广东省佛山市季华中学(原三水区实验中学)2024-2025学年高二上学期第一次综合测试数学试题
一、单选题（每小题8分，共40分）
1．（2024高二上·佛山月考）设，，是空间一个基底，下列选项中错误的是（ ）
A．若，，则
B．则，，两两共面，但，，不可能共面
C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使
D．则，，一定能构成空间的一个基底
2．（2024高二上·佛山月考）气象台预报“本市未来三天降雨的概率都为30%”，现采用随机模拟的方法估计未来三天降雨的情况：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3表示降雨，4，5，6，7，8，9，0表示不降雨；再以每三个随机数为一组，代表三天降雨的结果.经随机模拟产生了20组随机数：
907 966 191 925 271 932 815 458 569 683
431 257 393 027 556 481 730 113 537 989
据此估计，未来三天恰有一天降雨的概率为（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
3．（2024高二上·佛山月考）长郡中学高三学生小明利用暑假期间进行体育锻炼.一次他骑ofo共享单车时，骑的同一辆车第二次开锁（密码为四位数字）时忘记了密码的中间两位，只记得第二位数字是偶数，第三位数字非零且是3的倍数，则小明该输入一次密码能够成功开锁的概率是
A． B． C． D．
4．（2024高二上·佛山月考）如图所示，在平行六面体中，点满足，若，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．（2024高二上·佛山月考）已知向量，，则（ ）
A．50 B．14 C． D．
6．（2024高二上·佛山月考）下列说法正确的是（ ）
A．若直线l1与l2倾斜角相等，则l1∥l2
B．若直线l1⊥l2，则k1k2＝－1
C．若直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于y轴
D．若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行
7．（2024高二上·佛山月考）在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，则
A．0 B． C．2 D．
8．（2024高二上·佛山月考）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（ ）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大
D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
二、多选题（每小题6分，共18分）
9．（2024高二上·佛山月考）袋子中共有大小和质地相同的4个球，其中2个白球和2个黑球，从袋中有放回地依次随机摸出2个球．甲表示事件“第一次摸到白球”，乙表示事件“第二次摸到黑球”，丙表示事件“两次都摸到白球”，则（ ）
A．甲与乙互斥 B．乙与丙互斥 C．甲与乙独立 D．甲与乙对立
10．（2024高二上·佛山月考）设A，B是两个随机事件，已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024高二上·佛山月考）已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．为钝角三角形
B．在上的投影向量为
C．点到直线的距离为
D．的面积为
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．（2024高二上·佛山月考）直线的倾斜角是直线：的倾斜角的，则直线的斜率为 .
13．（2024高二上·佛山月考）已知向量 ， ，并且 共线且方向相同，则 .
14．（2024高二上·佛山月考）如图，在直四棱柱中，底面是边长为1的菱形，高为2，，则点到截面的距离为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（2024高二上·佛山月考）某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三问题分别得100分、100分、200分，答错得零分，假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响.
（1）求这名同学得200分的概率；
（2）求这名同学至少得300分的概率.
16．（2024高二上·佛山月考）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且．
（1）用向量表示向量；
（2）求证：共面；
（3）当为何值时，．
17．（2024高二上·佛山月考）某中学为了组建一支业余足球队，在高一年级随机选取50名男生测量身高，发现被测男生的身高全部在到之间，将测量结果按如下方式分成六组：第1组，第2组，…，第6组，如图是按上述分组得到的频率分布直方图，以频率近似概率.
（1）若学校要从中选1名男生担任足球队长，求被选取的男生恰好在第5组或第6组的概率；
（2）试估计该校高一年级全体男生身高的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）与中位数；
（3）现在从第5与第6组男生中选取两名同学担任守门员，求选取的两人中最多有1名男生来自第5组的概率.
18．（2024高二上·佛山月考）如图，在四棱锥中，底面为矩形且，侧面底面，且侧面是正三角形，、分别是，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的余弦值.
19．（2024高二上·佛山月考）已知正四棱柱中，，.
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求二面角的余弦值；
（3）在线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】空间向量基本定理；共面向量定理
【解析】【解答】解：，，是空间一个基底，
A、若，，则与不一定垂直，故A错误；
B、，，两两共面，但，，不可能共面，故B正确；
C、对空间任一向量，总存在有序实数组，使，故C正确；
D、假设，，共面，
则存在唯一的实数使，
则，方程组无解，则，，不共面，
即，，能构成空间的一个基底，故D正确.
故答案为：A.
