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第2课时 一次函数的图象和性质
4.3 一次函数的图象
1. 通过类比正比例函数的有关性质，概括一次函数的性质，发展数学感知、类比归纳和数学概括能力。(重点)
2.会用两点法画出正比例函数和一次函数的图象，并能结合图象说出正比例函数和一次函数的性质，发展数形结合的思想。(难点)
3. 能运用性质、图象及数形结合思想解决相关函数问题，培养运算能力和数据整理、应用的能力。
函数 解析式
正比例函数 y = kx (k 是常数，k ≠ 0)
一次函数 y = kx + b ( k，b 是常
数，k ≠ 0)
从解析式上看，正比例函数与一次函数相差什么 如果体现在图象和性质上，正比例函数与一次函数又会有怎样的关系呢
正比例函数
解析式 y = kx (k ≠ 0)
性质：k＞0，y 随 x 的增大而增大；k＜0，y 随 x 的增大而减小．
一次函数
解析式 y = kx + b (k ≠ 0)
针对函数 y = kx + b，要研究什么？怎样研究？
x
y
O
k＞0
k＜0
x
y
O
？
？
图象：经过原点和
(1，k)的一条直线
画出函数 y = 2x + 1 与 y = 2x 的图象，并比较两个函数的相同点与不同点.
(1) 画一次函数 y = 2x + 1 的图象；
y = 2x + 1
y = 2x
2
-2
-4
-6
-2
2
x
y
O
4
x … 0 1 …
y … 1 3 …
描点
连线
列表
(2) 画正比例函数 y = 2x 的图象。
探究点一： 一次函数图象
比较上面两个函数的图象回答下列问题：
(2) 函数 y = 2x 的图象经过 ，
函数 y = 2x + 1 的图象与 y 轴交于点( )。
(1)这两个函数的图象形状都是 ，并且倾斜程度 ；
原点
0 ，1
一条直线
相同
【观察与思考】
y = 2x + 1
y = 2x
2
-2
-4
-6
-2
2
x
y
O
4
探究点一： 一次函数图象
一次函数 y＝kx＋b 的图象有何特点？
一次函数 y = kx＋b (k ≠ 0) 的图象是一条直线，我们称它为直线 y = kx＋b (k ≠ 0)。
【总结归纳】
探究点一： 一次函数图象
思考：怎么画一次函数的图象更简便呢
对于一次函数 y = kx + b (k ≠ 0)来说，必定与 x 轴和 y 轴形成交点，所以一般采用：一次函数图象与坐标轴的交点。
(0，b)
( ，0)
令 x = 0，则得 y = b，图象与 y 轴交于(0，b)；
令 y = 0 时，则得 x = 图象与 x 轴交于( ，0)。
探究点一： 一次函数图象
例1 用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：
(1) y = -2x - 1；(2) y = 0.5x + 1.
x 0 1
y = -2x - 1
y = 0.5x + 1
-1
-3
1
1.5
也可以先画直线 y = -2x 与 y = 0.5x，再分别平移它们，也能得到直线
y = -2x - 1与 y = 0.5x + 1.
y = -2x-1
y = 0.5x+1
探究点一： 一次函数图象
y=3x＋1
y=4x－3
y=﹣x＋1
探究：在同一直角坐标系内分别画出一次函数 y＝3x＋1，y＝﹣x＋1，y＝3x﹣2 和
y＝4x﹣3 的图象.
y=3x－2
【尝试·思考】
探究点二： 一次函数的性质
探究：(1) 哪个函数 у 的值随着 x 值的增大而增大？哪个函数 у 的值随着 x 值的增大而减小？
探究点二： 一次函数的性质
y＝3x＋1，y＝3x﹣2，
y＝4x﹣3
у 随着 x 值的增大而增大.
y＝﹣x＋1
у 随着 x 值的增大而减小.
