陕西省咸阳市2024-2025学年九年级下学期4月期中考试数学试卷(含答案)

陕西省咸阳市2024-2025学年九年级下学期4月期中数学试题
一、单选题
1．16的算术平方根是（ ）
A．4 B． C． D．2
2．玲玲用两种不同的方法分别去截同一个几何体，分别得到了如图所示的图形，这个几何体可能是（ ）
A．球 B．圆柱 C．长方体 D．圆锥
3．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系中，函数（为常数）和的图象相交于点，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
5．如图，在矩形中，，将沿折叠到的位置，交于点E，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，是的直径，点C、E均在上，连接、，过点C作的切线交的延长线于D．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．二次函数（b为常数，且）的图象经过和两点，则该二次函数（ ）
A．有最大值 B．有最小值 C．有最小值 D．有最大值
二、填空题
8．因式分解： ．
9．如图，点P在正六边形的边上运动（可与端点重合），若，写出一个符合条件的x的值 ．（写一个即可）
10．《九章算术》是我国古代的第一部自成体系的数学专著，其中的许多数学问题是世界上记载最早的，《九章算术》卷七“盈不足”有如下记载：原文：今有共买琎（琎：像玉的石头），人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数、琎价各几何？译文：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多4钱；每人出钱，又差3钱，问人数、进价各是多少？设人数是x，则依题意可列方程为 ．
11．在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和，则的值是 ．
12．如图，在菱形中，，，点M、N分别为线段、上的动点，且满足，将绕点N逆时针旋转至，连接、，则的最小值为 ．
三、解答题
13．计算：．
14．化简．
15．解不等式：，并把解集在数轴上表示出来．
16．如图，在中，请用尺规作图法在边上求作一点P，连接，使得（不写作法，保留作图痕迹）
17．如图，在中，点M、N分别在、边上，连接、，，，求证：四边形是菱形．
18．农为邦本．本固邦宁．某地在多条“振兴链组”赋能下，采取“政府搭台、企业唱戏”方式，搭建“线上线下”运作的农产品馆，引入联营直销、银行补贴、积分兑换等方式，持续创新新型农产品供销模式某农产品合作社主要推销甲，乙两种不同品种的有机萝卜，该合作社用2700元从农户处购进甲，乙两种萝卜，其中1200元购买甲种萝卜，其余资金购买乙种萝卜．已知乙种萝卜每千克的价格是甲种萝卜每千克价格的1.5倍，且购进甲种萝卜的数量比乙种萝卜多50千克．求甲、乙两种萝卜每千克的价格．
19．2024年中国航天取得了不少举世瞩目的成就，创造了多个航天史上的第一．为激发学生弘扬爱国奋斗精神，以航天英雄为榜样，不断攀登新的科学高峰，某校举办以“致敬航天人，共筑星河梦”为主题的演讲比赛九（1）班的李丹和王阳都想参加比赛，他们演讲水平相当，但名额只有一个．为了公平起见，班委会决定用摸球的方式确定人选．规则如下：在一个不透明的袋子中装有4个小球，分别标有，0，1，2四个数字．这些小球除数字不同外，其他都完全相同，将袋内小球充分搅匀．班长第一次先从袋中随机摸出一个小球，记录所摸到小球上的数字，摸到负数不放回，否则放回；搅匀后，他第二次再从中随机摸出一个小球，记录所摸到小球上的数字．若班长第二次摸到的小球上的数字比第一次摸到的小球上的数字大，则李丹参加，否则，王阳参加．
(1)班长第一次从4个小球中任意摸出1个球，摸到标有数字2的小球的概率为________；
(2)请用画树状图或列表的方法说明这个规则对双方是否公平？
20．西安，作为一座历史悠久、文化底蕴深厚的城市，拥有众多著名的旅游景点和丰富的美食文化，是游客们向往的旅游胜地，寒假期间，莹莹一家准备乘坐高铁前往西安旅游，计划第二天到A、B两个租车公司租用一辆新能源汽车游玩．
A公司：每辆车收取固定租金90元，另外再按租车时间计费，每小时的租费是15元；
