北师大版2025—2026学年九年级上册数学期中考试模拟试卷（含答案）

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北师大版2025—2026学年九年级上册数学期中考试模拟试卷
考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟
注意事项:
1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。笞卷前，考生务必
将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，把答案填写在答题卡上对应题目的位置
，填空题填写在答题卡相应的位置写在本试卷上无效。
3.回答第II卷时，将答案写在第II卷答题卡上。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）．
A． B．
C． D．
2．已知相似三角形的相似比为9：4，那么这两个三角形的周长比为（　　）
A．9：4 B．4：9 C．3：2 D．81：16
3．一个口袋中有红球、黄球共20个，这些除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一球，记下颜色后再放回口袋，不断重复这一过程，共摸了200次，发现其中有161次摸到红球．则这个口袋中红球数大约有（　　）
A．4个 B．10个 C．16个 D．20个
4．顺次连接矩形各边中点所得四边形必定是（　　）
A．平行四边形 B．菱形 C．正方形 D．矩形
5．下列性质中，平行四边形，矩形，菱形，正方形共有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．对角线平分内角
6．某校举行数学竞赛，班主任王老师决定从本班4名（其中3男1女）同学中随机选择2名同学参加竞赛，王老师先从4名同学中随机选择一名同学，记下姓名，再从剩余的3名同学中随机选择另一名同学，记下姓名，则选中的两名同学中没有女同学的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．某初中毕业班的第一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了张照片，如果全班有名学生，根据题意，列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（ ）
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，随机出的是“剪刀”
B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数
C．袋子中有个红球和个黄球，除颜色外均相同，从中任取一球是黄球
D．洗匀后的张红桃，张黑桃牌，从中随机抽取一张牌是黑桃
9．已知如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，，，且，则（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在正方形中， O是对角线与的交点， M是边上的动点（点M 不与B，C重合），过点C作垂直交于点，连结、 、．下列四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的有（　）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
二、填空题（6小题，每题3分，共18分）
11．已知正方形的对角线长为，则正方形的面积为 ．
12．若直角三角形斜边上的高和中线长分别是，则它的面积是 ．
13．已知关于x的一元二次方程的一个根比另一个根大2，则m的值为 ．
14．在一只不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球若干，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后把它放回袋中，不断重，如表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n n 200 300 500 800 1000
摸到白球的次数m 100 116 186 290 480 602
摸到白球的频率 0.59 0.58 0.62 0.58 0.60 0.602
任意摸出一个球，则“摸到白球”的概率约是 ．（结果精确到0.1）
15．已知a是方程的一个根，则 ．
16．如图，在菱形中，，，动点、分别在线段、上，且，则的最小值为 ．
第II卷
北师大版2025—2026学年九年级上册数学期中考试模拟试卷
姓名：____________ 学号：____________准考证号：___________
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题
11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______
解答题解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．解方程：
(1)； (2)．
18．量子计算原型机“九章”求解数学算法高斯玻色取样的速算只需200秒，这一突破使我国成为全球第二个实现“量子优越性”的国家，牢固确立了我国在国际量子计算研究领域的领先地位．为了解初中学生对量子计算的知晓情况，某数学兴趣小组在本校学生中开展了专题调查活动，随机抽取了部分学生进行问卷调查，根据学生的答题情况，将结果分为A，B，C，D四类，分别表示“非常了解”“比较了解”“基本了解”“不太了解”，数据整理如下：
等级
人数（人）
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)若该校共有初中学生3000名，请你估计该校初中学生对量子计算“非常了解”的人数；
(2)学校准备从非常了解量子计算的四位同学（3男1女）中选2位同学参加知识问答竞赛，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中一男一女的概率．
19．已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，请你判断BE与CF的大小关系，并说明你的理由．
20．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
21．如图，四边形是平行四边形，过点作，，垂足分别为，，且．
(1)证明四边形是菱形；
(2)若，，求四边形的面积．
22．已知的两边的长是关于x的一元二次方程的两个根，第三边BC的长是13．
