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4.3 一次函数的图象
第1课时 正比例函数的图象和性质
1.通过观察正比例函数图象，研究正比例函数的共同特征抽象出正比例函数的基本模型，归纳得出正比例函数的概念和性质，体会数形结合思想，提高学生分析函数图象信息能力.（重点、难点）
2.通过运用正比例函数解决实际问题和数学问题，提高数据意识和决策能力，养成用数学语言表达交流的习惯.
2.函数有哪些表示方法
图象法、列表法、关系式法
是一次函数的是 ，是正比例函数的是 .
(2)，(4)
(2)
三种方法可以相互转化
它们之间有什么关系
； ； ； .
1. 在下列函数中：
3. 什么是函数的图象
(2) y = 2x
(1) y = x2 - 3
把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫作该函数的图象。
(摩天轮上一点的高度 h 与
旋转时间 t 之间的函数图象)
4.你能根据函数表达式画出图象吗
问题：请画出正比例函数 y = 2x.
追问1：这个函数的自变量取值范围是什么
任意实数
追问2：怎样获得组成图象的点
先确定点的坐标
探究点一： 正比例函数图象
追问3：怎样确定满足函数关系的点的坐标
取一些自变量的值，计算出相应的函数值.
计算并填写下表：
···
···
x
···
-2
-1
0
1
2
···
y
-4
-2
0
2
4
列表
描点
以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点.
连线
把这些点依次连接起来，得到 y = 2x 的图象，它是一条直线.
y = 2x
探究点一： 正比例函数图象
思考：① 满足关系式 y = 2x 的 x，y 所对应的点(x，y)都在正比例函数 y = 2x 的图象上吗？
② 正比例函数 y = 2x 的图象上的点 (x，y) 都满足关系式 y = 2x 吗？
都满足. 因为每个点都代表 x 的值与 y 的值的一种对应.
例如：点 (2，4) 表示当 x = 2 时，y = 4.
y = 2x
探究点一： 正比例函数图象
画函数图象的一般步骤：
①列表
②描点
③连线
根据这个步骤画出函数 y = -3x 的图象
【归纳总结】
探究点一： 正比例函数图象
(1) 画出正比例函数 y＝﹣3x 的图象.
x … -2 -1 0 1 2 …
y
0
-3
-6
6
3
···
···
(2) 在所画的图象上任意取几个点，找出它们的横坐标和纵坐标，并验证它们是否满足关系式 y＝﹣3x.
满足
【做一做】
y
1
2
-1
1
4
3
O
3
2
x
-2
-3
-1
-2
-3
y =﹣3x
探究点一： 正比例函数图象
观察比较，两个函数的图象有什么相同点，有什么不同点？
【合作探究】
y
1
2
-1
1
4
3
O
3
2
x
-2
-3
-1
-2
-3
y＝﹣3x
y = 2x
① y =2x 经过一、三象限，
② y =﹣3x 经过二、四象限.
①函数图象都经过原点 (0，0)
②函数图象都是一条直线.
不同点
相同点
探究点一： 正比例函数图象
知道了正比例函数图象的特点，画正比例函数的图象时，怎样画最简单 为什么
两点确定一条直线
正比例函数 y＝kx (k≠0) 的图象是一条经过原点 (0，0) 的直线，只要再确定一个点即可确定函数图象，即过这点与原点的直线就是该函数图象.
两点作图法
探究点一： 正比例函数图象
y
1
2
-1
1
4
3
O
3
2
x
-2
-3
-1
-2
-3
例1 用你认为最简单的方法画出函数 y = -2x 的图象：
x 0 1
y = -2x
0
解：列表如下：
函数 y = -2x 的图象如图：
-2
y = -2x
探究点一： 正比例函数图象
画一画：在同一直角坐标系内画出正比例函数 y = x，y = 3x，y = - x 和 y = -4x 的图象.
k 值与图象所在象限有何关系？
探究点二： 正比例函数性质
y = kx (k 是常数，k ≠ 0)的图象是一条经过原点的直线 y = kx (k ≠ 0) 经过的象限
k＞0 第一、三象限
k＜0 第二、四象限
另外：函数 y = kx 的图象我们也称作直线 y = kx.
【要点归纳】
探究点二： 正比例函数性质
上述四个函数中，随着 x 值的增大，y 的值分别如何变化
观察图象可以发现： 直线 y = x，y = 3x 往右逐渐 ，
即 y 的值随 x 的增大而增大；
直线 y = - x，y = -4x 往右逐渐 ，即 y 的值随 x 的增大而减小.