y=3x＋1
y=4x－3
y=﹣x＋1
y=3x－2
k＞0 时，直线从左向右上升，y 随 x 的增大而增大；
k＜0 时，直线从左向右下降，y 随 x 的增大而减小。
探究点二： 一次函数的性质
【归纳总结】
y=3x＋1
y=4x－3
y=﹣x＋1
y=3x－2
例2 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是一次函数 y = - 0.5x + 3 图象上的两点，下列判断中，正确的是( )
A. y1＞y2 C. 当 x1＜x2 时，y1＜y2
B. y1＜y2 D. 当 x1＜x2 时，y1＞y2
D
解析：根据一次函数的性质： 当 k＜0 时，y 随 x的增大而减小，所以 D 为正确答案．
提示：反过来也成立：y 越大，x 就越小．
探究点二： 一次函数的性质
探究：(2) 随着 x 值的增大，у 的值增大速度最快的函数是哪个
【总结】
当 | k | 越大时，直线越陡，图象越靠近 y 轴，相应的函数值上升或下降得越快。
y=3x＋1
y=4x－3
y=﹣x＋1
y=3x－2
y=4x－3
探究点二： 一次函数的性质
探究：(3) 哪两个函数的图象相互平行？
y = 3x＋1 与 y = 3x－2
平行。
你能通过适当的移动将直线 y＝3x 变为直线 y = 3x＋1
和直线 y = 3x－2 吗？
y=3x＋1
y=4x－3
y=﹣x＋1
y=3x－2
探究点二： 一次函数的性质
比较函数 y = 3x＋1 与 y＝3x 的解析式.
x -2 -1 0 1 2
y = 3x +1 -5 -2 1 4 7
y = 3x -6 -3 0 3 6
+1
+1
反映在图象上：不论横坐标是几，这两个函数图象的纵坐标总差同一个值 3，即一个函数的图象总比另一个函数图象高出同一高度.
+1
+1
+1
2
-2
-4
-6
-2
2
x
y
O
4
y=3x
y=3x＋1
即直线 y＝3x 向上平移 1 个单位长度就得到 y＝3x＋1 的图象，
因此，直线 y＝3x＋1 与直线 y＝3x
倾斜程度相同，平行.
探究点二： 一次函数的性质
2
-2
-4
-6
-2
2
x
y
O
4
y=3x
y=3x＋1
直线 y＝3x
直线 y = 3x＋1
向上平移1个单位长度
直线 y = 3x－2
向下平移
2个单位长度
同样可以画出函数 y = 3x－2 的图象
y=3x-2
你能通过适当的移动将直线 y = 3x＋1变为直线 y = 3x－2 吗？
向下平移
3个单位长度
探究点二： 一次函数的性质
你知道直线 y = kx＋b (k ≠ 0) 与 y = kx (k ≠ 0) 有什么关系
直线 y = kx y = kx＋b
(注：b＞0 时，向上平移；b＜0 时，向下平移)
向上(或下)平移
|b| 个单位长度
【归纳总结】
探究点二： 一次函数的性质
练一练 1. (1) 将直线 y ＝ 2x 向上平移 2 个单位后所得图象对应的函数表达式为( )
A．y＝2x－1 B．y＝2x－2
C．y＝2x＋1 D．y＝2x＋2
(2) 将正比例函数 y＝－6x 的图象向上平移，则平移后所得图象对应的函数表达式可能是 _____________
(写出一个即可)．
D
y＝－6x＋3
探究点二： 一次函数的性质
探究：(4) 图象与 y 轴相交于同一点的函数有哪些
b 值都是 1，都与 y 轴交于一点(0，1).
y=3x＋1
y=4x－3
y=﹣x＋1
y=3x－2
y=－x＋1与 y=3x＋1
探究点二： 一次函数的性质
思考：根据一次函数的图象判断 k，b 的正负，并说出直线经过的象限：
k 0，b 0
＞
＞
k 0，b 0
k 0，b 0
＞
＞
＜
=
k 0，b 0
k 0，b 0
k 0，b 0
＞
＜
＜
＜
＜
=
y
x
o
y
x
o
y
x
o
y
x
o
y
x
o
y
x
o
探究点二： 一次函数的性质
一次函数 y = kx＋b 中，k，b 的正负对函数图象及性质有什么影响？
当 k＞0 时，直线 y = kx＋b 由左到右逐渐上升，y 随 x 的增大而增大.
① b＞0 时，直线经过第一、二、三象限；
② b＜0 时，直线经过第一、三、四象限.
当 k＜0 时，直线 y = kx＋b 由左到右逐渐下降，y 随 x 的增大而减小.
① b＞0 时，直线经过第 一、二、四象限；
② b＜0 时，直线经过第二、三、四象限.
探究点二： 一次函数的性质
例3 已知一次函数 y = (1 - 2m)x + m - 1，求满足下列条件的 m 的值：
（1）函数值 y 随 x 的增大而增大；
（2）函数图象与 y 轴的负半轴相交；
（3）函数的图象过第二、三、四象限.
