(共20张PPT)
4.2 认识一次函数
第 1 课时 认识一次函数的现象
1. 从漏水、燃香现象抽象变量关系，通过实验推导公式，建立坐标系分析模型，理解 “均匀变化” 本质，掌握实际问题数学化方法。
2. 整理实验数据并在坐标系中描点，分析数据规律与差异，培养数据处理与逻辑推理能力。
3. 运用数学模型解决漏水量估算、燃香时长预测等问题，体会数学实用价值，增强数学应用意识。
一个滴漏的水龙头一年的漏水量大约有多少？够一个人一年使用吗
先猜一猜，再设计一个方案具体估算一下，并与同伴进行交流。
2020年，我国人均生活用水量：城镇（含公共用水）207L/d，
农村100 L/d。
【操作思考】（1）将水龙头拧到适当位置，造成滴漏现象，在水龙头下方放一个量杯。每隔 1 min，记录一下量杯中的水量，并将数据填入下表。
问题1：在坐标纸上描出（t，V）对应的点。
时间 t/min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
漏水量V/mL ...
探究点： 认识一次函数的现象
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
问题2：漏水量的变化具有什么规律？
这个水龙头一天的漏水量是多少
时间 t/min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
漏水量V/mL ...
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
规律：实验时间每增加1min,漏水量增加5mL。
一天有 24×60 = 1440 min，
据此估计这个水龙头一天的漏水量为
5×1440 = 7200 mL。
探究点： 认识一次函数的现象
问题3：分析实验数据，写出漏水量 V 与时间 t 之间的关系式。
V = 5t
时间 t/min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
漏水量V/mL
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
探究点： 认识一次函数的现象
（2）上表是小明通过实验得到的数据.
思考1：请你根据小明得到的数据，在坐标纸上描出（t，V）对应的点.
时间 t/min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
漏水量V/mL 5.5 11.0 16.5 22.0 27.5 33.0 38.5 44.0 49.5 55.0 ...
探究点： 认识一次函数的现象
思考2：小明实验用的这个水龙头一天的漏水量有多少？一年呢？够一个人一年使用吗
时间 t/min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
漏水量V/mL 5.5 11.0 16.5 22.0 27.5 33.0 38.5 44.0 49.5 55.0 ...
一天漏水量：一天有 24×60 =1440 分钟。
由数据可知每分钟漏水量为 5.5 mL，则一天漏水量为 5.5×1440=7920mL=7.92L。
一年漏水量：一年按 365 天算，
一年漏水量为 7.92×365＝2890.8 L.
2020年，我国人均生活用水量：城镇（含公共用水）207L/d，
农村100 L/d.
不够一个人一年使用.
探究点： 认识一次函数的现象
（3）分析小明的实验数据，你能帮他写出漏水量 V 与时间 t 之间的关系式吗？
（4）你的实验结果与小明的实验结果有何异同？
时间 t/min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
漏水量V/mL 5.5 11.0 16.5 22.0 27.5 33.0 38.5 44.0 49.5 55.0 ...
+5.5
+5.5
+5.5
+5.5
+5.5
+5.5
+5.5
+5.5
+5.5
V = 5.5t
探究点： 认识一次函数的现象
【思考·交流】
分享各组的实验结果，并交流下列问题：
（1）比较各组的实验数据与结果，有什么共同之处，又有什么不同之处？
共同：漏水量随时间增加而“均匀”地增加。
不同：单位时间漏水量不同，函数表达式一次项系数有差异。
探究点： 认识一次函数的现象
(2) 引起各组数据不一致的因素有哪些？这些因素的差别对表格、图象和表达式的影响分别体现在哪些方面？
因素：水龙头阀芯磨损、出水口结构、测量误差。
探究点： 认识一次函数的现象
影响：表格中相同时间漏水量数值不同；
图象倾斜程度和与坐标轴交点有别；
表达式一次项系数和常数项可能改变。
表格：相同时间漏水量数值“均匀”地增大。
图象：更陡。
表达式：一次项系数绝对值增大（初始状态无变化时）。
（3）假如漏水严重一些，表格、图象和表达式可能会发生什么变化？为什么？
探究点： 认识一次函数的现象
【操作思考】为了估计一根驱蚊线香可燃烧的时间，小颖点燃一根香，并每隔 1 min 测量一次香可燃烧部分的长度，数据如下：
（1）根据小颖得到的数据，在平面直角坐标系中描出（t，l）对应的点。
燃烧时间 t/min 1 2 3 4 5 ...