上升
下降
探究点二： 正比例函数性质
在正比例函数 y = kx 中：
当 k > 0 时，y 的值随着 x 值的增大而增大；
当 k < 0 时，y 的值随着 x 值的增大而减小.
【要点归纳】
(1) 正比例函数 y = x 和 y = 3x 中，随着 x 值的增大 y 的值都增大了，其中哪一个增加得更快？你能说明其中的道理吗？
【想一想】
y
1
2
-1
1
4
3
O
3
2
x
-2
-3
-1
-2
-3
y = x
y = 3x
观察函数图象，可以看到对于任意一个 x 值， y = 3x 的函数值都是 y = x 的 3 倍，并且随着 x 的增加，y = 3x 的函数值增长速度更快.
(2) 正比例函数 y = x 和 y = -4x 中，随着 x 值的增大 y 的值都减小了，其中哪一个减小得更快？你是如何判断的？
y
1
2
-1
1
4
3
O
3
2
x
-2
-3
-1
-2
-3
观察函数图象，可以看到对于任意一个 x 值， y = -4x 的函数值都是 y = x 的 8 倍，并且随着 x 的增加，y = -4x 的函数值减小速度更快.
【归纳总结】
当 _____ 越大时，直线越陡，图象越靠近 y 轴，相应的函数值上升或下降得越快.
| k |
例2 若正比例函数 y = (1 - 2m)x 的图象经过点
A(x1，y1) 和点 B(x2，y2)，当 x1＜x2 时，y1＞y2，则 m 的取值范围是 .
分析：因为当 x1＜x2 时，y1＞y2，
所以 y 的值随着 x 值的增大而减小，
所以 1 - 2m＜0.
所以
练一练 1.已知正比例函数 y = -kx 的图象经过一、三象限，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P(x3，y3) 三点在函数
y = (k - 2)x 的图象上，且 x1＞x2＞x2，则 y1，y2，y3 的大小关系为( )
A. y1＞y3＞y2 B. y1＞y2＞y3
C. y1＜y3＜y2 D. y3＞y2＞y1
C
正比例函数的图象和性质
图象：经过原点的直线.
当 k＞0 时，经过第______象限；当 k＜0 时，经过第______象限
性质：
当 k＞0 时，y 的值随 x 值的增大而_____；
当 k＜0 时，y 的值随 x 值的增大而_____
一、三
二、四
增大
减小
1. 正比例函数y＝－x的图象大致是( B )
B
2. P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是正比例函数y＝－x图象
上的两点，则下列判断正确的是( B )
A. y1＞y2 B. 当x1＜x2时，y1＞y2
C. y1＜y2 D. 当x1＜x2时，y1＜y2
B
3. 关于函数y＝2x，下列结论中正确的是( C )
A. 函数图象经过点(2，1)
B. 函数图象经过第二、四象限
C. y随x的增大而增大
D. 不论x取何值，总有y＞0
C
4. 正比例函数y＝kx的图象如图所示，
则k的值为 。
5. 已知正比例函数y＝(m＋2)x.求：
(1)当m为何值时，函数图象经过第一、三象限；
解：(1)由题可知m＋2＞0，解得m＞－2.
(2)当m为何值时，y随x的增大而减小；
解：(2)由题可知m＋2＜0，解得m＜－2.
(3)当m为何值时，点(1，3)在该函数的图象上.
解：(3)∵点(1，3)在直线y＝(m＋2)x上，
∴m＋2＝3.解得m＝1.
解：(1)由题可知m＋2＞0，解得m＞－2.
解：(2)由题可知m＋2＜0，解得m＜－2.
解：(3)∵点(1，3)在直线y＝(m＋2)x上，
∴m＋2＝3.解得m＝1.第4章 一次函数
4.3 一次函数的图象
第1课时 正比例函数的图象和性质
【素养目标】
1. 通过观察正比例函数图象,研究正比例函数的共同特征抽象出正比例函数的基本模型,归纳得出正比例函数的概念和性质,体会数形结合思想,提高学生分析函数图象信息能力. (重点、难点)
2. 通过运用正比例函数解决实际问题和数学问题,增强数据意识和决策能力,养成用数学语言表达交流的习惯.
【复习导入】
1. 在下列函数中:
(1) .
是一次函数的是________,是正比例函数的是________.