【分析】利用基底的性质，结合共面向量定理判断即可.
2．【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式；用频率估计概率；随机数法
【解析】【解答】解：由20组随机数可知：未来三天恰有一天降雨的有：925，815，683，257，027，481，730，537共8个，则未来三天恰有一天降雨的概率为.
故答案为：C．
【分析】从20组随机数中找到未来三天恰有一天降雨的随机数，利用古典概型概率公式求解即可.
3．【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题意可知：第二位数字可能是 ；
第三位数字可能是 ，
则小明该输入一次密码能够成功开锁的概率是 .
故答案为：A.
【分析】利用古典概型概率公式求解即可.
4．【答案】A
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：
，因为，且不共面，
所以，.
故答案为：A.
【分析】以为基向量表示，结合已知条件求解即可.
5．【答案】C
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】解：易知，则.
故答案为：C
【分析】利用空间向量坐标运算求得，再根据空间向量模的坐标表示求解即可.
6．【答案】D
【知识点】两条直线平行的判定；两条直线垂直的判定
【解析】【解答】解：A、若直线与倾斜角相等，则直线平行或重合，故A错误；
B、 若直线，则斜率之积为-1，或 一条直线没斜率、一条直线的斜率为零，故B错误；
C、 若直线的斜率不存在，则这条直线平行于y轴 或与y轴重合，故C错误；
D、两条直线的斜率不相等，则两直线不平行，故D正确.
故答案为：D.
【分析】直线与倾斜角相等，则直线平行或重合即可判断A；直线垂直有特殊情况一条直线没斜率、一条直线的斜率为零即可判断B；若直线的斜率不存在，则这条直线平行于y轴 或与y轴重合即可判断C.
7．【答案】B
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：如图所示：
正四面体的棱长为2，
因为分别是的中点，所以，，
则
.
故答案为：B．
【分析】画出图形，由题意可得，，再利用向量的数量积运算法则求解即可．
8．【答案】D
【知识点】概率的应用
【解析】【解答】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，
记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为，
则此时连胜两盘的概率为
则
；
记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为，
则
记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为
则
则
即，，
则该棋手在第二盘与丙比赛，最大.D判断正确；BC判断错误；
与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.A判断错误.
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式、对立事件求概率公式和互斥事件求概率公式，再结合比较法得出该棋手在第二盘与丙比赛，p最大．
9．【答案】B,C
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件
【解析】【解答】首先抽取方法是有放回，每次摸出1个球，共抽取2次.
基本事件为：白白，白黑，黑白，黑黑，共4种情况.
事件甲和事件乙可能同时发生：白黑，所以甲与乙不是互斥事件，A不符合题意.
事件乙和事件丙不可能同时发生，所以乙与丙互斥，B符合题意.
事件甲和事件乙是否发生没有关系，用 表示事件甲，用 表示事件乙， ，则 ，所以甲与乙独立，C符合题意.
由于事件甲和事件乙是否发生没有关系，所以不是对立事件.
故答案为：BC
【分析】利用已知条件结合互斥事件、对立事件的定义，从而找出正确的选项。
10．【答案】A,B,D
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：因为，，
所以，则，故C错误；
，故A正确；
，故B正确；
，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据事件的运算关系以及对立事件的概率逐项判断即可.
11．【答案】A,B,C
【知识点】点、线、面间的距离计算；空间向量的投影向量；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：易知，
A、，即是钝角，则为钝角三角形，
故A正确；
B、在上的投影向量，故B正确；
C、点到直线的距离，故C正确；
D、的面积，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】易知，利用空间向量的数量积求得即可判断A；根据投影向量公式计算即可判断B；利用点到线的距离公式计算即可判断C；利用三角形面积公式结合向量的模求解即可判断D.
12．【答案】
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】解：易知直线：的倾斜角为，
则直线的倾斜角为，斜率为.
故答案为：.
【分析】先确定直线的倾斜角，得到直线的倾斜角，根据倾斜角和斜率的关系即可求直线的斜率.
13．【答案】4
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】根据空间向量共线基本定理，可设
由向量的坐标运算可得
解方程可得
所以 .
故答案为：
【分析】根据空间向量共线基本定理，可设 .由坐标运算求得 的值，进而求得 .即可求得 的值.
14．【答案】
【知识点】锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由题意可知：是正三角形，且，
在直四棱柱中，，，
则等腰底边上的高，
，
设点到截面的距离为，
由，得，
即，解得，
所以点到截面的距离为.
