第四章一次函数小结与复习 课件(共26张PPT) 2025-2026学年度北师版数学八年级上册

(共26张PPT)
小结与复习
第四章 一次函数
丰富的现实背景
函数
一次函数
函数关系式
图象
函数关系式的确定
图象的应用
1. 叫变量.
2.函数定义：
数值发生变化的量
在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于变量 x 的每一个确定的值，变量 y 都有唯一确定的值与它对应，那么我们称 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量.
一、函数
(所用方法:描点法)
3.函数的图象：对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
列表法
关系式法
图象法
5.函数的三种表示方法：
4.描点法画图象的步骤：列表、描点、连线
一次函数 一般地，如果 y＝kx＋b (k、b 是常数，k ≠ 0)，那么 y 叫做 x 的一次函数
正比例函数 特别地，当 b＝____时，一次函数
y＝kx＋b 变为 y＝ ___( k 为常数，k ≠ 0)，这时 y 叫做 x 的正比例函数
注意：一次函数与正比例函数的关系
0
kx
二、一次函数与正比例函数的概念
函数 字母取值 （ k＞0 ） 图象 经过的象限 函数性质
y＝kx + b (k ≠ 0) b＞0 y 随 x增大而
增大
b＝0 b＜0 一、三象限
一、二、三象限
一、三、四象限
三、一次函数的图象与性质
函数 字母取值 （ k＜0 ） 图象 经过的象限 函数性质
y＝kx + b (k ≠ 0) b＞0 ________ y 随 x增大而
减小
b＝0 ________ b＜0 ________ 一、二、四象限
二、四象限
二、三、四象限
求一次函数关系式一般步骤：
（1）先设出函数关系式；
（2）根据条件列关于待定系数的方程；
（3）解方程求出关系式中未知的系数；
（4）把求出的系数代入设的关系式，从而具体写出这个关系式.
四、求一次函数的关系式
其中过原点的直线是_____；函数 y 随 x 的增大而增大的是___________；函数 y 随 x 的增大而减小的是______；图象在第一、二、三象限的是_____.
考点一 一次函数的图象与性质
例1 填空题：
②
①、②、③
④
③
有下列函数：①　　　　　 ， ②　　　 ，
③　　　 ， ④ .
x
y
2
=
例2 已知函数 y = (2m + 1)x + m﹣3；
(1)若该函数是正比例函数，求 m 的值；
(2)若函数的图象平行直线 y = 3x﹣3，求 m 的值；
(3)若这个函数是一次函数，且 y 随着 x 的增大而减小，
求 m 的取值范围；
(4)若这个函数图象过点 (1，4)，求这个函数的解析式.
【分析】(1)由函数是正比例函数得m-3=0且2m+1≠0；(2)由两直线平行得2m+1=3；(3)一次函数中 y 随着 x 的增大而减小，即2m+1＜0；(4)代入该点坐标即可求解.
考点一 一次函数的图象与性质
解：(1) ∵函数是正比例函数，
∴m﹣3 = 0，且 2m + 1≠ 0，解得 m = 3.
(2) ∵ 函数的图象平行于直线 y = 3x﹣3，
∴ 2m + 1 = 3，解得 m = 1.
(3) ∵ y 随着 x 的增大而减小，
∴ 2m + 1＜0，解得 m＜ .
(4)∵ 该函数图象过点 (1，4)，代入得 2m + 1 + m - 3 = 4，
解得 m = 2，∴该函数的解析式为 y = 5x - 1.
考点一 一次函数的图象与性质
一次函数的图象与 y 轴交点的纵坐标就是 y = kx + b 中 b 的值；两条直线平行，其函数解析式中的自变量系数 k 相等；当 k＞0 时，y 随 x 的增大而增大；当 k＜0 时，y 随 x 的增大而减小.
总结
考点一 一次函数的图象与性质
1.函数 的图象与 x 轴交点的坐标为_______，
与 y 轴的交点坐标为______.
(-6，0)
(0，4)
2.已知函数 y = -x + 2 当 -1＜x≤1 时，y 的取值范围是_______.