香可燃烧部分的长度l/cm 22.4 21.9 21.4 20.9 20.4 ...
探究点： 认识一次函数的现象
（2）估计燃烧 10 min 后这根香可燃烧部分的长度，并说明理由。
燃烧时间 t/min 1 2 3 4 5 ...
香可燃烧部分的长度l/cm 22.4 21.9 21.4 20.9 20.4 ...
由题意得，香每分钟缩短 0.5 cm，
那么燃烧 10 分钟时，总共减少的长度是0.5×10 = 5 cm。
则燃烧 10 分钟后香可燃烧部分的长度为 22.4 - 5=17.4 cm。
O
1
2
3
4
5
20
20.5
21
21.5
22
22.5
-0.5
-0.5
-0.5
-0.5
探究点： 认识一次函数的现象
（3）估计这根香可燃烧的时间，并说明理由.
（4）试写出这根香可燃烧部分的长度 l 与燃烧时间 t 的关系式.
(3) 香初始长 22.9 cm，燃尽需 45.8 min。
燃烧时间 t/min 1 2 3 4 5 ...
香可燃烧部分的长度l/cm 22.4 21.9 21.4 20.9 20.4 ...
-0.5
-0.5
-0.5
-0.5
(4) l 与 t 的关系式为 l = 22.9 - 0.5t。
探究点： 认识一次函数的现象
问题2：为什么香的燃烧会有这样的“均匀”变化呢
在小颖的实验中，燃烧时间每增加 1 min，香可燃烧部分的长度就减少 0.5 cm.
也就是说，随着时间的增加，香可燃烧部分的长度在“均匀”地减少。
所谓“均匀”变化是指：一个变量增加固定的数值时，另一个变量的改变量是相同的。
问题1：香可燃烧部分的长度是如何变化的？
探究点： 认识一次函数的现象
1. 生活中还有哪些“均匀”变化的现象？试举两例。
答：(1) 烧水升温：恒定功率加热时，水在沸腾前，水温随时间均匀上升。
(2) 汽车匀速行驶：汽车以固定速度在公路上行驶，行驶路程随时间均匀增加。
探究点： 认识一次函数的现象
认识一次函数的现象
实际问题解决
实验与坐标系关联
变量关系分析
实验数据采集
坐标系呈现
数据规律推导
均匀变化理解
数据估算应用
模型应用拓展
1. 我们知道：海拔高度每上升 1 km，温度下降 6 ℃，某时刻，某地地面温度为 10 ℃，设高出地面 x km处的温度为 y ℃，
(1) 随着海拔高度的上升，温度的下降 （填“是”或“不是”）均匀的.
(2)写出 y 与 x 之间的函数关系式；
是
y ＝10－6x
2. 假设圆柱的高是 8 cm，圆柱的底面半径由小到大变化时，圆柱的体积也随之均匀变化，
(1) 在这个变化的过程中，自变量为 .
(2) 如果圆柱底面半径为 r (单位：cm)，那么圆柱的体积 V (单位：cm3) 可以表示为 ；
(3) 当 r 由 1 cm 变化到 6 cm 时，
V 由 cm3 变化到 cm3 .