B公司：无固定租金，直接以租车时间计费，每小时的租金是30元．
设租车时间为x小时，租用A公司的车所需费用为元，租用B公司的车所需费用为元．
根据以上信息，解决下列问题：
(1)分别求出、与x之间的函数关系式；
(2)请通过计算说明莹莹家选择哪家公司租车比较划算？
21．某校九年级一班的兴趣小组准备测量西安古城墙的高度，制定了如下的测量方案：如图，首先，王磊站在点B，当在正前方1．5米（即米）的点C放置一平面镜时，通过平面镜王磊刚好可以看到城墙的最高点M，此时测得王磊的眼睛到地面的距离为1．5米；然后，在阳光下某一时刻，李华再在点D处竖立一根高2米的标杆，城墙的影子顶端与标杆的影子顶端恰好重合于点F，此时测得米，米，已知图中所有点均在同一平面内，，，，点N、C、B、D、F在一条水平线上，请根据以上数据，计算西安古城墙的高度．（平面镜大小忽略不计）
22．2025年全国两会在万众期待中拉开帷幕，这是我国政治生活中的一件大事，关乎国家的发展、人民的福祉．某校组织了以“关注两会，与祖国共成长”为主题的知识竞赛，已知每人道题，校团委随机抽查了部分学生答对题数的情况，绘制出如下尚不完整的统计图．
根据图中提供的信息，解决下列问题：
(1)将条形统计图补充完整，本次所抽取学生答对题数的中位数为________道，本次所抽取学生答对题数的众数为________道；
(2)求本次所抽取学生答对题数的平均数量；
(3)若该校共有人参加此次知识竞赛，请你估计该校此次竞赛这道题全部答对的学生人数．
23．如图，内接于，点D在劣弧上，且，连接、，延长至点P，连接，使得．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
24．学科实践
驱动任务：用数学的眼光观察现实世界
研究步骤：
a．某同学观察道路上的隔离栏（如图1）发现，各个竖杆上涂有颜色部分的顶端及点A、B所在曲线呈抛物线形（如图2，栏杆宽度忽略不计）；
b．隔离栏长为，隔离栏顶端G距竖杆底部A的距离，隔离栏被12根竖杆等分成13份，左起第5根涂色竖杆涂色部分的高度；
c．以点A为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
问题解决：请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务：
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若从隔离栏的顶端G处向点H沿水平方向拉一条长为的矩形横幅，横幅上边缘沿水平方向与点G平齐，为了不遮挡隔离栏上的涂色部分，则横幅的最大宽度为多少米？
25．定义新知
定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．
初步探究
（1）如图1为的正方形网格，线段、的端点均在格点上，请在图中标出格点D的位置，使得以A、B、C、D四点为顶点的四边形是邻等对补四边形；（标出一个满足条件的点D，同时画出这个四边形）
（2）如图2，在邻等对补四边形中，，，连接，求证：平分；
拓展应用
（3）在2025年春晚的舞台上，一群机器人的秧歌表演成为了全球焦点，据了解，这些机器人使用的主要材料为，该材料拥有较高刚性和韧性，且兼具 热性、耐腐蚀性、耐磨性等优势，易于加工成各种形态的零件．如图3，现有一块形如三角形的某种新型材料，，，，某科研人员想用这块材料裁出一个邻等对补四边形部件，要求点P在边上，点Q在边上，且该四边形仅有一组邻边相等，请你根据科研人员的规划要求，确定点Q的位置（即的长度）．
参考答案
1．A
解：∵，
∴16的算术平方根是4，
故选：A．
2．B
解：A、用不同的方法截球体，不能得到长方形，故该选项不符合题意；
B、用不同的方法截圆柱，能得到以上各种图形，故该选项符合题意；
C、用不同的方法截长方体，不能得到圆形，故该选项不符合题意；
D、用不同的方法截圆锥，不能得到长方形，故该选项不符合题意；
故选：B．
3．D
解：，
故选：D ．
4．A
解：∵函数（为常数）和的图象相交于点，
∴，，即，
解得：，
故选：A．
5．B
解：矩形中，，
∴，，
∵将沿折叠到的位置，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
故选B．
6．C
解：连接，如图，
∵，
∴，