故答案为：.
【分析】根据给定条件，结合等体积法求出点到截面的距离.
15．【答案】（1）解：设答对第一问为事件A，答对第二问为事件B，答对第三问为事件C，
由题意可得：，
则这名同学得200分的概率为：
；
（2）解：这名同学至少得300分的概率为：
.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）设答对第一问为事件A，答对第二问为事件B，答对第三问为事件C，根据独立事件概率乘法公式计算即可；
（2）根据独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率加法公式计算即可.
（1）设答对第一问为事件A，答对第二问为事件B，答对第三问为事件C.
则.
则这名同学得200分的概率为：
.
（2）这名同学至少得300分的概率为：
.
16．【答案】（1）解：；
（2）证明：，，
则，即共面；
（3）当，，
证明：设，
底面为菱形，当时，，
，，
，
则，即．
【知识点】空间向量基本定理；共面向量定理；向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【分析】（1）以 为基向量，根据空间向量线性运算法则表示即可；
（2）根据空间向量线性运算法则得到，即可证明共面；
（3）设，由底面为菱形，可得当时，，以 为基向量表示，根据向量数量积为零即可证明.
（1）．
（2）证明：，，
，共面．
（3）当，，
证明：设，
底面为菱形，则当时，，
，，
，
，
．
17．【答案】解：（1）由题意可知：被选取的男生恰好在第5组或第6组的概率；
（2）全体男生身高的平均数为： ，
设全体男生身高的中位数为，因为第1组对应的频率为0.20，第2组对应的频率为0.28，
所以，则，解得；
（3）第5组有人，记为，，，，同理第6组有2人记为，，
基本事件包括：、、、、、、、、、、、、
、、，共15种，
选取的两人中最多有1名男生来自第5组的有、、、、、、、、共9种，则所求概率为.
【知识点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）由频率分布直方图求被选取的男生恰好在第5组或第6组的概率即可；
（2）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值；直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数即可；
（3）利用列举法，从第5与第6组男生中选取两名同学担任守门员共有15种情况，其中选取的两人中最多有1名男生来自第5组的情况有9种，由古典概型概率公式求解即可.
18．【答案】（1）证明：取中点，连接、，如图所示：
因为是中点，是中点，所以，，
又因为底面为矩形，是中点，所以，，所以，，
则四边形是平行四边形，，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）解：因为侧面是正三角形，是中点，
所以，因为侧面底面，侧面底面，平面，
所以底面，取中点，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
，，，，，
设平面法向量，则，取，，得，
则平面法向量，，
设直线与平面所成角为，则，
，因为，所以，
则直线与平面所成角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）取中点，连接、，证明，，证明平面；
（2）由题意，利用线面垂直的判定定理证明底面，取中点，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
（1）取中点，连接、，
因为是中点，是中点，
所以，，
因为底面为矩形，是中点，
所以，，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以，因为平面，平面，
所以平面；
（2）因为侧面是正三角形，是中点，
所以，因为侧面底面，侧面底面，
平面，
所以底面，取中点，以为坐标原点建立空间直角坐标系，
所以，，，，，
设平面法向量，
所以，
所以，取得，
所以平面法向量，
，设直线与平面所成角为，
所以，
所以，
因为，所以，
所以直线与平面所成角的余弦值为.
19．【答案】（1）解：以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
由，则，
，
因为，所以，
则异面直线与所成角的余弦值为0；
（2）解：由（1）知，，
设平面的法向量为，则，令，得，
设平面的法向量为，则，
令，得，
则，
又因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为；
（3）解：假设存在，设，则，
因为，所以，
设平面的法向量，则，令，得，
由（2）知平面的法向量为，由平面平面，得，
即，解得，则，，
所以在线段上是否存在点，使得平面平面，.
【知识点】用空间向量研究平面与平面的位置关系；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）以为原点，建立空间直角坐标系，求出的坐标，利用线线角的向量求法求解即可；
（2）求出平面和的法向量，根据面面角的向量求法求解即可；
（3）假设存在，设，求出平面的法向量，由法向量垂直求出，即可求解.
（1）正四棱柱中，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
由，得，
，，则，
所以异面直线与所成角的余弦值为0.
（2）由（1）知，，
设平面的法向量为，则，令，得，
设平面的法向量为，则，令，得，
则，又二面角为钝角，
所以二面角的余弦值为.
（3）假设存在，设，则，
又，则，
设平面的法向量，则，令，得，
由（2）知平面的法向量为，由平面平面，得，
即，解得，则，，
所以在线段上是否存在点，使得平面平面，.
