第二章 实数小结与复习 课件(共30张PPT) 2025-2026学年度北师版数学八年级上册

(共30张PPT)
小结与复习
第二章 实数
平方根与立方根
二次根式
实数
平方根
算术平方根
定义：最简二次根式
性质：积（商）的算术平方根
运算：加、减、乘、除、乘方
立方根
概念与性质
定义
分类
一、无理数
1. 无限不循环小数称为无理数.
如 π = 3.14159265…，
0.585 885 888 588 885…
(相邻两个 5 之间 8 的个数逐次加 1)
想一想：你能找到其他的无理数吗？
二、平方根与立方根
2. 算术平方根的意义：
算术平方根具有双重非负性.
非负数
≥0
（a≥0）
1. 正数 a 的正的平方根，叫作这个正数的算术平方根.
0 的算术平方根是 0 ，即
①若 ，则 x 叫 a 的平方根，即 .
②当 ，则 x 叫 a 的立方根.
即：
3. 平方根的定义：
开平方的定义
类比
开立方的定义
平方根的性质
立方根的性质
求一个数 a 的立方根的运算，叫作开立方，其中 a 叫作被开方数.
如：求 8 的立方根.
一个正数有两个平方根；0 只有一个平方根，它是 0 本身；负数没有平方根.
正数的立方根是正数；
负数的立方根是负数；
0 的立方根是 0.
求一个数 a 的平方根的运算，叫作开平方，其中 a叫作被开方数.
如：求 9 的平方根.
无理数：
无限不循环小数
有理数：
有限小数或无限循环小数
实 数
分数
整数
①按定义分类
正整数
零
负整数
正分数
负分数
正无理数
负无理数
三、实数的相关概念
1. 实数分类：
负实数
正实数
数实
正有理数
负有理数
② 按符号分类
0
正无理数
负无理数
概念复习
2. 数轴
① 实数和数轴上的点是一一对应的.
② 在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大.
3. 相反数、倒数
a 与 -a 相反数的两数和为 0 (a与b互为相反数 a+b = 0)
b 与 互为倒数的两数积为 1 (a 与 b 互为倒数 ab = 1)
4. 绝对值（到原点的距离）
|a|=
a (a > 0)
0 (a = 0)
-a (a < 0)
|a| 为非负数，即 |a|≥0
② 非负式的常见形式有：|a|； a2； ；
5. 实数的大小比较
① 利用数轴（右边的数总比左边大）；
② 作差与 0 比；
③ 作商与 1 比（分母的符号已知）.
①
概念复习
四、二次根式
1、定义：
形如　　　　　的式子叫作二次根式，
2、性质：
⑴ 积的算术平方根，
等于算术平方根的积.
⑵ 商的算术平方根，
等于算术平方根的商.
其中 a 叫作被开方数.
概念复习
3、最简二次根式 ：
满足以下三个条件的二次根式叫最简二次根式：
⑴被开方数不能含有开得尽方的因数或因式；
⑵被开方数不能含有分母；
⑶分母不能含有根号.
注意：
二次根式的化简与运算，最后结果应化成最简二次根式.
概念复习
4、二次根式的运算：
(1) 二次根式的加减：
类似合并同类项；
(2) 二次根式的乘法：
(3) 二次根式的除法：
(4) 二次根式的平方：
例1 下面四个数中，属于无理数的是 ( )
A. 0 B. π C. D. -3.14
B
考点一 无理数的概念
中无理数的个数是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
A
1. 下列各数
2. 一个长方形的长与宽分别是 6、3，它的对角线的长是( )
A. 整数
D. 无理数
C. 有理数
B. 分数
D
【变式训练1】
例2 有一个数值转换器，原理如下：
当输入的 x 为 81 时， 输出的 y 是 ( )
A. 9 B. C. 3 D.
D
考点二 平方根与立方根
例3 下列说法正确的是 ( )
A. (-3)2 的平方根是 3 B. = ±4
C. 4 的算术平方根是 2 D. 9 的平方根是 3
C
3. 下列语句中正确的是（ ）
A.
-9 的平方根是 -3
B.
9 的平方根是 3
C.
9 的算术平方根是±3
D. 9 的算术平方根是 3
D
【变式训练2】
4. 下列运算中，正确的是（ ）
A
考点二 平方根与立方根
6. 下列等式正确的是（ ）
【变式训练3】
例4 下列结果为 -1 的是 ( )
A. B. C. D.
例5 若 ，则 a = 。
C
a = (-2)3 = -8
-8
考点二 平方根与立方根
D
例6 与 最接近的整数是 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
分析：32＜15＜42，
且 15 更接近 16，
C
例7 已知 的整数部分为 a，则 2a - 1 = .
分析：∵ 22＜5＜32，
∴ 的整数部分 a 为 2.
∴ 2a - 1 = 3.
3
考点二 平方根与立方根
8. 估计 的值在 ( )
A. 5 到 6 之间 B. 6 到 7 之间
C. 7 到 8 之间 D. 8 到 9 之间
C
9. 已知 a 的立方根是 2，b 是 的整数部分，
则 a + b 的算术平方根是 .
分析： a = 23 = 8
32＜12＜42
→ b = 3
a + b = 11
考点讲练
【变式训练4】
考点二 平方根与立方根
考点三 实数
1.实数的概念与分类
例7 将下列各数填入相应的集合中：
无理数集合：{ …}；
分数集合：{ …}；
正数集合：{ …}；
负整数集合：{ …}。
2.实数的性质
例7 有下列语句：
① 带根号的数都是无理数；
② 任何实数的绝对值都是非负数；
③ 所有有理数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示有理数；
④ 若两个非负数的和为零，则这两个数都为零.
其中，错误的是 .
①③
考点三 实数
3.实数的性质与大小比较
例8 实数 a，b，c，d 在数轴上的对应点如图所示，则
将它们用“ < ”连接是 .
c d 0 b a
其中：
c < d < b < a
a + b
-d - c
b - c
a - d
| c－b|=
| a－d|=
考点三 实数
11. 比较大小： 与
解：∵ (-2 + )-(-2+ ) = -2+ +2- = - ＞0，
∴ -2+ ＞-2+
另解：直接由正负决定-2+ ＞-2+
【变式训练5】
考点三 实数
4.实数的运算
例9 计算：
(2) 原式
解：(1) 原式 = 3 + 1 - 3 + 6
= 7.
= -1.
考点三 实数
1.二次根式有意义的条件
例10 若要使 有意义，则 x 的取值范围为 .
分析：被开方数为非负数
分母不为 0
→ x - 4 ≠ 0
x≤3
→ 3 - x ≥ 0
x≤3
考点四 二次根式
13. 已知 ，那么 xy = .
分析：被开方数为非负数
2x - 1≥0，1 - 2x≥0，
∴ y = 2.
1
考点四 二次根式
2.二次根式的化简
例11 下列各式中，计算正确的是 ( )
C
(a≥0)
考点讲练
考点四 二次根式
14. 先化简再求值：当 a = 时，
求 的值.
解：原式
当 a = 时，
原式
考点四 二次根式
考点讲练
3.二次根式的运算
例12 计算:
解：(1) 原式
(2) 原式
考点四 二次根式
15. 计算:
解：(1) 原式 =
(2) 原式 =
= 6 - 5
= 1.
= 5 + 1
= 6.
考点讲练
考点四 二次根式