解：(1)由题意得 1 - 2m＞0，解得
(2)由题意得 1 - 2m≠0 且 m - 1＜0，即 m＜1且m≠
(3)由题意得 1 - 2m ＜ 0 且 m - 1 ＜ 0，解得
探究点二： 一次函数的性质
一次函数的图象和性质
当 k ＞ 0 时，y 的值随 x 值的增大而增大；
当 k ＜ 0 时，y 的值随 x 值的增大而减小.
与 y 轴的交点是（0，b），
与 x 轴的交点是（ ，0）；
当 k ＞ 0， b ＞ 0 时，经过一、二、三象限；
当 k ＞ 0 ，b ＜ 0 时，经过一、三、四象限；
当 k ＜ 0 ，b ＞ 0 时，经过一、二、四象限；
当 k ＜ 0 ，b ＜ 0 时，经过二、三、四象限.
图象
性质
1. 若k≠0，b＞0，则一次函数y＝kx＋b的图象可
能是( C )
C
2. 一次函数y＝－7x＋5的图象不经过( C )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知点A(－5，y1)和点B(－3，y2)都在直线
y＝－3x－6上，则y1 y2.(填“＞”或“＜”)
4. 将一次函数y＝4x＋2的图象向下平移3个单位，
所得的直线经过第 象限.
C
＞
一、三、四
(1)求A，B两点的坐标；
解：(1)当y＝0时，2x＋3＝0，
3＝0，解得x＝－ ，
则点A的坐标为(－ ，0).
当x＝0时，y＝3，则点B的坐标为(0，3).
解：(1)当y＝0时，2x＋
解得x＝－ ，
则点A的坐标为(－ ，0).
当x＝0时，y＝3，则点B的坐标为(0，3).
5. 如图，直线y＝2x＋3与x轴交于点A，与y轴交
于点B.
(2)过点B作直线BP与x轴的正半轴交于点P，且使
AP＝2OA，求△BOP的面积.
解：(2)∵点A的坐标为(－ ，0)，
点B的坐标为(0，3)，
∴OA＝ ，OB＝3.
∵AP＝2OA，
∴OA＝OP＝ .
∴S△BOP＝ × ×3＝ .第4章 一次函数
4.3 一次函数的图象
第2课时 一次函数的图象和性质
【素养目标】
1. 通过类比正比例函数的有关性质,概括一次函数的性质, 发展数学感知、类比归纳和数学概括能力。(重点)
2. 会用两点法画出正比例函数和一次函数的图象,并能结合图象说出正比例函数和一次函数的性质,发展数形结合的思想。(难点)
3. 能运用性质、图象及数形结合思想解决相关函数问题,培养运算能力和数据整理、应用的能力。
【复习导入】
从解析式上看,正比例函数与一次函数相差什么 如果体现在图象和性质上, 正比例函数与一次函数又会有怎样的关系呢
函数 解析式
正比例函数
一次函数
回顾一下正比例函数的相关知识：
解析式：
图象：
性质：
针对函数 y = k x + b，要研究什么？怎样研究？
【合作探究】
探究点一、一次函数图象
画出函数 与 的图象,并比较两个函数的相同点与不同点.
(1) 画一次函数 的图象；
... ...
... ...
(2) 画正比例函数 的图象。
【观察与思考】
比较上面两个函数的图象回答下列问题:
(1) 这两个函数的图象形状都是__________,并且倾斜程度_______；
(2) 函数 的图象经过______, 函数 的图象与 轴交于点 ________。
【总结归纳】
一次函数 的图象是一条直线, 我们称它为直线 。
思考:怎么画一次函数的图象更简便呢？
对于一次函数 来说,必定与 轴和 轴形成交点,所以一般采用:一次函数图象与坐标轴的交点。
令 ,则得 ,图象
与 轴交于 ( 0 , b ) ;
令 时,则得 ,
图象与 轴交于 。
例1 用你认为最简单的方法画出下列函数的图象:
(1) (2) .
探究点二: 一次函数的性质
【尝试 思考】
探究: 在同一直角坐标系内分别画出一次函数 ,
和 的图象.