1 / 1广东省佛山市季华中学(原三水区实验中学)2024-2025学年高二上学期第一次综合测试数学试题
一、单选题（每小题8分，共40分）
1．（2024高二上·佛山月考）设，，是空间一个基底，下列选项中错误的是（ ）
A．若，，则
B．则，，两两共面，但，，不可能共面
C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使
D．则，，一定能构成空间的一个基底
【答案】A
【知识点】空间向量基本定理；共面向量定理
【解析】【解答】解：，，是空间一个基底，
A、若，，则与不一定垂直，故A错误；
B、，，两两共面，但，，不可能共面，故B正确；
C、对空间任一向量，总存在有序实数组，使，故C正确；
D、假设，，共面，
则存在唯一的实数使，
则，方程组无解，则，，不共面，
即，，能构成空间的一个基底，故D正确.
故答案为：A.
【分析】利用基底的性质，结合共面向量定理判断即可.
2．（2024高二上·佛山月考）气象台预报“本市未来三天降雨的概率都为30%”，现采用随机模拟的方法估计未来三天降雨的情况：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3表示降雨，4，5，6，7，8，9，0表示不降雨；再以每三个随机数为一组，代表三天降雨的结果.经随机模拟产生了20组随机数：
907 966 191 925 271 932 815 458 569 683
431 257 393 027 556 481 730 113 537 989
据此估计，未来三天恰有一天降雨的概率为（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式；用频率估计概率；随机数法
【解析】【解答】解：由20组随机数可知：未来三天恰有一天降雨的有：925，815，683，257，027，481，730，537共8个，则未来三天恰有一天降雨的概率为.
故答案为：C．
【分析】从20组随机数中找到未来三天恰有一天降雨的随机数，利用古典概型概率公式求解即可.
3．（2024高二上·佛山月考）长郡中学高三学生小明利用暑假期间进行体育锻炼.一次他骑ofo共享单车时，骑的同一辆车第二次开锁（密码为四位数字）时忘记了密码的中间两位，只记得第二位数字是偶数，第三位数字非零且是3的倍数，则小明该输入一次密码能够成功开锁的概率是
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题意可知：第二位数字可能是 ；
第三位数字可能是 ，
则小明该输入一次密码能够成功开锁的概率是 .
故答案为：A.
【分析】利用古典概型概率公式求解即可.
4．（2024高二上·佛山月考）如图所示，在平行六面体中，点满足，若，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：
，因为，且不共面，
所以，.
故答案为：A.
【分析】以为基向量表示，结合已知条件求解即可.
5．（2024高二上·佛山月考）已知向量，，则（ ）
A．50 B．14 C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】解：易知，则.
故答案为：C
【分析】利用空间向量坐标运算求得，再根据空间向量模的坐标表示求解即可.
6．（2024高二上·佛山月考）下列说法正确的是（ ）
A．若直线l1与l2倾斜角相等，则l1∥l2
B．若直线l1⊥l2，则k1k2＝－1
C．若直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于y轴
D．若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行
【答案】D
【知识点】两条直线平行的判定；两条直线垂直的判定
【解析】【解答】解：A、若直线与倾斜角相等，则直线平行或重合，故A错误；
B、 若直线，则斜率之积为-1，或 一条直线没斜率、一条直线的斜率为零，故B错误；
C、 若直线的斜率不存在，则这条直线平行于y轴 或与y轴重合，故C错误；
D、两条直线的斜率不相等，则两直线不平行，故D正确.
故答案为：D.
【分析】直线与倾斜角相等，则直线平行或重合即可判断A；直线垂直有特殊情况一条直线没斜率、一条直线的斜率为零即可判断B；若直线的斜率不存在，则这条直线平行于y轴 或与y轴重合即可判断C.
7．（2024高二上·佛山月考）在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，则
A．0 B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：如图所示：
正四面体的棱长为2，
因为分别是的中点，所以，，
则
.
故答案为：B．
【分析】画出图形，由题意可得，，再利用向量的数量积运算法则求解即可．
8．（2024高二上·佛山月考）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（ ）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大
D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
【答案】D
【知识点】概率的应用
【解析】【解答】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，
记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为，
则此时连胜两盘的概率为
则
；
记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为，
则
记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为
则
则
即，，
则该棋手在第二盘与丙比赛，最大.D判断正确；BC判断错误；
与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.A判断错误.