2. 函数有哪些表示方法 它们之间有什么关系
3. 把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标, 在直角坐标系内描出相应的点, 所有这些点组成的图形叫作该函数的图象。
例如右图：摩天轮上一点的高度 与 旋转时间 之间的函数图象.
4. 思考一下如何根据函数表达式画出图象吗？
【合作探究】
探究点一: 正比例函数图象
问题: 请画出正比例函数 .
追问1: 这个函数的自变量取值范围是什么
追问2: 怎样获得组成图象的点
追问3: 怎样确定满足函数关系的点的坐标
1.计算并填写下表：
x ··· - - ···
y ··· ···
2.描点 以表中各组对应值作为点的坐标, 在直角坐标系内描出相应的点.
3.连线 把这些点依次连接起来,得到 的图象, 它是一条直线.
思考: ① 满足关系式 的 所对应的点 ( x, y ) 都在正比例函数
的图象上吗
② 正比例函数 的图象上的点(x, y)都满足关系式 吗
【归纳总结】 画函数图象的一般步骤:
①列表 ②描点 ③连线
【做一做】
(1) 画出正比例函数 的图象.
... - - ...
... ...
(2) 在所画的图象上任意取几个点, 找出它们的横坐标和纵坐标, 并验证它们是否满足关系式 .
【合作探究】
观察比较, 两个函数的图象有什么相同点,有什么不同点
【归纳总结】
两点作图法：
正比例函数 的图象是一条经过原点 ( 0,0 ) 的直线,只要再确定一个点即可确定函数图象即过这点与原点的直线就是该函数图象.
例1 用你认为最简单的方法画出函数 的图象.
探究点二: 正比例函数性质
画一画: 在同一直角坐标系内画出正比例函数 , 和
的图象.
思考：k 值与图象所在象限有何关系？
【要点归纳】
的图象是一条经过原点的直线
经过的象限
第一、三象限
第二、四象限
另外: 函数 的图象我们也称作直线 .
上述四个函数中,随着 值的增大, 的值分别如何变化？
观察图象可以发现:
①直线 往右逐渐______, 即 的值随 的增大而增大;
②直线 往右逐渐_______ , 即 的值随 的增大而减小.
【要点归纳】
在正比例函数 中:
当 时, 的值随着 值的增大而增大;
当 时, 的值随着 值的增大而减小.
【想一想】
(1) 正比例函数 和 中,随着 值的增大 的值都增大了,
其中哪一个增加得更快 你能说明其中的道理吗
(2) 正比例函数 和 .中,随着 值的增大 的值都减小,
其中哪一个减小得更快？你是如何判断的
【归纳总结】
当 越大时,直线越陡,图象越靠近 轴, 相应的函数值上升或下降得越快.
例2 若正比例函数 的图象经过点 和点 ,当 时, , 则 的取值范围是______ .
练一练1.已知正比例函数 的图象经过一、三象限,
三点在函数 的图象上,且 ,则 的大小关系为 ( )
A. B .
C. D .
当堂反馈
1. 正比例函数 的图象大致是( )
2. 是正比例函数 图象上的两点, 则下列判断正确的是 ( )
A. B. 当 时,
C. D. 当 时,
3. 关于函数 ,下列结论中正确的是( )
A. 函数图象经过点( 2 , 1 ) B. 函数图象经过第二、四象限
C. 随 的增大而增大 D. 不论 取何值,总有
4. 正比例函数 的图象如图所示,则 的值为________。
5. 已知正比例函数 . 求:
(1) 当 为何值时,函数图象经过第一、三象限；
(2) 当 为何值时, 随 的增大而减小；
参考答案
复习导入
1. 一次函数的是 ,正比例函数 (2).
2. 图象法、列表法、关系式法三种方法可以相互转化
探究点一: 正比例函数图象
追问1: 任意实数. 追问2: 先确定点的坐标.
追问3: 取一些自变量的值, 计算出相应的函数值.
【合作探究】
不同点 ① = 经过一、三象限，② =﹣ 经过二、四象限.
相同点 ① 函数图象都经过原点 ( 0，0). ② 函数图象都是一条直线.
例1 解: 列表如下:
0 1
0 -2
连线如右图：
探究点二: 正比例函数性质
画一画: 作图如下
① 上升 ; ② 下降.
【想一想】
(1) 观察函数图象, 可以看到对于任意一个 值, 的函数值都是 的3倍,并且随着 的增加, 的函数值增长速度更快.
(2) 观察函数图象, 可以看到对于任意一个 值, 的函数值都是
的3倍,并且随着 的增加, 的函数值减小速度更快.