1≤y＜3
【针对训练】
考点一 一次函数的图象与性质
3. 已知一次函数 y = kx + b，y 随着 x 的增大而减小，且 kb＜0，则在直角坐标系内它的大致图象是( 　)
A 　 　 　 B 　 C 　 　D
A
x
y
O
O
x
y
x
y
y
x
O
O
考点一 一次函数的图象与性质
　4. 一次函数 y = ax + b 与 y = ax + c (a＞0) 在同一坐标系中的图象可能是（　 　）
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
A
B
C
D
A
考点一 一次函数的图象与性质
例3 已知一次函数的图象经过 A (2，4)，B (0，2) 两点，
求：
(1) 一次函数的表达式；
解：(1) 设一次函数的表达式为 y＝kx＋b (k≠0).
因为图象经过 A (2，4)，B (0，2) 两点，
代入表达式中得
考点二 一次函数的图象与性质
2k + b = 4， b = 2，
解得 k = 1，b = 2.
因此这个一次函数的表达式为 y = x + 2.
(2) 求此函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积 S.
解：(2) 因为一次函数 y＝x＋2 的图象与 x 轴、y 轴的交点坐标分别为 (－2，0) 和 (0，2) ，
考点二 一次函数的图象与性质
【针对训练】5. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线 y＝kx＋3 与 x 轴相交于点 A(2，0)，与 y 轴交于点 B.
(1) 求 k 的值及 △AOB 的面积；
解：(1) 把 A(2，0) 代入 y＝kx＋3，
得 2k＋3＝0，
所以 B(0，3).
当 x = 0 时，y = 3.
考点二 一次函数的图象与性质
(2) 点 C 在 x 轴上，若△ABC 是以 AB 为腰的等腰三角形，求点 C 的坐标．
解：(2) 设 C(m，0).
因为 A(2，0)，B(0，3)，
所以 AC2＝(m－2)2，BC2＝m2＋9，
AB2＝13.
①若 AB，AC 为腰，则 AC2＝AB2，
所以 (m－2)2＝13，
考点二 一次函数的图象与性质
②若 AB，BC 为腰，则 BC2＝AB2，
所以 m2＋9＝13，
解得 m＝2 (与点 A 重合，舍去)
或m＝－2.
∴C(－2，0).
综上所述，△ABC 是以 AB 为腰的等腰三角形时，点 C 的坐标为(－2，0).
考点二 一次函数的图象与性质
例4 李老师开车从甲地到相距 240 千米的乙地，如果油箱剩余油量 y (升) 与行驶里程 x (千米) 之间是一次函数关系，其图象如图所示，那么
到达乙地时油箱剩余油量是多少升？
考点三 一次函数的图象与性质
解：设一次函数的关系式为 y＝kx＋35，
将(160，25)代入，得 160k＋35＝25，
解得 k＝ ，
所以一次函数的关系式为 y＝ x＋35.
再将 x＝240 代入 y＝ x＋35，
得 y＝ ×240＋35＝20，
即到达乙地时油箱剩余油量是 20 升．
考点三 一次函数的图象与性质
【针对训练】6. 自来水公司有甲、乙两个蓄水池，现将甲池中的水匀速注入乙池，甲、乙两个蓄水池中水的深度 y (米) 与注水时间 x (时) 之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题．
(1) 分别求出甲、乙两个蓄水池中
水的深度 y 与注水时间 x 之间的
函数关系式；
考点三 一次函数的图象与性质
解：(1)设它们的函数关系式为
y＝kx＋b，根据甲的函数图象可知，
当 x＝0，y＝2；当 x＝3时，y＝0，
将它们代入关系式 y＝kx＋b 中，
得 k＝ ，b＝2，
所以甲蓄水池中水的深度 y 与注水时间 x 之间的函数关系式为：y＝ x＋2. 同理可得乙蓄水池中水的深度 y 与注水时间 x 之间的函数关系式为：y＝x＋1.
(1)分别求出甲、乙两个蓄水池中水的深度 y 与注水时间 x 之间的函数关系式；
(2)求注入多长时间后甲、乙两个蓄水池的深度相同；
(2) 由题意得 x＋2＝x＋1，
解得 x＝ .
故当注水 小时后，甲、乙两个蓄水池水的深度相同；
(3) 求注入多长时间甲、乙两个蓄水池的蓄水量相同？
(3) 从函数图象判断当甲水池的水全部注入乙水池后，甲水池深度下降 2 米，而乙水池深度上升 3 米，所以甲乙水池的底面积之比为 S甲 : S乙 = 3 : 2，
S甲·( x＋2) = S乙·(x＋1)，解得 x = 1.故注水 1 小时后，甲乙两蓄水池的蓄水量相同.