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式、对立事件求概率公式和互斥事件求概率公式，再结合比较法得出该棋手在第二盘与丙比赛，p最大．
二、多选题（每小题6分，共18分）
9．（2024高二上·佛山月考）袋子中共有大小和质地相同的4个球，其中2个白球和2个黑球，从袋中有放回地依次随机摸出2个球．甲表示事件“第一次摸到白球”，乙表示事件“第二次摸到黑球”，丙表示事件“两次都摸到白球”，则（ ）
A．甲与乙互斥 B．乙与丙互斥 C．甲与乙独立 D．甲与乙对立
【答案】B,C
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件
【解析】【解答】首先抽取方法是有放回，每次摸出1个球，共抽取2次.
基本事件为：白白，白黑，黑白，黑黑，共4种情况.
事件甲和事件乙可能同时发生：白黑，所以甲与乙不是互斥事件，A不符合题意.
事件乙和事件丙不可能同时发生，所以乙与丙互斥，B符合题意.
事件甲和事件乙是否发生没有关系，用 表示事件甲，用 表示事件乙， ，则 ，所以甲与乙独立，C符合题意.
由于事件甲和事件乙是否发生没有关系，所以不是对立事件.
故答案为：BC
【分析】利用已知条件结合互斥事件、对立事件的定义，从而找出正确的选项。
10．（2024高二上·佛山月考）设A，B是两个随机事件，已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：因为，，
所以，则，故C错误；
，故A正确；
，故B正确；
，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据事件的运算关系以及对立事件的概率逐项判断即可.
11．（2024高二上·佛山月考）已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．为钝角三角形
B．在上的投影向量为
C．点到直线的距离为
D．的面积为
【答案】A,B,C
【知识点】点、线、面间的距离计算；空间向量的投影向量；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：易知，
A、，即是钝角，则为钝角三角形，
故A正确；
B、在上的投影向量，故B正确；
C、点到直线的距离，故C正确；
D、的面积，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】易知，利用空间向量的数量积求得即可判断A；根据投影向量公式计算即可判断B；利用点到线的距离公式计算即可判断C；利用三角形面积公式结合向量的模求解即可判断D.
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．（2024高二上·佛山月考）直线的倾斜角是直线：的倾斜角的，则直线的斜率为 .
【答案】
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】解：易知直线：的倾斜角为，
则直线的倾斜角为，斜率为.
故答案为：.
【分析】先确定直线的倾斜角，得到直线的倾斜角，根据倾斜角和斜率的关系即可求直线的斜率.
13．（2024高二上·佛山月考）已知向量 ， ，并且 共线且方向相同，则 .
【答案】4
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】根据空间向量共线基本定理，可设
由向量的坐标运算可得
解方程可得
所以 .
故答案为：
【分析】根据空间向量共线基本定理，可设 .由坐标运算求得 的值，进而求得 .即可求得 的值.
14．（2024高二上·佛山月考）如图，在直四棱柱中，底面是边长为1的菱形，高为2，，则点到截面的距离为 ．
【答案】
【知识点】锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由题意可知：是正三角形，且，
在直四棱柱中，，，
则等腰底边上的高，
，
设点到截面的距离为，
由，得，
即，解得，
所以点到截面的距离为.
故答案为：.
【分析】根据给定条件，结合等体积法求出点到截面的距离.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（2024高二上·佛山月考）某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三问题分别得100分、100分、200分，答错得零分，假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响.
（1）求这名同学得200分的概率；
（2）求这名同学至少得300分的概率.
【答案】（1）解：设答对第一问为事件A，答对第二问为事件B，答对第三问为事件C，
由题意可得：，
则这名同学得200分的概率为：
；
（2）解：这名同学至少得300分的概率为：
.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）设答对第一问为事件A，答对第二问为事件B，答对第三问为事件C，根据独立事件概率乘法公式计算即可；
（2）根据独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率加法公式计算即可.
（1）设答对第一问为事件A，答对第二问为事件B，答对第三问为事件C.
则.
则这名同学得200分的概率为：
.
（2）这名同学至少得300分的概率为：
.
16．（2024高二上·佛山月考）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且．
（1）用向量表示向量；
（2）求证：共面；
（3）当为何值时，．
【答案】（1）解：；
（2）证明：，，
则，即共面；
（3）当，，
证明：设，
底面为菱形，当时，，
，，
，
则，即．
【知识点】空间向量基本定理；共面向量定理；向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【分析】（1）以 为基向量，根据空间向量线性运算法则表示即可；
（2）根据空间向量线性运算法则得到，即可证明共面；
（3）设，由底面为菱形，可得当时，，以 为基向量表示，根据向量数量积为零即可证明.