例2 因为当 时, ,所以 的值随着 值的增大而减小,
所以 .所以 .
练一练 . C .
当堂反馈
1. B 2. B 3. C 4. .
5. 解: (1) 由题可知 , 解得 .
(2) 由题可知 , 解得 .
(3) 点( 1,3 )在直线 上, . 解得 .4.3 一次函数的图象
第1课时 正比例函数的图象和性质
1.通过观察正比例函数的图象，研究正比例函数的共同特征抽象出正比例函数的基本模型，归纳得出正比例函数的概念和性质，体会数形结合思想，提高学生分析函数图象信息能力.
2.通过运用正比例函数解决实际问题和数学问题，提高数据意识和决策能力，养成学生用数学语言表达交流的习惯.
重点：认识正比例函数的意义，掌握正比例函数解析式的特点，并会作图.
难点：理解和掌握正比例函数的图象和性质，能利用所学知识解决相关实际问题.
知识链接
1.下列函数：①y＝x2－3；②y＝2x；③y＝；④y＝2－5x.
其中是一次函数的是 ②④ ，是正比例函数的是 ② .
2.函数有哪些表示方法？它们之间有什么关系？
解：图象法、列表法、关系式法.三种方法可以相互转化.
3.什么是函数的图象？你能将函数关系式转化为函数图象吗？
创设情境——见配套课件
一天，小明以80m/min的速度去学校，请问小明离家的距离s（m）与小明出发的时间t（min）之间的函数关系式是怎样的？它是一次函数吗？它是正比例函数吗？图中的图象能表示上面问题中的s与t的关系吗？
探究点一：函数图象的概念
你能根据上面的图象描述出函数图象的概念吗？
总结：把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，所有这些点组成的图形叫作该函数的图象.
探究点二：正比例函数的图象
（教材P89操作·思考）你准备用什么方法画出正比例函数y＝2x的图象？
尝试：（1）画出正比例函数y＝2x的图象.
（2）在所画的图象上任意取几个点，找出它们的横坐标和纵坐标，并验证他们是否都满足关系式y＝2x.
思考：①满足关系式y＝2x的x，y所对应的点（x，y）都在正比例函数y＝2x的图象上吗？
②正比例函数y＝2x的图象上的点（x，y）都满足关系式y＝2x吗？
③正比例函数y＝kx的图象有何特点？你是怎样理解的？
总结：正比例函数y＝kx的图象是一条经过原点（0，0）的直线.因此，画正比例函数图象时，只需要再确定一个点，过这点和原点画直线就可以了.
画出函数y＝－2x的图象.
要点归纳：根据关系式画函数图象的一般步骤：列表→建系→描点→连线.
【针对训练】作出正比例函数y＝－3x的图象.
解：列表：
x … －2 －1 0 1 2 …
y＝－3x … 6 3 0 －3 －6 …
描点、连线，如图所示.
探究点二：正比例函数的性质
在同一直角坐标系内画出正比例函数y＝x，y＝3x，y＝－x和y＝－4x的图象.（课件展示）
思考：上述四个函数中，随着x值的增大，y的值分别如何变化？
总结：在正比例函数y＝kx中，当k＞0时，y的值随着x值的增大而增大；当k＜0时，y的值随着x值的增大而减小.
已知正比例函数y＝（k＋2）x（其中k为常数，且k≠－2），如果y的值随x的值增大而增大，那么下列k的值中，不可能的是（ A ）
A.－3 B.－1 C.0 D.2
【针对练习】
已知正比例函数y＝－kx的图象经过第一、三象限，P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3）三点在函数y＝（k－2）x的图象上，且x1＞x3＞x2，则y1，y2，y3的大小关系为（ C ）
A.y1＞y3＞y2 B.y1＞y2＞y3
C.y1＜y3＜y2 D.y3＞y2＞y1
1.正比例函数y＝－x的图象大致是（ B ）
2.P1（x1，y1），P2（x2，y2）是正比例函数y＝－x图象上的两点，则下列判断正确的是（ B ）
A.y1＞y2 B.当x1＜x2时，y1＞y2
C.y1＜y2 D.当x1＜x2时，y1＜y2
3.关于函数y＝2x，下列结论中正确的是（ C ）
A.函数图象经过点（2，1） B.函数图象经过第二、四象限
C.y随x的增大而增大 D.不论x取何值，总有y＞0
4.已知函数y＝（m＋1）是正比例函数，且y随x的增大而减小，则m＝ －2 .
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
正比例函数