圆柱的底面半径
V＝8πr2
8π
288π第4章 一次函数
4.2 认识一次函数
第1课时 认识一次函数的现象
【素养目标】
1. 从漏水、燃香现象抽象变量关系，通过实验推导公式， 建立坐标系分析模型， 理解 “均匀变化” 本质， 掌握实际问题数学化方法。
2. 整理实验数据并在坐标系中描点，分析数据规律与差异，培养数据处理与逻辑推理能力。
3. 运用数学模型解决漏水量估算、燃香时长预测等问题，体会数学实用价值，增强数学应用意识。
【情境导入】
一个滴漏的水龙头一年的漏水量大约有多少？ 够一个人一年使用吗？
先猜一猜，再设计一个方案具体估算一下，并与同伴进行交流。
2020年，我国人均生活用水量：城镇(含公共用水) 207 L/d, 农村100 L/d。
【合作探究】
探究点： 认识一次函数的现象
【操作思考】(1)将水龙头拧到适当位置，造成滴漏现象，在水龙头下方放一个量杯。每隔 1 min，记录一下量杯中的水量，并将数据填入下表。
问题1：在坐标纸上描出( , )对应的点。
时间 t / min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
漏水量 ...
问题2: 漏水量的变化具有什么规律？ 这个水龙头一天的漏水量是多少？
问题3：分析实验数据，写出漏水量 与时间 之间的关系式。
(2)下表是小明通过实验得到的数据。
时间 t / min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
漏水量 V / mL 5.5 11.0 16.5 22.0 27.5 33.0 38.5 44.0 49.5 55.0 ...
思考1: 请你根据小明得到的数据， 在坐标纸上描出( t , V )对应的点。
思考2: 小明实验用的这个水龙头一天的漏水量有多少？一年呢？够一个人一年使用吗？
2020年，我国人均生活用水量：城镇(含公共用水)207L/d,22.0 农村100 L/d.
(3) 分析小明的实验数据，你能帮他写出漏水量 与时间 之间的关系式吗？
(4) 你的实验结果与小明的实验结果有何异同？
【思考 交流】
分享各组的实验结果， 并交流下列问题：
(1) 比较各组的实验数据与结果，有什么共同之处， 又有什么不同之处？
(2) 引起各组数据不一致的因素有哪些？这些因素的差别对表格、图像和表达式的影响分别体现在哪些方面？
(3) 假如漏水严重一些，表格、图像和表达式可能会发生什么变化？ 为什么？
【操作思考】为了估计一根驱蚊线香可燃烧的时间， 小颖点燃一根香，并每隔 1 min 测量一次香可燃烧部分的长度， 数据如下：
燃烧时间 1 2 3 4 5 ...
香可燃烧部分的长度 22.4 21.9 21.4 20.9 20.4 ...
(1) 根据小颖得到的数据，在平面直角坐标系中描出(t, l)对应的点。
(2) 估计燃烧 后这根香可燃烧部分的长度，并说明理由。
(3) 估计这根香可燃烧的时间，并说明理由。
(4) 试写出这根香可燃烧部分的长度 与燃烧时间 的关系式。
问题1: 香可燃烧部分的长度是如何变化的？
问题2: 为什么香的燃烧会有这样的“均匀”变化呢？
1. 生活中还有哪些“均匀”变化的现象？ 试举两例。
当堂反馈
1. 我们知道：海拔每上升 ，温度下降 , 某时刻，某地地面温度为 ，设高出地面 处的温度为 ,
(1) 随着海拔的上升，温度的下降_____(填“是”或“不是”)均匀的。
(2) 写出 与 之间的函数关系式；
2. 假设圆柱的高是 ，圆柱的底面半径由小到大变化时，圆柱的体积也随之均匀变化，
(1) 在这个变化的过程中，自变量为________________.
(2) 如果圆柱底面半径为 (单位：cm)，那么圆柱的体积 可以表示为________________；
(3) 当 由 变化到 时， 由 ______ 变化到 .
参考答案
探究点： 认识一次函数的现象
【操作思考】实验数据参考
问题1：描点数据如下。
时间 t/min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
漏水量 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 ...