∵为的切线，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
7．D
解：∵二次函数图象经过和两点，
∴对称轴是直线，
∴，
∴，
∴，
∴二次函数有最大值．
故选D．
8．
解：
，
故答案为：．
9．50（答案不唯一，）
解：如图，连接，，
∵六边形是正六边形，
∴，，
∴，
由对称性可得：，
∴，
∴，
故答案为（答案不唯一）．
10．（其他形式正确也可）
【详解】设人数是x，
根据题意得，．
故答案为：．
11．0
解：∵反比例函数的图象经过点和，
∴，
解得：
故答案为：．
12．
【详解】作射线，
四边形是菱形，
，
，
，
将绕点N逆时针旋转至，
，，
在中，，，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
则，
点P的轨迹为射线，
作点B关于的对称点，连接、、，
，，
，
当三点共线时，则即为的最小值，
点在的延长线上，且，
过点C作交的延长线于点G，
过点作交的延长线于点H，
四边形是菱形，
，
，，
，，
易证四边形是矩形，
，
，
在中，
=．
故答案为：．
13．
解：
．
14．
解：原式
．
15．，见解析
解：去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为1得，．
在数轴上表示为：
16．见解析
解：如图，点P为所作．
17．见解析
【详解】证明：在中，，
在与中，
，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形．
18．甲种萝卜每千克的价格为4元，乙种萝卜每千克的价格为6元
解：设甲种萝卜每千克的价格为x元，则乙种萝卜每千克的价格为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：甲种萝卜每千克的价格为4元，乙种萝卜每千克的价格为6元．
19．(1)
(2)不公平，见解析
（1）解：∵一共有4个小球，其中标有数字2的小球有1个，且每个小球被摸出的概率相同，
∴班长第一次从4个小球中任意摸出1个球，摸到标有数字2的小球的概率为；
（2）解：画树状图如下：
由图可知，共有15种等可能的结果，其中第二次摸到的小球上的数字比第一次摸到的小球上的数字大的结果有6种，
（李丹参加比赛），P（王阳参加比赛）．
，
这个规则对双方不公平．
20．(1)，
(2)见解析
（1）解：根据题意，得，
；
（2）解：令，则，解得；
令，则，解得；
令，则，解得，
莹莹家租车时间若超过6h，选择A公司租车比较划算；若等于6h，从A、B两个公司任选一家即可；若少于6h，选择B公司租车比较划算．
21．12米
解：设米．
，，
，
，即，
，①
，，
，
，即，②
①②联立，解得，
答：西安古城墙的高度为12米．
22．(1)见解析，，
(2)道
(3)人
（1）解：由图可知：答对道题的人数为人，占总人数的比例为，
抽样调查的总人数为人，
答对道题的人数为人．
补全条形统计图如下：
本次所抽取学生答对题数的中位数为道，众数为道．
（2）解：（道），
本次所抽取学生答对题数的平均数量为道．
（3）解：（人），
估计该校此次竞赛这5道题全部答对的学生人数为人．
23．(1)见解析
(2)
（1）证明：，
，
，
，
∴．
（2）解：由（1）知，
，，
，，
，
，即，
，
解得（负值已舍）．
24．(1)
(2)
（1）解：由题意得：点A坐标为，点B的坐标为，
该抛物线的对称轴为直线，
设抛物线的函数表达式为：，
则，即，①
（米），米，
点D的坐标为．
将代入函数表达式得，，②．
①②联立，解得，
抛物线的函数表达式为．
（2）由题意知，左起第6、7根竖杆未涂色部分的长度最小，
当时，，
．
横幅的最大宽度为．
25．（1）见解析；（2）见解析；（3）的长为或
解：（1）点D的位置如图所示，四边形即为所求．（答案不唯一，画出一个即可）
（2）证明：如图，延长到E，使得，连接，
，，
，
在和中，，，，
，
，，
，
，
平分；
（3），，，
，
四边形是邻等对补四边形，
，
．
①当时，如图1，连接，
∴，
，
∵
∴由勾股定理可得，
∴，
解得；
②当时，如图2，连接，
，，
，
，即，
解得，
；
③当时，如图3，连接，
，，
，
，故不符合题意，舍去；
④当时，如图3，同理可得，不符合题意，舍去．
综上，的长为或．