所代表的实际意义。
总结
(2) 指出自变量 x 的取值范围；
探究点二： 函数的自变量的取值范围与函数值
(3) 汽车行驶 200 km 时，油箱中还有多少油？
(3) 当 x = 200 时，函数 y 的值为
y = 50－0.1×200 = 30。
因此，当汽车行驶 200 km 时，油箱中还有油 30 L。
探究点二： 函数的自变量的取值范围与函数值
一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x 和 y，并且对于变量 x 的________，变量 y 都有 与它对应，那么我们称 y 是 x 的 ，其中 x 是______
如果 y 是 x 的函数，当 x = a 时 y = b，那么 b 叫作当自变量的值为_____时的_______
函数
每一个值
唯一的值
函数
自变量
a
函数值
1. 下列图象中，表示y是x的函数的是( B )
B
2. 若一支铅笔 2 元，小敏用 11 元钱买了x支铅笔，余款为 y 元，则 y 与 x 之间的关系式为( C )
A. y＝2x B. y＝2x＋11
C. y＝11－2x D. y＝11x－2
C
3. 函数y＝3－ 中，自变量x可取的值是( A)
A. 5 B. 3 C. 0 D. －5
A
4. 在一个标准大气压下，能反映水在均匀加热过程
中，水的温度(T)随加热时间(t)变化的函数图象大致
是( B )
B
6. 观察下表，y与x的关系式为 .
5. 已知变量s与t的函数关系式是s＝3t＋2t2，则当
t＝－1时，函数值s＝ .
x 1 2 3 4 5 …
y 2 4 6 8 10 …
－1
y＝2x 第4章 一次函数
4.1 函数
【素养目标】
1. 借助简单实例了解函数的概念,弄清自变量与函数之间的关系,发展数感和量感。(重点)
2. 通过函数的定义,能判断两个变量是否具有函数关系, 形成对数学知识的理解,学会发现问题、提出问题。
3. 掌握函数的定义,能确定函数中自变量的取值范围并解决相关问题,养成有意识的数据运用和数学语言表达习惯。(难点)
【情境导入】
乌鸦能喝到水, 是因为什么量发生了改变呢
【合作探究】
探究点一、函数的概念及表示方法
情景一：如果你坐在摩天轮上,随着时间的变化,你离开地面的高度是如何变化的
下图反映了摩天轮上的一点的高度 与旋转时间 之间的关系.
(1) 根据右图填表:
t /分 0 1 2 3 4 5 ...
/米 ...
(2) 对于给定的时间 , 相应的高度确定吗
情景二：对于给定任一层数 ,相应的物体总数 确定吗 有几个 值和它对应 填写下表:
层数 1 2 3 4 5 ...
物体总数 ...
情景三：一定质量的气体在体积不变时,假若温度降低到 -273℃,则气体的压强为零. 因此,物理学把 作为热力学温度的零度. 热力学温度 与摄氏温度 之间有如下数量关系: .
(1) 当 分别等于 时,相应的热力学温度 是多少
(2) 给定任一个大于 的摄氏温度 值,相应的热力学温度 确定吗 有几个 值和它对应
上面的三个问题中,有什么共同特点
① 时间 、相应的高度 ；
② 层数 、物体总数 ；
③ 摄氏温度 、热力学温度 .
【函数的概念】
一般地,如果在一个变化过程中有两个变量 和 ,并且对于变量 的每一个值,变量 都有唯一的值与它对应,那么我们称 是 的函数,其中 是自变量。
注意: 函数不是数,它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。
函数的常见表示方法：
表示函数的一般方法
例1 下列关系式中哪些是 关于 的函数,哪些不是
(1) .
例2 (1) 圆的周长公式 中,有________个变量, 是____和____；
(2) 汽车在公路上匀速行驶,速度为每小时 ,则汽车行驶的路程 与行驶的时间 之间的关系式为______________ ；
(3) 圆的面积 与半径 的函数关系式为 ___________；
(4) 某 30 层的大厦底层高 4 m ,以上每层高 3 m ,从底层数起,则前 层的高度 与 的函数关系式为___________.
探究点二: 函数的自变量的取值范围与函数值
问题: 上述的三个问题中, 要使函数有意义, 自变量能取哪些值
情景一
自变量 的取值范围: _____________.
情景二: 罐头盒等圆柱形的物体常常如下图那样堆放. 随着层数的增加,物体的总数是如何变化的
自变量 的取值范围: __________________.
情景三:一定质量的气体在体积不变时, 假若温度降低到 -273℃,则气体的压强为零. 因此,物理学把 -273 ℃ 作为热力学温度的零度. 热力学温度 与摄氏温度 之间有如下数量关系: .
自变量 的取值范围:__________________.
函数值的概念
对于自变量在可取值范围内的一个确定的值 a ，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于 a 时的函数值。即：如果 y 是 x 的函数，
当 x = a 时，y = b，那么 b 叫作当 x = a 时的函数值。
注意：函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系．而函数值是一个数，它是自变量确定时对应的函数的值。
例3 汽车的油箱中有汽油 ,如果不再加油,那么油箱中的油量 (单位: ) 随行驶里程 (单位: ) 的增加而减少,平均耗油量为 。
(1) 写出表示 与 的函数关系的式子。
(2) 指出自变量 的取值范围;
(3) 汽车行驶 时,油箱中还有多少油？
当堂反馈
1. 下列图象中,表示 是 的函数的是 ( )
2. 若一支铅笔 2 元,小敏用 11 元钱买了 支铅笔,余款为 元,则 与 之间的关系式为 ( )
A. B. C. D.
3. 函数 中,自变量 可取的值是 ( )
A. 5 B. 3 C. 0 D. -5
4. 在一个标准大气压下,能反映水在均匀加热过程中,水的温度(T)随加热时间(t)变化的函数图象大致是 ( )
5. 已知变量 与 的函数关系式是 ,则当时,函数值 .