问题2:
规律：实验时间每增加1min，漏水量增加5mL。
一天有 ,
据此估计这个水龙头一天的漏水量为 。
问题3:
(2) 思考1: 请你根据小明得到的数据， 在坐标纸上描出(t, V)对应的点。
思考2: 一天漏水量：一天有24×60 = 1440分钟。由数据可知每分钟漏水量为 ，则一天漏水量为 。
一年漏水量：一年按 365 天算，一年漏水量为 .
不够一个人一年使用。
(3)
【思考 交流】
(1) 共同：漏水量随时间增加而“均匀”地增加。
不同：单位时间漏水量不同，函数表达式一次项系数有差异。
(2) 因素：水龙头阀芯磨损、出水口结构、测量误差。影响：表格中相同时间漏水量数值不同；图像倾斜程度和与坐标轴交点有别；表达式一次项系数和常数项可能改变。
(3) 表格：相同时间漏水量数值“均匀”地增大。 图像：更陡。 表达式： 一次项系数绝对值增大 (初始状态无变化时)。
【操作思考】(1) 描点所得图像参考配套课件
(2) 由题意得，香每分钟缩短 ，那么燃烧10 分钟时，总共减少的长度是 。则燃烧10分钟后香可燃烧部分的长度为 。
(3) 香初始长 ，燃尽需 。
(4) 与 的关系式为 。
问题1: 在小颖的实验中， 燃烧时间每增加 1 min, 香可燃烧部分的长度就减少 . 也就是说， 随着时间的增加， 香可燃烧部分的长度在“均匀”地减少。
问题2: 所谓“均匀”变化是指：一个变量增加固定的数值时，另一个变量的改变量是相同的。
1. 答：(1) 烧水升温：恒定功率加热时， 水在沸腾前，水温随时间均匀上升。
(2)汽车匀速行驶：汽车以固定速度在公路上行驶，行驶路程随时间均匀增加。
当堂反馈
1. (1) 是。 (2)
2. (1) 圆柱的底面半径。 (2) ； (3) , .4.2 第1课时 认识一次函数
1. 从漏水、燃香现象抽象变量关系，通过实验推导公式， 建立坐标系分析模型， 理解 “均匀变化” 本质， 掌握实际问题数学化方法。
2. 整理实验数据并在坐标系中描点，分析数据规律与差异，培养数据处理与逻辑推理能力。
3. 运用数学模型解决漏水量估算、燃香时长预测等问题，体会数学实用价值，增强数学应用意识。
重点：从漏水、燃香现象抽象变量关系，通过实验推导公式， 建立坐标系分析模型， 理解 “均匀变化” 本质， 掌握实际问题数学化方法。
难点：整理实验数据并在坐标系中描点，分析数据规律与差异，培养数据处理与逻辑推理能力.
知识链接
一个滴漏的水龙头一年的漏水量大约有多少？ 够一个人一年使用吗？
先猜一猜，再设计一个方案具体估算一下，并与同伴进行交流。
2020年，我国人均生活用水量：城镇(含公共用水) 207 L/d, 农村100 L/d。
探究点一：认识一次函数的现象
【操作思考】(1)将水龙头拧到适当位置，造成滴漏现象，在水龙头下方放一个量杯。每隔 1 min，记录一下量杯中的水量，并将数据填入下表。
问题1：在坐标纸上描出( , )对应的点。
时间 t / min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
漏水量 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 ...
问题2: 漏水量的变化具有什么规律？ 这个水龙头一天的漏水量是多少？
答：规律：实验时间每增加1min，漏水量增加5mL。
一天有 ,
据此估计这个水龙头一天的漏水量为 。
问题3：分析实验数据，写出漏水量 与时间 之间的关系式。
答：
下表是小明通过实验得到的数据.
时间 t / min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
漏水量 V / mL 5.5 11.0 16.5 22.0 27.5 33.0 38.5 44.0 49.5 55.0 ...
思考1：请你根据小明得到的数据，在坐标纸上描出（t，V）对应的点.