探究: (1) 哪个函数 的值随着 值的增大而增大 哪个函数 的值随着 值的增大而减小
【归纳总结】
时,直线从左向右上升 , 随 的增大而增大;
时,直线从左向右下降 , 随 的增大而减小。
例2 是一次函数 图象上的两点, 下列判断中, 正确的是 ( )
A. C. 当 时,
B. D. 当 时,
探究:(2) 随着 值的增大, 的值增大速度最快的函数是哪个？
【总结】
当 越大时,直线越陡, 图象越靠近 轴,相应的函数值上升或下降得越快。
探究: (3) 哪两个函数的图象相互平行？
比较函数 与 的解析式.
x -2 -1 0 1 2
y=3x+1
y=3x
同样的方法可以画出函数 的图象
你能通过适当的移动将直线 变为直线和直线 吗
通过上面移动函数图象的过程，你知道直线 y = k x＋b (k≠0) 与 y = k x (k≠0) 之间的关系吗
【归纳总结】
直线y = k xy = k x＋b
(向上或下平移|b|个单位长度) (注: 时,向上平移； 时,向下平移)
练一练 1. (1) 将直线 向上平移 2 个单位后所得图象对应的函数表达式为 ( )
A. B.
C. D.
(2) 将正比例函数 的图象向上平移,则平移后所得图象对应的函数表达式可能是 _____________ (写出一个即可).
探究: (4) 图象与 轴相交于同一点的函数有哪些
思考: 根据一次函数的图象判断 的正负, 并说出直线经过的象限:
一次函数 中, 的正负对函数图象及性质有什么影响
当 时,直线 由左到右逐渐上升, 随 的增大而增大.
① 时,直线经过第 _______________ 象限；
② 时,直线经过第 _______________ 象限.
当 时,直线 由左到右逐渐下降, 随 的增大而减小.
① 时,直线经过第 _______________ 象限；
② 时,直线经过第 _______________ 象限.
例3 已知一次函数 ,求满足下列条件的 的值:
(1) 函数值 随 的增大而增大；
(2) 函数图象与 轴的负半轴相交；
(3) 函数的图象过第二、三、四象限.
当堂反馈
1. 若 ,则一次函数 的图象可能是 ( )
2. 一次函数 的图象不经过 ( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知点和点 都在直线 上,则 . (填 “>” 或 “<” )
4. 将一次函数的图象向下平移3个单位, 所得的直线经过第_____________ 象限.
5. 如图,直线 与 轴交于点 ,与 轴交于点 .
(1) 求 , 两点的坐标；
(2) 过点 作直线 与 轴的正半轴交于点 ,且使 ,求 的面积.
参考答案
复习导入
解析式 y = k x (k ≠ 0)
图象：经过原点和(1，k)的一条直线，k＞0时，图象过一、三象限；k＜0时，图象过二、四象限.
性质：k＞0，y 随 x 的增大而增大；k＜0，y 随 x 的增大而减小．
探究点一:一次函数图象
【观察与思考】
(1) 一条直线 , 相同； (2) 原点 , ( 0 , 1 )。
例1 用你认为最简单的方法画出下列函数的图象:
(1) (2) .
0 1
-1 -3
1 1.5
也可以先画直线 与 ,再分别平移它们, 也能得到直线
探究点二、一次函数的性质
【尝试 思考】
探究: (1) 随着 值的增大而增大.
随着 值的增大而减小.
例 D. 解析: 根据一次函数的性质: 当 时, 随 的增大而减小,所以 D 为正确答案.提示: 反过来也成立: 越大, 就越小.
探究: (2)
探究: (3)
练一练 1. (1) D. (2) (答案不唯一，写出一个即可).
探究: (4) 与 值都是 1,都与 轴交于一点(0,1).
思考: 根据一次函数的图象判断 的正负, 并说出直线经过的象限:
k＞0，b＞0，直线过一、二、三象限，k＞0，b=0，直线过一、三象限，
k＞0，b＜0，直线过一、三、四象限，k＜0，b＞0，直线过一、二、四象限，
k＜0，b=0，直线过二、四象限，k＜0，b＜0，直线过二、三、四象限，
例3 解: (1)由题意得 ,解得 .
(2) 由题意得 且 ,即 且
(3) 由题意得 且 ,解得 .
当堂反馈
1. C 2. C. 3. > 4. 一、三、四 .
5. 解: (1) 当 时, ,解得 ,
则点 的坐标为 .当 时, ,则点 的坐标为(0,3).
(2) 点 的坐标为 ,点 的坐标为(0,3),
. , . .4.3 一次函数的图象
第2课时 一次函数的图象和性质
1.通过类比正比例函数的有关性质，概括一次函数的性质，发展数学感知、类比归纳和数学概括能力.
2.会用两点法画出正比例函数和一次函数的图象，并能结合图象说出正比例函数和一次函数的性质，发展数形结合的思想.
3.能运用性质、图象及数形结合思想解决相关函数问题，培养运算能力和数据整理、应用的能力.
重点：了解并掌握一次函数的图象和性质.
难点：能灵活运用一次函数的图象和性质解决有关问题.
知识链接
1.画函数图象有几个主要步骤？
列表、描点、连线.