6. 观察下表, 与 的关系式为_______________.
1 2 3 4 5 ...
2 4 6 8 10 ...
参考答案
情境导入
水面高度和石子数量。石子数量改变使得水面高度改变,而水量固定不变。
探究点一: 函数的概念及表示方法
情景一
t/分 0 1 2 3 4 5 ...
h /米 3 14 36 47 36 14 ...
情景二
层数 1 2 3 4 5 ...
物体总数 1 3 6 10 15 ...
情景三 (1) 解: 当 时, ;
当 时, ；
当 时, ；
当 时, .
(2) 解:能. 因为 时, ,满足条件且 是唯一确定.
共同特点: 都有两个变量, 给定其中某一个变量的值, 相应地就确定了另一个变量的值.
例1 解: ① 当 时, ；当 时, ……，对于 的每一个确定的值, 都有唯一确定的值与它对应,则 是 的函数；同理 ②。
③当 时, . ④当 时, 。 对于 的每一个确定的值, 不唯一,则 不是 的函数。
例2 (1) 2 ， ， R； (2) ；(3) ； (4) .
问题: 情景一 自变量 的取值范围:
情景二：自变量 的取值范围: 取正整数.
情景三: .
例3 (1)解：(1) 函数关系式为： y = 50－0.1x
(2) 由 及 得 ,
自变量的取值范围是 。
(3) 当 时,函数 的值为。
因此,当汽车行驶 时,油箱中还有油 。
当堂反馈
1. B 2. C. 3. A. 4. B
5. . 6. .4.1 函数
1.借助简单实例了解函数的概念，弄清自变量与函数之间的关系，发展学生的数感和量感.
2.通过函数的定义，能判断两个变量是否具有函数关系，形成自己对数学知识的理解，学会发现问题、提出问题.
3.掌握函数的定义，能确定函数中自变量的取值范围并解决相关问题，养成有意识的数据运用和数学语言表达习惯.
重点：掌握函数的概念及表示方法.
难点：会求函数的值，并确定自变量的取值范围.
知识链接
自变量的概念是什么
创设情境——见配套课件
在学习与生活中，经常要研究一些数量关系，先看下面的问题.如图是某地一天内的气温变化图.
从图中我们可以看到，随着时间t（时）的变化，相应地气温T（℃）也随之变化.那么在生活中是否还有其他类似的数量关系呢？
探究点：函数的概念及表示方法
1.由【创设情境】中的问题，课件显示教材P75图4－1及图下表格，要求学生完成表格，让学生观察，分组讨论完成
2.课件显示教材P75“操作·思考”第1题，要求学生完成表格
3.课件显示教材P76“操作·思考”第2题，要求学生直接计算并回答
思考：（1）以上变化过程中有几个变量？
（2）给定其中一个变量的值能否确定另一个变量的值？
（1）2个. （2）能.
总结：（1）函数的概念：在某一变化过程中，有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们就称y是x的函数，其中x是自变量；
（2）函数的表示方法：列表法、关系式法和图象法；
（3）对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的函数值.
下列关系式中哪些是y关于x的函数，哪些不是？
（1）y＝x；（2）y＝x2＋z；（3）y2＝x；（4）y＝±.
【答案见课件】
（1）圆的周长公式C＝2πR中，有 2 个变量，是 C 和 R ；
（2）汽车在公路上匀速行驶，速度为每小时30km，则汽车行驶的路程s（km）与行驶的时间t（h）之间的关系式为 s＝30t ；
（3）圆的面积S与半径R的函数关系式为 S＝πR2 ；
（4）某30层的大厦底层高4m，以上每层高3m，从底层数起，则前n层的高度h（m）与n的函数关系式为 h＝3n＋1 .
【针对训练】
大家知道：“距离地面越远，温度越低”.小明查阅资料得到下面表格中的对应数据：
距离地面高度h/km 0 1 2 3 4 5 …
温度T/℃ 20 14 8 2 －4 －10 …
根据表中数据，请你帮助小明解决下列问题：
（1）根据表格中的数据发现：距离地面高度每升高1km，温度就降低 ℃，进而猜想：温度T与距离地面高度h之间的函数关系式为 .
（2）当h＝10km时，温度T是多少？
（3）当T＝－28℃时，距离地面的高度h是多少？【答案见课件】
1.下列图象中，表示y是x的函数的是（ B ）
2.若一支铅笔2元，小敏用11元钱买了x支铅笔，则余款y与x之间的关系式为（ C ）
A.y＝2x B.y＝2x＋11 C.y＝11－2x D.y＝11x－2
3.在一个标准大气压下，能反映水在均匀加热过程中，水的温度（T）随加热时间（t）变化的函数图象大致是（ B ）
4.已知函数f（x）＝，则f（）＝ .
5.观察下表，y与x的关系式为 y＝2x .
x 1 2 3 4 5 …
y 2 4 6 8 10 …
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
函数