思考2: 小明实验用的这个水龙头一天的漏水量有多少？一年呢？够一个人一年使用吗？
提示：2020年，我国人均生活用水量：城镇(含公共用水)207L/d,22.0 农村100 L/d.
答：一天漏水量：一天有24×60 = 1440分钟。
由数据可知每分钟漏水量为 ，
则一天漏水量为 。
一年漏水量：一年按 365 天算，一年漏水量为 .
不够一个人一年使用。
分析小明的实验数据，你能帮他写出漏水量 与时间 之间的关系式吗？
(4) 你的实验结果与小明的实验结果有何异同？
【思考 交流】
分享各组的实验结果， 并交流下列问题：
(1) 比较各组的实验数据与结果，有什么共同之处， 又有什么不同之处？
(2) 引起各组数据不一致的因素有哪些？这些因素的差别对表格、图像和表达式的影响分别体现在哪些方面？
(3) 假如漏水严重一些，表格、图像和表达式可能会发生什么变化？ 为什么？
答：(1) 共同：漏水量随时间增加而“均匀”地增加。
不同：单位时间漏水量不同，函数表达式一次项系数有差异。
(2) 因素：水龙头阀芯磨损、出水口结构、测量误差。影响：表格中相同时间漏水量数值不同；图像倾斜程度和与坐标轴交点有别；表达式一次项系数和常数项可能改变。
(3) 表格：相同时间漏水量数值“均匀”地增大。 图像：更陡。 表达式： 一次项系数绝对值增大 (初始状态无变化时)。
【操作思考】为了估计一根驱蚊线香可燃烧的时间， 小颖点燃一根香，并每隔 1 min 测量一次香可燃烧部分的长度， 数据如下：
燃烧时间 1 2 3 4 5 ...
香可燃烧部分的长度 22.4 21.9 21.4 20.9 20.4 ...
(1) 根据小颖得到的数据，在平面直角坐标系中描出(t, l)对应的点。
(2) 估计燃烧 后这根香可燃烧部分的长度，并说明理由。
(3) 估计这根香可燃烧的时间，并说明理由。
(4) 试写出这根香可燃烧部分的长度 与燃烧时间 的关系式。
解：(1) 描点所得图像参考配套课件
(2) 由题意得，香每分钟缩短 ，那么燃烧10 分钟时，总共减少的长度是 。则燃烧10分钟后香可燃烧部分的长度为 。
(3) 香初始长 ，燃尽需 。
(4) 与 的关系式为 。
【合作探究】
问题1: 香可燃烧部分的长度是如何变化的？
问题2: 为什么香的燃烧会有这样的“均匀”变化呢？
问题1: 在小颖的实验中， 燃烧时间每增加 1 min, 香可燃烧部分的长度就减少 . 也就是说， 随着时间的增加， 香可燃烧部分的长度在“均匀”地减少。
问题2: 所谓“均匀”变化是指：一个变量增加固定的数值时，另一个变量的改变量是相同的。
生活中还有哪些“均匀”变化的现象？ 试举两例。
答：(1) 烧水升温：恒定功率加热时， 水在沸腾前，水温随时间均匀上升。
(2)汽车匀速行驶：汽车以固定速度在公路上行驶，行驶路程随时间均匀增加。
1. 我们知道：海拔每上升 ，温度下降 , 某时刻，某地地面温度为 ，设高出地面 处的温度为 ,
(1) 随着海拔的上升，温度的下降__是___(填“是”或“不是”)均匀的。
(2) 写出 与 之间的函数关系式；
(2)
2. 假设圆柱的高是 ，圆柱的底面半径由小到大变化时，圆柱的体积也随之均匀变化，
(1) 在这个变化的过程中，自变量为____圆柱的底面半径___.
(2) 如果圆柱底面半径为 (单位：cm)，那么圆柱的体积 可以表示为___ _____；
(3) 当 由 变化到 时， 由 _ __ 变化
到 .