2.上节课中我们探究得到正比例函数y＝kx的图象有什么特征？
是一条过原点的直线.
3.画正比例函数的图象需要描出几个点？一次函数呢？
创设情境——见配套课件
在同一直角坐标系内作出下列一次函数的图象：y＝x＋2；y＝x；y＝x－2.观察图象你能得出什么结论？
探究点一：一次函数的图象
画出一次函数y＝x＋1的图象，并根据图象回答下列问题：
（1）当x＝3时，y＝ ；当y＝－时，x＝ －5 ；
（2）图象与x轴的交点坐标是 （－2，0） ，与y轴的交点坐标是 （0，1） ；
（3）当y＞0时，x ＞－2 .
尝试：（1）画出一次函数y＝－2x＋5的图象；
（2）在所画的图象上取几个点，找出它们的横坐标和纵坐标，并验证它们是否满足关系式y＝－2x＋5；
（3）判定点A（3，－1），B（4，－3）是否在函数y＝－2x＋5的图象上.
思考：（1）满足关系式y＝－2x＋5的x，y所对应的点（x，y）都在一次函数y＝－2x＋5的图象上吗？
（2）一次函数y＝－2x＋5的图象上的点（x，y）都满足关系式y＝－2x＋5吗？
（3）一次函数y＝kx＋b的图象有什么特点？
总结：一次函数y＝kx＋b的图象是一条直线，因此画一次函数图象时，只要确定两个点，再过这两个点画直线就可以了.一次函数y＝kx＋b的图象也称为直线y＝kx＋b.
一次函数y＝x－1的图象经过的象限是（ D ）
A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第二、三、四象限 D.第一、三、四象限
【针对训练】
两个一次函数y1＝ax＋b与y2＝bx＋a，它们在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ C ）
探究点二：一次函数的性质
如图，在同一平面直角坐标系内已画出一次函数y＝2x＋6，y＝－x，y＝－x＋6，y＝5x的图象，观察下列图象.
思考：（1）上述四个函数中，随着x的值的增大，y值如何变化？相应图形上点的变化趋势如何？
（2）直线y＝－x，y＝－x＋6的位置如何？你能通过适当的移动，将直线y＝－x变为直线y＝－x＋6吗？一般地，直线y＝k x＋b与
y＝k x又有怎样的位置关系呢？
（3）直线y＝2x＋6与直线y＝－x＋6的图象有什么共同特点？一般地，你能从y＝kx＋b的图象上直接看出b的数值吗？
总结：（1）一次函数图象的特点：在一次函数y＝k x＋b中，当k＞0时，直线必过第一、三象限，且y随x的增大而增大，当b＞0时，直线过第一、二、三象限，当b＜0时，直线过第一、三、四象限；当k＜0时，直线必过第二、四象限，且y随x的增大而减小，当b＞0时，直线过第一、二、四象限，当b＜0时，直线过第二、三、四象限；
（2）若两个一次函数的k相等，b不相等，则这两个一次函数的图象平行；
（3）当两个一次函数的k不相等，b相等时，这两个函数的图象交于y轴上一点（0，b）.
下列一次函数中，y随x值的增大而减小的是（ B ）
A.y＝2x－1 B.y＝3－4x C.y＝x＋2 D.y＝（－2）x
【针对训练】
已知点A（1，m），B（1.5，n）在一次函数y＝3x＋1的图象上，则m与n的大小关系是（ C ）
A.m＞n B.m＝n C.m＜n D.无法确定
1.若k≠0，b＞0，则一次函数y＝kx＋b的图象可能是（ C ）
2.一次函数y＝－7x＋5的图象不经过（ C ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知点A（－5，y1）和点B（－3，y2）都在直线y＝－3x－6上，则y1 ＞ y2（填“＞”或“＜”）.
4.将一次函数y＝4x＋2的图象向下平移3个单位，所得的直线经过第 一、三、四 象限.
5.如图，直线y＝2x＋3与x轴交于点A，与y轴交于点B.
（1）求A，B两点的坐标；
（2）过点B作直线BP与x轴的正半轴交于点P，且使AP＝2OA，求△BOP的面积.
解：（1）当y＝0时，2x＋3＝0，解得x＝－.则点A的坐标为（－，0）.当x＝0时，y＝3，则点B的坐标为（0，3）.
（2）因为点A的坐标为（－，0），点B的坐标为（0，3），所以OA＝，OB＝3.因为AP＝2OA，所以OA＝OP＝.所以S△BOP＝××3＝.
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
一次函数的图象与性质