（1）．
（2）证明：，，
，共面．
（3）当，，
证明：设，
底面为菱形，则当时，，
，，
，
，
．
17．（2024高二上·佛山月考）某中学为了组建一支业余足球队，在高一年级随机选取50名男生测量身高，发现被测男生的身高全部在到之间，将测量结果按如下方式分成六组：第1组，第2组，…，第6组，如图是按上述分组得到的频率分布直方图，以频率近似概率.
（1）若学校要从中选1名男生担任足球队长，求被选取的男生恰好在第5组或第6组的概率；
（2）试估计该校高一年级全体男生身高的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）与中位数；
（3）现在从第5与第6组男生中选取两名同学担任守门员，求选取的两人中最多有1名男生来自第5组的概率.
【答案】解：（1）由题意可知：被选取的男生恰好在第5组或第6组的概率；
（2）全体男生身高的平均数为： ，
设全体男生身高的中位数为，因为第1组对应的频率为0.20，第2组对应的频率为0.28，
所以，则，解得；
（3）第5组有人，记为，，，，同理第6组有2人记为，，
基本事件包括：、、、、、、、、、、、、
、、，共15种，
选取的两人中最多有1名男生来自第5组的有、、、、、、、、共9种，则所求概率为.
【知识点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）由频率分布直方图求被选取的男生恰好在第5组或第6组的概率即可；
（2）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值；直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数即可；
（3）利用列举法，从第5与第6组男生中选取两名同学担任守门员共有15种情况，其中选取的两人中最多有1名男生来自第5组的情况有9种，由古典概型概率公式求解即可.
18．（2024高二上·佛山月考）如图，在四棱锥中，底面为矩形且，侧面底面，且侧面是正三角形，、分别是，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的余弦值.
【答案】（1）证明：取中点，连接、，如图所示：
因为是中点，是中点，所以，，
又因为底面为矩形，是中点，所以，，所以，，
则四边形是平行四边形，，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）解：因为侧面是正三角形，是中点，
所以，因为侧面底面，侧面底面，平面，
所以底面，取中点，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
，，，，，
设平面法向量，则，取，，得，
则平面法向量，，
设直线与平面所成角为，则，
，因为，所以，
则直线与平面所成角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）取中点，连接、，证明，，证明平面；
（2）由题意，利用线面垂直的判定定理证明底面，取中点，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
（1）取中点，连接、，
因为是中点，是中点，
所以，，
因为底面为矩形，是中点，
所以，，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以，因为平面，平面，
所以平面；
（2）因为侧面是正三角形，是中点，
所以，因为侧面底面，侧面底面，
平面，
所以底面，取中点，以为坐标原点建立空间直角坐标系，
所以，，，，，
设平面法向量，
所以，
所以，取得，
所以平面法向量，
，设直线与平面所成角为，
所以，
所以，
因为，所以，
所以直线与平面所成角的余弦值为.
19．（2024高二上·佛山月考）已知正四棱柱中，，.
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求二面角的余弦值；
（3）在线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
由，则，
，
因为，所以，
则异面直线与所成角的余弦值为0；
（2）解：由（1）知，，
设平面的法向量为，则，令，得，
设平面的法向量为，则，
令，得，
则，
又因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为；
（3）解：假设存在，设，则，
因为，所以，
设平面的法向量，则，令，得，
由（2）知平面的法向量为，由平面平面，得，
即，解得，则，，
所以在线段上是否存在点，使得平面平面，.
【知识点】用空间向量研究平面与平面的位置关系；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）以为原点，建立空间直角坐标系，求出的坐标，利用线线角的向量求法求解即可；
（2）求出平面和的法向量，根据面面角的向量求法求解即可；
（3）假设存在，设，求出平面的法向量，由法向量垂直求出，即可求解.
（1）正四棱柱中，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
由，得，
，，则，
所以异面直线与所成角的余弦值为0.
（2）由（1）知，，
设平面的法向量为，则，令，得，
设平面的法向量为，则，令，得，
则，又二面角为钝角，
所以二面角的余弦值为.
（3）假设存在，设，则，
又，则，
设平面的法向量，则，令，得，
由（2）知平面的法向量为，由平面平面，得，
即，解得，则，，
所以在线段上是否存在点，使得平面平面，.
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