(1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)当m为何值时，是以为斜边的直角三角形．
23．如图，在中，点D，E，F分别在边上，，．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
24．综合与实践
在矩形中，，，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为（点E、F是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．
【初步思考】
（1）若点P落在矩形的边上（如图①）．
①当点P与点A重合时， ；②当点E与点A重合时， ．
【深入探究】
（2）当点E在上，点F在上时（如图②），
①求证：四边形为菱形；
②当时，求的长．
【拓展延伸】
（3）若点F与点C重合，点E在边上，射线与射线交于点M（如图③）．在各种不同的折叠位置中，是否存在使得线段与线段的长度相等的情况？若存在，请直接写出线段的长度；若不存在，请说明理由．
25．如图1，已知四边形是矩形，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中，点E以每1个单位的速度从点A出发沿x轴正方向运动，连接，作交y轴于点P，连接交射线于点F，设运动时间为t秒．
(1)当时， _____， _____；
(2)当点P在原点上方，且时，求t的值和点P坐标；
(3)在运动的过程中，是否存在以P，O，E为顶点的三角形与相似．若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A C B C A B B B D
二、填空题
11．【解】解：四边形为正方形，
，，
正方形的面积，
故答案为：18．
12．【解】解：∵直角三角形斜边上的中线是，
∴直角三角形斜边长是，
∵直角三角形斜边上的高是，
∴三角形的面积为，
故答案为：30．
13．【解】解
（x-3m）（x-m）=0
∴x-3m=0或x-m=0
解得x1=3m,x2=m，
∴3m-m=2
解得m=1
故答案为：1．
14．【解】解：随着n的值越来越大，摸到白球的频率接近0.6，
∴任意摸出一个球，则“摸到白球”的概率约是0.6．
故答案为：0.6．
15．【解】解：∵a是方程的一个根，
把代入得，，
∴，，即，，
∴，
故答案为：．
16．【解】解：如图，连接．
∵在菱形中，，
∴，，
∴和都为等边三角形，
∴，．
∵，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴当最小时，最小．
由垂线段最短可知当时，最小，
∴，
∴，
∴，即．
故答案为：．
三、解答题
17．【解】（1）解：，
，；
（2）解：
，
，
或，
或
18．【解】（1）（人）
（2）解：画树状图如图所示，
如图可知，共有12种等可能性，其中一男一女的占6种，
故一男一女的概率为
19．【解】解：BE=CF．
理由如下：在矩形ABCD中，OB=OC，
∵BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，
∴∠BEO=∠CFO=90°，
在△OBE和△OCF中，
∴△OBE≌△OCF（AAS），
∴BE=CF．
20．【解】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．
（2）设该品牌头盔的实际售价为y元，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：（不合题意，舍去），，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．
21．【解】（1）∵四边形是平行四边形．
∴，
∵，
∴，
在和中：
∴，
∴，
∴平行四边形为菱形；
（2）如图所示，连接，
∵四边形为菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
在中，，
∴菱形的面积为．
22．【解】（1）证明：，
，
无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：是的两个根，
，，
是以为斜边的直角三角形，
，
，
，
即，
解得（，不合题意，舍去），
m的值为5．
23．【解】（1）证明：∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
24．【解】（1）解：①当点P与点A重合时，E为的中点，F为的中点，
∴，
故答案为：3；
②当点E与点A重合时，如图，
∴，
∴，
故答案为：4；
（2）①证明：如图，与交于点O，
∵是的中垂线，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴为菱形，
②解：当时，设菱形的边长为x，则，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴当时，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：分情况讨论：
①如图③，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
由折叠的性质得：，，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，
则，，
∵，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
∴；
②如图④，
∵四边形是矩形，
∴，
由折叠的性质得：，，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，即，
设，
则，，，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
∴；
综上所述，存在某一情况，使得线段与线段的长度相等，线段的长度为或．
25．【解】（1）解：当时，，
，
，，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
故答案为：6，4；
（2）当点P在原点上方，
四边形是矩形，
，
，
，
，
即
解得：，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故点P的坐标为；
（3）存在，理由如下：
当P在y轴正半轴时，由（2）可知，，，
若，
，
，
无解；
若，
，
，
即，
解得（舍去），
，
点P的坐标为；
当P在y轴负半轴时，
，，
，
，
，
，
，
，
，
若，
，
，
即
解得（舍去），
，
点P的坐标为；
若，
，
，
无解；
综上所述：点P的坐标为或
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